Bài giảng "Giải tích 1: Chương 4: Phương trình vi phân cấp 1" cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa, các dạng phương trình vi phân, phương trình vi phân tách biến, phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
I. Các khái niệm cơ bản
Cho mạch điện như hình bên.
Điện thế tại nguồn E ở thời điểm t: E(t) volt
Điện trở R (Ohm), cuộn cảm L (Henry)
Dòng điện chạy qua ở thời điểm t là I(t) ampe
Theo định luật Ohm: dòng điện tại thời điểm t được
tính bởi công thức:
L
RI t ( )
E t ( )
dI t ( ) dt
Ptrình vi phân cấp 1.
I. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Phương trình chứa đạo hàm hay vi phân của một hoặc
một vài hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân.
Phương trình chứa đạo hàm của một biến độc lập gọi
là phương trình vi phân thường (Differential Equation)
Phương trình chứa đạo hàm riêng gọi là phương trình vi
phân đạo hàm riêng (Partial Differential equation PDE).
I. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Cấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phân
gọi là cấp của phương trình vi phân.
'
phương trình vi phân cấp 2
''( ) 3 y x
x
sin
x
2
x
3
e
phương trình vi phân cấp 3.
y x 2 d y dx
3 d y 3 dx
2
2
1
phương trình đạo hàm riêng cấp 2
u x y
u 2 x
I. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n
'
n ( )
y
'
3
Ví dụ:
(3
2 y x
e
)
y
(
y
2 ) 0
x
n ( )
'
(
n
1)
F x y y ( , , ,..., y ) 0 (1)
Nếu giải ra được :
( )ny
2
2
2
Ví dụ:
x
2
x
xy dy
y dx
2
2
'
Giải ra được:
y
dy dx
x 2 2 x
y xy
y x y y ( , , ,..., y )
I. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Nghiệm của phương trình (1) trên khoảng I là một hàm
xác định trên I sao cho khi thay vào (1) ta được y
x ( )
đồng nhất thức.
Đồ thị của nghiệm gọi là đường cong tích phân
x ( )
y
'
Ví dụ: Phương trình vi phân có nghiệm là
y
0
y
1 x
y Cx C R ,
vì thỏa phương trình vi phân đã cho.
I. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp 1
'
'
Nếu giải ra được :
F x y y , ( , ) 0 (2)
'y
Ví dụ: Các phương trình vi phân cấp 1:
'
x
dạng (3)
y x y ( , ) (3)
2
dạng (3)
y y xe
2 x dy )
2 y dx )
'
'
y
xy
1
y
phương trình Clairaut, dạng (2)
2
( y ( xy 0
I. Các khái niệm cơ bản
Bài toán Cauchy
Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương
trình (2) hoặc (3) thỏa điều kiện ban đầu (điều kiện biên)
)
(4)
y x ( 0
y 0
Nghiệm của phương trình (2) hoặc (3) là họ đường cong
tích phân phụ thuộc hằng số C.
Nghiệm của bài toán Cauchy là đường cong tích phân
(
)
đi qua điểm cho trước 0
x y , 0
I. Các khái niệm cơ bản
'
Ví dụ: Phương trình vi phân
y
y
0
3 x
nghiệm của phương trình là họ đương cong tích phân:
3, y Cx C R
'
Xét bài toán Cauchy (1) 3
0,
y
y
y
3 x
3C
3 Ta có 1C
3
Nghiệm của bài toán Cauchy
33y x
I. Các khái niệm cơ bản
Đường cong tích phân trong vài trường hợp
3
2
x
y 33y x
3
Nghiệm của bài toán
Cauchy
là đường
cong màu đỏ.
Đường cong qua
điểm (1,3).
3
y x
y x
I. Các khái niệm cơ bản
Định lý (tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy)
2
Nếu hàm y = f(x) liên tục trong miền mở , thì
D R
với mọi điểm , bài toán Côsi (3) với điều kiện
D
,x y 0 0
(4) có nghiệm xác định trong lân cận của x0.
f Ngoài ra nếu đạo hàm riêng cũng liên tục trong D, thì y
nghiệm này là duy nhất.
I. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Nghiệm của phương trình cấp 1 phụ thuộc hằng C.
Nghiệm tổng quát của phương trình cấp 1:
y
x C ( ,
)
Nghiệm riêng là nghiệm thu được từ nghiệm tổng quát
bằng cách cho C hằng số cụ thể ( ví dụ nghiệm bài toán
Côsi).
Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể thu được từ nghiệm
tổng quát cho dù C lấy bất kỳ giá trị nào.
I. Các khái niệm cơ bản
Giải phương trình vi phân là tìm ra các nghiệm của nó.
Trong chương trình này, ta giải phương trình theo
cách không đầy đủ, không chặt chẽ (ví dụ: khi chia
cho y không biết y có triệt tiêu không).
Để khảo sát nghiệm một cách đầy đủ, các em có thể
tham khảo sách Jean – Marie Monier, giải tích tập 2 và 4
II.1 Phương trình vi phân tách biến
Dạng
f x dx g y dy
( )
( )
0
Cách giải: tích phân hai vế ta được
f x dx ( )
g y dy C
( )
Ví dụ Giải pt
2
2
0
dy y 1 dx x 1
2
2
C
arctan
y
arctan
x C
Nghiệm của phương trình:
dy y 1 dx x 1
arctan
y
arctan
x C
arctan
y
arctan
x C
Các dạng có thể đưa về phương trình vi phân tách biến
Dạng 1
f x g y dx
( )
( )
f x g y dy
( )
( )
0
1
1
2
2
Cách giải: Có thể đưa về phương trình tách biến
Nếu tại y = b, thì y = b là một nghiệm riêng.
g y 1( ) 0
Nếu tại x = a, thì x = a là một nghiệm riêng.
f x 2 ( ) 0
( ) 0
( )
( ) 0
( )
f x g y Nếu , chia hai vế cho 2 1
f x g y 2 1
1
2
Phương trình tách biến
dx
dy
0
f x ( ) f x ( )
g y ( ) g y ( )
2
1
II.1 Phương trình vi phân tách biến
2
2
Ví dụ Giải pt
tan x sin ydx cos x cot ydy 0
dx dy 0 dx dy C
2
2
Nghiệm của phương trình:
tan 2 cos x x cot 2 sin y y tan 2 cos x x cot 2 sin y y
Ví dụ Giải pt
tan x cot y C
2 x dy )
2 y dx )
x (1 (1 0
2
2
2
2
C 0
2
Nghiệm của phương trình:
arctan
y
ln |
x
|
ln(1
x
)
C
1 2
dy y 1 dx x ) x (1 dy y 1 dx x ) x (1
3
2
Ví dụ Giải phương trình
Phương trình trên được viết lại:
0
2
3
dy
2)
(
y
dx
1)
(
x
C
2
3
Tích phân hai vế y (
2)
dx
1)
(
x
dy
2
3
(
y
2)
d y (
2)
(
x
1)
d x (
1)
C
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:
( x 1) dy ( y 2) dx 0
2
C
1 y 2 1 2 ( x 1 1)
'
xy
y
0
Ví dụ Giải phương trình
Phương trình trên được viết lại:
1
dy
0
x
y
y
0
1
y y
dy dx
dx x
dy
C
Tích phân hai vế
1y y
dx x
1/ 2
1/ 2
y
x
dx C
1 y
dy
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:
2
y
ln |
y
| 2
x C
2
y
ln |
y
| 2
x C
x y
2
'
x 3
y y
Ví dụ Giải phương trình
Phương trình trên được viết lại:
x
x
2
y
y
dx
18
dy
0
0
x
y
2 3
dy dx
2 3
3 2
dy
C
Tích phân hai vế
dx x
x
1y y
y
dx
18
dy C
2 3
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:
x
y
C
18 ln(18)
2 / 3 ln 2 / 3
2 0
Các dạng có thể đưa về phương trình vi phân tách biến
'
Dạng 2
y
f ax by
(
c
),
0,
a
0
b
'
Cách giải:
Đặt u
ax by
c
'
'
'
a by u
a b f u
( ) 0
Nếu , giải tìm . Kiểm tra có phải là nghiệm u
Nếu , chia hai vế cho
a b f u
( ) 0
a bf u ( )
Đây là phương trình tách biến
dx
du a b f u ( )
(biến u riêng, biến x riêng)
u a b f u ( ) u a b f u ( )
'
y
Ví dụ Giải phương trình
1 2 x 4
x 6
y
3
y 5
'
'
'
y
u
2
x
3
y
1
3 y y 3
2 x 2( 2 x
'
u
2
1 1) 3 ' 2 u Thay vào pt đã cho 3
u 2 u
3
u 3 u 2
3
du
dx
du
dx
dx
u 2 u
6 3
3 u 2 6 u
3 u 2 du 6 u
u 2
9ln |
u
x C
6 |
Nghiệm của phương trình vi phân là
2( 2
x
3
y
1) 9ln | 2
x
3
y
x C
7 |
2 3 u y
Chú ý:
'
y
Ví dụ Giải phương trình
y 3 x 2 6 4 y 5 x
Bỏ số 1 ở tử ta vẫn được phương trình vi phân dạng đang xét.
'
y
Ví dụ Giải phương trình
1 2 x 2
x 6
y
3
y 5
Thay số 4 bởi một số khác (số 2) thì phương trình này không có dạng phương trình vi phân đang xét.
II.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
'
Dạng
y
p x y ( )
q x ( )
p x dx ( )
Cách giải: Nhân hai vế cho
e
p x dx )
(
p x dx )
(
p x dx )
(
'
p x y e ( )
q x e ( )
p x dx )
(
p x dx )
(
y e
q x e ( )
y e
'
p x dx )
(
p x dx )
(
y e
q x e ( )
dx C
p x dx )
(
p x dx )
(
y
e
q x e ( )
dx C
'
Ví dụ Giải phương trình
p x ( )
cot
x q x , ( )
sin
x
p x dx ( )
p x dx ( )
y
e
q x e ( )
dx C
cot
xdx
cot
xdx
y
e
sin
x e
dx C
dx
dx
cos sin
x x
cos sin
x x
y y cot x sin x
y e sin x e dx C
y
sin
x
dx C
sin x x C
x x
( )p x dx
Chú ý: Chỉ lấy một nguyên hàm của
sin sin
2
'
Ví dụ Giải phương trình
'
y
y
Chia hai vế cho 2 1 0
x
4 2
x
x
1
3 2
x
1
2
p x ( )
q x , ( )
p x dx ( )
2ln(
x
1)
4 2
x
x
1
3 2
x
1
xdx 4 2 x 1
p x dx ( )
p x dx ( )
y
e
q x e ( )
dx C
2
2
2ln(
x
2ln(
x
1)
y
e
e
dx C
3 2
x
1
1)
3
x
3
x C
2
y
x
dx C
2
2
2 1
2
2
1
(
x
1)
3 2
x
1
(
x
1)
( x 1) y 4 xy 3
x
'
Ví dụ Giải phương trình , y(2) = 1. x y )(
'
p x
q x ( ) 1, ( )
y
y
xe x 1
xe x 1
p x dx ( )
p x dx ( )
( )p x dx
dx
x
y
e
q x e ( )
dx C
x
x
x
y
e
ln |1
x C |
e
e dx C
e 1
x
x
2
2
1
e
ln |1 2 |
C
Với điều kiện y(2) = 1:
C e
Nghiệm của phương trình:
x
2
x
2
(1 y ) e
y
e
ln |1
x
|
e
x
e ln |1 x | e
II.3 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1
'
Dạng
y
y x
'
'
Cách giải: Đặt
f y
xu
u
u x u
y
y x
'
'
Khi đó:
u x u
f u ( )
x u
f u ( )
u
Nếu , thì giải pt này ta có các nghiệm riêng.
f u ( )
u
0
x
f u ( )
u
Nếu f u 0 : ( )
u
du dx
là phương trình tách biến
du f u ( )
u
dx x
'
y
x y
y
ln
Ví dụ Giải phương trình
x y
'
'
y
ln
ln
y
y x
y x
y x
y x
'
'
y x u x u
y x y x /
u
Đặt
'
x u
ln
u
u x u
u u
ln
u
du dx
C
du u ln
u
dx x
du u ln
u
dx x
ln | ln |
u
||
ln |
x
|
ln
C
ln |
|
ln
C
u ln x
1C x
1C x
y
ln u C x
e u
y xe
xdy
ydx
ydy
,
(-1) 1
y
Ví dụ Giải phương trình
(
x
y dy )
ydx
' y
y
x
y
y x / y x /
1
'
'
u
y x /
dy dx u x u
Đặt
2
'
x
u
u x u
u
1
u 1
u
(1
(1
C
u u 1 dx x
u dx x
du dx )u du 2 u
x
ln |
y
|
ln |
u
|
ln |
x C |
ln |
|xu C
y C
)u du 2 u 1 u
1 u
C
1
ln1
hợp
nghiệm pt:
x
y
(1 ln |
y
|)
kết điều kiện
C 1
y
II.3 Các dạng đưa về phương trình đẳng cấp
'
y
Dạng
f x y ,
với là hàm đẳng cấp bậc 0 ( )
f x y ( ,
tx ty ( ,
t
)
)
f
f x y ( ,
)
2
f x y ( ,
)
x xy
xy 2 2 y
2
2
f x y ( ,
)
f
tx ty ( ,
)
x xy
xy 2 2 y
tx
tx ty
2
tx ty 2 ty
là hàm đẳng cấp bậc 0.
2
2 y dx )
Ví dụ Giải phương trình
2
2
2
1
x
'
hàm đẳng cấp bậc 0.
y
dy dx
y 2 xy
2
'
'
u
y x /
( x 2 xydy 0
y x / y x / u x u
Đặt
2
2
2
1
1
1
'
x
u
u x u
u 2 u
u 2 u
C
u 2 u dx x
dx x
du dx udu 2 2 1 u
udu 2 2 u 1
2
2
ln |
x
(1
u
) |
ln
C
y
2
2
x
(1
u
)
x
(1
u
)
C
C C 1
ln |1 u | ln | x | ln C
II.3 Các dạng đưa về phương trình đẳng cấp
'
y
Dạng
a x b y 1 1 ax by
c 1 c
f
có duy nhất
0
c 1
(
)
nghiệm 0
x y , 0
a x b y 1 1 ax by
c
0
'
Đổi biến:
X x
' Y y
x Y , 0
y y - 0
)
'
Y
f
) b Y ( 1 ) b Y (
) )
c 1 c
a X b Y 1 1 aX bY
f
a X x ( 1 0 a X x ( 0
y 0 y 0
'
Y
là phương trình đẳng cấp.
b Y X a / 1 1 a b Y X /
f
II.3 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1
Giả sử
k
0
a 1 a
b 1 b
b 1 b
'
'
a by
u
Đổi biến: u
ax by
'
y
a x b y 1 1 ax by
c 1 c
f
'
'
a b f
u
b y
b f
k u c 1 u c
a x b y 1 1 ax by
c 1 c
a b f
phương trình tách biến
du dx
k u c 1 u c
(1
x
y dy )
(
x
y
3)
dx
0
Ví dụ Giải phương trình
'
y
dy dx
x 1
y x
3 y
a x b y 1 1 ax by
c 1 c
f
x
3 0
y
,
2,1
x y 0
0
y
1 0
x
Giải hệ:
'
' Y y
Đổi biến:
X x
2,
Y
y
-1
'
Y
X Y X Y
Y ( 2) X ( 1 ( 2) X
1) 3 ( Y 1)
1 1
Y X / Y X /
Đây là phương trình vi phân đẳng cấp.
II.4 Phương trình vi phân toàn phần
Dạng
)
( ,
)
0
trong đó
P x y dx Q x y dy Q x
( , P y
Cách giải: Nghiệm tổng quát của phương trình: ( ,
u x y C )
y
x
u x y ( ,
)
P x y dx
( ,
)
Q x y dy C )
(
,
Với
0
x 0
y 0
trong đó là một điểm tùy ý mà P, Q liên tục.
,x y 0 0
II.4 Phương trình vi phân toàn phần
Cách khác: Nghiệm tổng quát :
u x y C )
( ,
Với
du x y ( ,
)
P x y dx Q x y dy
( ,
( ,
)
)
P x y ( ,
)
u x y ( ,
)
P x y dx g y ( ) )
( ,
Đạo hàm hai vế theo y (coi x là hằng)
Q x y ( ,
)
u x u y
'
Q x y ( ,
)
P x y dx
( ,
)
' g y ( )
y
u y
u x y ( ,
)
g y ( )
'( ) g y
Ví dụ Giải phương trình
2 y dy 3 )
2
P x y ( ,
) 2
y
3
2
Q x
P y
2
(2 y 3) dx (2 x 0
2
P y Q x
Đây là phương trình vi phân toàn phần.
Nghiệm tổng quát: ( ,
)
C
y
x
x
(2
y
3)
dx
3
2 y dy
( ,
(0,
)
)
u x y ( ,
)
0
0
3
u x y y P x y dx Q y dy 0 y
Q x y ( , ) 2 x 3 y
0 ) 2
3
Nghiệm tổng quát:
2
xy
3
x
y
C
xy 3 x u x y ( ,
2
Ví dụ Giải phương trình
2 x y
3 x ydy
2
26 x y
P x y ( ,
) 3
2 x y
7
26 x y
Q x
P y
2
(3 7) dx 2 0
26 x y
Q x y ( , ) 2 x 3 y
P y Q x
Đây là phương trình vi phân toàn phần.
Nghiệm tổng quát: ( ,
)
C
y
x
x
2
( ,
(0,
)
)
u x y ( ,
)
(3
2 x y
7)
dx
0
dy
u x y y P x y dx Q y dy 0
0
0
3 2 x y
0
Nghiệm tổng quát:
3 x y
2 7
x C
u x y ( , ) 7 x
xy
xy
y
(0) 1
Ví dụ Giải
xy
xy
xy
xy
e
xye
e
xye
P y
Q x
Phương trình vi phân toàn phần.
Nghiệm tổng quát: ( ,
)
C
u x y y
x
x
y
xy
0
y
2
xy
u x y ( ,
)
(2
x
ye
)
dx
(1
0
e
)
dy
x
e
y
0
0
0
2
xy
0
x
e
y C
Nghiệm tổng quát:
.10
2C
Điều kiện 2 0
e
1
C
xy
Nghiệm thỏa điều kiện ban đầu: 2 x
(2 x ye ) dx (1 xe ) dy 0
e y 2
x y /
x y /
(
x
e
)
dx
e
(1
)
dy
0
y
(0) 2
Ví dụ Giải
x y
x y /
x y /
e e
Phương trình vi phân toàn phần.
)
C
x
Nghiệm tổng quát: ( , u x y y
x
2
y
x y /
x y /
ye
y
u x y ( ,
)
(
x
e
)
dx
dy 1
1
x 2
0
0
x y /
Nghiệm tổng quát:
ye
y C
y
2
0
2/
Điều kiện
2C
0
2e
C
1 2 x 2
2
x y /
Nghiệm thỏa điều kiện ban đầu:
ye
2
x 2
Q x x 2 y P y x 2 y
II.5 Phương trình vi phân Bernoulli
'
Dạng
y
p x y ( )
q x ( )
y
1,
,
0
Cách giải: Chia hai vế cho
'
(1
)
(1
)
p x ( )
(1
q x ) ( )
y y
1 1 y
'
y
(1
'
z
y 1
'
(1
z
) y .
y
Đặt
) y
'
:y
Đây là phương trình vi phân tuyến tính với hàm z(x).
z (1 ) p x ( ) z (1 q x ) ( )
'
2 ln ,
Ví dụ Giải
'
2
Phương trình Bernoulli.
y
y
y
1 x
ln x x
'
x
1
y
Chia hai vế cho 2 :y
y 2 y
xy y y (1) 1 x y
1 Đặt , ta có:
' z
z
x
Giải pt tuyến tính: z
x
C
ln
x
1
Cx
ln x
1 x 1 x 1 x
ln x ln x x
0C
Điều kiện
z
(1)
1
1 y (1)
y
ln
x
1
z Nghiệm pt:
1 1 ln
x
y z
'
5
2
2 / 3
y
9
2 x y
3(
x
x
)
y
,
(0) 1
y
Ví dụ Giải
2 / 3.
Phương trình Bernoulli
1 2 / 3
1/ 3
' z
y
2 / 3 ' y
1 y
y
y
z Đặt
1 3
'
5
2
z
3
2 x z
x
x
Có phương trình tuyến tính: 3
3
3
3
3
3
x
x
2
x
x
z e e C e Ce
3
3
3
2
x
x
1/ 3 y
e
Ce
Nghiệm tổng quát pt đã cho:
x 3
Điều kiện y(0) = 1, suy ra C = 1.
3
3
3
2
x
x
1/ 3 Nghiệm bài toán Côsi: y
e
e
x 3
x 3 x 3
Đường cong tích phân thỏa bài toán Côsi: y(0) = 1
Bài tập. Nhận dạng và giải các phương trình vi phân
'
3
'
1) cosh( x y ) y
2
2) y xy 0 xy
2 ' x y
2
'
4)
,
y
(0) 1
y
2
1 1
y x
2
2
3) xy y 0
3 ' x y
6)
1
2 y dx
y
1
2 x dy
0
5) y x ( y )
'
7)
sin
x
y
ln
y
0,
y
(
/ 2)
e
y
8) sin cos
y
xdy
y cos sin
xdx y ,
(0)
/ 4
'
2
2 x y
2
10)
x dx )
(
y
2 x y dy )
0
(xy
'
y
11)
x x
y y
2
'
'
9) xy y 0
2 x y
xyy 12) y
2
2
2 x dx )
'
2
2
y
x
y
14) xy
2
15)
3
2
xy
0,
y
(0) 1
y
2 x dy
2
2
'
16)
,
y
(1)
1
y
2
2
y y
2 2
xy xy
x x
2
'
x
17)
2
xy
xe
y
2
y 3 xy ( x 2 ) xy dy 13) (3
18) 2 ( y 6 ) x dy 0 ydx
2
x
'
y
y x )
(
x
1)
e
19) (
'
20)
x y ,
(1) 0
xy
1
2
21)
(
y
yx
2 x dx y )
,
(1)
/ 4
x
y x 2 x dy
1
2
2
'
22)
y
,
y
(1)
1
2
2
y y
2 2
xy xy
x x
x
y
x
y
'
23)
y
sin
sin
2
2
2
'
24)
y
2
1 (1 xy
y
x
)
3
25)
(
y
x dy )
ydx
'
2
27)
2
xy
2 y dx
0
x
2 y dy
26) ( x y ) y
2
2
28)
'
xy
y
29)
tan
y x
x
'
30)
2,
y
(1) 1
'
y x
xy yy
dx xy x y 2 y xy dy 2
'
31)
y
1
x y ,
(0) 1
2
y x
1
x
'
y
'
5
2
e ) yy e , y (0) 0 32) (1
2 x y
'
34)
y
2 2
y x
x y
5 4
'
35)
y
3 x
y x 2 y
1 1
2
'
36)
y
0
y
y
x
1
33) 3 x x , y (0) 1 y
2
'
37)
4
y
x
y
0
xy
'
38)
y
2 y x
2 cos
y 2 x
2
'
x
'
x
39) y y ln x xy
x e (3 2 ) 0
4
'
41)
2 x y
0
y
y x
'
3
e 1) y ( e 1) y 40) (
42) 2 y 2 x y 2 0 xy
3
3
2 xy dx )
2 x y dy )
x (2 y 0 43) (2
2
2
dx 44)
y
xdy 2 y x ydx 2 y x
ydx
xdy
46)
xdx 2
ydy 2
2 x
x
y
2
2
y
x
'
47)
y
xy 2 y
2
2
2
2
x x
y
dx
1
x
y
ydy
0
48) 1
45) ( xe 2 ) y dy 0 y e dx
![Bài tập Đại số tuyến tính [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250930/dkieu2177@gmail.com/135x160/79831759288818.jpg)
