BÀI 4 HÀM NHIỀU BIẾN
Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn
1
v1.0
LÝ THUYẾT
1. Khái niệm hàm số nhiều biến số, giới hạn và sự liên tục của hàm số nhiều
biến số.
2. Đạo hàm riêng, vi phân riêng, vi phân toàn phần.
3. Cực trị của hàm số - Cực trị có điều kiện.
2
v1.0
VÍ DỤ 1
Trong các phần tử sau, phần tử nào là một điểm của không gian 3 chiều
?3
a. (1;2)
b. (1;2;3)
c. (1)
d. (1;2;3; 4)
3
v1.0
VÍ DỤ 1 (tiếp theo)
Trong các phần tử sau, phần tử nào là một điểm của không gian 3 chiều
?3
a. (1;2)
b. (1;2;3)
c. (1)
d. (1;2;3; 4)
Hướng dẫn: Xem mục 4.1.1.1
Định nghĩa:
Mỗi bộ n số thực sắp thứ tự x1, x2, ..., xn được gọi là một điểm n chiều. Ta ký hiệu điểm bởi chữ in hoa M(x1, x2, ..., xn).
4
v1.0
VÍ DỤ 2
Một điểm n chiều là:
a. Một bộ n số thực.
b. Một bộ n số thực sắp thứ tự.
c. Một bộ n số thực có hai thành phần bằng nhau.
d. Một bộ n số thực đều bằng nhau.
5
v1.0
VÍ DỤ 2 (tiếp theo)
Một điểm n chiều là:
a. Một bộ n số thực.
b. Một bộ n số thực sắp thứ tự.
c. Một bộ n số thực có hai thành phần bằng nhau.
d. Một bộ n số thực đều bằng nhau.
6
v1.0
VÍ DỤ 3
Cho hàm số n biến f(M). Tìm khẳng định luôn luôn đúng trong các khẳng định sau:
n
a. Miền xác định của hàm số là
n
b. Miền xác định của hàm số là tập hợp con của
n
c. Miền giá trị của hàm số là
n
d. Miền giá trị của hàm số là tập con của
7
v1.0
VÍ DỤ 3 (tiếp theo)
Hướng dẫn:
8
v1.0
VÍ DỤ 3 (tiếp theo)
Cho hàm số n biến f(M). Tìm khẳng định luôn luôn đúng trong các khẳng định sau:
n
a. Miền xác định của hàm số là
n
b. Miền xác định của hàm số là tập hợp con của
n
c. Miền giá trị của hàm số là
n
d. Miền giá trị của hàm số là tập con của
Nhận xét:
Sai lầm thường gặp: Không nắm được khái niệm hàm số nhiều biến, bị lẫn lộn giữa miền xác định và miền giá trị.
9
v1.0
VÍ DỤ 4
z
x. 1 y
Tập nào sau đây là miền xác định của hàm số
x
y
xy
a. x
0, y 1
y
b. x
0, y 1
y
c. x
0, y 1
y
d. x
0, y 1
y
10
v1.0
VÍ DỤ 4 (tiếp theo)
z
x. 1 y
Tập nào sau đây là miền xác định của hàm số
x
y
xy
a. x
0, y 1
b. x
0, y 1
0
c. x
0, y 1
0 0
x y y 1
y x 1 y
d. x
0, y 1
y y y y
Hướng dẫn: Khái niệm miền xác định (tr.73)
Miền xác định tự nhiên của một hàm nhiều biến là các bộ n số sao cho khi thay vào biểu thức của hàm số thì các phép toán đều có ý nghĩa.
Chú ý:
11
v1.0
VÍ DỤ 5
Tập nào sau đây là miền xác định của hàm số z
a. x
y
0 , y
1
b. x
y
0 , y
1
c. x
y
0 , 1
y
1
d. x
y
0 , 0
y
1
12
v1.0
ln(x y) x arcsin 1 y
VÍ DỤ 5 (tiếp theo)
a. x
y
0 , y
1
b. x
y
0 , y
1
c. x
y
0 , 1
y
1
d. x
y
0 , 0
y
1
Tập nào sau đây là miền xác định của hàm số z ln(x y) x arcsin 1 y
v1.0
13
VÍ DỤ 6
Giới hạn của dãy điểm
khi
là:
n
,
n 1 2n 3 2 n M n
a. (0; 0 )
b. (0 ; 2 )
c. (0 ; 2 )
d. (1 ;1 )
v1.0
14
VÍ DỤ 6 (tiếp theo)
n
0
n
x
Hướng dẫn:
n
n
0
M (x ; y ) n n M(x ; y ) 0 0 y
lim x n lim y n
n
n
Nếu một trong 2 giới hạn không tồn tại thì
lim x , lim y n n
cũng không tồn tại
lim M n n
v1.0
15
VÍ DỤ 6 (tiếp theo)
Giới hạn của dãy điểm
khi
là:
n
n
,
M n
1 2n 3 2 n
a. (0; 0 )
b. (0 ; 2 )
c. (0 ; 2 ) ; (0;2) 2
n
lim n 0; lim n lim M n n 2n 3 n 1 2 n 1 2n 3 2 n
d. (1 ;1 )
Nhận xét: Việc tính giới hạn của một dãy điểm n biến, thực chất là tính giới hạn của n dãy, một dãy ứng với 1 thành phần của điểm. Chỉ cần 1 trong các giới hạn đó không tồn tại thì cũng không tồn tại giới hạn của dãy điểm đó.
v1.0
16
VÍ DỤ 7
n
,
2 2 3 2n n n n
M n
a. (0;0)
b. (0; 2)
c. (0;2)
Không tồn tại.
d.
Giới hạn của dãy điểm khi là:
v1.0
17
VÍ DỤ 7 (tiếp theo)
n
Giới hạn của dãy điểm
khi
là:
,
2 2 3 2n n n n
M n
a. (0;0)
b. (0; 2)
c. (0;2)
Không tồn tại.
d.
2 3 2n n n
18
v1.0
lim n
VÍ DỤ 8
2
2
x
y
f(M)
f(x, y)
2
2
x
y
n
Cho hàm số . Tìm giới
hạn của dãy số khi
M , trong đó n
n f(M )
a.
3 5
b. 0
c.
5 3
d.
Không tồn tại.
2 1 , n n
v1.0
19
VÍ DỤ 8 (tiếp theo)
2
2
x
y
Cho hàm số
. Tìm giới
f(M)
f(x, y)
2
2
x
y
n
hạn của dãy số
khi
M , trong đó n
n f(M )
2 1 , n n
2 / n
a.
f
f(M ) n
3 5
2 1 , n n
3 5
2 3n 2 5n
2 / n
2 2
1 / n 1 / n
2 2
b. 0
lim f(M ) n n
lim n
3 5
3 5
c.
5 3
Không tồn tại.
d.
20
v1.0
VÍ DỤ 9
Cho hàm số . Khi đó, bằng:
3 2 z x y 2y
yz '( 1,2)
a. 15
b. -20
c. 0
d. 25
21
v1.0
VÍ DỤ 9 (tiếp theo)
Cho hàm số . Khi đó, bằng:
3 2 z x y 2y
yz '( 1,2)
a. 15
b. -20
c. 0
d. 25
22
v1.0
VÍ DỤ 9 (tiếp theo)
Hướng dẫn: Xem định nghĩa đạo hàm riêng (mục 4.2.2.1)
Đạo hàm riêng:
Đạo hàm riêng thực chất là đạo hàm riêng theo một biến số khi tất cả các biến còn lại nhận giá trị cố định. Do đó khi tính đạo hàm riêng theo biến nào thì ta coi các biến còn lại như là hằng số, và tính đạo hàm theo biến đang xét.
23
v1.0
VÍ DỤ 9 (tiếp theo)
Cho hàm số . Khi đó, bằng:
3 2 z x y 2y
yz '( 1,2)
a. 15
b. -20
c. 0
2
3
2
2
/ z y
d. 25
2
z x 6y x y 2y
2 6.2
/ z ( 1,2) y
( 1) 25
Nhận xét:
2
3
Sai lầm thường gặp: Khi tính đạo hàm riêng, do thói quen thường coi x là biến, nên khi đạo hàm theo biến y cũng đồng thời tiến hành đạo hàm theo biến x. Chẳng hạn với
z
2
, x y 2y
2 / (x ) y
3 / (2y )
2xy 6y
/ y
/
2
2
24
hay z
2 / (x ) y
2 x y
3 / (2y )
2xy
x
6y
/ y
v1.0
tính z
VÍ DỤ 10
x
z e (cosy xsiny)
Cho hàm số
. Khi đó, bằng:
yz '(1, )
1
a. e
b. e
c. e
1
d. e
25
v1.0
VÍ DỤ 10 (tiếp theo)
x
z e (cosy xsiny)
Cho hàm số
. Khi đó, bằng:
yz '(1, )
1
a. e
x
b. e
/ y
1
z (x, y) x cos y) e ( sin y
/ y
c. e
1
d. e
26
v1.0
z (1; ) 1.cos ) e e ( sin
VÍ DỤ 11
2
2
y x
x y
z
z ' z ' x y
2
2
a. x
y
b. 4xy
2
2
c. x
y
4xy
2
2
d. x
y
Cho . Khi đó bằng:
v1.0
27
VÍ DỤ 11 (tiếp theo)
2 y x
2 x y
z
z ' z ' x y
2
2
a. x
y
b. 4xy
2
2
c. x
y
4xy
2
2
2
2
Cho . Khi đó bằng:
d. x
y
/ x
/ y
2
2
z 2xy y , z x 2xy
/ x
/ y
z x y z
v1.0
28
VÍ DỤ 12
a. y cos(xy)
b. x cos(xy)
c. y cos(xy)dx
d. x cos(xy)dx
Cho z = sin(xy). Vi phân riêng của hàm số theo biến x là:
v1.0
29
VÍ DỤ 12 (tiếp theo)
a. y cos(xy)
Cho z = sin(xy). Vi phân riêng của hàm số theo biến x là:
Chú ý:
b. x cos(xy)
c. y cos(xy)dx
Không được thiếu dx
/ x
x
d. x cos(xy)dx
z y cos(xy) dz y cos(xy)dx
Hướng dẫn:
dz
x
/ z .dx; dz x
y
/ z .dy y
• Công thức vi phân riêng:
dz
z .dx
z .dy
dz dz
y
x
/ x
/ y
• Vi phân toàn phần là tổng của tất cả các vi phân riêng:
v1.0
30
VÍ DỤ 13
Cho z = sin2x + sin2y. Vi phân toàn phần của hàm số là:
a. sin2x sin2y dx dy
b. sin2xdx sin2ydy
c. sin2xdy sin2ydx
d. sin2x sin2y
v1.0
31
VÍ DỤ 13 (tiếp theo)
Cho z = sin2x + sin2y. Vi phân toàn phần của hàm số là:
a. sin2x sin2y dx dy
b. sin2xdx sin2ydy
c. sin2xdy sin2ydx
d. sin2x sin2y
v1.0
32
VÍ DỤ 14
/ /
z
2 x y Cho . Khi đó
x yz
a. 2x
b. 2y
c. 2xy
d. 4
bằng:
v1.0
33
VÍ DỤ 14 (tiếp theo)
Hướng dẫn: Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số u = f(x1, x2, ..., xn) có đạo hàm riêng theo các biến xi trong miền D. Khi đó các đạo hàm riêng fx1’ cũng là các hàm số của n biến số. Đạo hàm riêng theo biến xj của đạo hàm riêng cấp một fx1’ được gọi là đạo hàm riêng cấp hai của hàm số u = f(x1, x2, ..., xn) theo biến xi và xj. Được ký hiệu là:
2
2
u
f
'' x x i
j
'' x x i
j
u x x
f x x
j
i
i
u u(x, y)
Với hàm hai biến
j ta có 4 đạo hàm riêng cấp 2:
u
(u ) ; u
(u )
// xx
/ x
/ x
// xy
/ x
/ y
u
(u ) ; u
(u )
// yx
/ y
/ x
// yy
/ y
/ y
v1.0
34
VÍ DỤ 14 (tiếp theo)
/ /
bằng:
2 x y Cho . Khi đó
z
x yz
2
z
x y
2xy
z
/ x
a. 2x
(z )
2x
z
// xy
/ x
/ y
b. 2y
c. 2xy
d. 4
Nhận xét:
Tính đạo hàm riêng cấp cao của hàm nhiều biến, ta tính đạo hàm riêng lần lượt theo từng biến.
35
v1.0
VÍ DỤ 15
Cho hàm số z = z(x,y) có các đạo hàm riêng cấp một. Điểm dừng của hàm số thoả mãn (hệ) phương trình nào?
a. z ' 0, z(x, y) 0
x
b. z ' 0, z(x, y) 0
y
c. z '
z ' 0
x
y
d. z(x, y) 0
36
v1.0
VÍ DỤ 15 (tiếp theo)
Cho hàm số z = z(x,y) có các đạo hàm riêng cấp một. Điểm dừng của hàm số thoả mãn (hệ) phương trình nào?
a. z ' 0, z(x, y) 0
x
b. z ' 0, z(x, y) 0
y
c. z '
z ' 0
x
y
d. z(x, y) 0
Hướng dẫn:
Với hàm số z = f(x,y), ta có các điểm dừng, có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình f’x = f’y = 0.
37
v1.0
VÍ DỤ 16
2
z ( x , y )
x
2 x y
2 y
Điểm dừng của hàm số
là:
a. (1, 1) b. (1,1)
c. ( 1,1)
d. ( 1, 1)
38
v1.0
VÍ DỤ 16 (tiếp theo)
2
z ( x , y )
x
2 x y
2 y
Điểm dừng của hàm số
là:
z
0
2x 2y
1
y
/ x
z
2x 2 0
x 1
/ y
a. (1, 1) b. (1,1)
c. ( 1,1)
d. ( 1, 1)
39
v1.0
MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP
Câu 1: Đối với hàm 2 biến có khái niệm giới hạn trái và giới hạn phải như hàm 1 biến không?
Trả lời: Không, vì với mỗi điểm trên trục số chỉ có 2 hướng tiến về nó (bên trái, bên phải), còn đối với một điểm trên mặt phẳng thì có vô số hướng tiến về nó.
Câu 2: Cực đại và giá trị lớn nhất có giống nhau không?
Trả lời: Không, cực đại là giá trị lớn nhất trong một lân cận nào đó của một điểm (mang tính địa phương), còn giá trị lớn nhất là giá trị lớn nhất trên toàn bộ miền đang xét (mang tính toàn thể).
40
v1.0
