BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
NGUYỄN TRUNG HIẾU
TRẦN THỤY HOÀNG YẾN
BÀI GIẢNG
ĐẠI SỐ SƠ CẤP
ĐỒNG THÁP - 2021
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
NGUYỄN TRUNG HIẾU
TRẦN THỤY HOÀNG YẾN
BÀI GIẢNG
ĐẠI SỐ SƠ CẤP
ĐỒNG THÁP - 2021
Mục lục
Lời nói đầu 7
1 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CHIA HẾT TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN 9
1 Dạng toán về chia hết và chia có dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1 Tóm tắt kiến thức về chia hết và chia có dư . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Chia hết và chia có dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Đồng dư thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3 Một số kết quả dùng để chứng minh chia kết . . . . . . . . 12
1.2 Một số phương pháp giải toán chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Phương pháp 1: Sử dụng dấu hiệu chia hết . . . . . . . . . 13
Bàitập...................................... 13
1.2.2 Phương pháp 2: Sử dụng tính chất chia hết . . . . . . . . . 13
Bàitập...................................... 14
1.2.3 Phương pháp 3: Xét tập hợp số dư trong phép chia . . . . . 15
Bàitập...................................... 16
1.2.4 Phương pháp 4: Sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử 16
Bàitập...................................... 16
1.2.5 Phương pháp 5: Biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng
tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Bàitập...................................... 17
1.2.6 Phương pháp 6: Dùng qui nạp toán học . . . . . . . . . . . 18
Bàitập...................................... 18
1
1.2.7 Phương pháp 7: Sử dụng đồng dư thức . . . . . . . . . . . 19
Bàitập...................................... 20
1.2.8 Phương pháp 8: Sử dụng Nguyên lí Dirichlet . . . . . . . . 20
Bàitập...................................... 21
1.2.9 Phương pháp 9: Phương pháp phản chứng . . . . . . . . . 21
Bàitập...................................... 21
1.3 Một số dạng toán liên quan đến chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1 Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết . . . . . . . . . . . 22
Bàitập...................................... 23
1.3.2 Dạng 2: Tìm số dư trong phép chia . . . . . . . . . . . . . 24
Bàitập...................................... 24
1.3.3 Dạng 3: Tìm điều kiện để xảy ra quan hệ chia hết . . . . . 25
Bàitập...................................... 25
2 Dạng toán tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1 Tìm một chữ số tận cùng của một lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . 26
Bàitập...................................... 27
2.2 Tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . 27
Bàitập...................................... 28
2.3 Tìm ba, bốn chữ số tận cùng của một lũy thừa . . . . . . . . . . . . . 28
Bàitập...................................... 29
2 BIẾN ĐỔI HỮU TỈ VÀ BIẾN ĐỔI VÔ TỈ 30
1 Một số dạng toán về biến đổi đồng nhất hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.1 Chứng minh đẳng thức với điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . 30
Bàitập...................................... 31
1.2 Tính giá trị biểu thức với điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . 32
Bàitập...................................... 33
1.3 Một số bài toán chứng minh khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Dạng toán về biến đổi đồng nhất vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2
2.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Một số dạng toán về biến đổi căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Bàitập...................................... 37
3 ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH 43
1 Đa thức một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.1 Một số phương pháp xác định đa thức một ẩn . . . . . . . . . . . . . 43
1.1.1 Phương pháp hệ số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.1.2 Phương pháp xét giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.1.3 Sử dụng Định lí Bơ du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.1.4 Sử dụng sơ đồ Hoocne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Bàitập...................................... 45
1.2 Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức . . . . . . . . . . 45
Bàitập...................................... 46
2 Phương trình bậc hai, Định lí Viét và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1 Giải và biện luận phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Định lí Viét và hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Một số dạng toán ứng dụng hệ thức Viét . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.1 Dạng 1. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn . . 48
2.3.2 Dạng 2. Lập phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.3 Dạng 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng . . . . . . . 49
2.3.4 Dạng 4. Tính giá trị của các biểu thức đối xứng giữa các
nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.5 Dạng 5. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm mà không phụ
thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.6 Dạng 6. Tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức chứa
hai nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.7 Dạng 7. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu
thức chứa hai nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.8 Dạng 8. Liên quan đến dấu các nghiệm của phương trình
bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3