PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

BÀI TOÁN CAUCHY

Tìm nghiệm của phương trình

F(x, y, y’, y”) = 0

(1)

hoặc:

y” = f(x, y, y’)

(2)

y(x0) = y0

thỏa điều kiện ban đầu :

y’(x0) = y1

Lưu ý: nghiệm tổng quát của ptvp cấp 2 có 2

hằng số tự do, cần 2 điều kiện để tìm 2 hằng số

này.

Ví dụ

y” = x2

(1)

Tìm nghiệm bài toán:

y(0) = 1, y’(0) = -2 (2)

3

=

+

(3)

y

�

(1)

'

C 1

x 3 4

+

=

(4)

+ C x C

y

�

1

2

(2), (3) (cid:0)

x 12 C1 = -2

(2), (4) (cid:0)

C2 = 1

4

=

Vậy nghiệm bài toán là:

y

+ x

2

1

x 12

-

MỘT SỐ PTVP CẤP 2 GIẢM CẤP ĐƯỢC

LOẠI 1: pt không chứa y : F(x, y’, y”) = 0 Cách làm: đặt p = y’(cid:0)

đưa về ptvp cấp 1 theo p, x

LOẠI 2: pt không chứa x: F(y,y’,y”) = 0

Cách làm: đặt p = y’ (cid:0)

đưa về pt cấp 1 theo

hàm p và biến y

LOẠI 3: F thỏa F(x,ty,ty’,ty”) = tnF(x,y,y’,y”)

Cách làm: đặt y’ = yz (cid:0)

đưa về pt theo x, z

(cid:0)

Ví dụ

Pt không chứa y, đặt

p=

y

y

'y

1 /

= " 2

'

=

p

p

p

p x

Pt trở thành:

= ' 2

(

'

'( ))

=

= +

Với p (cid:0)

0

dx

p

�

x C 1

dp p

2

2

3

= y � ' ( ) + x C 1

2

= + y C � ( ) + x C 1

p = 0 (cid:0)

y’ = 0 (cid:0)

y = C

1 3

2

2

2

Pt không chứa x

Đặt y’ = p (xem y là biến)

+ = - y yy y 2 / (1 ) " ( y 1)( ')

' ' = = = (cid:0) (cid:0) y p p " = (cid:0) p ' ,   ( p'=p'(y) )

2

2

2

dy dx dy dy dy dx dp dy

Pt trở thành:

2

+ = - y y p (1 ) yp p ' ( 1)

-

2

= = - � dy

2

+ dp p 1 y y 1 2 y y y y (1 ) � 2 � +� 1 � dy � �

1(1

= + � py C y )

2

1(1

2

= + � py C y )

= + y (1 ) � y y C ' 1

= � C dx 1

2

+

=

�

y

+ C x C

ln(1

)

1

2

1 2

ydy + 2 y 1

x2yy” – (y – xy’)2

= 0

x2 ty ty” – (ty – x ty’)2 = t2[x2yy” – (y – xy’)2

Đặt y’ = yz (cid:0)

y” = y’z + yz’ = yz2 + yz’

Pt trở thành:

2

2

2

2

2

2

+ = - yz y xyz x y yz ( ') ( )

=

(Tuyến tính )

� x z

xz

+ 2 ' 2

1

+ � x z z xz ( ') = - (1 )

�

z

1= + x

C 1 2 x

= xz + 2 ' 2 x z 1

'

�

y y 1= + x C 1 2 x

C 1 x

-

2

=� y C xe

PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 2

y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x) (1)

p(x), q(x), f(x) liên tục

y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 Phương trình thuần nhất

Cấu trúc nghiệm pt không thuần nhất:

y = y0 + yr

• y0 là nghiệm tổng quát của pt thuần nhất,

• yr là 1 nghiệm riêng của pt không thuần nhất

Nguyên lý chồng chất nghiệm

Nếu y1 và y2 lần lượt là các nghiệm của pt

y” + p(x)y’ + q(x)y = f1(x) y” + p(x)y’ + q(x)y = f2(x)

thì y1 + y2 là nghiệm của pt

y” + p(x)y’ + q(x)y = f1(x) + f2(x)

Giải phương trình thuần nhất

Nếu y1 và y2 là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của pt thuần nhất

y” + p(x)y’ + q(x)y = 0

y0 = C1y1 + C2y2

nghiệm tổng quát của pt này là

Nếu biết trước 1 nghiệm y1

0, y2 được tìm như sau

(cid:0)

p x dx ( )

e

y

dx

2

= (cid:0) y 1

2 y 1

- (cid:0)

Ví dụ

Giải pt: x2y” – xy’ + y = 0, biết pt có 1 nghiệm y1 = x

p(x) = – 1/x

p x dx )

(

e

=

y

dx

- (cid:0)

2

y 1

(cid:0)

2 y 1 dx x

=

=

=

x

y

dx

x

dx

x

x

ln |

|

2

2

e � x

x � 2 x

y0 = C1x + C2xln|x|

- - (cid:0)

Giải pt: (1+x2)y” + 2xy’ – 2y = 4x2 + 2 (1)

biết phương trình có 2 nghiệm y = x2 và y = x + x2

Lưu ý: pt đã cho là pt không thuần nhất

y = x2 và y = x + x2 là 2 nghiệm của (1)

y1 = (x + x2) – x2

là nghiệm của pt thuần nhất

x

(cid:0)

dx

2

x

2 + 1

- (cid:0)

y1 = x

2

2

2

(cid:0) = = y x dx x � e � dx + x

� 2 x

x (1 )

x

dx

2

x

2 + 1

- (cid:0)

2

2

2

= = y x dx x � e � dx + x

� 2 x

x (1 )

= - - - x x x x arctan arctan 1

(NTQ của pt thuần nhất)

y0 = C1x + C2(xarctanx + 1)

Nghiệm TQ của (1)

y = C1x + C2(xarctanx + 1) + x2

� � � 1 � = - � x �

PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 2 HỆ SỐ HẰNG

(a, b là hằng số )

y” + ay’ + by = f(x)

Bước 1:

Giải pt thuần nhất : y” + ay’ + by = 0

Bước 2: tìm 1 nghiệm riêng của pt không thuần nhất

y” + ay’ + by = f(x)

Cách xác định nghiệm tổng quát của pt thuần nhất

Giải phương trình đặc trưng:

k2 + ak + b = 0

 k1, k2 là nghiệm thực phân biệt:

k x 1

k x 2

2

kx

kx

= = e y e , y 1

 k là nghiệm kép:

2

x

x

= = e y xe , y 1

a e

a e

i(cid:0)

2

 k = (cid:0) (phức):

y0 = C1y1 + C2y2

= b = (cid:0) (cid:0) x cos b sin x y , y 1

Ví dụ

1. y” – 3y’ – 4y = 0,

Ptđt: k2 – 3k – 4 = 0

k = (cid:0) 1, k = 4

(cid:0)

x

x

x

4

4

-= e

2,x y

0

2. y” – 2y’ + y = 0,

- = = + e y � y 1 C e 1 C e 2

k = 1 (kép)

Ptđt: k2 – 2k + 1 = 0

x

x

x

(cid:0)

=

y

+ C e C xe

�

2,x e y

0

1

2

= = xe y 1

3. y” – 2y’ + 5y = 0,

Ptđt: k2 – 2k + 5 = 0

k = 1 (cid:0)

2i

x

x

(cid:0)

1 e

1 e

2

x

x

= = x y x cos 2 , sin 2 y 1

0

2

= + y x C e x � cos 2 sin 2 C e 1

Tìm nghiệm riêng yr của pt y” + ay’ + by = f(x)

Biến thiên bằng số

Trong y0, xem C1 =C1(x), C2 = C2(x), giải hệ

1

1

2

2

(cid:0) = (cid:0) ( ) ( )

(cid:0)

1

2

1

2

yr = C1(x)y1 + C2(x)y2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = (cid:0)+ C x y C x y + C x y C x y (cid:0) ( ) ( ) 0 f x ( )

Ví dụ

y” + 3y’ + 2y = sin(ex)

Pt thuần nhất : y” + 3y’ + 2y = 0 (k2 + 3k + 2 = 0)

x

x

x

2

2

- - - -

2

0

Xem C1 và C2 là các hàm theo x, giải hệ

= = = + e y e y � ,x y 1 C e 1 C e 2

1

1

2

(cid:0) = (cid:0) ( ) ( )

(cid:0)

1

1

2

2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = (cid:0)+ C x y C x y 2 + C x y C x y (cid:0) ( ) ( ) 0 f x ( )

x

x

2

1

- - (cid:0) (cid:0) = (cid:0) C x e ( ) C x e ( ) 0 (cid:0)+ 2

x

x

2

x = )

x

x

x

x

2

(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) e e e (cid:0) ( )( + ) ( )( 2 sin( ) C x 1 C x 2

2

Chọn: C1(x) = (cid:0) cos(ex), C2(x) = ex cos(ex) – sin(ex)

yr = C1(x)y1 + C2(x)y2

yr = (cid:0) e(cid:0) x cos(ex) + e(cid:0) 2x [ex cos(ex) – sin(ex)] = (cid:0) e– 2xsin(ex)

(cid:0) (cid:0) = = - e e e � sin( e C x ( ) ), sin( ) C x ( ) 1

x

x

2

=

+

y

yr = (cid:0) e– 2xsin(ex)

,

0

C e 1

C e 2

- -

x

x

x

x

2

2

=

+

=

+

- - -

y

y

y

e

e

sin(

)

r

0

C e 1

C e 2

-

PP hệ số bất định tìm yr

Áp dụng nếu:

f(x) = e(cid:0) x [Pm(x)cos(cid:0) x + Qn(x)sin (cid:0) x ]

Pm, Qn là các đa thức bậc m, n.

• Xác định các hằng số (cid:0)

, (cid:0) và s = max(m, n)

Lưu ý : vắng e(cid:0) x: xem (cid:0)

= 0

vắng cos, sin: xem (cid:0) = 0

s là bậc của đa thức trong f (x)

• Định dạng yr

• Nếu (cid:0) +i (cid:0) không là nghiệm pt đặc trưng yr =e(cid:0) x [Rs(x)cos(cid:0) x + Ts(x)sin (cid:0) x ]

• Nếu (cid:0) +i (cid:0) là nghiệm bội p của pt đặc trưng

(p = 1, 2) yr =xp e(cid:0) x [Rs(x)cos(cid:0) x + Ts(x)sin (cid:0) x ] Các đa thức Rs, Ts được xác định khi thay yr vào pt không thuần nhất.

VÍ DỤ

Ptđt: k2 + 1 = 0 (cid:0)

k = (cid:0)

i

(1)

y” + y = x2 + x

y0 = C1cos x + C2sin x

f(x)

= 0, (cid:0) = 0, s = 2

(cid:0)

+ i(cid:0) = 0: không là

nghiệm ptđt

(cid:0) (cid:0)

yr = Ax2 + Bx + C

(cid:0)

y’r = 2Ax + B, yr” = 2A

Thay yr vào (1):

2A + Ax2 + Bx + C = x2 + x, (cid:0)

(cid:0) x

(cid:0)

2A + Ax2 + Bx + C = x2 + x, (cid:0)

(cid:0) x

A = 1, B = 1, 2A + C = 0

(cid:0)

A = 1, B = 1, C = (cid:0) 2

yr = x2 + x – 2

(cid:0)

y = y0 + yr

= C1cos x + C2sin x + x2 + x – 2

(cid:0)

(2)

y” + y’ = x – 2

Ptđt: k2+k=0 (cid:0)

k = 0, k =–1

f(x)

y0 = C1e0x + C2e–x

= 0, (cid:0) = 0, s = 1

(cid:0)

+ i(cid:0) = 0: là nghiệm đơn của ptđt ( p =1)

(cid:0)

yr = x1 (Ax + B) = Ax2 + Bx

(cid:0)

y’r = 2Ax + B, yr” = 2A

Thay yr vào (2):

2A + 2Ax + B = x – 2 , (cid:0)

(cid:0) x

(cid:0)

2A + 2Ax + B = x – 2 , (cid:0)

(cid:0) x

A = ½, B = – 3

=

(cid:0)

x

3

ry

21 x 2

Nghiệm TQ của (2):

-

x

2

=

+

+

x

x

3

y C C e 1

2

1 2

- -

y” – y = xsinx

(3)

Ptđt: k2 – 1 = 0 (cid:0)

k = (cid:0)

1

y0 = C1ex + C2e–x (cid:0)

f(x) = xsinx

(cid:0)

= 0, (cid:0) = 1, s = 1 + i(cid:0) = i: không là nghiệm ptđt

(cid:0)

yr = (Ax + B)cosx + (Cx + D)sinx

y’r = (Cx + A + D)cosx – (Ax + B – C)sinx

yr” = – (Ax + B – 2C )cosx – ( Cx + 2A + D)sinx

(cid:0)

Thay yr vào (3):

(– 2Ax – 2B + 2C) cosx + (– 2Cx – 2A + 2D)sinx = xsinx

– 2Ax – 2B + 2C = 0

A = 0, B = C

– 2Cx – 2A + 2D = x

C = -1/2, A = D

A = 0, B = -1/2

(cid:0) (cid:0)

= -

x

x

x

cos

sin

ry

C = -1/2, D = 0

1 2

1 2

Nghiệm TQ (3):

(cid:0) -

x

x

=

+

=

y

y

y

+ C e C e

x

x

x

cos

sin

r

0

1

2

1 2

1 2

- - -

y” + 4y’ + 4y = e – 2x + sinx

(4)

Ptđt: k2 + 4k + 4 = 0 (cid:0)

k = – 2 (bội p =2)

không có dạng đặc biệt

f(x) = e – 2x + sinx

1

f1(x) = e – 2x

a b= - 2, 0, 0 = 1 = s 1

x

2

-

2 x Ae

ry

1

Thay yr1 vào pt:

y” + 4y’ + 4y = f1(x) = e – 2x

=

x

2

2 x e

(cid:0) A = ½

-

1

=� ry

1 2

(k = -2)

f2(x) = sinx

2

2

2

a = = b= , 1, 0 s

ry

2

Thay yr2 vào pt:

y” + 4y’ + 4y = f2(x) = sinx

= B + x C x cos sin

B = – 4/7 , C = –3/7

(cid:0)

-

ry

2

= - x x � cos sin

=

+

y

y

y

r

r

r

( Nguyên lý chồng chất nghiệm)

1

2

4 7 3 7

PHƯƠNG TRÌNH EURLER

(ax + b)2y” + p(ax + b)y’ + qy = f(x)

(a, b, p, q là hằng số)

et

t

-

= = = = (cid:0)

)

Đổi biến : t = ln|ax + b| (cid:0) dy dt a + dt dx

y ae '

ax + b =(cid:0) ( dy dt

dy dt ax b dy dx

t

' = = = y "

-� (cid:0)� ae �

dy dx dy dt ' dt dx d dt dy dt � � dt dx �

2 a e

2 - � t d y dy -� 2 2 dt dt �

=

� � �

t

-

= (cid:0) (cid:0) (cid:0) =

(

)

2 a e

y ae ' , y

2 - � t d y dy -� 2 2 dt dt �

Thay vào pt ban đầu:

2

dy dt � � �

t

t

t

2

2

2

- -

= - (cid:0) (cid:0)

) (

)

t e a e

( p e

2

ae qy F t ( )

2

2

dy + dt � d y dy � dt dt � � + � �

+ = - a ap a ( ) qy F t ( )

2 d y 2 dt

Tuyến tính hệ số hằng

dy + dt

Ví dụ

(2x + 1)2y”–2(2x + 1)y’–12y = 0, trên miền 2x+1> 0

Đặt : 2x + 1 = et hay t = ln(2x + 1)

t

t

- - (cid:0) = = = = = y e ' 2 2 y e t

dy dx dy dt dt dx dy dt dy 2 + dt x 2 1

' = = y "

2

dy dx dy dt ' dt dx d -� 2 t = � e dt � dy dt � � dt dx �

t

t

2

2

(

)

t

t

2

- - (cid:0) (cid:0) (cid:0) = - - y y e 4 e 4

� d y dy � dt dt � � = � �

t

- - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = = -

(

)

24 e

t

t

(2x + 1)2y”–2(2x + 1)y’–12y = 0,

2x + 1 = et

Pt trở thành:

y y y y ' 2 ,t y e t

t

t

t

2

(

)

24 e

t e e y 2 2

t

t

t

- - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - e y y y = 12 0

y

y

�

2

= y 3

0

t

t

t

t

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - - y y � 4 8 = y 12 0

t

t 3

3

-

+ = + + � y � 1) = y C e 1 C e 2 C x 2(2

C 1 + x 2 1

(x > 0)

Giải pt: x2y” + xy’ – y = lnx.sin(lnx)

Đặt: t = lnx hay x = et

t

t

- - (cid:0) (cid:0) = = y e , y e t

2

dy dt

t

t

2

2

- - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = - -

(

)

t

t

2

y e e y y

Thay vào pt:

� d y dy � dt dt � � = � �

t

t

t

2

(

) +

t 2 e e

t

t

- - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - y y e e y t t sin - = y t

t

t

t

2

(

) +

t 2 e e

t

t

- - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - y y e e y t t sin - = y t

ty

(cid:0) (cid:0) - = y t t � sin

t

-

t y C e C e

2

1

+ = - - t t t � cos sin

1 2 1 2

1

+ - - = y C x x � x cos(ln ) x ln sin(ln )

C 2 x 1 2 1 2