intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Giải tích: Chương 5 - Phan Trung Hiếu (2019)

Chia sẻ: Minh Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST
Báo xấu
68
lượt xem 7
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích - Chương 5: Ứng dụng của tích phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Mức biến thiên, tính diện tích hình phẳng, tính thể tích vật thể, tính độ dài của cung, tính diện tích mặt tròn xoay. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích: Chương 5 - Phan Trung Hiếu (2019)

  1. 10/31/2018 Chương 5: Ứng dụng của tích phân GV. Phan Trung Hiếu §1. Mức biến thiên §1. Mức biến thiên §2. Tính diện tích hình phẳng §3. Tính thể tích vật thể §4. Tính độLOG dài của cung O tích mặt tròn xoay §5. Tính diện 2 Ví dụ 5.1: Tốc độ thay đổi dân số của một thành phố A I. Mức biến thiên: được mô hình bởi Chúng ta biết rằng F’ (x) là tốc độ biến thiên P '(t )  11,7.e 0,026 t (nghìn người/năm) của y = F(x) theo x. Khi đó, mức biến thiên của trong đó t là thời gian (năm) kể từ năm 1960 và P là dân số (nghìn người). Biết rằng, năm 1980, thành phố A y khi x biến thiên từ a đến b là có 790.000 người. b a) Tìm P(t). F( b)  F ( a)   F ( x )dx b) Tìm dân số của thành phố A vào năm 2012. a 3 4 I. Hình thang cong trong tọa độ Descartes: Bài toán: Tính diện tích hình thang cong abBA giới hạn bởi trục hoành, đồ thị hàm y = f(x) và hai đường thẳng x = a, x = b. §2. Tính diện tích hình phẳng Định lý 2.1: Tích phân của một hàm không âm f liên tục trên [a,b] cũng có thể coi như là diện tích S của hình thang cong abBA giới hạn bởi trục hoành, đồ thị hàm y = f(x) và hai đường thẳng x = a, x = b, nghĩa là b S   f ( x )dx , f ( x )  0, x  [a, b]. a 5 6 1
  2. 10/31/2018 Ví dụ 2.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn Ví dụ 2.3: Đồ thị của hàm số f được cho bởi bởi đường cong y  x 2 , trục hoành, hai đường hình vẽ dưới đây. thẳng x = 0 và x = 1. Hệ quả 2.2: Nếu f liên tục trên [a,b] thì b S   f ( x ) dx a Ví dụ 2.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = sinx, trục Ox, x = 0 và x = 2 Tính các tích phân sau 2 5 7 9 a) f ( x )dx b) f ( x )dx c)  f ( x )dx d ) f ( x )dx 0 0 5 0 7 8 Hệ quả 2.3: Nếu hình phẳng giới hạn bởi hai đường Hệ quả 2.4: Nếu hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a và x = b cong x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng thì y = c và y = d thì b d S   f ( x )  g( x ) dx S   f ( y )  g( y ) dy a c 3 Ví dụ 2.4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x Ví dụ 2.6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi và y  x trên [-1;1]. parabol y 2  2 x  6 và đường thẳng y  x 1. Ví dụ 2.5: Tính diện tích của Ví dụ 2.7: Tính diện tích của miền được tô màu miền được tô màu 9 10 II. Hình thang cong cho bởi hàm phụ thuộc tham số: III. Hệ tọa độ cực: Hệ quả 2.5: Hình thang cong cho bởi O: cực  x  x(t ) Ox: trục cực  , t  [ ,  ]  y  y (t ) r: bán kính cực có diện tích là  : góc cực  (r , ) : tọa độ cực S   y( t). x (t ) dt  Ví dụ 2.8: Tìm diện tích dưới một cung của đường cycloid Ta quy ước góc   0 nếu Ox quay theo hướng ngược  x  t  sin t chiều kim đồng hồ.  , t  [0,2 ]  y  1  cos t 11 12 2
  3. 10/31/2018 Chú ý rằng, có nhiều hơn một cặp giá trị (r , ) cùng Nếu ta chọn hệ tọa độ Descartes vuông góc sao cho xác định vị trí của một điểm P. Ví dụ, các cặp số gốc O trùng với cực, trục Ox trùng với trục cực thì giữa    hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ cực có công thức liên  3,  n2  , n   hệ sau  6  đều xác định vị trí của một điểm P trong hệ tọa độ  x  r cos  ,  cực.  y  r sin  . Do đó, nếu quy ước 0  r  , 0    2 thì mỗi điểm P trong mặt phẳng sẽ ứng với một cặp số (r , ) duy nhất. Đặc biệt, khi r = 0 thì P trùng O. 13 14 IV. Đường cong trong hệ tọa độ cực: Xét hàm số r  r ( ) . Khi góc cực  biến thiên từ  đến  thì điểm P với tọa độ cực  r ( ),  vạch nên một đường cong C trong mặt phẳng. Ta nói đường cong C trong hệ tọa độ cực có phương trình r  r( ) Ví dụ 2.9: Phương trình tọa độ cực của đường tròn tâm I(a;0), bán kính r = a (a > 0) là r  2 a cos  . Giả sử cho a = 1, ta được phương trình đường tròn tâm I(1,0), bán kính r = 1 là r  2 cos  và ta có thể vẽ đường tròn đó trong hệ tọa độ cực như sau 15 16 Ví dụ 2.10: Một số hình vẽ đường cong trong hệ tọa độ cực V. Hình thang cong trong tọa độ cực: Hệ quả 2.6: Trong hệ tọa độ cực (r , ), cho hình quạt cong giới hạn bởi r  r ( ),   [ ,  ]. Khi đó, diện tích của quạt cong là  1 2 S r ( )d 2  Ví dụ 2.11: Tìm diện tích của hình quạt cong   r  cos2 ,   . 4 4 17 18 3
  4. 10/31/2018 Hệ quả 2.7: Trong hệ tọa độ cực (r , ), cho hình Ví dụ 2.12: Tìm diện tích của hình được tô màu quạt cong giới hạn bởi r1  r1 ( ), r2  r2 ( ), r1 ( )  r2 ( ),   [ ,  ] Khi đó, diện tích của quạt cong là  1 S r 2 ( )  r12 ( ) d 2   2  19 20 I. Vật thể V bất kỳ: Cho một vật thể V xác định bởi một mặt kín với thiết diện phụ thuộc biến x [a, b] là S(x). Thể tích của vật thể V sẽ là §3. Tính thể tích vật thể b V   S( x )dx a 21 22 Ví dụ 3.1: Tính thể tích hình khối có đáy là II. Vật thể tròn xoay: hình tròn bán kính bằng 1, các mặt cắt song Loại 1: Có thể quay hình thang cong song và vuông góc với đáy là các tam giác đều y  f ( x )  0, x  [a, b] như hình vẽ quanh trục Ox nhận được vật thể tròn xoay. Vật tròn xoay có diện tích thiết diện S( x )   f 2 ( x ). Vì vậy, thể tích là b V    f 2 ( x )dx a 23 24 4
  5. 10/31/2018 Ví dụ 3.2: Cho miền D giới hạn bởi y  x 2 , 0  x  2, và Ví dụ 3.3: Cho miền D giới hạn bởi y  x , y  1, x  4 trục Ox. Tính thể tích vật tròn xoay khi quay miền D như hình vẽ. Tính thể tích vật tròn xoay khi quay miền D quanh trục Ox. quanh đường thẳng y = 1. 25 26 Loại 2: Có thể quay hình giới hạn bởi Ví dụ 3.4: Cho miền D giới hạn bởi y  x 2  4, y  2, y  f ( x ), y  g( x ), f ( x )  g( x )  0, x  [a, b] x  1, x  3. Tính thể tích vật tròn xoay khi quay miền D quanh trục Ox nhận được vật thể tròn xoay. Vật tròn quanh trục Ox. xoay có thể tích là b V     f 2 ( x )  g 2 ( x )  dx a 27 28 Ví dụ 3.5: Cho miền D giới hạn bởi 2 Ví dụ 3.6: Cho miền D giới hạn bởi x  , 1  y  4 f ( x )  x 2  2, g( x )  4  x 2 y như hình vẽ. Tính thể tích vật tròn xoay khi quay miền D quay quanh Oy. Tính thể tích vật tròn xoay được quanh đường thẳng y = -3. sinh ra. 29 30 5
  6. 10/31/2018 Ví dụ 3.7: Cho miền D giới hạn bởi Loại 3: Cho miền D giới hạn bởi cung y  f ( x ), x  [a, b] f (x)  9  x2 , 0  x  3 và Ox nằm trong phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ như hình vẽ. Tính thể tích vật tròn xoay khi quay miền D quay quanh Oy thì quanh đường thẳng x = -2. b V  2  xf ( x )dx a 31 32 Ví dụ 3.8: Tính thể tích vật tròn xoay khi quay miền D Loại 4: Cho miền D giới hạn bởi (được tô màu như hình vẽ) quay trục Oy. y  f ( x ), y  g( x ), f ( x )  g( x )  0, x  [a, b] nằm trong phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ quay quanh Oy thì b V  2  x  f ( x )  g( x ) dx a 33 34 Ví dụ 3.9: Tính thể tích vật tròn xoay khi quay miền D (được tô màu như hình vẽ) quay trục Oy. §4. Tính độ dài của cung 35 36 6
  7. 10/31/2018 I. Cung cho bởi đường cong y = f(x): II. Cung cho bởi hàm phụ thuộc tham số: Đường cong y  f ( x ), x  [a, b], xác định một cung  AB Đường cong cho bởi với độ dài là  x  x (t ) b  , t  [ ,  ] 2 l   1   f ( x )  dx  y  y (t ) Khi đó  a AB có độ dài  Ví dụ 4.1: Tính độ dài của cung parabol 2 2 l    x(t )    y(t ) dt  y  x, 3 với 1  x  4. Ví dụ 4.2: Tính độ dài cung x  t 2 , y  t , 0  t  4. y4 1 Ví dụ 4.3: Tính độ dài cung x   , 1  y  2. 37 38 8 4 y2 I. Quay quanh Ox: Cung  AB xác định bởi hàm y  f ( x ), x  [a, b], quay quanh trục Ox sẽ tạo nên mặt tròn xoay có diện tích b 2 S AB  2  f ( x ) 1   f ( x )  dx a §5. Tính diện tích mặt tròn xoay Trường hợp cung  AB cho bởi phương trình tham số  x  x (t )  , t [ ,  ]  y  y (t ) thì mặt tròn xoay có diện tích  2 2 SAB  2  y(t )  x(t )    y(t ) dt  39 40 Ví dụ 5.1: Tìm diện tích của bề mặt được tạo thành khi quay đường cong sau đây quanh trục Ox. II. Quay quanh Oy: a) y  2 x , 1  x  2 Cung  AB xác định bởi hàm x  g( y ), y  [c, d ], quay quanh trục Oy sẽ tạo nên mặt tròn xoay có diện tích b ) y 2  12 x , 0  x  3 d 2  x  cos t S AB  2  g( y ) 1   g( y ) dy c)  , t   0;2  c  y  1  sin t Trường hợp cung  AB cho bởi phương trình tham số  x  x (t )  , t [ ,  ]  y  y (t ) thì mặt tròn xoay có diện tích  2 2 SAB  2  x(t )  x(t )   y(t )  dt  41 42 7
  8. 10/31/2018 Ví dụ 5.2: Tìm diện tích của bề mặt được tạo thành khi quay đường cong sau đây quanh trục Oy. a) x  1  y, 0  y  1 b) y  x 2 , 1  x  2  x  e t  t c)  t/ 2 , t   0;1  y  4e 43 8
  9. Bài tập Giải tích BÀI TẬP CHƯƠNG 5 Bài 1: Hiệu quả E của người vận hành máy (tính bằng %) có tốc độ thay đổi theo thời gian t được cho dE bởi biểu thức  30  10t , trong đó t là số giờ mà người vận hành làm việc. dt a) Tìm E(t) biết rằng hiệu quả của người vận hành là 72% sau hai giờ làm việc. b) Tìm hiệu quả vận hành sau 3 giờ, sau 5 giờ. dC Bài 2: Tốc độ tăng chi phí sản xuất của một xí nghiệp được cho bởi biểu thức  0, 2Q  8 , trong đó dQ Q là sản lượng sản xuất (kg), C là chi phí sản xuất (triệu đồng). Xác định chi phí sản xuất khi tăng sản lượng từ 65 kg đến 75 kg. Bài 3: Đồ thị của hàm số f bao gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn được cho bởi hình vẽ dưới đây. Tính các tích phân sau 2 a)  f ( x)dx 0 6 b)  f ( x)dx 2 7 c)  f ( x)dx 0 Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a) y  x và y  x b) y  2 x  x 2 và x  y  0 c) x  1  y 2 và x  y 2  1 d) y  x 2  2, y  2 x  5 , x  0, x  6 e) y  2 x , y  2, x  0 f) y  e x , y  xe x , x  0 g) y  x 2 , x  y 2 h) x  y 4 , y  2  x , y  0 i) y  x 3 , y  x Bài 5: Tính diện tích của miền được tô màu: a) b) 9
  10. Bài tập Giải tích c) d) e) f) Bài 6: Tính diện tích của miền bị giới hạn bởi đường astroid  x  cos3 t  3 , t  [0,2 ].  y  sin t Bài 7: Tính diện tích giới hạn bởi đường cong x  t 2  2t , y  t và trục Oy. Bài 8: Tính diện tích hình quạt cong   a) r  1  cos  ,    0; 2  . b) r  e 4 ,    . 2  c) r 2  9sin 2 , 0   . 2 Bài 9: Tính diện tích của miền được tô màu: a) b) 10
  11. Bài tập Giải tích c) d) e) f) Bài 10: Tính thể tích một hình chóp cụt có đáy dưới là hình vuông cạnh 5 cm, đáy trên là hình vuông cạnh 2 cm, và chiều cao 3 cm. Bài 11: Tính thể tích một hình khối có đáy là hình elip với đường cong giới hạn có phương trình là 9 x 2  4 y 2  36 . Các mặt cắt song song và vuông góc với đáy là các tam giác vuông cân có cạnh huyền nằm trong mặt đáy. Bài 12: Tính thể tích vật tròn xoay do miền phẳng D giới hạn bởi đường x a) y  2  , y  0, x  1, x  2 quay quanh Ox. b) y  1  x 2 , y  0 quay quanh Ox. 2 c) y  x  1, y  0, x  5 quay quanh Ox. d) x  2 y , x  0, y  9 quay quanh Oy.  e) x  2sin 2 y , 0  y  , x  0 quay quanh Oy. f) y  ln x, y  1, y  2, x  0 quay quanh Oy. 2 11
  12. Bài tập Giải tích Bài 13: Tính thể tích vật tròn xoay do miền phẳng D (được tô màu) a) b) quay quanh đường y = 2 quay quanh Ox. c) d) quay quanh Ox. quay quanh Oy. e) f) quay quanh đường y = -1 quay quanh đường x = 2 12
  13. Bài tập Giải tích g) h) quay quanh đường x = 3 quay quanh Oy i) j) quay quanh đường x = -1 quay quanh Oy k) l) quay quanh Oy quay quanh Oy m) n) quay quanh Ox quay quanh Ox 13
  14. Bài tập Giải tích Bài 14: Tính độ dài của cung a) y  2 x  5, x   1;3. b) y  2  x 2 , x   0;1 . x3 1   c) y   , x  1; 2. d) y  ln(cos x ), x   0;  . 3 4x  3 1  x  cos t e) x  y ( y  3) y  1;9 . f)  , t   0;2  . 3  y  sin t   1   x  et  e t  x  cos t  ln  tan t    3  g)  , t   0;3 . h)   2 , t   ; .  y  5  2t  y  sin t 4 4   Bài 15: Tính diện tích của bề mặt được tạo thành khi quay đường cong sau đây x a) y  , x   0;4 quanh trục Ox. 2 1 3 b) y  2 x  x 2 , x   ;  quanh trục Ox. 2 2 x c) y  , x   0;4 quanh trục Oy. 2 y3 d) x  , y   0;1 quanh trục Oy. 3 5  e) x  2 y  1, y   ;1 quanh trục Oy. 8  3  x  3t  t f)  2 , t   0;1 quanh trục Ox.  y  3t  x  cos3 t   g)  3 , t  0;  quanh trục Ox.  y  sin t  2 2  x  3t h)  3 , t   0;5 quanh trục Oy.  y  2t 14
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2