BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
NGUYỄN VĂN DŨNG
BÀI GIẢNG
CƠ SỞ GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI
ĐỒNG THÁP - 2022
Mục lục
1 Không gian topo và không gian metric 2
1.1 Không gian topo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Liên hệ với nội dung toán sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Không gian định chuẩn 34
2.1 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2 Ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3 Một số lớp không gian định chuẩn thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . 55
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4 Liên hệ với nội dung toán sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3 Không gian Hilbert 67
3.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2 Hệ trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3 Hệ trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4 Liên hệ với nội dung toán sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Tài liệu tham khảo 100
Chỉ mục 100
Chương 1
Không gian topo và không gian
metric
1.1 Không gian topo
Trong toán học, tôpô là chuyên ngành liên quan đến những tính chất của không gian
mà không thay đổi qua những phép biến đổi liên tục, chẳng hạn như các sự biến dạng,
sự xoắn, và sự kéo giãn nhưng ngoại trừ việc xé rách và việc dán dính. Điều này có thể
được nghiên cứu bằng cách xem xét một họ những tập hợp con, được gọi là tập mở,
thỏa mãn những tính chất nào đó và sẽ biến tập hợp đã cho thành một không gian tôpô.
Do đó, tôpô còn được mệnh danh là “hình học của màng cao su”. Các đặc tính đó gọi là
các bất biến tôpô.
Tôpô phát triển như là một chuyên ngành độc lập với hình học và lí thuyết tập hợp,
mặc dù chúng có các khái niệm như không gian, chiều và phép biến đổi. Những ý tưởng
đầu tiên của ngành học này thuộc về Gottfried Leibniz trong thế kỉ 17. Ông đã hình
dung ngành “hình học của vị trí” và “giải tích của nơi chốn”. Những định lí đầu tiên của
tôpô có thể kể đến đó là Bài toán 7 cây cầu và công thức đa diện của Leonhard Euler.
Thuật ngữ tôpô được giới thiệu lần đầu bởi Johann Benedict Listing trong thế kỉ 19.
Tuy nhiên cho đến đầu thế kỉ 20 thì tôpô mới được phát triển. Vào khoảng giữa thế kỉ
20 thì tôpô trở thành một chuyên ngành chính của toán học.
Tôpô có nhiều chuyên ngành hẹp, trong đó tôpô đại cương hay còn gọi là tôpô tập-
điểm, nghiên cứu về những khái niệm và tính chất cơ bản của không gian tôpô và các
khái niệm cơ bản khác. Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu những khái niệm và tính
chất cơ bản của không gian tôpô. Lập luận trong chương này chủ yếu liên quan đến các
phép toán tập hợp. Về các phép toán tập hợp và một số nội dung liên quan, người học
đã được học ở trong các môn học như Nhập môn Toán cao cấp.
2
1.1.1 Định nghĩa (Tôpô).Giả sử tập hợp X=∅và Tlà một họ những tập con của X
thỏa mãn những điều kiện sau.
1. ∅, X ∈ T .
2. Hợp của một họ tùy ý những phần tử thuộc Tlà một phần tử thuộc T, nghĩa là
nếu Gi∈ T , i ∈Ithì Si∈IGi∈ T .
3. Giao của hữu hạn phần tử bất kì thuộc Tlà một phần tử thuộc T, nghĩa là nếu
Gi∈ T ,i= 1, . . . , n thì n
T
i=1
Gi∈ T .Điều này tương đương với nếu A, B ∈ T thì
A∩B∈ T .
Khi đó
1. Tđược gọi là một tôpô (topology) trên X, cặp (X, T)được gọi là một không gian
tôpô (topological space) và còn được viết gọn là X.
2. Mỗi phần tử Gthuộc Tđược gọi là một tập mở (open) của không gian tôpô X;
mỗi phần tử xcủa Xđược gọi là một điểm (point).
3. Tập con Ecủa Xđược gọi là một tập đóng (closed) nếu X\Elà tập mở.
Tiếp theo là một số ví dụ minh họa cho khái niệm trên.
Hình 1.1: Vòng xuyến Mobius, một vật thể được nghiên cứu trong tôpô, là vật thể chỉ
có một mặt và một cạnh
3
1.1.2 Ví dụ. 1. ∅và Xlà những tập mở của mọi không gian tôpô.
2. ∅và Xlà những tập đóng của mọi không gian tôpô.
3. Cho tập hợp X=∅, họ T={∅, X}là một tôpô trên Xvà được gọi là tôpô thô.
4. Cho tập hợp X=∅, họ T=P(X)là một tôpô trên Xvà được gọi là tôpô rời rạc.
5. Cho X=R,họ T={Si∈I(ai, bi) : ai, bi∈R, I bất kì }là một tôpô trên Rvà
được gọi là tôpô thông thường (usual topology) trên R. Trên Rnếu không nói gì
thêm thì ta luôn mặc định tôpô là tôpô thông thường.
6. Cho X=R2,họ T={Si∈IB(ai, ri) : ai= (ai
1, ai
2)∈R2, ri>0, I bất kì }là một
tôpô trên R2và được gọi là tôpô Euclid (Euclidean topology) trên R2, ở đây
B(ai, ri) = nx= (x1, x2)∈R2:q|x1−ai
1|2+|x2−ai
2|2< rio.
Trên R2nếu không nói gì thêm thì ta luôn mặc định tôpô là tôpô Euclid.
Trên mỗi tập hợp có thể trang bị những tôpô khác nhau. Để so sánh hai tôpô trên
cùng một tập hợp chúng ta sử dụng khái niệm sau.
1.1.3 Định nghĩa (So sánh hai tôpô).Giả sử Tvà σlà những tôpô trên X. Tôpô T
được gọi là yếu hơn (weaker) hay thô hơn (coarser) tôpô σnếu T ⊂ σ. Khi đó tôpô σ
cũng được gọi là mạnh hơn (stronger) hay mịn hơn (finer) tôpô T.
1.1.4 Ví dụ. Tôpô thô là tôpô yếu nhất và tôpô rời rạc là tôpô mạnh nhất trên tập
hợp X=∅.
Tính chất sau của tập đóng chính là đối ngẫu với tính chất của tập mở.
1.1.5 Mệnh đề. Kí hiệu Flà họ tất cả các tập con đóng của không gian tôpô (X, T).
Khi đó
1. ∅ ∈ F và X∈ F.
2. Giao của một họ con tùy ý những phần tử thuộc Flà phần tử của F.
3. Hợp của hai phần tử tùy ý của Flà phần tử của F.
4. G∈ T khi và chỉ khi X\G∈ F.
4