Bài giảng Cơ học ứng dụng: Tuần 9 - Nguyễn Duy Khương

11/13/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 9

CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

B‐ Thanh chịu lực phức tạp I‐ Thanh chịu uốn ngang phẳng

Trên mặt cắt chỉ có hai thành phần nội lực là lực cắt Qy và mô‐men Mx. Do đó trạng thái ứng suất trong thanh có hai thành phần là ứng suất pháp z và ứng suất tiếp zy (có thể có ứng suất tiếp zx nhưng do giá trị thường nhỏ hơn zy nên ta bỏ qua)

Trong trường hợp tổng quát, trạng thái ứng suất của điểm trong thanh chịu uốn ngang phẳng ở trang thái ứng suất phẳng đặc biệt.

Mô‐men uốn gây ra ứng suất pháp làm đứt gãy vật liệu. Lực cắt gây ra ứng suất tiếp làm tách lớp các thớ vật liệu

CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

x

y

  z

M J

x

Ứng suất pháp z phân bố trên mặt cắt ngang do Mx gây ra nên công thức tính ứng suất pháp z giống trong trường hợp thanh chịu uốn thuần túy

S y Q ( ).

  zy

y x . ( ) J b y

x

f y

( ) :



Ứng suất tiếp zy do lực cắt Qy gây ra được tính bằng công thức

xS y ( )

Với:

b y ( )

f y

( ) :



Moment tĩnh của phần diện tích tính từ lớp biên ngoài cùng đế điểm muốn tính ứng suất tiếp (không chứa trục trung hòa) đối với trục trung hòa.

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

1

Chiều rộng của mặt cắt ngang đi qua điểm muốn tính ứng suất tiếp và song song với trục trung hòa.

11/13/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 9

CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

Công thức tính ứng suất tiếp cho một số mặt cắt thông thường 1. Mặt cắt hình chữ nhật

S y Q ( ).

  zy

y x . ( ) J b y

x

Công thức tính ứng suất tiếp zy

J



yQ

x

b h  12

Với: Qy là nội lực lực cắt 3 : mô‐men quán tính hình chữ nhật

( )b y

b

x

z

y

: bề rộng mặt cắt theo tọa độ y

CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh



b

y A  C C

S y ( ) x Với:

h 2

Mô‐men tĩnh đối với trục x

h

h

y



x

y  



y C

/ 2 2

2  4

Cyy

C

h 2

y

b  

A C

y

yC: tọa độ trọng tâm hình C theo tọa độ y y

h   2 

2

h

y

2

b

y

y













S y ( ) x

2  4

h 2

  

  

 b h  2 4 

  

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

2

AC: diện tích của hình C theo tọa độ y   

11/13/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 9

CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

b

2

2

y





 zy

Q h 6  y  3 bh 4 

  

x

Ta được công thức tính ứng suất tiếp của mặt cắt hình chữ nhật

y

Ta thấy công thức tính ứng suất tiếp là hàm bậc hai theo y, ứng suất tiếp đạt giá trị cực đại khi y=0 (lớp trung hòa)

yQ

max

  max

bh

3 2

Ta có công thức tính ứng suất tiếp lớn nhất trên mặt cắt ngang:

CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

2. Mặt cắt hình tròn

Q

2

2

R

R

y



  zy

Ta được công thức tính ứng suất tiếp





3

y J

x

4

x

J



x

yQ

R  4

y

: mô‐men quán tính hình tròn

Ta thấy công thức tính ứng suất tiếp là hàm bậc hai theo y, ứng suất tiếp đạt giá trị cực đại khi y=0 (lớp trung hòa)







max

4 3

yQ max 2 R 

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

3

Ta có công thức tính ứng suất tiếp lớn nhất trên mặt cắt ngang:

11/13/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 9

CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Mặt cắt ngang định hình

zx

Phân bố ứng suất tiếp trong mặt cắt định hình phức tạp hơn so với mặt cắt hình chữ nhật.

Ứng suất tiếp theo phương ngang zx nhỏ hơn rất nhiều so với phương đứng zy do đó ta chỉ xét ứng suất tiếp lớn nhất zy, bỏ qua ứng suất tiếp zx.

zy

x

Cách tìm ứng suất cũng giống như cách tính ứng suất tiếp trong mặt cắt chữ nhật.

y

Thông thường sử dụng các dạng mặt cắt định hình có sẵn theo tiêu chuẩn nên để biết các thông số Jx, Wx, Sx ta tra bảng.

CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

b

t

d





h 2

max

x

Q S  y x J d  x

h

D

h 2





min

D Q S  y x J d  x

y

2

Công thức tính ứng suất tiếp lớn nhất và nhỏ nhất trong mặt cắt định hình

S

S

t





D x

x

d h   2 2 

  

Với Là mô‐men tĩnh tại điểm D

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

4

Để biết các giá trị Sx, Jx, d, h, t tra bảng với mặt cắt định hình tương ứng

11/13/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 9

CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

b

n

,max

x

xM

yQ

k

,max

y

x

y

  z

Trạng thái ứng suất các điểm trên tiết diện

M J

x

S y Q ( ).

  zy

Công thức tính ứng pháp do mô‐men Mx gây ra

y x J b y . ( )

x

Công thức tính ứng suất tiếp do lực cắt Qy

CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

n

,max

H

H

x

O

O

xM

yQ

D

D

B

B

k

,max

y

Hai thành phần ứng suất đều là hàm phụ thuộc vào tọa độ y, vì thế các điểm có những điểm cùng tọa độ y sẽ có giá trị các thành phần ứng suất như nhau.

•

•

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

5

• Tại điểm B và H gọi là lớp biên, chỉ chịu một thành phần ứng suất pháp z nên những điểm này ở trạng thái ứng suất đơn. Tại điểm O gọi là lớp trung hòa, chỉ chịu ứng suất tiếp zy nên những điểm này ở trạng thái ứng suất trượt thuần túy. Tại điểm D gọi là lớp trung gian, chịu cả ứng suất pháp z và ứng suất tiếp zy nên những điểm này ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt.

11/13/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 9

CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

1‐ Lớp biên

M

max







Điều kiện bền ở lớp biên chỉ có một thành phần ứng suất pháp

  

max

x W

x



  

max

2‐ Lớp trung hòa Điều kiện bền ở lớp trung hòa chỉ có một thành phần ứng suất tiếp

‐ Nếu tính theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (thuyết bền 3)

   

[ ]  2

‐ Nếu tính theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng (thuyết bền 4)

   

[ ]  3

CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3‐ Lớp trung gian

[







 td

24 ]    D

2 D

Các điểm ở lớp trung gian ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt nên ta phải tính ứng suất tương đương. Do đó điều kiện bền ở lớp trung gian có ứng suất tương đương tđ ‐ Nếu tính theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (thuyết bền 3)

[







 td

23 ]    D

2 D

‐ Nếu tính theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng (thuyết bền 4)

D

D

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

6

Với và lần lượt là ứng suất pháp và tiếp tại điểm trung gian.

11/13/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 9

CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

 Những điểm cần lưu ý khi tính bền trong bài toán uốn ngang phẳng

Chọn mặt cắt nguy hiểm trên thanh sao cho lực cắt Qy và mô‐men Mx cùng phải lớn nhất.Từ mặt cắt nguy hiểm ta chọn ra điểm nguy hiểm để kiểm tra bền • Bài toán kiểm tra bền:

Ưu tiên kiểm tra bền cho lớp biên, sau đó là lớp trung hòa rồi mới đến lớp trung gian. Tuy nhiên, việc kiểm tra bền trên ba lớp chỉ bắt buộc với thanh có mặt cắt định hình, còn đối với thanh có mặt cắt hình chữ nhật hoặc hình tròn thì chỉ cần kiểm tra bền trên hai lớp là lớp biên và lớp trung hòa.

• Bài toán xác định kích thước mặt cắt ngang hoặc tải trọng cho phép:

Dựa vào lớp biên để tính kích thước sơ bộ của mặt cắt hoặc tải trọng cho phép, rồi sau đó dùng kết quả sơ bộ này để kiểm tra bền ở lớp trung hòa và lớp trung gian (nếu mặt cắt ngang là hình chữ nhật hoặc hình tròn thì có thể bỏ qua lớp trung gian)

CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

(số hiệu No20)

. .

Ví dụ: Cho dầm thép mặt cắt nganh hình chữ và chịu lực như hình vẽ. Hãy xác định cường độ qmax của tải trọng để dầm đảm bảo điều kiện bền theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất trong các trường hợp sau: 1) Dầm có mặt cắt ngang đặt theo dạng đứng 2) Dầm có mặt cắt ngang đặt theo dạng nằm Cho []=12 kN/cm2; a=100cm (vật liệu dẻo)

2q

M = qa2

A

C

B

a

2a

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

7

11/13/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 9

CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

Bước 1: Vẽ biểu đồ nội lực

2,5 1,5

A y B

qa qa

 

y

  

2qa

A

C

B 1,5qa

2,5qa

2,5qa

Dễ dàng ta tính được phản lực liên kết tại A và B 2q

+

-

1,5qa

2qa

0,8a

2

0,56qa

CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

Bước 2: Tìm mặt cắt nguy hiểm

2

2,5



yQ

Dựa vào biểu đồ mô‐men uốn và biểu đồ lực cắt, ta chọn mặt cắt nguy hiểm sao cho tại đó Mx và Qy là lớn nhất trong dầm. Vì thế, ta chọn mặt cắt tại A là mặt cắt nguy hiểm ứng với qa xM qa

Bước 3: Tra bảng tìm thông số mặt cắt

h

20

cm b ;

7, 6

cm d ;

0,5

cm t ;

0,9

cm









3

J

1520

152

3 cm S

;

88

cm







x

4 cm W ; x

x

J

113

4 cm W ;

20

2,1

cm







3 cm x ; 0

y

y

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

8

Mặt cắt hình với số hiệu No20 ta có các số liệu sau:

11/13/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 9

CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

Bước 4: Chọn sơ bộ tải trọng cho phép tại lớn biên

1) Dầm có mặt cắt ngang đặt theo dạng đứng

2

M

max



  max

qa 152

x W x



Vật liệu dầm làm bằng thép là vật liệu dẻo nên ứng suất pháp lớn nhất

2

12





max aq 152

0,18

kN m /

c

q  



152 12  4 10 0,18

kN c

/ m



Theo điều kiện bền tại lớp biên   

q max

để kiểm tra điều kiện bền tại lớp Ta chọn tải trọng trung hòa và lớp trung gian

CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

Bước 5: Kiểm tra bền tại lớp trung hòa và lớp trung gian

Q

S



y

x













max

2,5 88 qa 1520 0,5 

2,5 0,18 100 88   1520 0,5 

max J d  x

2

5, 2

kN cm /





max

Tại lớp trung hòa chỉ có ứng suất tiếp max

2

6

kN cm /



[ ] 







max

[ ]  2

12 2

Điều kiện bền tại lớp trung hòa theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

9

Thỏa điều kiện bền tại lớp trung hòa.

11/13/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 9

CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

2

4

x

0,9

y

t











 z

0,18 10  1520

20 2

  

  

  

   2 kN cm /

  z

Tại lớp trung gian là điểm tiếp giáp giữa phần đế và thân của mặt cắt ngang ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt nên có ứng suất pháp z và ứng suất tiếp zy Ứng suất pháp tại lớp trung gian: M h qa 1520 2 J x 10, 78 Ứng suất tiếp tại lớp trung gian:

S

S

d

t











D x

x

 zy

h 2

  

 t    

h 1   2 2 

  

D Q S  y x J d  x

D

3

cm



88 9,1 0,5 4,55 68 









2

4

/ kN cm



   zy

xS 2,5 0,18 100 68   1520 0,5 

Với

CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh



 td

24    zy

2 z

2

2

2

2

10, 78

4 4

13,5

kN cm /

kN cm /

 





[ 

] 12 

   td

Tính ứng suất tương đương tại lớp trung gian theo thuyết bền 3

.

2

M

max

0, 024

kN cm /

q  











[ ] 

max

12 20  4 10

q a 20

y W

y

Ta thấy với qmax=0,18kN/cm thì dầm không thỏa điều kiện bền ở lớp trung gian, do đó ta giảm cường độ qmax của tải trọng. Ta có thể chọn qmax=0,15kN/cm để đảm bảo điều kiện bền theo thuyết bền 3. 2) Dầm có mặt cắt ngang đặt theo dạng nằm Dầm đặt nằm sẽ nhận trục y làm trục trung hòa.

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

10

Ta có thể chọn qmax=0,024kN/cm mà không cần kiểm tra lại lớp trung hòa và lớp trung gian.

11/13/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 9

CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

và làm bằng

3) Dầm có mặt cắt ngang đặt theo dạng nằm vật liệu giòn có []k = 4 kN/cm2; []n = 8 kN/cm2

Đối với vật liệu giòn và trục trung hòa không trùng trục đối xứng, ta phải chú ý đến ứng suất kéo và ứng suất nén trên biên.

Vì thế ta phải xét tại mặt cắt nguy hiểm sao cho mô‐men uốn gây ra kéo thớ dưới và kéo thớ trên lớn nhất.

I

2

A

2

0,56

qa



qa

yM

yM

I min ‐

A max +

2,1cm

2

y

y

2qa

0,56qa

5,5cm

‐

x

x

+ I

A min

max

Vì thế ta có hai điểm nguy hiểm tại điểm A và điểm I.

CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

4

kN cm /



A  max

[ ]  k

2

8

kN cm /



2

4

kN cm /



A  min I  max

[ ]  n [ ]  k

2

M

A y

0, 0215

kN cm /



2,1 4 

Do sử dụng vật liệu giòn nên []k< []n, nên ta chỉ cần kiểm tra bền cho ba thành phần ứng suất pháp kéo và nén 2

q  1

x 0

A   max

q a 113

y

2

M

J A y

0, 016

kN cm /

)

(7, 6 2,1) 8







q  2

A   min

( b x  0

aq 113

2

0,56

J y I M y

0, 0143

kN cm /

)

(7, 6 2,1) 4







q  3

I   max

( b x  0

q a 113

J

y

Với:

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

11

Ta phải chọn tải trọng nhỏ nhất để thỏa cả ba điều kiện bền. Vì thế chọn qmax=0,0143 kN/cm

11/13/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 9

CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh

với q=0,02kN/cm, và

4) Tìm số hiệu mặt cắt ngang đặt theo dạng nằm làm bằng vật liệu giòn có []k = 4 kN/cm2; []n = 8kN/cm2

min và I

max để chọn kích thước sơ bộ. Sau max hay không?

2

M

M

A y

A y

A y

)







A   min

( b x  0

M J

J

W

qa W

y

y

y

)

y ( b x  0

2

4

2

3

8

kN cm /



8

25

cm







A  min

[ ]  n

yW  

qa W

0, 02 10  8

y

4

2

M





qa

3

I y

2

28

cm

W  



N k

m c

4

/









y

[ ]  k

I  max

0,56 0, 02 10 4

W

0,56 W

y

y

Ta chọn hai điểm nghi ngờ A đó kiểm tra lại xem có thỏa điều kiện bền tại A

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

12

Tra bảng ta sẽ có mặt cắt No22a có Wy=29,9 cm3 thỏa điều kiện bền cho hai điểm nguy hiểm. Kiểm tra lại A max với mặt cắt mới No22a, dễ dàng ta cũng thấy mặt cắt này thỏa điều kiện bền còn lại.