ĐIỀU KHIỂN SỐ MÁY ĐIỆN
1
1
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
TS. Nguyễn Thanh Sơn Viện Điện ĐHBK Hà Nội
Một máy tính số (vi điều khiển hoặc PC) sau khi được lập trình có thể được sử dụng như là một bộ điều khiển số.
2
2
1
1.1 Tổng quan về các hệ thống điều khiển số Các hệ thống điều khiển số hay còn gọi là các hệ thống điều khiển với dữ liệu lấy mẫu làm việc với các tín hiệu rời rạc theo thời gian.
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
3
3
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
1.1 Tổng quan về các hệ thống điều khiển số
r t
1.2 Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu
* ( ) t
r
4
4
2
Một bộ lấy mẫu được xem như là một công tắc đóng lại sau mỗi chu kỳ là T giây. Khi tín hiệu liên tục ký hiệu là , thì tín hiệu rời rạc đầu ra có dạng ký hiệu là
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
1.2 Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu
Một quá trình lấy mẫu lý tưởng có thể xem như là tích của một chuỗi xung delta hay còn gọi là xung đơn vị nhân với tín hiệu tương tự:
*r
t
P t r t
(1.1)
P t
5
5
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
Ở đây là xung delta hay là xung đơn vị.
6
6
3
1.2 Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
1.2 Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu
Xung delta được biểu diễn như sau:
t nT
P t
n
(1.2)
*
r
t nT
Do đó ta có:
t
r t
n
7
7
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
(1.3)
1.2 Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu
*
r
t nT
hoặc:
t
r nT
n
(1.4)
0t
0 r t
*
Khi ta có nên:
r
t nT
t
r nT
0n
8
8
4
(1.5)
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
*
1.2 Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu
r
t nT
t
r nT
0n
(1.5)
pnT
Biến đổi Laplace phương trình (1.5) ta có:
* R p
r nT e
n
0
*r
(1.6)
9
t
9
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
Phương trình (1.6) đặc trưng cho biến đổi Laplace tín hiệu liên tục được lấy mẫu
1.2 Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu
10
10
5
Một hệ thống lấy mẫu và giữ mẫu có thể được xem như là sự kết hợp giữa bộ lấy mẫu và giữ bậc không (Zero Order Hold/ZOH) như trên hình 1.5.
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
1.2 Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu
11
11
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
Một ZOH có khả năng nhớ thông tin cuối cùng cho đến khi thu được một mẫu mới. Đáp ứng xung của một ZOH có dạng như trên hình 1.6.
1.2 Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu
Một ZOH có dạng hàm truyền như sau:
H t H t T
G t
H t
Tp
e
1
(1.7)
G p
(1.8)
e p
p
12
12
6
Ở đây là hàm bước nhảy. Biến đổi Laplace phương trình (1.7) ta có: Tp 1 p
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
1.2 Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu
13
13
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
Một bộ lấy mẫu và giữ bậc không thể hiện gần trung thực tín hiệu tương tự nếu thời gian lấy mẫu T là đủ nhỏ:
pT
1.3 Biến đổi z Toán tử z được định nghĩa như sau:
(1.9)
R z
z e r t
Z r t
n
Biến đổi z của hàm ký hiệu là
R z
r nT z
n
0
14
14
7
(1.10)
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
1
2
3
r
...
(1.11)
R z
r T z
r T z 2
r T z 3
1.3 Biến đổi z Khai triển (1.10) ta có:
0 r nT
Ở đây là các hệ số của chuỗi lũy thừa tại
15
15
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
các thời điểm lấy mẫu khác nhau.
n
0
r nT
1
n
0
n
n
1
2
3
z
z
z
z
...
1
R z
r nT z
n
0
n
0
1.3 Biến đổi z 1.3.1 Hàm bước đơn vị: được định nghĩa như sau 0
R z
1z
16
z
z 1
16
8
với
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
0
n
0
r nT
nT n
0
n
n
1
2
3
nTz
Tz
2
Tz
3
Tz
...
R z
r nT z
n
0
n
0
1z
1.3 Biến đổi z 1.3.2 Hàm dốc: được định nghĩa như sau
R z
17
z
Tz 21
17
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
n
0
r nT
0 anT e
0
n
với
n
anT
n
1
2
aT
2
3
aT
3
e
z
aT e z
e
z
e
z
...
1
R z
r nT z
n
0
n
0
1.3 Biến đổi z 1.3.3 Hàm mũ: được định nghĩa như sau
1z
R z
1
aT
1 aT e z
1
z z e
18
18
9
với
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
n
0
r n
0 n
p
n
0
n
n
1
2
3
n p z
pz
2 p z
3 p z
...
1
R z
r nT z
n
0
n
0
z
p
1.3 Biến đổi z 1.3.4 Hàm mũ tổng quát: được định nghĩa như sau
R z
19
z z p
19
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
với
r nT
0 0
n 0 n n T
sin
1.3 Biến đổi z 1.3.5 Hàm sin: được định nghĩa như sau
jx
jx e
x sin( )
e 2 j
20
20
10
Trước tiên ta có:
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
jn T
jn T
jn T
jn T
e
e
r nT
2
e j
e 2
j
2
j
1.3 Biến đổi z Cho nên
anT
R z
aT
R e
z z e
21
21
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
Mặt khác ta đã biết biến đổi z của một hàm mũ
1.3 Biến đổi z
j T
j T
e
R z
j T
j T
j T
j T
1 1 j z e 2
1 z e
e
1
z e z e
1 2 j z 2
Cho nên ta có
z sin
R z
1
2 z
T T z 2 cos
22
22
11
hay
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
r nT
0 0
0 n n n T cos
1.3 Biến đổi z 1.3.5 Hàm cos: được định nghĩa như sau
jx
jx e
x cos( )
e 2
23
23
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
Trước tiên ta có
1.3 Biến đổi z
jn T
jn T
jn T
jn T
e
e
e
e
r nT
2
2
2
Cho nên
anT
R z
aT
Mặt khác ta biết biến đổi z của hàm mũ
R e
z z e
24
24
12
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
1.3 Biến đổi z
j T
1 R z 2
1 z e
1 j T z e
Áp dụng trong trường hợp này ta có
R z
1
z z 2 z
T cos T z 2 cos
25
25
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
hay
n
1 0
n n
0 0
n
n
z
1
R z
r nT z
n
0
n
0
26
26
13
1.3 Biến đổi z 1.3.6 Hàm xung rời rạc: được định nghĩa như sau
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
1.3 Biến đổi z 1.3.7 Hàm xung rời rạc có trễ: được định nghĩa
1
0
n k
n k
như sau
0
n k
n
n
n
z
z
R z
r nT z
n
0
n
0
27
27
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
28
28
14
1.3 Biến đổi z 1.3.8 Bảng biến đổi z của các hàm thông dụng (1)
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
29
29
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
1.3 Biến đổi z 1.3.8 Bảng biến đổi z của các hàm thông dụng (2)
30
30
15
1.3 Biến đổi z 1.3.8 Bảng biến đổi z của các hàm thông dụng (3)
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
G p
1 5
2 p
p
6
1.3 Biến đổi z Ví dụ: Cho biến đổi Laplace của hàm dưới đây
31
31
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
Xác định biến đổi z tương đương sử dụng bảng biến đổi z.
G p
p
p
2
p
2
p
3
1
1
1 3
1.3 Biến đổi z
Mặt khác ta có theo bảng biến đổi z ta có
aT
z z e
1 p a
32
32
16
Biến đổi z
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
1.3 Biến đổi z
2T
1 2p
Biến đổi z
3T
1 3p
T
2
3
T
e
G z
2
T
3
T
T
2
3
T
z z e
z z e
z z e z z e z e z e
z e
33
33
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
Biến đổi z
1.4 Biến đổi z ngược Biến đổi z ngược tương tự như biến đổi Laplace
Bằng phép biến đổi z ngược, chúng ta có thể tìm được chuỗi kết hợp với đa thức biến đổi z đã cho.
Khi xác định được biến đổi z ngược, chúng ta quan tâm đến đáp ứng thời gian của từ
y t
Y z
34
34
17
ngược.
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
Y z
1.4 Biến đổi z ngược
Phương pháp tích phân đảo.
35
35
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
Chúng ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau đây để tìm biến đổi z ngược: Phương pháp chuỗi lũy thừa (chia dài). Phương pháp khai triển thành các phân số từng phần và sử dụng bảng biến đổi z để biến đổi z ngược.
Y z
y nT
y t
1.4 Biến đổi z ngược
t nT
y t
y nT
0n
36
36
18
Đối với một hàm biến đổi z cho trước chúng ta có thể xác định được các hệ số của chuỗi tổ hợp tại các thời điểm lấy mẫu khác nhau bằng biến đổi z ngược. Hàm thời gian khi đó được xác định như sau:
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
1.4 Biến đổi z ngược
2
Y z
z
2
z 2 3 z
z
37
37
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
Ví dụ: Tìm biến đổi z ngược của đa thức sau:
1.4 Biến đổi z ngược
38
38
19
Lời giải: Chia mẫu số của hàm cho tử số ta có
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
1.4 Biến đổi z ngược
39
39
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
t
2
T
t
3
T
...
Hệ số của chuỗi lũy thừa như sau:
8
t
8
40
40
20
1.4 Biến đổi z ngược y t Hàm thời gian có dạng: t T y t 4
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
1.4 Biến đổi z ngược
41
41
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
Nhược điểm của phương pháp chuỗi lũy thừa là phương pháp này không đưa đến dạng biến đổi z ngược chính xác cần tìm. Khi đó chúng ta cần phải sử dụng phương pháp khác như phương pháp khai triển thành các phân số riêng.
y z
1.4 Biến đổi z ngược
y z
42
42
21
Tương tự như kỹ thuật biến đổi Laplace ngược, một hàm có thể được khai triển bằng các phân số riêng. Sau đó chúng ta dùng bảng biến đổi z của các hàm thông dụng để tìm biến đổi z ngược. Để thuận tiện chúng ta tìm biến đổi z / y z z ngược của các phân số riêng của hàm z và sau đó nhân các phân số riêng này với để xác định được .
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
1.4 Biến đổi z ngược
y z
z
z
2
z 1
y z z
z
z
2
z
1
z
2
A
B
1 1
43
43
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
Ví dụ: Tìm biến đổi z ngược của hàm sau
A
2
2
1
A B
B Các giá trị của và được xác định như sau
A B z
B z
A z
1
1B
1
A Dễ dàng suy ra và do đó
Y z
Y z z
z
2
1 z 1
1
z
2
z z 1
z
44
44
22
1.4 Biến đổi z ngược
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
1.4 Biến đổi z ngược
n R a
z z a
Mặt khác ta có
1 2n
y nT
45
45
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
Cho nên
1.4 Biến đổi z ngược
0
y
0
1
3
7
15
46
y T y T 2 y T 3 y T 4 ...
46
23
Ta có các hệ số của chuỗi lũy thừa như sau
Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z
t
2
T
t
3
T
15
t
t T
Hàm thời gian có dạng như sau:
y t
7
T 4 ...
47
47
24
1.4 Biến đổi z ngược y t 3
