Bản thảo lưu hành nội bộ
Chương 4
Bất phương trình và hệ bất phương
trình
Chương này trình bày về bất phương trình và hệ bất phương trình. Nội
dung của chương gồm các vấn đề về: Khái niệm bất phương trình, hệ bất
phương trình và các phép biến đổi tương đương. Các dạng bất phương
trình cùng các phương pháp giải cơ bản và các ví dụ minh họa cụ thể.
4.1 Bất phương trình và các phép biến đổi tương
đương
4.1.1 Bất phương trình
Định nghĩa 4.1. Cho hai hàm số f(x1, x2,...,xn)và g(x1, x2,...,xn)với
các biến số x1, x2,...,xnvà các hệ số thuộc D. Ta cần tìm (a1, a2,...,an)∈
Dnsao cho f(a1, a2,...,an)< g(a1, a2,...,an)thì ta viết f(x1, x2,...xn)<
g(x1, x2,...xn) (1) và gọi đó là một bất phương trình của nẩn x1, x2,...,xn.
Biểu thức f(x1, x2,...,xn)gọi là vế trái, g(x1, x2, . . . , xn)gọi là vế phải
của bất phương trình.
Bộ (a1, a2,...,an)sao cho f(a1, a2,...,an)< g(a1, a2,...,an)là nghiệm
125
Bản thảo lưu hành nội bộ
của bất phương trình (1).
Việc tìm tất cả (a1, a2,...,an)là nghiệm của (1) gọi là giải bất phương
trình trên D. Ta có M=Df∪Dgvới Df, Dglần lượt là tập xác định của
các hàm số f(x1,...,xn),và g(x1, ..., xn)được gọi là tập xác định của bất
phương trình (1).
Trong định nghĩa trên, dấu <có thể thay bằng ≤, >, ≥.Như vậy ta
có bốn dạng bất phương trình.
Bất phương trình được phân loại tương tự như phương trình.
4.1.2 Bất phương trình tương đương và phép biến đổi tương
đương các bất phương trình
Định nghĩa 4.2. Hai bất phương trình gọi là tương đương nếu tập nghiệm
của chúng trùng nhau.
Định nghĩa 4.3. Một phép biến đổi đưa bất phương trình này về bất
phương trình khác mà không làm thay đổi nghiệm của bất phương trình
đã cho gọi là phép biến đổi tương đương bất phương trình.
Một số phép biến đổi thường gặp
Các định lí trong phần này được chứng minh tương tự như trong phần
phương trình nên ta không chứng minh ở đây.
Định lý 4.1. Thực hiện phép tính ở mỗi vế của bất phương trình thì nhận
được bất phương trình tương đương với bất phương trình đã cho.
Định lý 4.2. Nếu biểu thức H(x1, . . . , xn)xác định trên tập xác định của
bất phương trình F(x1, . . . , xn)< G(x1, . . . , xn) (1) thì bất phương trình
(1) tương đương với bất phương trình
126
Bản thảo lưu hành nội bộ
F(x1, . . . , xn) + H(x1, . . . , xn)< G(x1, . . . , xn) + H(x1, . . . , xn) (2)
Hệ quả 4.1. Có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của bất
phương trình đồng thời đổi dấu của nó thì được bất phương trình mới tương
đương với bất phương trình đã cho.
Định lý 4.3. Nếu biểu thức H(x1, . . . , xn)xác định và luôn luôn dương
(hoặc âm) trên tập xác định của bất phương trình (1) thì bất phương trình
(1) tương đương với bất phương trình
F(x1, . . . , xn).H(x1, . . . , xn)< G(x1, . . . , xn).H(x1, . . . , xn)(2).
hoặc
F(x1, . . . , xn).H(x1, . . . , xn)> G(x1, . . . , xn).H(x1, . . . , xn)(2).
Hệ quả 4.2. Có thể nhân hai vế của một bất phương trình với một số
dương hoặc có thể nhân hai vế của một bất phương trình với một số âm
đồng thời đổi chiều của nó.
4.2 Bất phương trình đa thức
4.2.1 Bất phương trình bậc 1
Xét dấu đa thức bậc một f(x) = ax +b, a 6= 0.
- Nếu x < −b
athì f(x)trái dấu với hệ số a.
- Nếu x > −b
athì f(x)cùng dấu với hệ số a.
Bảng xét dấu
x−∞ −b
a+∞
ax +btrái dấu a0cùng dấu a
127
Bản thảo lưu hành nội bộ
4.2.2 Bất phương trình bậc 2
Xét dấu đa thức bậc hai f(x) = ax2+bx +c, a 6= 0.
Định lý 4.4. (Định lý về dấu của tam thức bậc 2)
i) Nếu ∆<0thì af (x)>0, với mọi x∈R.
ii) Nếu ∆ = 0 thì af(x)>0với mọi x6=−b
a
iii) Nếu ∆>0thì trong khoảng hai nghiệm f(x)trái dấu với a, ngoài
khoảng hai nghiệm f(x)cùng dấu với a.
•So sánh một số αvới các nghiệm của f(x) = ax2+bx +c
i) f(x)có hai nghiệm x1< x2và α∈(x1, x2)khi và chỉ khi af(x)<0.
ii) Nếu af (x)>0thì tính ∆.
- Nếu ∆<0thì f(x)không có nghiệm nên không so sánh.
- Nếu ∆≥0thì αở ngoài khoảng 2 nghiệm.
Tóm lại.
α < x1< x2⇔
∆≥0
af(α)>0
α < −b
2a
α > x1≥x2⇔
∆≥0
af(α)>0
α > −b
2a
•So sánh hai nghiệm của f(x)với 2 số α, β, α < β
Xf(x)có hai nghiệm phân biệt và chỉ có một nghiệm thuộc (α, β).
+Trường hợp 1.
128
Bản thảo lưu hành nội bộ
α < x1< β ≤x2
x1≤α < x2< β ⇔
af(β)<0, af(α)>0
af(α)<0, af(β)>0⇔f(β)f(α)<0
+ Trường hợp 2.
∆ = 0
α < −b
2a< β
Vậy
f(α).f (β)<0
∆ = 0
α < −b
2a< β
Xf(x)có cả 2 nghiệm thuộc (α, β)tức α < x1≤x2< β
Điều này xảy ra khi và chỉ khi
∆≥0
af (α)>0
af (β)>0
α < S
2< β
Xf(x)không có nghiệm nào thuộc (α, β)
129