19/09/2017
1
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG
CHƯƠNG 2
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm tại một điểm
•Định nghĩa: Đạo hàm của hàm f tại điểm a, ký hiệu
f’(a) là:
(nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn).
•Chú ý: đặt h=x-a, ta có:
' lim
x a
f x f a
f a
x a
0
' lim
h
f a h f a
f a
h
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•Tìm đạo hàm của hàm:
tại a=2 theo định nghĩa.
Ta xét giới hạn sau:
Vậy:
2
8 9
f x x x
22
0 0
2 8 2 9 3 4
lim lim 4
h h
h h h h
h h
' 2 4
f
0
2 2
lim
h
f h f
h
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm phải – trái
•Đạo hàm trái của f(x) tại a là:
•Đạo hàm phải của f(x) tại a là:
0
' lim lim
x a h
f x f a f a h f a
f a
x a h
0
' lim lim
x a h
f x f a f a h f a
f a
x a h
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Định lý
•Định lý: Hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm a khi và
chỉ khi nó có đạo hàm trái; đạo hàm phải tại a và
hai đạo hàm này bằng nhau.
•Định lý: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì hàm
số liên tục tại a. Chiều ngược lại có thể không
đúng.
' ' '
' lim
x a
f a L f x f a
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•Cho hàm số:
Tìm
Ta có:
Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại 0.
1/
, 0
0 , 0
x
e x
f x x
' 0 ; ' 0
f f
1/
1/
0 0
0 0
0 0 0
' 0 lim lim lim 0
0 0 0
' 0 lim lim
h
u
h
u
h h
h h
f h f e u
fh h e
f h f e
f
h h
19/09/2017
2
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ý nghĩa đạo hàm tại điểm
•Ta có:
•Là hsg của tiếp tuyến tại
điểm (a;f(a)).
•f’(a+): hsg của nửa tiếp
tuyến bên phải điểm (a;
f(a))
•f’(a-): hsg của nửa tiếp
tuyến bên trái điểm (a;
f(a))
•Thể hiện tốc độ biến thiên
của hàm số tại a.
0
' lim slope secant line
h
f a h f a
f a
h
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Hàm số đạo hàm
•Hàm số đạo hàm của hàm y=f(x).
•Tập xác định của hàm f’ là tập các giá trị của x sao cho
f’(x) tồn tại. Nó có thể nhỏ hơn TXĐ của hàm số f(x).
•Ký hiệu:
Lagrange : '; '
Leibnitz : ; ;
Cauchy : ;
f y
df dy d
f x
dx dx dx
Dy Df x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 1
•Tìm (hàm số) đạo hàm của hàm y=x
2
.
•Ta có:
•Giới hạn này tồn tại hữu hạn với mọi x thuộc
TXĐ.
•Vậy đạo hàm của hàm số:
22
0 0
lim lim 2
h h
f x h f x x h x
x
h h
' 2y x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Qui tắc tính đạo hàm 1
•Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đó đạo hàm theo x của
các hàm sau là:
•Đạo hàm dạng:u
v
•Cách tính: lấy logarit Nêpe hai vế hàm số:
2
. ' ' ' . ' . '
' . . '
. . ' '. . ' .
i u v u v ii ku k u
u u v u v
iii u v u v u v iv v
v
'
'. ln .
v v
u
u u v u v
u
v
y u
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Qui tắc tính đạo hàm 2
•Đạo hàm của hàm hợp:
•Ví dụ: Hàm là hàm hợp của 2 hàm:
Vậy:
0
.
x g x
y f g x y f g
ln cosy x
ln ; cosf x x g x x
1
. . sin tan
cos
x g x
y f g x x
x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•Tìm f’(x) biết:
•Ta có:
•Vậy:
2
34 7
1
. sin
x
f x y
x x
2
2
4
ln ln 1 ln 7 ln sin
3
' 2 4 7 cos
3 sin
1
y x x x
y x x
y x x
x
2
2
34 7
2 4 7 cos
' .
1
. si
s
n
3 in
1
x
x
x
y
x x
x
x
x
19/09/2017
3
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm của hàm ngược
•Định lý. Giả sử hàm y=f(x) khả vi liên tục trên
đoạn (a,b) và f’(x)≠0 trên (a;b)
•Khi này có hàm ngược: x=g(y) hay x=f
-1
(y)
•Chú ý:
: ; ;
f a b f a f b
x f x y
1
: ; ;g f a f b a b
y f y x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm của hàm ngược
•Khi đó:
•Ví dụ 1: Hàm y=arccotx có hàm ngược x=cotny
1 1
y x
x y
x y
y x
2
2
1 1 1
1
1 cot
x
y
yx
x
y
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•Ví dụ 2: Hàm y=arcsinx
•Ta có:
•Ta biết:
•Vậy:
1 1;
2 2
x y
2 2
arcsin sin
' cos 1 sin 1
y x x y
x y y x
2
1 1
''
1
x
y
yx
x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Hàm ẩn
•Hàm y=f(x) với x(a;b) là hàm ẩn cho bởi phương
trình F(x,y)=0 nếu thay y=f(x) vào ta được đẳng
thức đúng.
•Nghĩa là: F(x, f(x))=0 với x(a;b).
•Ví dụ: Phương trình:
xác định hai hàm ẩn:
2 2
, 1
F x y x y
2
1
1 , 1;1
y x x
2
2
1 , 1;1
y x x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm hàm ẩn
•Cho phương trình: F(x;y)=0
•Để tính: y’
x
•B1. Lấy đạo hàm hai vế phương trình theo x.
Chú ý y là hàm theo x.
•B2. Giải phương trình tìm y’.
•B3. Để tính y’(a) ta thay x=a vào phương trình.
Ví dụ: Cho phương trình:
Tính đạo hàm của y theo x.
3 2
ln 0
y
x y x e
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm hàm ẩn
•B1. Lấy đạo hàm theo x
•B2. Giải tìm y’
3 2
ln 0
y
x
x y x e
2 2
2 2
2
2
* 3 2 . . 0
3 2 . 1 0
3 2 .
'
'
'
1
'
y y
y y
y
y
x y xy e x ye
x y xy e x
y y
ye
x y xy e
y
x ye
y
2 2
'
3 . . 0 *
'2 .
y y
x x e x
y
ye
y
19/09/2017
4
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm hàm ẩn
•B3. Tính y’(0).
•Ta có:
•Thay x=0 và y(0)=1 vào ta có:
3 2
ln 0
0 ln 0 1 0
y
x y x e
x y y y
2
2
3 2 .
'
1
y
y
x y xy e
y
x ye
1
1
1 10 03. . 2. . .
' 0 0
. 10.1
e
y
e
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Vi phân
Cho
y f x
và
2 1
x x x
ta có:
2 1 1 1
y y y f x x f x
0
0 0
' lim
' lim lim
h
x x
f x h f x
f x h
f x x f x
y
f x
x x
' .
y
f x x
Vi phân của f(x)
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Vi phân của hàm số
•Vi phân của hàm số y=f(x) là biểu thức:
•Ký hiệu vi phân là dy hay df. Do đó:
•Vi phân là một hàm số, phụ thuộc 2 biến là x và
Δx
' .f x x
' .
d
fyx
d f
x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Vi phân của hàm số
•Nếu y=f(x)=x thì:
•Như vậy ta thường ghi dx=Δx. Do đó:
•Điều này giải thích tại sao ta còn ký hiệu đạo
hàm là dy/dx
' . '
dy
dy f x dx f x
dx
' '.
dx f x x x x x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ý nghĩa vi phân
•Tính xấp xỉ giá trị hàm số khi biến độc lập thay
đổi một lượng khá nhỏ
•hay
0 0 0
' .f x x f x f x x
0 0 0
' .
f x f x f x x x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•Cho hàm số:
a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x
0
=1
b) Tính gần đúng:
Giải:
3
f x x
4, 03
1 1
2 3 2 3
f x df x dx
x x
1 1 1
1 1
4 4
2 1 3
df dx dx x
19/09/2017
5
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•Cho hàm số:
a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x
0
=1
b) Tính gần đúng:
Giải:
Nếu tính bằng máy tính:
3
f x x
4, 03
1
1 1
41 0, 03
4, 03 1, 03 1 1, 03 1 2 2, 0075
4 4
f x f x
f f
4, 03 2, 00748599..
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Vi phân của hàm hợp
•Xét hàm số:
•Ta có:
•Giả sử x là hàm số theo biến t, chẳng hạn x=g(t)
•Khi này hàm số y có thể đưa về theo t. Do đó:
•Ta có:
•Do đó vi phân cấp 1 có tính bất biến.
y f x
'
x
dy f dx
'
t
dy f dt
' . ' . ' . ' .
t x t x
dy f dt f x dt f dx
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•Cho hàm số . Hãy tìm dy?
•Hãy tính:
1
ln
1
x
x
e
y
e
cos
?
sin
d x
d x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
ĐỊNH LÝ CƠ BẢN HÀM KHẢ VI
•Cực trị địa phương
•Định lý Ferma
•Định lý Rolle
•Định lý Lagrange
•Định lý Cauchy
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Cực trị địa phương
•Cho hàm y=f(x) xác định trong khoảng (a,b)
•Xét điểm c thuộc (a,b)
•Hàm số đạt cực đại địa phương tại c nếu tồn tại
số δ>0 sao cho: f(x)≤f(c) với mọi x thuộc (c- δ;c+
δ)
•Hàm số đạt cực tiểu địa phương tại c nếu tồn
tại số δ>0 sao cho: f(x)≥f(c) với mọi x thuộc (c-
δ;c+ δ)
•Cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Cực trị địa phương
Các điểm cực trị địa phương của hàm số là???