Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động: Chương 2 - ThS Nguyễn Tấn Phúc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM TPHCM. KHOA CƠ KHÍ CÔNG NGHỆ BỘ MÔN CƠ ĐiỆN TỬ.

BÀI GiẢNG : LÝ THUYẾT ĐiỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

GV: Th.S Nguyễn Tấn Phúc. phucpfiev1@gmail.com.

•1

Chương 2: Mô tả toán học

Phần tử và hệ thống liên tục

2.1 Phương trình vi phân. 2.2 Phép biến đổi Laplace. 2.3 Hàm truyền. 2.4 Sơ đồ khối. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình. 2.6 Graph tín hiệu. 2.7 Phương trình trạng thái.

•2

Chương 2: Mô tả toán học

Phần tử và hệ thống liên tục

2.1 Phương trình vi phân. 2.2 Phép biến đổi Laplace. 2.3 Hàm truyền. 2.4 Sơ đồ khối. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình. 2.6 Graph tín hiệu. 2.7 Phương trình trạng thái.

•3

2.1 Phương trình vi phân

Tổng quát, quan hệ giữa tín hiệu vào, tín hiệu ra của một hệ thống liên tục tuyến tính bất biến SISO có thể mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng:

ai , bi : thông số của hệ thống (khối lượng, ma sát, R,L,C,…) r(t) : tín hiệu vào y(t) : tín hiệu ra n = bậc của hệ thống = bậc ph.trình vi phân Với hệ thống thực tế : m  n (nguyên lý nhân quả)

•4

Ví dụ 2.1: Hệ lò xo – khối lượng – giảm chấn

m : khối lượng, [kg] b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m] k : độ cứng lo xo, [N/m]  Tín hiệu vào: lực tác dụng F(t), [N]  Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m]

Áp dụng Định luật II Newton :

F(t)

(+)

Lực giảm chấn :

m

Lực lò xo :



Flx

Fms

•5

Ví dụ 2.2: Mạch điện RLC nối tiếp

Theo định luật Kirchhoff :

Trong đó:

Tín hiệu vào: điện áp u Tín hiệu ra: điện áp uc



•6

Ví dụ 2.3: Đặc tính động học vận tốc xe ôtô

v(t)

b

f(t)

m : khối lượng xe b : hệ số cản của không khí (ma sát nhớt)  Tín hiệu vào: Lực đẩy của động cơ, f(t)  Tín hiệu ra: vận tốc của xe , v(t)

•7

Ví dụ 2.4: Bộ giảm xóc của xe ôtô, xe máy

m : khối lượng, [kg] b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m] k : độ cứng lo xo, [N/m]  Tín hiệu vào: lượng di động r(t), [m]  Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m]

•8

Ví dụ 2.5: Mạch điện RLC

i

i

•9

Chương 2: Mô tả toán học

Phần tử và hệ thống liên tục

2.1 Phương trình vi phân. 2.2 Phép biến đổi Laplace. 2.3 Hàm truyền. 2.4 Sơ đồ khối. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình. 2.6 Graph tín hiệu. 2.7 Phương trình trạng thái.

•10

2.2 Phép biến đổi Laplace

Nghieäm y(t)

Nghieäm Y(s)

•11

2.2 Phép biến đổi Laplace

2.2.1 Định nghĩa • Cho hàm thời gian f(t) xác định với mọi t0, biến đổi Laplace

của f(t) là:

s : biến Laplace (biến số phức) L : toán tử biến đổi Laplace F(s): biến đổi Laplce hay ảnh Laplace của f(t)

Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân trong biểu thức

định nghĩa trên là hội tụ (hữu hạn).

•12

2.2 Phép biến đổi Laplace

• Cho hàm phức F(s), biến đổi Laplace ngược của F(s) là một

hàm thời gian f(t) xác định bởi:

t  0

Trong đó :

 C là đường cong kín được lựa chọn trong miền s  j là số ảo đơn vị (j2 =-1)

•13

2.2 Phép biến đổi Laplace

L [f1(t)  f2(t)] = F1(s)  F2(s)

2.2.2 Tính chất 1) Tuyến tính

L[kf(t)] = kF(s)

2) Ảnh của đạo hàm

Giải phương trình vi phân bậc n cần n điều kiện đầu:

Ví dụ : Giải ph.trình vi phân mô tả chuyển động bậc hai:

2 điều kiện đầu: y(0) là vị trí ban đầu (tại t=0)

là vận tốc ban đầu (tại t=0).

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •14

2.2 Phép biến đổi Laplace

2a) Nếu các điều kiện đầu khác 0

2b) Nếu các điều kiện đầu = 0

Ví dụ, xét ptvp:

Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 ta được:

•15

2.2 Phép biến đổi Laplace

3) Ảnh của tích phân

4) Ảnh của hàm trễ

f(t-T) = f(t) khi t T = 0 khi t

5) Ảnh của tích chập

•16

2.2 Phép biến đổi Laplace

6) Nhân hàm f(t) với e-t

Nhân f(t) với e-t  thay s bằng (s+) trong ảnh Laplace.

7) Định lý giá trị cuối

8) Định lý giá trị đầu

•17

2.2 Phép biến đổi Laplace

2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản 1) Hàm bậc thang (hàm bước) đơn vị

Xét hàm bậc thang K(t)=K.1(t):

•18

2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản



2) Hàm xung đơn vị (xung Dirac)

h

a0

(t)

1

t

t

a

0

0

3) Hàm mũ e -t ( <0)

•19

2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản

4) Hàm dốc đơn vị

t.1(t)

khi t  0

khi t < 0

0

t

Lấy tích phân từng phần

Theo cách tương tự, ta tính được ảnh của t2, t3, tn … Cũng có thể dùng tính chất ảnh của tích phân:

•20

2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản

5) Hàm lượng giác sint, cost, …

Công thức Euler:

•21

Một số biến đổi Laplace thường dùng (trang 20)

F(s)

TT 1

f(t) 1(t)

3

8

9

17

18

•22 •Bộ môn : Cơ Điện Tử

2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược

Bài toán : Biết hàm Y(s) , tìm hàm thời gian y(t)=? Y(s) thường có dạng tỉ số của hai đa thức theo s:

(m



PP giải: Phân tích Y(s) thành tổng các phân thức đơn giản, sau đó áp dụng các công thức cơ bản.

 Cách phân tích Y(s) hoàn toàn phụ thuộc vào loại nghiệm của mẫu số Q(s) (nghiệm đơn/ bội/ phức).

•23 •Bộ môn : Cơ Điện Tử

2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược

1) Mẫu số của Y(s) chỉ có nghiệm đơn Giả sử Q(s) có n nghiệm đơn s1 , s2 ,…, sn Khi đó có thể phân tích :

Các hệ số Ai (i=1,2,…,n) xác định bởi:

Tra bảng ta có:



•24 •Bộ môn : Cơ Điện Tử

2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược

Ví dụ : Tìm y(t) biết Giải. Mẫu số của Y(s) có 3 nghiệm đơn s1 =0, s2 =-2 , s3 =-5 và hệ số an=2. Do đó có thể phân tích :

•25 •Bộ môn : Cơ Điện Tử

2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược





Nhận xét:

•26 •Bộ môn : Cơ Điện Tử

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •27

2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược

2) Mẫu số của Y(s) có nghiệm bội Giả sử Q(s) có (n-r) nghiệm đơn s1 , s2 ,…, sn-r

và một nghiệm bội sk lặp r lần

Khi đó có thể phân tích :

( i=1,2,…,n-r)

( i=r,r-1,…,1)

•28 •Bộ môn : Cơ Điện Tử

2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược

( i=r,r-1,…,1)

:  Nếu r =2 (nghiệm kép), cần tìm 2 hệ số B2 , B1



•Bộ môn : Cơ Điện Tử •29

2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược

Ví dụ : Tìm y(t) biết Giải. Mẫu số của Y(s) có 2 nghiệm đơn s1=0 ; s2=-4

và một nghiệm kép sk =-3 nên có thể phân tích :

•30 •Bộ môn : Cơ Điện Tử

2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược

Lưu ý:





•Bộ môn : Cơ Điện Tử •31

•32 •Bài giảng : Lý Thuyết Điều Khiển Tự Động

2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược

3) Mẫu số của Y(s) có nghiệm phức Giả sử Q(s) có (n-2) nghiệm đơn s1 , s2 ,…, sn-2

và 2 nghiệm phức p1,2 = a  j

Khi đó có thể phân tích :

Các hệ số Ai , C1 ,C2 xác định bằng : - Phương pháp đồng nhất hệ số đa thức, - hoặc Tính theo công thức:

•33 •Bộ môn : Cơ Điện Tử

2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược

(i=1,…,n-2)

Biến đổi ngược Laplace hàm ảnh Y(s) ta được :

•34 •Bộ môn : Cơ Điện Tử

2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược

Nhận xét : Có thể đưa kết quả về dạng hàm sin hay cos

của tổng/hiệu.

Trong đó :

•35 •Bộ môn : Cơ Điện Tử

2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược

Ví dụ: Tìm y(t) biết

Giải. Mẫu số của Y(s) có một nghiệm đơn s=0 và hai nghiệm phức p1,2 =-34j nên có thể phân tích :

So sánh với Y(s) đã cho, ta được:



•36 •Bộ môn : Cơ Điện Tử

2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •37

2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược

 Cũng có thể tính A, C1 , C2 bằng công thức :

•38 •Bộ môn : Cơ Điện Tử

•Tìm Hàm y(t) biết :

•39 •Bộ môn : Cơ Điện Tử

Bài tập: Cho Y(s), tìm y(t)=?

•40 •Bộ môn : Cơ Điện Tử

Chương 2: Mô tả toán học

Phần tử và hệ thống liên tục

2.1 Phương trình vi phân. 2.2 Phép biến đổi Laplace. 2.3 Hàm truyền. 2.4 Sơ đồ khối. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình. 2.6 Graph tín hiệu. 2.7 Phương trình trạng thái.

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •41 •41

2.3 Hàm truyền

1) Định nghĩa: Hàm truyền của hệ thống là tỉ số giữa ảnh Laplace của tín hiệu ra và ảnh Laplace của tín hiệu vào khi các điều kiện đầu bằng 0. Từ PTVP mô tả hệ thống tuyến tính bất biến liên tục :

Biến đổi Laplace hai vế với ĐKĐ =0 ta được :

Lập tỉ số Y(s)/ R(s) ta được hàm truyền G(s):

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •42

2.3 Hàm truyền

2) Nhận xét  Khái niệm hàm truyền chỉ dùng cho hệ thống

(hay phần tử) tuyến tính bất biến.

 Hàm truyền chỉ phụ thuộc vào các thông số và bậc của hệ thống mà không phụ thuộc vào loại và giá trị của tín hiệu vào, tín hiệu ra.

 Giả thiết các ĐKĐ =0 nhằm mục đích dùng hàm truyền

để nghiên cứu bản chất động học của hệ thống.

 Dùng hàm truyền để mô tả và phân tích hệ thống thuận lợi hơn PTVP vì hàm truyền là phân thức đại số. Quan hệ vào-ra sẽ đơn giản là phương trình đại số:

Tín hiệu ra = tín hiệu vào * hàm truyền

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •43

2.3 Hàm truyền

3) Đa thức đặc tính, Phương trình đặc tính - Đa thức ở mẫu số của hàm truyền gọi là đa thức đặc tính:

- Cho mẫu số hàm truyền =0 ta có phương trình đặc tính:

Dựa vào các nghiệm hoặc hệ số của phương trình đặc tính có thể xét tính ổn định của hệ thống (chương 4). 4) Mô tả hệ MIMO Để mô tả hệ MIMO phải dùng ma trận các hàm truyền. Mỗi hàm truyền chỉ ứng với một cặp tín hiệu vào, ra.

Hệ MIMO

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •44

2.3 Hàm truyền

5) Biểu diễn hàm truyền theo dạng zero-cực-độ lợi

Trong đó: zi (i=1,2,…,m) _ là nghiệm đa thức tử số, gọi là các zero. pi (i=1,2,…,n)_ là nghiệm đa thức mẫu số, gọi là các cực (pole); pi cũng chính là nghiệm của phương trình đặc tính.

_ là độ lợi (gain).

Ví dụ:

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •45

Chương 2: Mô tả toán học

Phần tử và hệ thống liên tục

2.1 Phương trình vi phân. 2.2 Phép biến đổi Laplace. 2.3 Hàm truyền. 2.4 Sơ đồ khối. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình. 2.6 Graph tín hiệu. 2.7 Phương trình trạng thái.

•46 •Bài giảng : Lý Thuyết Điều Khiển Tự Động

Chương 2: Mô tả toán học

Phần tử và hệ thống liên tục

2.1 Phương trình vi phân. 2.2 Phép biến đổi Laplace. 2.3 Hàm truyền. 2.4 Sơ đồ khối. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình. 2.6 Graph tín hiệu. 2.7 Phương trình trạng thái.

•47 •Bài giảng : Lý Thuyết Điều Khiển Tự Động •47

2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình

2.5.1 Phần tử cơ khí  Hệ lò xo-khối lượng-giảm chấn

- Tín hiệu vào: lực tác dụng F(t) - Tín hiệu ra: lượng di động y(t)

Phương trình vi phân:

Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 :

Hàm truyền bậc hai:

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •48

2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình

2.5.1 Phần tử cơ khí  Trục vít –đai ốc (bàn máy)

-Tín hiệu vào: vận tốc góc (t) -Tín hiệu ra:lượng di động y(t) n_số vòng quay; P_bước ren vít

Phương trình chuyển động:

Biến đổi Laplace 2 vế :

(K=P/2 : hệ số tích phân)

Hàm truyền tích phân:

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •49

2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình

2.5.2 Phần tử điện  Mạch RL nối tiếp

-Tín hiệu vào: điện áp u(t) -Tín hiệu ra: dòng điện i(t)

Phương trình vi phân:

Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 :

Hàm truyền bậc nhất:

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •50

2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình

2.5.2 Phần tử điện  Mạch RLC nối tiếp

Phương trình vi phân:

Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 :

Hàm truyền bậc hai:

Tín hiệu vào: điện áp u(t) Tín hiệu ra: điện áp uc(t)

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •51

2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình

(*)

- Theo Kirchoff :

 Mạch RLC nối tiếp & //

i

-Thế vào (*) , ta được:

- Lấy đạo hàm 2 vế, được:

- Lấy Laplace 2 vế, được:

- Hàm truyền:

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •52

2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình

 Khuếch đại thuật toán (op-amp)

- Tín hiệu ngõ ra u0 tỉ lệ với hiệu của hai tín hiệu vào. - Hệ số khuếch đại K105106. - Op-amp thường được ghép nối thành các mạch khuếch đại, mạch cảm biến, bộ lọc tín hiệu, bộ điều khiển.

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •53

2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình

 Cảm biến Các cảm biến thường có tín hiệu ra yht(t) tỉ lệ với tín hiệu vào y(t). Ví dụ: - Một cảm biến đo áp suất trong tầm 010 bar và chuyển thành điện áp trong tầm 010V sẽ có hàm truyền là H(s)=K =10/10 = 1 [V/bar] - Một cảm biến nhiệt đo nhiệt độ trong tầm 0500C và chuyển thành điện áp trong tầm 010V sẽ có hàm truyền là H(s)=K =10/500 = 0,02 [V/C] Nếu cảm biến có độ trễ đáng kể thì được mô tả bằng hàm truyền bậc nhất.

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •54

2.5.3 Động cơ điện DC

Tín hiệu vào: điện áp u Tín hiệu ra: vận tốc góc  R: điện trở phần ứng L: điện cảm phần ứng Ke: hằng số sức điện động e=Ke: sức phản điện động Sử dụng 3 phương trình cơ bản:

1) Phương trình mạch điện phần ứng :

Biến đổi Laplace 2 vế:

U(s)

I(s)

(s)

Ke

 Sơ đồ khối (1):

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •55

2.5.3 Động cơ điện DC

2) Phương trình mômen điện từ:

 Sơ đồ khối (2):

I(s)

M(s)

Km

Km : hằng số mômen của động cơ

3) Phương trình cân bằng mômen cơ:

 Sơ đồ khối (3):

Mt(s)

(s)

M(s)

J: mômen quán tính của đcơ và tải quy về trục động cơ

B: hệ số ma sát của đcơ và tải quy về trục động cơ Mt : mômen phụ tải (nhiễu)

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •56

2.5.3 Động cơ điện DC

Kết nối các SĐK (1),(2),(3) ta được SĐK chung của động cơ DC:

Mt(s)

(s)

M(s)

I(s)

U(s)

Km

(s)

Ke

Dùng đại số SĐK tìm hàm truyền động cơ (coi nhiễu Mt=0):

(2-47 tr.45)

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •57

2.5.3 Động cơ điện DC

_là hằng số thời gian điện

Nếu đặt :

_là hằng số thời gian cơ

Thì hàm truyền có dạng:

(2-48 tr.46)

Nếu bỏ qua điện cảm:

(2-49)

 Nhận xét : Tổng quát, động cơ DC điều khiển vận tốc được mô tả bằng hàm truyền bậc hai, nếu bỏ qua điện cảm thì có thể mô tả bằng hàm truyền bậc nhất.

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •58

2.5.3 Động cơ điện DC

 Nếu động cơ được điều khiển góc quay  (định vị); Do =d/dt  (s)=s.(s) nên sơ đồ khối có thêm khâu tích phân 1/s.

Mt(s)

(s)

M(s)

(s)

I(s)

U(s)

Km

(s)

Ke

Hàm truyền:

(2-50 tr.46)

Nếu bỏ qua điện cảm:

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •59

Chương 2: Mô tả toán học

Phần tử và hệ thống liên tục

2.1 Phương trình vi phân. 2.2 Phép biến đổi Laplace. 2.3 Hàm truyền. 2.4 Sơ đồ khối. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình. 2.6 Graph tín hiệu. 2.7 Phương trình trạng thái.

•60 •Bài giảng : Lý Thuyết Điều Khiển Tự Động

Chương 2: Mô tả toán học

Phần tử và hệ thống liên tục

2.1 Phương trình vi phân. 2.2 Phép biến đổi Laplace. 2.3 Hàm truyền. 2.4 Sơ đồ khối. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình. 2.6 Graph tín hiệu. 2.7 Phương trình trạng thái.

•Bài giảng : Lý Thuyết Điều Khiển Tự Động •61

2.7 Mô hình phương trình trạng thái

2.7.1 Giới thiệu  Mô hình hàm truyền có một số điểm hạn chế: - Chỉ áp dụng được với điều kiện đầu bằng 0. - Chỉ mô tả được quan hệ tuyến tính một vào, một ra (SISO). - Chỉ áp dụng được cho hệ tuyến tính bất biến, không dùng được cho hệ phi tuyến hay hệ có thông số biến đổi theo thời gian.  Để khắc phục, người ta dùng mô hình phương trình trạng thái.  Trạng thái của hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là

biến trạng thái) mà nếu biết giá trị các biến này tại thời điểm t=t0 và biết các tín hiệu vào ở t t0, ta hoàn toàn có thể xác định được đáp ứng của hệ thống tại mọi thời điểm t t0. Với hệ tuyến tính bất biến, thời điểm đầu thường được chọn là t0=0.

 Biến trạng thái không nhất thiết phải là các thông số đo được (biến vật lý). Các biến không đại diện cho các đại lượng vật lý (chỉ là biến toán học) cũng có thể chọn làm biến trạng thái.

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •62

2.7 Mô hình phương trình trạng thái

 Để mô tả hệ thống bậc n cần dùng n biến trạng thái, hợp thành

véctơ cột gọi là véctơ trạng thái, ký hiệu là:

 Sử dụng biến trạng thái ta có thể chuyển ph. trình vi phân bậc n mô tả hệ thống thành hệ gồm n phương trình vi phân bậc nhất viết dưới dạng ma trận như sau :

: Phương trình trạng thái

: Phương trình ngõ ra

r(t) là tín hiệu vào, y(t) là tín hiệu ra của hệ.

Trong đó: x(t) là véctơ trạng thái  Với hệ tuyến tính bất biến MIMO thì A, B, C, D là các ma trận hệ số.  Với hệ tuyến tính bất biến SISO thì A là ma trận, B là vectơ cột, C là

vectơ hàng, D là một hằng số.

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •63

2.7 Mô hình phương trình trạng thái

 Nếu hệ tuyến tính bất biến SISO có hàm truyền với bậc tử số

nhỏ hơn bậc mẫu số (gọi là hệ hợp thức chặt) thì D = 0.

 Việc chọn biến trạng thái không phải chỉ theo một cánh duy nhất. Do đó: Một hệ thống có thể mô tả bằng nhiều phương trình trạng thái khác nhau, tuỳ thuộc vào cách chọn các biến trạng thái.

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •64

Ví dụ : Lập ph.trình trạng thái mô tả động cơ DC

3 phương trình cơ bản: -Phương trình điện :

(1)

-Ph. trình mômen điện từ:

(2)

(3)

-Phương trình cân bằng mômen cơ: (để đơn giản, xem mômen tải =0)

(1) 

(4)

(2) và (3) 

(5)

•65 •Bộ môn : Cơ Điện Tử

Ví dụ : Lập ph.trình trạng thái mô tả động cơ DC

Đặt 2 biến trạng thái

(4) và (5) 





•66 •Bộ môn : Cơ Điện Tử

Ví dụ 2.15 (trang 63) _Lập phương trình trạng thái

 Các phương trình cân bằng lực:

 Đặt 4 biến trạng thái:

Ta viết được hệ phương trình trạng thái :

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •67

Ví dụ 2.15 (trang 63)



r

x

B

A

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •68

Ví dụ 2.15 (trang 63)

y

x

C

Dạng tổng quát :

Trong đó A, B, C được xác định như trên. Hằng số D=0.

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •69

2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân

1) Ph.trình vi phân không chứa đạo hàm tín hiệu vào

 Xét hệ thống tuyến tính SISO có ph.trình vi phân:

(Nếu an≠ 1 ta chia hai vế cho an để đưa về dạng trên)

Quy tắc đặt biến trạng thái:

-Biến thứ nhất bằng tín hiệu ra: x1 =y -Biến sau bằng đạo hàm của biến trước: xi= xi-1 (i=2,..,n)

Áp dụng cách đặt biến như trên, ta sẽ tìm được phương trình

trạng thái mô tả hệ thống (trường hợp này có D=0):

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •70

2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân

2) Ph.trình vi phân có chứa đạo hàm tín hiệu vào

 Xét hệ thống tuyến tính SISO có ph.trình vi phân:

(Nếu an≠ 1 ta chia hai vế cho an để đưa về dạng trên) Quy tắc đặt biến trạng thái:

- Nếu bậc vế phải = vế trái (tức bn≠0), đặt x1 =y- 0r Nếu bậc vế phải < vế trái (tức bn=0), đặt x1 =y - Đặt biến thứ i (i=2,3,…,n): - Và đặt

Áp dụng cách đặt biến như trên, ta sẽ xác định được các hệ số .

Từ đó lập được ph.trình trạng thái mô tả hệ thống, trong đó:

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •71

2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân

Ví dụ 1: Lập phương trình trạng thái của hệ có ph.trình vi phân:

Giải. Đặt hai biến trạng thái:



Phương trình trạng thái:

Viết theo dạng ma trận:



•Bộ môn : Cơ Điện Tử •72

2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân

Ví dụ 2: Lập phương trình trạng thái của hệ có ph.trình vi phân:

Giải. Đặt các biến trạng thái:

Và đặt

Ta được:



•Bộ môn : Cơ Điện Tử •73

2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân

 So sánh ph.trình trên với ph.trình đã cho, ta được:

Hệ phương trình trạng thái của hệ thống là:

Dạng ma trận:

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •74

2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân

Đáp ứng ngõ ra:

Ví dụ 3: Lập phương trình trạng thái của hệ có ph.trình vi phân:

Giải. Đặt các biến trạng thái như sau:

Và đặt:

Ta được:



•Bộ môn : Cơ Điện Tử •75

2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân

 So sánh ph.trình trên với ph.trình đã cho, ta được:

Hệ phương trình trạng thái của hệ thống là:

Dạng ma trận:

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •76

2.7.3 Lập ph.trình trạng thái từ hàm truyền, sơ đồ khối

Cách 1: Hàm truyền  ph.trình vi phân  ph.trình trạng thái

Ví dụ:



Lấy Laplace ngược 2 vế 

(tiếp tục giải như ở ví dụ 2 mục 2.7.2 )

Cách 2: Đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ khối

Ví dụ:

(Xem cách giải ví dụ 2.19 trang 69 sách ĐKTĐ )

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •77

2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái

 Xét hệ thống tuyến tính SISO có ph.trình trạng thái:

Hệ thống sẽ có hàm truyền:

(xem chứng minh tr. 71_sách ĐKTĐ)

- Để tránh phải tính ma trận nghịch đảo, có thể dùng công thức:

- Phương trình đặc tính của hệ thống:

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •78

2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái

Ví dụ 2.21 (trang 71) Xét hệ thống có ph.trình trạng thái:

 Hàm truyền của hệ thống =?

Cách 1: Hàm truyền

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •79

2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •80

2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái

Cách 2: Hàm truyền



•Bộ môn : Cơ Điện Tử •81

Tổng kết chương 2

 Một hệ thống có thể mô tả bằng một trong ba dạng mô

hình: Ph.trình vi phân, hàm truyền và ph.trình trạng thái. Ba dạng mô hình này có thể chuyển đổi qua lại.

Ph.trình vi phân

Đặt x

L

L-1

Ph.trình trạng thái

Hàm truyền

•Bộ môn : Cơ Điện Tử •82