Dự báo sử dụng mô hình chuỗi thời gian (Time Series Models for Forecasting)
Hồi qui với biến trễ
Regression with distributed lags
Nguyễn Ngọc Anh Trung tâm Nghiên cứu Chính sách và Phát triển
Nguyễn Việt Cường Đại học Kinh tế Quốc dân
Economics 20 - Prof. Anderson 1
Giới thiệu
Chúng ta ở trong các bài trước, xem xét mô hình hồi qui, sử dụng cho cả dữ liệu chéo, lẫn dữ liệu chuỗi thời gian. Tuy nhiên, chúng ta ở đây lại thường quan tâm đến những biến số thay đổi theo thời gian, chứ không phải là những biến thay đổi theo các cá nhân Mô hình hồi qui tĩnh cho ta biết quan hệ giữa các chuỗi thời gian. Ở đây, tác động của một biến X lên một biến Y được giả thiết là chỉ có tác động trong cùng thời kỳ.
Economics 20 - Prof. Anderson 2
Mô hình động
Tác động mang tính động (Dynamic effects) (cid:132) Chính sách cần có thời gian mới có tác dụng (cid:132) Mức độ cũng như tính chất của tác động có thể
thay đổi theo thời gian
(cid:132) Tác động thường xuyên (Permanent) và tác
động tạm thời (Temporary effects.)
Economics 20 - Prof. Anderson 3
Trong kinh tế học vĩ mô (cid:132) Tác động của tiền tệ M đối với Y (GDP) trong
ngắn hạn có thể khác với trong dài hạn
Y
time
Người ta thường gọi là hàm phản ứng (impulse response function) (cid:132) Tăng cung tiền trong một năm ở năm thứ (cid:132) Sau đó sẽ quay trở lại bình thường, không tăng M
nữa
(cid:132) Điều gì sẽ xảy ra với Y
Economics 20 - Prof. Anderson 4
Phân bổ trễ (Distributed Lag) Tác động được phân bổ theo thời gian (Effect is distributed through time) (cid:132) Hàm tiêu dùng : Tác động của thu nhập cũng
thay đổi theo thời gian
(cid:132) Tác động của thuế thu nhập đối với GDP sẽ có
độ trễ
(cid:132) Tác động của chính sách tiền tệ với SX cũng
qua thời gian yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + et
)
t
=
β i
( yE δ x δ t
i
−
Economics 20 - Prof. Anderson 5
Tác động phân bổ trễ
Tác động tại Thời điểm t+2
Tác động tại Thời điểm t
Tác động tại Thời điểm t+1
Hoạt động kinh tế tại các thời điểm t
Economics 20 - Prof. Anderson 6
Tác động phân bổ trễ
Tác động tại thời điểm t
Hoạt động kinh tế tại thời điểm t
Hoạt động kinh tế tại thời điểm t-2
Hoạt động kinh tế tại thời điểm t-1
Economics 20 - Prof. Anderson 7
Hai câu hỏi
1. Trễ bao lâu (How far back)?
- Độ trễ là bao lâu ? - Trễ hữu hạn hay vô hạn
2.
Liệu các hệ số có nên bị hạn chế hay không
(restricted)?
- Điều chỉnh (smooth adjustment) - Hay để số liệu quyết định (let the data
decide)
Economics 20 - Prof. Anderson 8
1. Phân bổ trễ hữu hạn không hạn chế (Unrestricted Finite DL)
Hữu hạn: biến động của một biến số chỉ có tác động lên một biến khác trong một khoảng thời gian cố định (cid:132) Ví dụ: Tác độngc của CS tiền tệ thường có tác
động lên GDP khoảng 18 tháng
(cid:132) Độ trễ được giả thiết là biết một cách chắc chắn Không hạn chế (Unrestricted - unstructured) (cid:132) Tác động ở giai đoạn t+1 không có quan hệ với
tác động ở giai đoạn t
Economics 20 - Prof. Anderson 9
yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + . . . + βn xt-n + et
Có n độ trễ không hạn chế (unstructured lags)
Không có một dạng cấu trúc (systematic structure)
nào đối với các β’s
Các tham số β’s không bị hạn chế (ràng buộc - restricted)
Có thể sử dụng OLS: sẽ cho ta các ước lượng nhất quán (consistent) và không trệch
Economics 20 - Prof. Anderson 10
Những vấn đề nảy sinh
1. Ta sẽ mất n quan sát khi độ trễ là n
(cid:138) Số liệu từ năm 1960, giả sử có độ trễ là 5 thời kỳ, tức là
thời điểm sớm nhất có thể sử dụng trong mô hình hồi qui là năm 1965
(cid:138) Mất độ tự do (đưa thêm biến trễ (cid:198) mất độ tự do)
2. Vấn đề đa cộng tuyên giữa các biến trễ xt-j (cid:138) xt rất giống với xt-1 (cid:198) ít thông tin độc lập (cid:138) Ước lượng không chính xác (xem bài trước) (cid:138) Độ lệch chuẩn của ước lượng là lớn, kiểm định t có giá
trị thấp
(cid:138) Kiểm định giả thuyết là khó khăn (uncertain)
Economics 20 - Prof. Anderson 11
Những vấn đề nảy sinh
3. Có thể có nhiều biến trễ thì sao?
(cid:138) Mất nhiều độ tự do
4. Có thể ước lượng chính xác hơn nếu xây
dựng một số cấu trúc trong mô hình
Economics 20 - Prof. Anderson 12
Trễ số học
Độ trễ vẫn hữu hạn : Tác động của X cuối cùng sẽ bằng 0 Các hệ số không độc lập với nhau (cid:132) Tác động của mỗi bước trễ sẽ nhỏ dần đi (cid:132) VD: Chính sách tiền tệ của năm 1995 sẽ tác
động tới GDP của năm 1998 ít hơn chính sách tiền tệ của năm 1996
Economics 20 - Prof. Anderson 13
2. Trễ số học
βi
β0 = (n+1)γ
.
.
.
linear
lag
structure
β1 = nγ β2 = (n-1)γ . . . βn = γ
0 1 2
.
. .
. . . n n+1
i
Economics 20 - Prof. Anderson 14
Trễ số học
yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + . . . + βn xt-n + et
Áp đặt quan hệ:
βiι = (n - i+ 1) γ
β0 = (n+1) γ β1 = n γ β2 = (n-1) γ β3 = (n-2) γ . . βn-2 = 3 γ βn-1 = 2 γ βn = γ
Chỉ cần ước lượng 1 tham số , γ , Thay vì n+1 tham số , β0 , ... , βn .
Economics 20 - Prof. Anderson 15
Giả sử X là cung tiền ( dạng log) và Y là GDP (dạng log), n=12 và γ được ước lượng có giá trị là 0.1 Tác động của x thayđổi đối với GDP trong giai đoạn hiện tại sẽ là β0=(n+1)γ=1.3 Tác động của CS tiền tệ một năm sauđ ó sẽ là β1=nγ=1.2 n năm sauđ ó,tác động sẽ là βn= γ=0.1 Sau n+1 năm, tác động sẽ là 0
)
t
=
β i
( yE δ x δ t
i
−
Economics 20 - Prof. Anderson 16
Ước lượng
Ước lượng sử dụng OLS Chỉ cần ước lượng một tham số : γ Phải biến đổi một chút để viết mô hình dưới dạng có thể ước lượng được
Economics 20 - Prof. Anderson 17
yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + . . . + βn xt-n + et
Bước 1: Áp đặt ràng buộc: βι = (n - i+ 1) γ
yt = α + (n+1) γxt + n γxt-1 + (n-1) γxt-2 + . . . + γxt-n + et
Bước 2: Bóc tác tham số, γ .
yt = α + γ [(n+1)xt + nxt-1 + (n-1)xt-2 + . . . + xt-n] + et
Economics 20 - Prof. Anderson 18
Bước 3: Xác định zt .
zt = [(n+1)xt + nxt-1 + (n-1)xt-2 + . . . + xt-n]
Bước 4: Xác định độ trễ , n. Với n = 4: zt = [ 5xt + 4xt-1 + 3xt-2 + 2xt-3 + xt-4]
Bước 5: Chạy OLS :
yt = α + γ zt + et
Economics 20 - Prof. Anderson 19
Ưu/ nhược điểm
Ít tham số phải ước lượng (chỉ một tham số) hơn so với mô hình không hạn chế/ràng buộc (cid:132) Sai số chuẩn thấp (cid:132) T cao (cid:132) Kiểm định tốt Nhưng nếu các ràng buộc không đúng thì sao? (cid:132) Ước lượng sẽ bị trệch Ràng buộc tuyến tính có thực tế không? (cid:132) Xem xét mô hình không hạn chế để đánh giá (cid:132) Tiến hành kiểm định F
Economics 20 - Prof. Anderson 20
Kiểm định F Ước lượng mô hình không ràng buộc (unrestricted model) Ước lượng mô hình có ràng buộc (arithmetic lag) Tính toán chỉ số F
(
SSE
/)
df
1
F
=
R − SSE
SSE /
U df
U
2
Economics 20 - Prof. Anderson 21
So sánh với giá trị F tới hạn F(df1,df2) (cid:132) df1=n số ràng buộc/hạn chế (number of
restrictions) (cid:138) Số bê ta trừ đi số gamma = (n+1)-1
(cid:132) df2=số quan sát – số biến trong mô hình không
bị ràng buộc (kể cả intercept)
(cid:132) df2=(T-n)-(n+2)
Economics 20 - Prof. Anderson 22
3. Phân bổ trễ số mũ
Ràng buộc tuyến tính có thể là quá cứng nhắc Muốn có dạng lồi Ràng buộc số mũ (Polynomial – quadratic hoặc cao hơn)
)
t
=
β i
βi = γ0 + γ1i + γ2i2
( yE δ x δ t
i
−
Economics 20 - Prof. Anderson 23
Phân bổ trễ số mũ (Polynomial Lag)
βi
β2
β1
β3
.
.
.
β0
.
β4
.
0 1 2 3 4
i
Economics 20 - Prof. Anderson 24
Tương tự như mô hình trễ số học (cid:132) Chỉ có hình dáng của dạng hàm phản ứng là
khác (impulse response function)
Vẫn hữu hạn : Tác động của X cuối cùng sẽ bằng 0 Các hệ số có quan hệ với nhau (cid:132) Tác động của mỗi bước trễ không nhất thiết sẽ nhỏ hơn bước trễ trước (not uniform decline)
Economics 20 - Prof. Anderson 25
Ước lượng Sử dụng OLS Chỉ cần ước lượng một tham số : γ (cid:132) Số lượng tham số bằng với bậc số mũ (number of parameters is equal to degree of polynomial)
Phải thực hiện một số biến đổi để mô hình có dạng ước lượng được . (cid:132) Mô hình này trở thành dạng mô hình số học
(arithmetic) nếu bậc mũ là 1 OLS với mô hình đã biến đổi
Economics 20 - Prof. Anderson 26
n = Độ trễ p = Bậc mũ
2
Trong đó i = 1, . . . , n
p βi = γ0 + γ1i + γ2i +...+ γpi
Ví dụ: Mô hình mũ bậc 2
βi = γ0 + γ1i + γ2i2
β0 = γ0 β1 = γ0 + γ1 + γ2 β2 = γ0 + 2γ1 + 4γ2 β3 = γ0 + 3γ1 + 9γ2 β4 = γ0 + 4γ1 + 16γ2
i = 1, . . . , n p = 2 và n = 4
Economics 20 - Prof. Anderson 27
yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + β3 xt-3 + β4 xt-4 + et
2
Bước 1: Áp đặt ràng buộc: βi = γ0 + γ1i + γ2i yt = α + γ0 xt + (γ0 + γ1 + γ2)xt-1 + (γ0 + 2γ1 + 4γ2)xt-2
+ (γ0 + 3γ1 + 9γ2)xt-3+ (γ0 + 4γ1 + 16γ2)xt-4 + et
Bước 2: Bóc tác các tham số: γ0, γ1, γ2.
yt = α + γ0 [xt + xt-1 + xt-2 + xt-3 + xt-4]
+ γ1 [xt-1 + 2xt-2 + 3xt-3 + 4xt-4] + γ2 [xt-1 + 4xt-2 + 9xt-3 + 16xt-4] + et
Economics 20 - Prof. Anderson 28
yt = α + γ0 [xt + xt-1 + xt-2 + xt-3 + xt-4]
+ γ1 [xt-1 + 2xt-2 + 3xt-3 + 4xt-4] + γ2 [xt-1 + 4xt-2 + 9xt-3 + 16xt-4] + et
Bước 3: xác định zt0 , zt1 and zt2 for γ0 , γ1 , and γ2.
zt0 = [xt + xt-1 + xt-2 + xt-3 + xt-4]
zt1 = [xt-1 + 2xt-2 + 3xt-3 + 4xt- 4 ]
zt2 = [xt-1 + 4xt-2 + 9xt-3 + 16xt- 4]
Economics 20 - Prof. Anderson 29
Bước 4: OLS
yt = α + γ0 zt0 + γ1 zt1 + γ2 zt2 + et
Bước 5: Biểu diễn
^ βi dưới dạng của
^ ^ γ0 , γ1 , và
^ γ2.
^
^
^
^
^
^
^
^ ^ β0 = γ0 ^ ^ ^ β1 = γ0 + γ1 + γ2 ^ ^ β2 = γ0 + 2γ1 + 4γ2 ^ ^ β3 = γ0 + 3γ1 + 9γ2 ^ ^ β4 = γ0 + 4γ1 + 16γ2
Economics 20 - Prof. Anderson 30
Ưu nhược điểm
Ít tham số để ước lượng (cid:132) Chính xác hơn Nhưng nếu ràng buộc không chính xác thì sao? (cid:132) Ước lượng trêch Liệu ước lượng mũ có đúng khổng? (cid:132) Linh hoạt hơn trễ số học Nếu chỉ xấp xỉ đúng ? Kiểm định (cid:198) F test
Economics 20 - Prof. Anderson 31
Kiểm định F
Ước lượng mô hình không hạn chế Ước lượng mô hình hạn chế (polynomial lag model)
Tính toán con số kiểm định thống kê như trước So sánh với giá trị tới hạn F(df1,df2) (cid:132) df1=số ràng buộc = số các β trừ đi số γ=(n+1)−
(p+1)
(cid:132) df2=số quan sát – số lượng các biến trong mô hình
không ràng buộc (kể cả intercept)
(cid:132) df2=(T-n)-(n+2)
Economics 20 - Prof. Anderson 32
Độ trễ
Với cả 03 mô hình vừa nêu, ta cần phải chọn độ trễ (lag length) Có thể coi như là chọn điểm cắt mà (cid:132) Sau đó biến số không còn tác động (cid:132) VD: CS tiền tệ không còn tác động tới GDP sau
2 năm
Không có tiêu chí thỏa đáng để chọn lựa điều này
Có nên cho độ trễ n là vô hạn hay không?
Economics 20 - Prof. Anderson 33
Tiêu chí chọn độ trễ (Lag-Length Criteria)
ln
A I C
=
+
n N
2 ) N
S S E T −
n
)
+
T N −
(
SC n ( )
ln
=
+
Tiêu chí Akaike’s AIC criterion n 2 ( + T − Tiêu chí Schwarz’s SC criterion )2 ln( T N −
SSE n T N −
Với mỗi tiêu chí ở trên, ta chọn bước trễ sao cho các tiêu chí trên là nhỏ nhất. Vì khi đưa thêm biến trễ vào sẽ làm giảm SSE, nên phần thứ 2 của mỗi tiêu chí là một penalty function đối với việc đưa thêm biến trễ vào mô hình
Economics 20 - Prof. Anderson 34
Tóm tắt
1. Trễ bao lâu??
- Độ trễ là khoảng bao lâu thì phù ? - Không có câu trả lời (no good answer)
2. Liệu các tham số có nên bị ràng buộc không? - Thể hiện qua số liệu - Số học hay số mũ -Bậc của số mũ
Economics 20 - Prof. Anderson 35
4. Mô hình trễ Geometric
Có độ trễ dài vô hạn Nhưng chúng ta không thể ước lượng một số lượng vô hạn các tham số Buộc các hệ số của biến trễ phải tuân thủ một trật tự nhất định (cid:132) Ước lượng các tham số cho trật tự/cấu trúc này. Đối với dạng mô hình trễ geometric thì cấu trúc của độ trễ sẽ có dạng giảm liên tục với tốc độ giảm dần.
Economics 20 - Prof. Anderson 36
Cấu trúc độ trễ của mô hình geometric
βi
β0 = β
.
geometrically declining
weights
β1 = β φ
.
.
.
β2 = β φ2 β3 = β φ3 β4 = β φ4
.
0 1 2 3 4
i
Economics 20 - Prof. Anderson 37
Ước lượng
Không thể ước lượng dùng OLS Chỉ cần ước lượng hai tham số : φ,β Phải biến đổi để biểu diễn mô hình dưới dạng thức có thể ước lượng được Sau đó sử dụng biến đổi Koyck (Koyck transformation) Sau đó sử dụng bình phương cực tiểu hai bước (2SLS)
Economics 20 - Prof. Anderson 38
Mô hình phân bổ trễ vô hạn:
yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + . . . + et
∞ yt = α + Σ βi xt-i + et
i=0
Cấu trúc trế có dạng geometric:
where 0<φ< 1 and βφi > 0 .
βi = β φi
Economics 20 - Prof. Anderson 39
Trễ vô hạn không cấu trúc :
yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + β3 xt-3 + . . . + et
thay thế βi = β φi
β0 = β β1 = β φ β2 = β φ2 β3 = β φ3 . ..
Trễ geometric vô hạn (infinite geometric lag):
yt = α + β(xt + φ xt-1 + φ2 xt-2 + φ3 xt-3 + . . .) + et
Economics 20 - Prof. Anderson 40
Phản ứng động (Dynamic Response):
yt = α + β(xt + φ xt-1 + φ2 xt-2 + φ3 xt-3 + . . .) + et
Số nhân tác động (impact multiplier) :
β
Số nhân giữa kỳ (ví dụ 3 kỳ) (interim multiplier) :
β + β φ + β φ2
Số nhân dài hạn :
β(1 + φ + φ2 + φ3 + . . . ) =
β 1− φ
Economics 20 - Prof. Anderson 41
Biến đổi Koyck (Koyck Transformation)
Trễ tất cả các toán tử một bậc, nhân với φ, và sau đó lấy mô hình gốc trừ đi
yt = α + β(xt + φ xt-1 + φ2 xt-2 + φ3 xt-3 + . . .) + et
φ yt-1 = φ α + β(φ xt-1 + φ2 xt-2 + φ3 xt-3 + . . .) + φ et-1
yt − φ yt-1 = α(1− φ) + βxt + (et − φet-1)
yt = α(1− φ) + φ yt-1 + βxt + (et − φet-1)
yt = δ1 + δ2 yt-1 + δ3xt + νt
Economics 20 - Prof. Anderson 42
Cần sử dụng 2SLS
yt-1 độc lập với et-1 (xem mô hình) Nhưng yt-1 lại có tương quan với vt-1 Như vậy OLS sẽ không phù hợp (cid:132) OLS không thể phân biệt giữa những thay đổi
của yt do yt-1 gây ra với những thay đổi do vt gây ra
(cid:132) OLS sẽ coi những thay đổi của vt như là
những thay đổi của yt-1
Economics 20 - Prof. Anderson 43
Sử dụng 2SLS
1. Hồi qui yt-1 lên xt-1 và tính giá trị ước
lượng của yt-1 (fitted value)
2. Sử dụng giá trị ước lượng của yt-1 trong mô hình hồi qui Koyck regression
=
+
y t
δδ + 1 2
x t
v t
ˆ δ y + t 1 3 −
Economics 20 - Prof. Anderson 44
Sao lại thế nhỉ? (cid:132) Từ mô hình hồi qui bước 1, giá trị ươc lượng
yt-1 không còn tương quan với et-1 trong khi đó yt-1 thì có tương quan
(cid:132) Như vậy giá trị ước lượng (fitted value) yt-1
không còn tương quan với vt =(et -et-1 )
2SLS sẽ cho kết quả ước lượng nhất quán (consistent) của mô hình phân bổ trễ Geometric (Geometric Lag Model)
Economics 20 - Prof. Anderson 45
Mô hình kỳ vọng điều chỉnh dần (Adaptive Expectations Model)
Một dạng mô hình của mô hình biến trễ geometric Nếu chúng ta giả thiết rằng các cá nhân có kỳ vọng ở dạng điều chỉnh dần (adaptive expectation) thì mô hình biến trễ geometric là phù hợp Giả thiết về kỳ vọng (cid:132) Kỳ vọng được xác lập trên kinh nghiệm quá khứ (cid:132) Kỳ vọng được điều chỉnh dựa trên những sai lầm của
quá khứ
Kỳ vọng điểu chỉnh này không phù hợp với giả thuyết về kỳ vọng hợp lý (rational expectations)
Economics 20 - Prof. Anderson 46
Ví dụ: Cầu tiền tệ
yt = α + β x*t + et
yt = Cầu tiền tệ x*t = lãi suất kỳ vọng
(x*t không quan sát được)
Điều chỉnh kỳ vọng dựa trên các sai lầm của quá khứ :
x*t - x*t-1 = λ (xt-1 - x*t-1)
Economics 20 - Prof. Anderson 47
Biến đổi một chút để có thể tiến hànhướ c lượng
x*t - x*t-1 = λ (xt-1 - x*t-1)
Cho x*t về một phía
x*t = λ xt-1 + (1- λ) x*t-1
or
λ xt-1 = [x*t - (1- λ) x*t-1]
Economics 20 - Prof. Anderson 48
Lấy mô hình ban đầu, trễ một bước và nhân với (1− λ)
yt = α + β x*t + et (1)
(1− λ)yt-1 = (1− λ)α + (1− λ)β x*t-1 + (1− λ)et-1 (2)
Trừ đi, ta có
yt = αλ - (1− λ)yt-1+ β [x*t - (1− λ)x*t-1]
+ et - (1− λ)et-1
Economics 20 - Prof. Anderson 49
Thay λ xt-1 = [x*t - (1- λ) x*t-1] vào ta có
yt = αλ - (1− λ)yt-1+ βλxt-1 + ut Trong đó ut = et - (1− λ)et-1
Đây chính là mô hình phân bổ trễ mà φ=(1−λ) Chúng ta có thể ước lượng mô hình này băng 2SLS
Economics 20 - Prof. Anderson 50
Ví dụ: hàm tiêu dùng
+=
+
c t
*βα y t
e t
C là tiêu dùng, Y* là thu nhập kỳ vọng trong tương lai (cid:132) Để quyết định mức tiêu dùng, các cá nhân phải dự đoán về thu nhập trong tương lai của mình Nếu người tađ iều chỉnh kỳ vọng theo giả thuyết điều chỉnh dần
y
y
y
y
)
−
=
( λ
−
* t
t
* 1 t −
1 −
* 1 t −
Economics 20 - Prof. Anderson 51
y
+
=
+
Thay vào ta sẽ có dạng δδ δ + 3 2
c t
c t
1
t
v t
1 −
1 −
=
λα 1
λ
=
=
δ 1 δ 2 δ 3 v
e
=
t
1
t
− βλ e −− t
a
=
+
+
Sử dụng 2SLS (cid:132) Ước lượng bằn OLS:
c t
0
ya 1
t
e t
−1
(cid:132) Sử dụng
thay cho
1−tc
1ˆ −tc
Economics 20 - Prof. Anderson 52
Mô hình điều chỉnh dần
Một dạng khác của mô hình điều chỉnh dần Giả thiết rằng các cá nhân điều chỉnh mọi thứ dần dần (cid:132) Việc điều chỉnh có thể tốn kém, nên không điều
chỉnh ngay
Ví dụ : Hàn trong kho của các công ty
y*t = α + β xt + et
Economics 20 - Prof. Anderson 53
Hàng trong kho sẽ được điều chỉnh dần tới mức tối ưu
yt - yt-1 = γ (y*t - yt-1) Tham số γ cho biết tỷ lệ chênh lệch giữa con số thực tế và con số mong muốn điều chỉnh Việc điều chỉnh ngay lập tức có thể có tốn kém Mô hình trên rất giống, nhưng không giống tuyệt đối mô hình kỳ vọng điều chỉnh dần (AE model)
Economics 20 - Prof. Anderson 54
Biến đổi một chút yt - yt-1 = γ (y*t - yt-1)
= γ (α + βxt + et - yt-1) = γα + γβxt - γyt-1+ γet
Tìm yt :
yt = γα + (1 - γ)yt-1 + γβxt + γet
Economics 20 - Prof. Anderson 55
Kết luận
Trong bài giảng này ta đã xem xét mô hình phân bổ trễ Một bước tiến so với mô hình tĩnh Nhưng nói chung, mô hình vẫn giả thiết rằng chúng ta vẫn có số liệu là cân bằng (stationary processes.) Việc dãy số không cân bằng sẽ được xem xét tiếp trong các phần tiếp sau
Economics 20 - Prof. Anderson 56
