BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN
BÀI GIẢNG
ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG
(Dành cho hệ chất lượng cao)
Nghệ An - 2019
MỤC LỤC
Mục lục 1
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6
1.1. Tập hợp và ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2. Quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Khái niệm quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Quan hệ tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3 Quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3. Phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1 Khái niệm phép toán hai ngôi . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2 Các tính chất có thể có của phép toán hai ngôi . . . . 24
1.3.3 Phần tử đơn vị, phần tử nghịch đảo . . . . . . . . . . 25
Nội dung thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 NỬA NHÓM VÀ NHÓM 28
2.1. Nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.1 Khái niệm nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 Nửa nhóm con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.3 Một số tính chất của nửa nhóm . . . . . . . . . . . . 29
1
2.2. Khái niệm nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Các tính chất cơ bản của nhóm . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Các định nghĩa tương đương của nhóm . . . . . . . . 33
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3. Nhóm con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.1 Định nghĩa và tiêu chuẩn nhóm con . . . . . . . . . . 37
2.3.2 Nhóm con sinh bởi một tập . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.3 Nhóm xyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4. Lớp ghép, Định lý Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.1 Lớp ghép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.2 Định lý Lagrange và các hệ quả . . . . . . . . . . . . 46
2.5. Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương . . . . . . . . . . . . 48
2.5.1 Nhóm con chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5.2 Nhóm thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6. Đồng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.1 Khái niệm đồng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.2 Một số đồng cấu đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6.3 Tính chất cơ bản của đồng cấu nhóm . . . . . . . . . 56
2.6.4 Nhóm các tự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6.5 Định lý đồng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6.6 Các định lý đẳng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6.7 Áp dụng mô tả nhóm thương và nhóm xyclic . . . . . 61
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.7. Nhóm đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.7.1 Khái niệm nhóm đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.7.2 Nhóm các phép thế bậc n. . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.7.3 Nhóm thay phiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2
2.7.4 Nhúng các nhóm vào nhóm đối xứng . . . . . . . . . . 72
2.8. Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các nhóm ......... 73
2.8.1 Trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.8.2 Tích trực tiếp của hai nhóm . . . . . . . . . . . . . . 74
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.9. Đối xứng hóa của một vị nhóm giao hoán ......... 78
2.9.1 Đối xứng hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.9.2 Xây dựng nhóm cộng các số nguyên . . . . . . . . . . 80
2.9.3 Xây dựng nhóm nhân các số hữu tỷ dương . . . . . . . 81
2.9.4 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.9.5 Tính chất của nhóm cộng các số nguyên . . . . . . . . 83
Nội dung thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3 VÀNH, MIỀN NGUYÊN, TRƯỜNG 85
3.1. Khái niệm vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.1.1 Định nghĩa vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.1.3 Các tính chất cơ bản của vành . . . . . . . . . . . . . 87
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2. Vành con, iđêan và vành thương . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2.1 Định nghĩa và tiêu chuẩn vành con . . . . . . . . . . . 90
3.2.2 Định nghĩa và tiêu chuẩn iđêan . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.3 Iđêan sinh bởi một tập, iđêan hữu hạn sinh . . . . . . 92
3.2.4 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại . . . . . . . . . . . . . 93
3.2.5 Vành thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3. Đồng cấu vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.3.1 Khái niệm đồng cấu vành . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.3.2 Các tính chất của đồng cấu vành . . . . . . . . . . . . 100
3.3.3 Định lý đồng cấu vành . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3
3.3.4 Đặc số của vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.4. Miền nguyên, thể và trường . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.4.1 Ước của không, miền nguyên . . . . . . . . . . . . . . 106
3.4.2 Phần tử khả nghịch, thể và trường . . . . . . . . . . . 108
3.4.3 Trường con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.4.4 Một số tính chất về iđêan và đồng cấu trường . . . . . 111
3.4.5 Trường các thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.4.6 Trường các số hữu tỷ Qvà trường các số phức C. . . 114
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Nội dung thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4 Vành chính, vành Euclid và vành nhân tử hóa 121
4.1. Vành chính và vành nhân tử hóa . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.1.1 Tính chất số học trong vành . . . . . . . . . . . . . . 121
4.1.2 Vành chính và sự tồn tại ước chung lớn nhất . . . . . 124
4.1.3 Vành nhân tử hóa và sự phân tích trong vành chính . 126
4.1.4 Một số ví dụ về vành chính và vành nhân tử hóa . . . 128
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.2. Vành Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.2.2 Mối liên hệ giữa vành chính và vành Euclid, thuật toán
Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Nội dung thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5 VÀNH ĐA THỨC 134
5.1. Vành đa thức một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.1.1 Khái niệm đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.1.2 Phép chia với dư, thuật toán Euclid tìm UCLN . . . . 138
5.1.3 Nghiệm của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4