Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 2 - Nguyễn Văn Tiến (2017)

19/09/2017

CHƯƠNG 2

Đạo hàm tại một điểm

• Định nghĩa: Đạo hàm của hàm f tại điểm a, ký hiệu

f’(a) là:



  f a



  a

lim  a x

  f x x



ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG

(nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn).

• Chú ý: đặt h=x-a, ta có:

 f a

  f a



  a

lim  h 0

   h h

Ví dụ

Đạo hàm phải – trái

• Đạo hàm trái của f(x) tại a là:







  f x



• Tìm đạo hàm của hàm: tại a=2 theo định nghĩa.

  f a

 f a

  f a





 a





lim  a x

lim   h 0

  f x x



   h h

 2

  2

Ta xét giới hạn sau:

lim  h 0

   h h

• Đạo hàm phải của f(x) tại a là:





 2



   

h 4

  f a

 f a

  f a





 



 a





lim  h 0

lim  a x

lim  h 0

 8 2 h

 h

  f x x



   h h

 

  ' 2

Vậy:

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định lý

Ví dụ



Tìm

   ' 0 ;

 ' 0



  f x

, ,

x x

 

0 0

• Cho hàm số:  xe 1/    0 

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

  L



  a

• Định lý: Hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm a khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái; đạo hàm phải tại a và hai đạo hàm này bằng nhau. 

 a



Ta có:



  0





 ' 0





lim  

lim  h 0

 u u e

 h h



  0





 

 ' 0





• Định lý: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì hàm số liên tục tại a. Chiều ngược lại có thể không đúng.

lim  h 0

   h h    h h

 h

  L



  a

  f x

  f a

lim  a x

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại 0.

 

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

19/09/2017

Hàm số đạo hàm

  f a

 f a



slope secant line

lim  h 0

Ý nghĩa đạo hàm tại điểm    h   • Ta có: a h • Là hsg của tiếp tuyến tại

điểm (a;f(a)).

• Hàm số đạo hàm của hàm y=f(x). • Tập xác định của hàm f’ là tập các giá trị của x sao cho f’(x) tồn tại. Nó có thể nhỏ hơn TXĐ của hàm số f(x).

• Ký hiệu:

Lagrange :

• f’(a+): hsg của nửa tiếp tuyến bên phải điểm (a; f(a))

Leibnitz :

  f x

• f’(a-): hsg của nửa tiếp tuyến bên trái điểm (a; f(a))

Cauchy :

'; y f ' df dy d ; ; dx dx dx   Dy Df x ;

• Thể hiện tốc độ biến thiên

của hàm số tại a.

Ví dụ 1

Qui tắc tính đạo hàm 1 • Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đó đạo hàm theo x của

• Tìm (hàm số) đạo hàm của hàm y=x2. • Ta có:

các hàm sau là:   u  v i .



k u .

 u







 f x

  f x

 x

u v ' .

u v .



u v ' .



u v .



lim  h 0

 iii u v . .



   h h

2 h

u v

 2 v

 ku     

       

• Đạo hàm dạng:uv

• Giới hạn này tồn tại hữu hạn với mọi x thuộc

TXĐ.



' . ln



 u

 

u u

  v u v  

   

• Vậy đạo hàm của hàm số:

• Cách tính: lấy logarit Nêpe hai vế hàm số:

x 2

u

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Qui tắc tính đạo hàm 2

Ví dụ  1



  f x

• Tìm f’(x) biết: • Ta có:







. sin

• Đạo hàm của hàm hợp:   f g x 0

 x

 . f g g

 x

• Ví dụ: Hàm







 7 ln sin





 ;

cos



y    f x

 ln cos x   x ln

là hàm hợp của 2 hàm:     x g x

Vậy:





 4 x 3

4 3 7 cos x x sin

y y

 ln 1 2 x  x



sin

 

tan

 



 x

 f g . g

 x

• Vậy:

1 cos







4 x 3

7 cos x x in s

2 x  x

   

    

. si

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

19/09/2017

Đạo hàm của hàm ngược

• Khi đó:

• Định lý. Giả sử hàm y=f(x) khả vi liên tục trên

đoạn (a,b) và f’(x)≠0 trên (a;b)



 y

 x

1  y x

1  x y

• Khi này có hàm ngược: x=g(y) hay x=f-1(y) • Chú ý:



;

• Ví dụ 1: Hàm y=arccotx có hàm ngược x=cotny



 a b ; x



   f b y

   f a    f x



;



   f b





  x



  f a y



 a b ; f



 

1 x



cot

   y

1  x y

 1



Ví dụ

• Ví dụ 2: Hàm y=arcsinx • Ta có:

Hàm ẩn • Hàm y=f(x) với x(a;b) là hàm ẩn cho bởi phương trình F(x,y)=0 nếu thay y=f(x) vào ta được đẳng thức đúng.

  

 2

• Nghĩa là: F(x, f(x))=0 với x(a;b).

• Ta biết:  y

arcsin

  x

sin







 F x y



  x

cos





sin





• Ví dụ: Phương trình: xác định hai hàm ẩn:





1;1

• Vậy:

  



1 x '

  

1;1



       

  

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm hàm ẩn







2 x e

 

• Cho phương trình: F(x;y)=0 • Để tính: y’x • B1. Lấy đạo hàm hai vế phương trình theo x.

y .

x .











e .

  *



 2

Chú ý y là hàm theo x.

• B1. Lấy đạo hàm theo x  x y y

2 x y



2 x ye



  * 

2 x y

xy e .



2 ye

 

• B2. Giải tìm y’  

y . 

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

• B2. Giải phương trình tìm y’. • B3. Để tính y’(a) ta thay x=a vào phương trình. Ví dụ: Cho phương trình:



 

xy e .  ' 1 





2 x e



  y



   y 2   xy e . 2  1

2 x y  2 x ye

Tính đạo hàm của y theo x.

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

19/09/2017

Đạo hàm hàm ẩn

Vi phân

• B3. Tính y’(0).

  x



  y





Cho

và

 ta có:

  f x

    x



y 1

 f x 1

x 2

x 1





2 x e





 f x





  x

  0

    y

lim  h 0

  0

 f x



x • Ta có:



  x

lim   x 0

   f x h h  x     x

y   x











2 x y  2 x ye

xy e .  1

  y

 . x

  x

Vi phân của f(x)









  ' 0

0.1



e .

• Thay x=0 và y(0)=1 vào ta có: e . 1  1

0 

Vi phân của hàm số

  x



• Vi phân của hàm số y=f(x) là biểu thức: f '

x .

  x

• Ký hiệu vi phân là dy hay df. Do đó:

• Nếu y=f(x)=x thì:      '. x x ' • Như vậy ta thường ghi dx=Δx. Do đó:



x  .

  x









 x dx .





dy dx

• Vi phân là một hàm số, phụ thuộc 2 biến là x và

• Điều này giải thích tại sao ta còn ký hiệu đạo

Δx

hàm là dy/dx

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ý nghĩa vi phân

Ví dụ  x 3

  f x

• Tính xấp xỉ giá trị hàm số khi biến độc lập thay

đổi một lượng khá nhỏ

4, 03

   x



 .

 f x



 f x



 x



• Cho hàm số: a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1 b) Tính gần đúng: Giải:









  x

  df x

• hay









  f x

 f x



 x

  x .







  1

 x



1 4

2 1



Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

19/09/2017

Ví dụ  x 3

  f x



4, 03

• Cho hàm số: a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1 b) Tính gần đúng: Giải:

Vi phân của hàm hợp   • Xét hàm số: f x • Ta có: dx 'x • Giả sử x là hàm số theo biến t, chẳng hạn x=g(t) • Khi này hàm số y có thể đưa về theo t. Do đó:







  f x

  1

 x

 1



• Ta có:

4, 03









2, 0075

1 4 

 1, 03

  1

 1, 03

   

1 4

0, 03 4



x .



dx .

' . t

4, 03



2, 00748599..

Nếu tính bằng máy tính:

• Do đó vi phân cấp 1 có tính bất biến.

ĐỊNH LÝ CƠ BẢN HÀM KHẢ VI



• Cho hàm số

. Hãy tìm dy?

Ví dụ  e 1  e 1

• Hãy tính:



sin

• Cực trị địa phương • Định lý Ferma • Định lý Rolle • Định lý Lagrange • Định lý Cauchy

 cos 

 

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Cực trị địa phương

• Cho hàm y=f(x) xác định trong khoảng (a,b) • Xét điểm c thuộc (a,b) • Hàm số đạt cực đại địa phương tại c nếu tồn tại số δ>0 sao cho: f(x)≤f(c) với mọi x thuộc (c- δ;c+ δ)

Các điểm cực trị địa phương của hàm số là???

• Hàm số đạt cực tiểu địa phương tại c nếu tồn tại số δ>0 sao cho: f(x)≥f(c) với mọi x thuộc (c- δ;c+ δ)

• Cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

19/09/2017

Định lý Fermat

Định lý Rolle

• Cho hàm số y=f(x) xác định trong lân cận c. • Nếu f(x) đạt cực trị tại c và có đạo hàm tại c thì:

  c 

• Hàm f(x) liên tục trên [a,b], • Hàm f(x) khả vi trên (a,b) • f(a)=f(b) • Khi đó: tồn tại ít nhất một điểm c thuộc (a,b)

sao cho f’(c)=0

• Đặc biệt nếu f(a)=f(b)=0 thì định lý Rolle có nghĩa giữa hai nghiệm của hàm số có ít nhất một nghiệm của đạo hàm.

Định lý Lagrange (ĐL số gia hữu hạn)

Định lý Cauchy

• Nếu f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì

tồn tại c thuộc (a,b) sao cho:

• Nếu f(x), g(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và g(x) khác 0 trên (a,b) thì tồn tại c thuộc (a,b) sao cho:



  f a





  c

  f b b







  f b   g b

  f a   g a

  c   c

• Trên dây cung AB tìm được tiếp tuyến song song với AB

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đạo hàm, vi phân cấp cao

, 0

  x

• Cho hàm số:

Ví dụ   x 3 2

  f x

, 1

  

1 x

   

• Đạo hàm cấp cao • Vi phân cấp cao • Công thức Taylor

• Tìm giá trị trung gian c của công thức số gia hữu

hạn đối với hàm số f(x) trên đoạn [0;2]

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

19/09/2017

Đạo hàm cấp cao

• Cho f là hàm khả vi. Đạo hàm (nếu có) của f’ gọi

• Đạo hàm cấp n của hàm f là đạo hàm của đạo

là đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x).

hàm cấp (n-1).

 1

  n

 n

  1

• Ký hiệu:



f  1



 

n d f n dx

 d d     dx dx

     









 

2 d f 2 dx

 d df     dx dx

     

. x x e

  f x

• Đạo hàm cấp 3 của hàm f là đạo hàm của đạo

hàm cấp 2.

• Ví dụ: Cho hàm: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số. Giải:







 





e .







x e .





  x

   x

 x

 e

 x e .

 

3 d f 3 dx

 2 d f d    2  dx dx

     

Đạo hàm cấp cao

  n





• Ta có:

  n





)



  

 1 ...

 x

 















  x

 e

   x

 e

 x

 e

  x  

  

)





Đạo hàm cấp cao thường gặp   x     1      x



 x



• Tương tự:

n a e .



iii

)

 e



 1



 n

 1 !





;





  x

 x



    x

 x



  

 ) ln



• Tổng quát:



)

sin

. sin

       n        a       







    x

 x

 n e



. cos

 ) cos

 

  ax      ax   

     2       2 

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

Chú ý

  n







• Tính đạo hàm cấp n của:



a .

)









 1



  

   



 1

)



  a f x

  b g x )



a .

1 x 3





 ax

  



1 

  ax     ) ln

  

 1





  n  1 ! 

)

sin





. sin

  b

 ax







. cos

  b

 ax

 ) cos

     

  1 ...  n  ax   ax      ax   

     2       2 

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

19/09/2017

Công thức Leibnitz

Ví dụ

• Dễ thấy:





 x

 1 sin



 . f g



 . g f

f g .

• Tính đạo hàm cấp 3 của: • Đặt







sin

 x

 1 ; g



f g .



 f g .



 . g f



 . f g



  f g



f g .

 

   



 

• Ta có:

  3

  2

  3

• Mở rộng:



  3 g



  2 g



3 '

f g



f g .

  k



f g .

 g  n k



 

k C f . n

 



• Thay thế ta có:   3 y 6 cos





6 sin





 x

 1 cos

Gần giống khai triển nhị thức Newton

• Đạo hàm cấp 10 của y là???

Ví dụ

Vi phân cấp cao

x f .





• Cho f là hàm số khả vi cấp n • Vi phân cấp 2 của hàm f, ký hiệu: d2f xác định

• Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số sau   x

   a

 f a

bằng công thức sau:

2d f



 d df



• Tổng quát, vi phân cấp n của hàm f:

n d f



 d d

1 f

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

Vi phân cấp cao

• Tính vi phân cấp 2 của:

• Vi phân cấp 2: x là biến độc lập dx như hằng số



  2 d f x

) a y b y )

 

x arctan x arctan ;



sin



  x dx dx f .



    x dx

  x dx .

  d df  dx d f .

  d f    x

• Giải.

• Vi phân cấp 2: x là biến phụ thuộc dx biến thiên

a d y

)

 



x .





  2 d f x

 1



 ''

x .



' . t f

 x .

x f





 d df  .

 dt d f .  

 . x ' t    x dx .

  2 x d x .

 d f x ' . t

x ' t

'' tt

b d y

)

 



dt .

sin t  x 1

• Vi phân cấp cao không có tính bất biến



 1



Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

19/09/2017

Công thức Taylor

• Khai triển một hàm số phức tạp thành dạng

đơn giản



• Nếu hàm f khả vi tại x0 thì:    h f '

 f x

  h

 x



  • Trong đó O(h) là vô cùng bé bậc cao hơn so với

• Khai triển hàm phức tạp thành hàm đa thức. • Ví dụ: khai triển Taylor tại x=0

 1

arctan

  x

...



   



 x



x 5

x 3





  

  ...

x n 2 

 x

x 3 !

x 2 !

x n

• Công thức này cho ta cách tính giá trị f(x) trong lân cận của điểm x0 khi đã biết f(x0) và f’(x0). • Vấn đề: nếu biết thêm các đạo hàm cấp cao của hàm f(x) tại x0 thì ta có thể tính chính xác hơn giá trị hàm f(x) trong lân cận x0 hay không?

Công thức Taylor

Phần dư trong công thức Taylor

• Dạng Lagrange:



 n







 x



f  n

   c   1 !

Cho hàm số f(x): • Liên tục trên [a,b] • Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b) • Xét x0(a,b). Khi đó trên [a,b] ta có: f











  f x

 f x



 x



• Dạng Peano: (thường dùng hơn)

 x 2 !  1

 n





  ...







 x



 x



 x  1 !    x n !

 x    c   1 !

f  n







 x

0

lim   x



• Với c là điểm nằm giữa x và x0

 x

0

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Công thức Maclaurin

Ví dụ

• Khai triển Maclaurin các hàm số sau:



a e )

) sin



 ) ln 1



 ) 1



Cho hàm số f(x): • Liên tục trên [a,b] • Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b) • Xét x0=0 (a,b). Khi đó trên [a,b] ta có:

• Chú ý.



  f x

sin



sin



cos



???



 



 

 k 2

    

    

  n





  ...



  0

 x







???

 ln 1

  

 1





  

 1

  ' 0 1 !

  " 0 2 !

    0 n !

  1   

   



 1



Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

19/09/2017

Ví dụ

Khai triển Maclaurin

• Khai triển hàm y=ex. Ta có:

x   e



  1,

  f x

    x

    0

x   e • Thay vào công thức khai triển:





  ...



  f x

 x



    0 n !



    1

  ...

 x



  0 x 1 !

  ' 0 1 ! 2 x 2 !

  " 0 2 ! n x n

• Nhận xét: phải tính được đạo hàm cấp cao tại 0 của

hàm số cần khai triển.

Công thức L’Hospital

CÁC HÀM KINH TẾ

• Áp dùng tìm giới hạn dạng:

;

 

• Hàm chi phí • Hàm thu nhập • Hàm cung và hàm cầu

;

Ñònh lyù: Cho giôùi haïn:

coù daïng

lim  a x

0 0

 

0 0   f x   g x





Neáu

thì

lim  a x



  f x   g x

  x   x





lim  a x



  f x   g x

  x   x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

HÀM CHI PHÍ

• Ta có:

• Tổng chi phí: (Total Cost – TC)



AFC



AVC



TC Q

FC Q

VC Q

– Chi phí cố định (Fixed Cost – FC) – Chi phí biến đổi(Variable Cost- VC)

• Ta có: TC=f(Q), Q là sản lượng • FC là chi phí một xí nghiệp nhất thiết phải trả dù không sản

xuất gì

• VC là chi phí tăng lên cùng với mức tăng của sản lượng • Chi phí cận biên (Marginal Cost – MC) chi phí gia tăng để

sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm • Chi phí bình quân (Average Cost – AC)

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

19/09/2017

Hàm thu nhập

Hàm lợi nhuận

• Lợi nhuận: Total Profit – TP • Thường ký hiệu là π=TR-TC

• Tổng thu nhập (Total Revenue – TR)

• TR=f(Q)=P.Q • Điểm hòa vốn (Break – Even Point): mức sản lượng mà tại đó TR=TC

Hàm cầu

Quan hệ giá và lượng cầu

• Giá tăng thì lượng cầu giảm và ngược lại • Độ dốc của đường cầu phản ánh mức đáp ứng

• Thường gọi là đường cầu (Demanded Curve) • Thể hiện tương quan giữa giá và lượng cầu của

của lượng cầu với các thay đổi về giá.

một mặt hàng • Ký hiệu: QD=f(P) • Tương quan giữa giá và lượng cầu là nghịch

biến

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm cung

Quan hệ giá và lượng cung

• Giá tăng thì lượng cung tăng và ngược lại • Độ dốc của đường cung phản ánh mức đáp ứng

của lượng cung với các thay đổi về giá.

• Thường gọi là đường cung (Supply Curve) • Thể hiện tương quan giữa giá và lượng cung của một mặt hàng khi các giá trị khác được giữ nguyên

• Ký hiệu: QS=f(P) • Tương quan giữa giá và lượng cung là đồng

biến

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

19/09/2017

Sự cân bằng cung cầu

Ứng dụng hàm liên tục

• Cho mô hình cân bằng thị trường QS=QD. Trong

đó:

• Thị trường cân bằng khi đường cung gặp đường cầu. Giao điểm của đường cung và đường cầu là điểm cân bằng



0,1



10;



50 

• Ở điểm cần bằng ta có giá cân bằng và lượng

cân bằng

• Chứng minh rằng mô hình trên có giá cân bằng

thuộc khoảng (3;5)

• Trên thực tế cung và cầu không phải lúc nào cũng trong trạng thái cân bằng, nhưng xu lướng các thị trường đều tiến tới cân bằng

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

1. Ý nghĩa của đạo hàm

• Ví dụ 1. Hàm cầu của một loại hàng hóa là

p=50-Q2

• Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi • Giá sẽ thay đổi thế nào khi Q=1

• 1. Ý nghĩa của đạo hàm • 2. Giá trị cận biên • 3. Hệ số co dãn • 4. Lựa chọn tối ưu trong kinh tế

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

1. Ý nghĩa của đạo hàm

2. Giá trị cận biên

• Ví dụ 2. Hàm cầu của một loại hàng hóa là

• Đo tốc độ thay đổi của y theo x, ký hiệu My(x)



  My x

  x

= 45 − 2 • Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi • Giá sẽ thay đổi thế nào khi Q=4

• Ta thường chọn xấp xỉ () ≈ ∆ tức là My(x) gần bằng lượng thay đổi của y khi x thay đổi một đơn vị ∆=1

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

19/09/2017

Giá trị cận biên của chi phí

Ví dụ

• Giả sử chi phí trung bình để sản xuất một sản

phẩm là:

• Cho hàm chi phí C=C(Q) • Hàm cận biên của chi phí: MC(Q)=C’(Q) • Lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên 1 đơn



0, 0001



0, 02

  5

500 Q

vị

• A) Xác định hàm tổng chi phí để sản xuất ra Q

sản phẩm.

• B) Tìm giá trị cận biên của hàm chi phí. Nêu ý

nghĩa khi Q=50.

Giải

Giá trị cận biên của doanh thu

• Hàm tổng chi phí để sản xuất Q đơn vị sản

phẩm:



Q AC .

0, 0001

0, 02



Q 5



500

• Cho hàm doanh thu R=R(Q) • Hàm cận biên của doanh thu: MR(Q)=R’(Q) • Lượng thay đổi của doanh thu khi Q tăng lên 1

đơn vị

0, 0003





0, 04



  C • Giá trị cận biên của chi phí: dC dQ

• Khi Q=50 thì MC(50)=3,75. Như vậy nếu Q tăng lên 1 đơn vị (từ 50 lên 51) thì chi phí tăng lên khoảng 3,75 đơn vị

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

Tiêu dùng và tiết kiệm cận biên

• Số vé bán được Q và giá vé p của một hãng xe

• Cho hàm tiêu dùng C=C(I) trong đó I là tổng thu

bus được cho bởi công thức:

nhập kinh tế quốc dân.

• Xu hướng tiêu dùng cận biên MC(I) là tốc độ



10000



125

thay đổi của tiêu dùng theo thu nhập.

• Hàm tiết kiệm: S=I-C. • Xu hướng tiết kiệm cận biên: MS(I)=1-MC(I)

• A) Xác định hàm tổng doanh thu • B) Xác định doanh thu cận biên khi p=30 và

p=32

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

19/09/2017

Ví dụ

Giải

• Cho hàm tiêu dùng là:

• Ta có:

5 2









  

  



  MC I



 I



 • Xác định xu hướng tiêu dùng cận biên và xu

hướng tiết kiệm cận biên khi I=100.

• Khi I=100 ta có:



0, 536



0, 464

 100



 100



Độ thay đổi tuyệt đối và tương đối

Hệ số co dãn

• Định nghĩa: khi đại lượng x thay đổi một lượng

Δx thì ta nói:

• Hệ số co dãn của y theo x là tỷ số giữa độ thay đổi tương đối của y và của x thay đổi một lượng Δx.

• Δx là độ thay đổi tuyệt đối của x

• Ký hiệu:

. 100% gọi là độ thay đổi tương đối

∆







x .

• Tỷ số của x

y x

 

y x

/ /

y x

 

y x . x y

  x '   f x

• Thể hiện % thay đổi của y khi x thay đổi 1%.

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

Lựa chọn tối ưu trong kinh tế

• Cho hàm cầu Q=30-4p-p2. Tìm hệ số co dãn khi







p=3 • Giải • Ta có:

Q P

• Trong kinh tế ta quan tâm các bài toán sau: • + Tìm p để sản lượng Q đạt tối đa • + Tìm p hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa • + Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu (cực tiểu)

 2  4



 30



2 4   P 30   P 4   3, 333

   3

Q P

• Ta đưa các bài toán trên về dạng tìm cực trị của

• Vậy tại thời điểm P=3, nếu tăng giá 1% thì cầu

hàm một biến số đã học.

giảm 3,3%.

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến