Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Bài 1. Tích phân bội hai (kép) Bài 1. Tích phân bội hai (kép)
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
1.1. Bài toán mở đầu 1.1. Bài toán mở đầu 1.2. Tích phân bội hai 1.2. Tích phân bội hai 1.3. Tính chất của tích phân bội hai 1.3. Tính chất của tích phân bội hai 1.4. Phương pháp tính tích phân kép 1.4. Phương pháp tính tích phân kép
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
1.1. Bài toán mở đầu 1.1. Bài toán mở đầu
S
z
=
z
( , ) f x y
V
y
O
D
x
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
S
z
( f M
)i
=
z
( , ) f x y
iVD
V
O
( f M
SD
).i
i
y
•
iSD
D
x
iM
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
z
n
ﾻ
V
V
Dﾻ
i
=
1
i
y
O
x
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
1.2. Tích phân bội hai 1.2. Tích phân bội hai 1.2.1. Định nghĩa 1.2.1. Định nghĩa Cho hàm s ố ( , )
ề D đóng và
ặ
ị f x y xác đ nh trên mi n ẳ Oxy . iS ( i
ﾻ ﾻ
S
ị ặ trong m t ph ng b ch n Chia D thành n ph n ầ ﾻ ﾻ ể l y ấ n đi m tùy ý
ở ầ toán m đ u và
nh ư bài ) .
1,..., ) n ( , M x y i
i
i
i
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
Khi đó
n
ﾻ
n
i
ﾻ
1
i
ượ ọ
đ
c g i là
c a ủ ( , )
f x y trên D .
ﾻ I ﾻ ) ( f M S i
ổ t ng tích phân
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai n
ồ ạ ữ ạ
N uế
t n t i h u h n thì s
ố
ﾻ
i
1
ﾻ I ﾻ ) ( f M S i
ộ
c a ủ hàm s ố
tích phân b i hai
I
( , ) f x y dxdy
= ��
D
lim ﾻ ﾻ n ﾻ i ượ ọ th cự I đ c g i là f x y trên mi n ề D , ký hi uệ là ( , )
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
( , ) f x y dxdy
N u t n t i
ế ồ ạ tích phân
, ta nói:
ﾻﾻ
trên mi n ề D ;
D f x y kh tíchả ướ ấ
f x y là hàm d
i d u tích phân; ầ ượ
• hàm số ( , ) • ( , ) • dx , dy là các vi phân l n l
t theo bi n
ế x và y .
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
ị
ề D đóng và b ị
ụ f x y liên t c trong mi n
ặ
1.2.2. Đ nh lý Hàm ( , ) ả ch n thì kh tích trong
D .
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
1.3. Tính chất của tích phân kép 1.3. Tính chất của tích phân kép Giả thiết rằng các tích phân dưới đây đều tồn tại.
• Tính ch t ấ 1
ﾻ
( , ) f x y dxdy
( , ) f u v dudv
ﾻﾻ
ﾻﾻ
D
D
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
ﾻ
)
(
• Tính ch t ấ 2 ﾻ ﾻ f
g dxdy
fdxdy
gdxdy
ﾻﾻ
ﾻﾻ
ﾻﾻ
D
D
ﾻ
)
D k ﾻ (
k
. fdxdy
fdxdy
k
¡
ﾻﾻ
ﾻﾻ
D
D
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
ế
• Tính ch t ấ 3 N u chia
mi n ề D thành 1D và 2D b i đở ường cong
ệ
ﾻ
ﾻ
ằ fdxdy
fdxdy
fdxdy
có di n tích b ng 0 thì ﾻﾻ
ﾻﾻ
ﾻﾻ
D
D
D 1
2
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai 1.4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH 1.4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH
ồ ạ trong đó
I
f x y dxdy t n t i,
1.4.1. Đưa về tích phân lặp 1.4.1. Đưa về tích phân lặp a) Định lý (Fubini Fubini)) a) Định lý ( Gi s ả ử ﾻ ﾻﾻ ( , )
D ) : x y
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ {( , ) } , D a x , b y y ( y x 1 ( ) x 2
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
( ) y x 2
ﾻ
ớ ỗ và v i m i
ố ị , c đ nh
ồ ạ . t n t i
x
[ ; ] a b
ﾻ
( ) y x 1
b
b
( ) y x 2
( ) y x 2
( , ) f x y dy
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
a
a
Khi đó, ta có: ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻﾻ
ﾻ ﾻ ( , ) f x y dy I dx dx ( , ) f x y dy
( ) y x 1
( ) y x 1
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
ﾻ
ﾻ
),
}
ươ T ng t , D
x
c
yﾻ
d
ề D là ế ự n u mi n ﾻ {( , ) : ) ( y x x x y 1
( y 2
ﾻ thì
d
d
( ) x y 2
( ) x y 2
ﾻ
ﾻ
I
( , ) f x y dx
dy
( , ) f x y dx
dy
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
c
c
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
( ) x y 1
( ) x y 1
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
ﾻ
ﾻ
Chú ý Chú ý ế 1) N u mi n ﾻ x
{ a
D
ữ ậ , ề D là hình ch nh t ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ d
, b c
y
} [ ; ] [ ; a b
c d
] , thì
b
d
d
b
ﾻ
ﾻ
( , ) f x y dxdy
dx
fdy
dy
fdx
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻﾻ
a
c
c
a
D
ﾻ
ﾻ
y
y
}
( ) x 2
,
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai ﾻ , y x ( ) b x 1 ) thì
D ﾻ 2) N u ế mi n ề ﾻ ( ( ) và x u x f
{ a .) v
ﾻ ( y
b
( ) y x 2
y
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
a
D
( ) y x 1
ﾻ ( ( , ) f x y dxdy ) u x dx ( ) v y d y
ﾻ ﾻ ﾻ ) ) , x x c y d }
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai ﾻ ﾻ ( y 2
,
)
và
thì
3) N u ế mi n ề D ﾻ ( ) x
y
f
( u x
d
( ) x y 2
{ ( x y 1 ( .) y v
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
c
D
( ) x y 1
4) N u ế D là mi n ph c t p thì ta chia
D ra thành
ề ề ơ
ứ ạ ả nh ng ữ mi n đ n gi n.
ﾻ ( , ) f x y dxdy ( ) v y dy ( ) u x d x
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
,
I
2 cos x
y dxdy
VD 1. Tính tích phân
ﾻ ﾻﾻ
D
.
ớ ạ ở trong đó mi n ề D gi i h n b i: ﾻ ﾻ 2 4
2
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 1 x y
-
2, ﾻ 2
=
.
Gi i.ả Ta có
ﾻ
6 3 2 2
ﾻ
1
ﾻ 4
cos I 2 x dx y dy ﾻ ﾻ
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai ﾻ
ﾻ
)
I
y dxdy ,
VD 2. Tính tích phân
ﾻﾻ (2 x
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
D ﾻ 1
ﾻ , 2
trong đó
0} .
D
x
y
y
y
Gi i.ả Ta có
ﾻ
ﾻ ﾻ ) I (2 x
{ y ﾻ ﾻ 10 ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻﾻ 2
y
0
ﾻ 1
y
2
ﾻ
ﾻ
ﾻ ﾻ
)
( x
xy
dy
ﾻ
y
4 . 3
ﾻ
2
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ y dx dy ﾻ ﾻﾻ ﾻ
I
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai y ( , ) f x y dxdy
VD 3. Đ a ư
ﾻ ﾻﾻ
D
ề ạ
1
y
x= +
••
D
ﾻ
xﾻ
ặ v d ng tích phân l p, biết mi n ề D đ ớ ạ c ượ gi i h n ườ ở ng: b i các đ xﾻ 1 y y và
2 1 ﾻ .
x
O
1-
2 2 1 x= -
y
••
2
ﾻ
Gi i.ả V y ậ 2
1
x
I
( , ) f x y dy
.
ﾻ ﾻ
ﾻ
ﾻ
dx 1
2 ﾻ
1
x
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ { 1 2, 1 D x x y x 1} .
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
VD 4. Tính tích phân
y
4
x
y= +
D ngườ
I ydxdy , trong đó ﾻ ﾻﾻ
••
4
ớ ạ ở các đ mi n ề D gi i h n b i ﾻ24, 2 x . y y
D
2
x
2
ﾻ ﾻ x
••
O 2-
x =
y 2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ 4, 2
y
x
y
y 2
Gi i.ả Mi n ề D là ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ 4 ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
ﾻ
4
y
4 dx
V y ậ
ﾻ
ﾻ
2
ﾻ
2
y 2
ﾻ ﾻ I ydy 18 .
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
b) Đổi thứ tự lấy tích phân b) Đổi thứ tự lấy tích phân
y
y
d
2( ) y x
••
1( ) x y
2( ) x y
••
D
D
••
x
x
Oa
O
b
••
c
1( ) y x
d
( ) x y 2
b
( ) y x 2
I
dy
( , ) f x y dx
I
dx
( , ) f x y dy
= ﾻ
ﾻ
= ﾻ
ﾻ
a
c
( ) y x 1
( ) x y 1
ổ ứ ự ấ
2
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai VD 5. Đ i th t l y tích phân trong tích phân sau ﾻ 2 1
y
1
.
ﾻ
2
ﾻ
1
ﾻ
ﾻ 2 1
y
Gi i.ả Miền D là 2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ 2 1
ﾻ 2 1
2 ﾻ , 1
1
y
x
y
.
I dy ( , ) f x y dx ﾻ ﾻ
ﾻ
ﾻ
y 2
2
2
Ta có
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 2 1 x y y 1 .
x 4
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
y
2
=
-
4
y
x
1
1 2
2
2
= -
=
- 2 1
- 2 1
x
y
x
y
x
O
2-
2
D
2
= -
-
4
y
x
1-
1 2
ượ
Mi n ề D đ
2
2
.
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 2 2, 4 4 x x y x
2
ﾻ 4
x
1 2 ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai ế ạ c vi t l i là 1 2 2
ﾻ 1 2
V y ậ
.
ﾻ
ﾻ
I ( , ) f x y dy ﾻ ﾻ
2
ﾻ
ﾻ 4
x
1 2
dx 2
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai VD 6. Đ i th t l y tích phân trong tích phân sau
2
1
1
ﾻ 1
ổ ứ ự ấ ﾻ 0 x
x
ﾻ
ﾻ
.
I
dx
( , ) f x y dy
dx
( , ) f x y dy
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
0
0
D U là 2 ﾻ x
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
0
1, 0
ﾻ 1
D
x
y
x
.
2
1 0 ﾻ Gi i.ả Mi n ề D D 1 ﾻ ﾻ ﾻ 1 { 1 ﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ 0, 0 D y x 1} ,
ﾻ2
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai y
1 1
y x
x= + y= -
1
2
ượ
2
= - 1 = - 1
y x
x y
ế ạ c vi t l i là 2
1D
1-
1
x
2DD O
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 1 1 y y x
Mi n ề D đ ﾻﾻ ﾻﾻ ﾻ ﾻﾻ ﾻﾻ
1
I
dy
( , ) f x y dx
V y ậ
.
ﾻ ﾻ
21 ﾻ y ﾻ
ﾻ
0
1
y
ﾻ ﾻ 0 1. y
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai 1.4.2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 1.4.2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
y
ﾻ
ﾻ
)
)
OM
a) Đổi biến trong tọa độ cực a) Đổi biến trong tọa độ cực j 1( j ( r r 2
•
r
M
•
r j 2( )
B
•
a ﾻ
ﾻj
b
D
r j 1( )
• ab
x
O
• A
y
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai ﾻ
ﾻ
x
r
, khi đó
Đ tặ
ﾻ
cos ﾻ
sin
y
r
ﾻﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻﾻ
B
•
ở
mi n ề D tr thành
D
rD ﾻ :
ab
x
ﾻ ﾻ ﾻ
ﾻ
ﾻ ,
O
• A
ﾻ
ﾻ
r
ﾻ ( ) r 1
ﾻ ( ). r 2
ﾻﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻﾻ
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
y
Vi phân Vi phân
ﾻ
D
D
ﾻ ﾻ D D j ).
s
( r
r
rD
sD
=
�
.
dxdy
j rd dr
r
Dj
x
O
.r Dj
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
Vậy ta có công thức đổi biến
j ( )
b
r 2
=
j s co
,
sin
j
).
( , ) f x y dxdy
( r
r
drr
��
� � j d f
a
D
j ( ) r 1
xy
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
y
( )
r
r= j
Các trường hợp riêng Các trường hợp riêng
•
D
x
O
j ( )
r
p 2
j
j
I
( cos , sin ) r f r
rdr
= � � j d
0
0
y
( )
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai r
r= j
D
=j
b
x
O
=j
a
j ( )
r
b
j
j
( cos , sin ) r f r
rdr
I
= � � j d
a
0
2
2
ﾻ
=
+
:
1
D
2
=
ﾻ
2 a
�
|
a
|
: D r
� = r
a | |
j
j sin )
x 2 2 a a ﾻﾻ =ﾻ x ra ﾻ ﾻ =ﾻﾻ y rb I
j ( cos , f ra
rb
rdr
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai y 2 2 a b j cos j sin p 2 = � � ab d 0
0
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
y
j =
0
j
p= -
O
ễ tích phân ( , ) f x y dxdy
I
x
ể VD 7. Bi u di n ﾻ ﾻﾻ
D
= -
j 2sin
r
D
2
ﾻ
ﾻ
0
1( C
= -
j 4sin
r
2
ﾻ
ﾻ
2 2)
x
ế ọ ộ ự trong t a đ c c, cho bi t mi n ề D n m ngoài ằ 2 ﾻ 2 ) : y y x ằ và n m trong yﾻ ( ) :
4 .
2( C
ﾻ
r
y
Gi i.ả Đ iổ bi nế
j =
0
j
p= -
O
ﾻ
cos ﾻ
sin
r
y
x
c:ượ
= -
j 2sin
r
D
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai ﾻﾻ ﾻ x ﾻ ﾻ ﾻ ﾻﾻ )C ta đ 1( 2 sin r 2sin
và thay vào 2 r ﾻ r
ﾻ ﾻ ,
) :
4sin
r ﾻ ﾻ
ﾻ .
2( C
= -
j 4sin
r
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
ở ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
ﾻ
ﾻ ﾻ
ﾻ ﾻ
ﾻ
0, 2sin
4sin
r
.
ﾻ ﾻ
Mi n ề D tr thành ﾻ
ﾻ
rD
ﾻ
ﾻ
4sin
0
V y ậ
.
ﾻ
ﾻ
ﾻ ﾻ
ﾻ
ﾻ
2sin
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ I d ( cos , sin ) r f r rdr
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
ễ
ể
( , ) f x y dxdy
I
VD 8. Bi u di n
ﾻ ﾻﾻ
y
D
j =
3
p 2 3
I
D ế ọ ộ ự trong t a đ c c, cho bi t mi n ề D là hình tròn 2 6 2 ﾻ 2 3 x x
.
x
O
3
j = -
p 3
ﾻ ﾻ y y
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
ự
Giải t
ượ c
ﾻ ﾻ
ﾻ
6cos
2 3sin
ươ ng t VD 7, ta đ ﾻ 2 3
.
ﾻ
ﾻ
0
ﾻ
ﾻ 3
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ I d ( cos , sin ) r f r rdr
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
I
x dxdy
, trong đó
VD 9. Tính tích phân
ﾻ ﾻﾻ
2
2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
D ﾻ
0,
D
{ x
x
y
0} .
y ﾻ
r
x
ta đ
c:ượ
Gi i.ả Đ iổ bi n ế
ﾻ
2 x ﾻ cos ﾻ
sin
r
y
.
ﾻ
rD
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ , 0 2cos r
ﾻ
ﾻ
2cos
ﾻﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻﾻ ﾻ 3 4 ﾻ 3 2
ﾻ 3 2 ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
2 r dr
.
V y ậ
ﾻ
ﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ cos I d
0
ﾻ 3 4
ﾻ ﾻ 8 9 12
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
2
2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
16
I
x
4 y dxdy
,
VD 10. Tính
ﾻﾻ
1 2
D
2
2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
4,
0,
trong đó mi n ề D là 2 2 ﾻ 4 y
4 y
{ x
x
y
0} .
x 2
2
2
2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
4
x
4 y
y
1 ,
ế ổ : Gi i.ả Bi n đ i
ﾻ 2
ﾻ 2
2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
16
x
24 y
1 ,
ﾻ
ﾻ
ﾻ
sin
ổ ế Đ i bi n
16, x 4 x 16 ﾻ ta đ
y 4 cượ :
x
2 cos , r
y
r
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
2
2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
16
I
x
4 y dxdy
,
VD 10. Tính
ﾻﾻ
1 2
D
2
2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
4,
16,
0,
trong đó mi n ề D là 2 2 ﾻ 4 y
4 y
{ x
x
x
y
0} .
ﾻ
ﾻ
ﾻ
sin
x
2 cos , r
y
r
ổ ế Đ i bi n
ﾻ ta đ
cượ :
2
2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
4
I
y dxdy
.
ﾻﾻ
x 4
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
D
ở
ﾻ 0,
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai 0
Do
nên mi n ề D tr thành
ﾻ
ﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
ﾻ
ﾻ
) :
, 1
( , r
r
.
ﾻ
rD
ﾻ ﾻ ﾻ 2 ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
x y
ﾻ
ﾻ 2 2
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
2 r rdr
V y ậ
ﾻ 2
ﾻ
1
ﾻ 2
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 4 I d 3 .
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
ﾻ
ﾻ
Đ t ặ
, ta g i đ nọ ị h th cứ
b) Công thức đổi biến tổng quát b) Công thức đổi biến tổng quát y và
( , ) x u v
( , ) y u v
x
=
=
J
x y
x y
ﾻ ﾻ
( , ) x y ( , ) v u
ﾻ u ﾻ u
ﾻ v ﾻ v
ọ ắ
là Jacobian (g i t t là
Jacobi).
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
y
=
D
D D . x
y
xyD
ﾻ
ﾻ
)
)
D D x
y
v
r ﾻ ﾻ D ( r v
P •P • r r
D
DD
u v
x
O
=
|
u r ﾻ r v DD
r ﾻ ﾻ D ( r u r ﾻ = ﾻ r u |J
u v
=
ﾻ
D
)
)
u
v
uv
r ﾻ D ( r u
r ﾻ ﾻ D ( r v
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
0
ế
J ﾻ
N u hàm
thì
ả ( , ) f x y kh tích trên
xyD và
=
)) . |
( , ) f x y dxdy
( ( , ), ( , y u v f x u v
| J du
dv
��
D
xy
�� uvD
2
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai ﾻ ﾻ
ớ
, v i mi n
ề D là
2 ) y dxdy
( x
I
VD 11. Tính
ﾻﾻ
ẳ ườ ng th ng: ﾻ 5 y .
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 2, x
D c y y
ớ ạ ở ữ ậ ượ gi i h n b i các đ hình ch nh t đ ﾻ 3, x y x x y x
u
u
u
v
v
ﾻ
ﾻ
ﾻ
,
x
y
.
Gi iả . Đ t ặ
ﾻ
ﾻ
v
x
y
ﾻ 2
ﾻ ﾻ 1, ﾻ
ﾻ ﾻﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻﾻ
x x
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ J Jacobian
ﾻ 2 1 2 1 2
y y 1 . 2 ﾻ u ﾻ u ﾻ v ﾻ v ﾻ
1 2 1 2
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai ở
ữ ậ Ta có mi n ề D tr thành hình ch nh t ﾻ ﾻ {1 v
ﾻ
ﾻ
ﾻ
)
I
)( y x
y dxdy
V yậ
3
5
ﾻ
ﾻ
ﾻ
|
| uv J dudv
udu
vdv
21 .
ﾻ
ﾻ
1 2
1
2
uvD ﾻﾻ ( x xyD ﾻﾻ uvD
ﾻ ﾻ ﾻ 3, 2 u 5} .
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
Chú ý Chú ý
-
1
=
=
J
u v
ﾻ ﾻ
( , ) u v ( , ) x y
ﾻ x ﾻ x
ﾻ u y ﾻ v y
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
I
xy dxdy
, trong đó mi n ề D
VD 12. Tính
D
2
y
y y
x x
. 2 y
ﾻ ﾻ 2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
2,
1,
1,
ta suy ra:
3 .
ﾻ ﾻﾻ ớ ạ ở 4 parapol: cượ gi i h n b i đ 2 2 2 ﾻ ﾻ ﾻ , 3 , , 2 x x x y y 2 2 2 ﾻ Gi iả . Từ , 3 , 2 , x y x x y 2 2 y y x x x x y y
2
2
ﾻ
ﾻ
,
v
ﾻ 2
x y
y x
Đ t ặ u
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
2
2
ﾻ
ﾻ
,
v
x y
y x
2
Đ t ặ u
x
2
ﾻ
ﾻ
1
=
3
.
=� J
u u 2 x y
1 3
2
ﾻ ﾻ J và
v y ﾻ x ﾻ x ﾻ y ﾻ v y
2
ﾻ
1
� � � � 2, 1
u
v
{
} 3
=� uvD
y 2 y x x
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
ﾻﾻ
ﾻﾻ
D
D
uv
xy 2
3
=
=
2.
vdv
� � udu
1 3
1
1
ﾻ ﾻ | I xydxdy | uv J dudv V yậ
2
2
ﾻ I
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai ﾻ ﾻ 2 ) x dxdy
, trong đó
VD 13. Tính
ﾻﾻ
2
( x y
2 1) ﾻ
ﾻ 1} .
D ¡ r
2 ﾻ ﾻ 1) ﾻ sin
|( x ﾻ cos , ﾻ ﾻ 1 ﾻ {( , ) x y ﾻ ﾻ 1 x ﾻ y ( y r D Gi i.ả Đ t ặ
ﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ r J và .
ﾻ cos ﾻ sin x y ﾻ sin r ﾻ cos r ﾻ x ﾻ ﾻ y ﾻ ﾻ r ﾻ r
{
} � � �j � p 2
j =
rD
� 0 1, 0 r
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai
Cách khác
ﾻ
ﾻ 1
ﾻ 1 (
2 1)
x
0
2
2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
I
dx
( x
y
2 ) x dy
.
ﾻ
ﾻ
1 2
ﾻ
2
ﾻ
ﾻ
ﾻ 1 1 (
2 1)
x
2
2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
y
2 x
r
2 sin r
ﾻ .
2
Ta có 2 x
V y ậ
.
ﾻﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ I ( r ﾻ 2 sin ) r r drd
ﾻ
rD
1 2
2
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai ﾻ ﾻ
2 )
ﾻﾻ
( x I , trong đó VD 14. Tính
p 4
2
2
y dxdy y
D ﾻ
D
ﾻ ﾻ ﾻ D { x y 4 x
I
p 5 4
ﾻ 4 0, 1 ﾻ 1}. y
x
2
O
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 2 1 ﾻ 2 y ﾻ x ﾻ cos ﾻ sin . x y r r
1
y
x= -
ﾻﾻ ﾻ Gi i.ả Đ t ặ ﾻ ﾻ ﾻﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ
1,
0
r
J Ta có:
ﾻ
, r D r
Bài 1. Tích phân bội hai Bài 1. Tích phân bội hai ﾻ 4
ﾻ 5 4
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
2
2 2 (2cos r
và 2 x
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ sin ) 5 .
1
ﾻ 5 4
3
2
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ y r
ﾻ
ﾻ
0
-
=
.
ﾻ 4 p 11 4
2 2 3
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ sin ) 5 ] I ﾻ d [ r 2 (2cos r r dr V y ậ
……………………………………………………
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
2.1. Bài toán mở đầu 2.1. Bài toán mở đầu 2.2. Định nghĩa tích phân bội ba 2.2. Định nghĩa tích phân bội ba 2.3. Phương pháp tính tích phân bội ba 2.3. Phương pháp tính tích phân bội ba
2.3.1. Đưa về tích phân lặp 2.3.1. Đưa về tích phân lặp 2.3.2. Phương pháp đổi biến 2.3.2. Phương pháp đổi biến
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
2.1. Bài toán mở đầu 2.1. Bài toán mở đầu
ồ
ậ ộ ố ấ có m t đ kh i không
P x y z là hàm ( , , ) x y z
ủ ậ ểV ?
Gi s ả ử v t th ạ ượ l ng t i đi m âm. Tính kh i l
ậ ểV không đ ng ch t ( , , ) ng
ầ
ỗ
( i ,
ﾻ ể ố ượ m c a v t th ẫ Ta chia kh i ố V thành n ph n tùy ý không d m lên ﾻ ầ 1,..., ) n . ) P x y z , ký hi u ệ i
iVﾻ ( , i
i
i
ể nhau, th tích m i ph n là iVﾻ ể ấ Trong m i ỗ ta l y đi m iVﾻ ủ ườ là id . ng kính c a đ ủ V là ố ượ ng c a
V yậ , kh i l
n
i
ﾻ ﾻ ( P i
max
0
ﾻ ﾻ ). m V
ﾻ
1
i
lim ﾻ d i
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
ồ ạ ữ ạ t n t i h u h n,
i
i
i
max
i
ủ
ﾻ ﾻ ) I V , ( , f x y z i
tích phân b i baộ c a hàm
ị
ề
lim ﾻ d ố ự I đ
2.2. Định nghĩa tích phân bội ba 2.2. Định nghĩa tích phân bội ba n ﾻ N u ế 0 ﾻ 1 i ượ ọ thì s th c c g i là f x y z trên V , ký hi u làệ ( , , ) Gi sả ử hàm s ố ( , , )
f x y z xác đ nh trên mi n đóng, ặ V trong không gian Oxyz . Chia mi n ề V ậ ổ m đ u và l p t ng tích phân
ị b ch n ư nh bài toán
n
i
i
i
ở ầ n ﾻ
ﾻ
1
i
I
( , , ) f x y z dxdydz
= ���
V
ﾻ ﾻ ) I V ( , , f x y z i
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
và
ướ ấ
,
ế ồ ạ N u t n t i tích phân, ta nói • ( , , ) f x y z là hàm d , dx dy dz là các vi phân l n l •
f x y z kh tíchả ( , , ) i d u tích phân; ầ ượ t theo
bi nế , ,
x y z .
Định lý Định lý
Hàm s ố ( , , )
ề V đóng và
ụ f x y z liên t c trong mi n ả ị ặ thì kh tích trong b ch n
V .
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
2.3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH 2.3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH
2.3.1. Đưa về tích phân lặp 2.3.1. Đưa về tích phân lặp
I
( , , ) f x y z dxdydz
Tích phân cần tính là = ���
V
z
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba lên các mặt phẳng tọa độ a) Chiếu miền VV lên các mặt phẳng tọa độ a) Chiếu miền = 2( , ) z x y z
( , ) x y
z
2
=
I
y
( , , ) d f x y z
z
ﾻ�� d xd
V
D
( , ) z x y 1
xy
O
y
xyD
x
=
z
1( , ) z x y
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba z
=
z
2( , ) z x y
V
=
z
1( , ) z x y
O
y
xyD
x
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
Chiếu V lên Oxz ta được
y
( , ) x z
2
=
I
( , , ) f x y z d
y
ﾻ�� dxdz
D
( , ) y x z 1
xz
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
Tương tự, chiếu V lên Oyz ta được
x
( , ) y z
2
=
I
( , , ) f x y z d
x
ﾻ�� dydz
D
( , ) x y z 1
yz
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
b) Các trường hợp đặc biệt b) Các trường hợp đặc biệt
ế 1) N u mi n
ﾻ
V
ữ ậ ộ ề V là hình h p ch nh t ﾻ ﾻ [ , ] [ , ] [ , ] e f c d a b
thì
f
b
d
I
dy
dx
( , , ) f x y z dz
= � � �
a
c
e
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
ﾻ
ﾻ
2) N u ế hình chi u ế ﾻ {( , ) : x y
y
x
xyD c a ủ V trên Oxy là ﾻ ﾻ ( ) , b y x a 1
( )} y x 2
xyD thì
y
( ) x
( , ) x y
z
b
2
2
I
dy
dx
( , , ) f x y z dz
= � � �
a
( ) y x 1
( , ) z x y 1
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
ﾻ
ﾻ
3) N u ế hình chi u ế ﾻ {( , ) : x y
c
x
y
d
}
xyD c a ủ V trên Oxy là ﾻ ﾻ ( ) x y 1
( ), x y 2
xyD thì
x
( ) y
z
( , ) x y
d
2
2
ﾻ
ﾻ
c
( ) x y 1
( , ) z x y 1
I dy dx ( , , ) f x y z dz ﾻ ﾻ
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
ﾻ
ﾻ
ﾻ
x
z
xzD c a ủ V trên Oxz là 4) N u ế hình chi u ế ﾻ ﾻ {( , ) : , ( ) b z x a x z 1
( )} z x 2
xzD thì
z
( ) x
y
( , ) x z
b
2
2
ﾻ
ﾻ
a
( ) z x 1
( , ) y x z 1
I dx dz ( , , ) f x y z dy ﾻ ﾻ
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
ﾻ
ﾻ
5) N u ế hình chi u ế ﾻ {( , ) : x z
x
z
f
}
xzD c a ủ V trên Oxz là ﾻ ﾻ ( ) x z 1
( ), e x z 2
xzD thì
x
( ) z
y
( , ) x z
f
2
2
ﾻ
ﾻ
e
( ) x z 1
( , ) y x z 1
I dz dx ( , , ) f x y z dy ﾻ ﾻ
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
ﾻ
ﾻ
6) N u ế hình chi u ế ﾻ {( , ) : y z
y
z
yzD c a ủ V trên Oyz là ﾻ ﾻ , ( ) d z y c 1
( )} z y 2
yzD thì
( ) y
z
x
( , ) y z
d
2
2
ﾻ
ﾻ
c
( ) z y 1
( , ) x y z 1
ﾻ
ﾻ
7) N u ế hình chi u ế ﾻ {( , ) : y z
y
z
f
}
yzD c a ủ V trên Oyz là ﾻ ﾻ ( ) y z 1
( ), e y z 2
yzD thì
y
( ) z
x
( , ) y z
f
2
2
I dy dz ( , , ) f x y z dx ﾻ ﾻ
ﾻ
ﾻ
e
( ) y z 1
( , ) x y z 1
I dz dy ( , , ) f x y z dx ﾻ ﾻ
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
I
8 xyzdxdydz
VD 1. Giá trị c a ủ tích phân
ﾻ
V [1; 2] [ 1; 3] [0; 2]
V ﾻ
12
24
48
là: I ﾻ
; B.
A.
; D.
96 .
trong đó mi n ề I ﾻ I ﾻ 2
; C. 3
ﾻ ﾻﾻﾻ ﾻ ﾻ I ﾻ 2
ﾻ
ﾻ
.
I
2 xdx
2 ydy
2 zdz
D
Gi i.ả Ta có
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
1
1
0
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
1
2
1
.
VD 2. Tính tích phân
ﾻ
ﾻ
ﾻ
2
ﾻ
1
0
x
1
1
2
2
ﾻ ﾻ (1 2 ) I dx dy z dz
Gi iả . Ta có:
ﾻ
ﾻ
0
ﾻ ﾻ I dx z dy
2
ﾻ
1 1
x 1
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ z ﾻ ﾻﾻ
ﾻ
ﾻ
2
ﾻ
1
x
ﾻ ﾻ dx 6 dy 8 .
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
, trong đó
xdxdydz
VD 3. Tính tích phân I
ﾻ
ﾻ ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
6,
0,
{ x
2 y
3 z
x
z
0} .
Chú ý:
ﾻ ﾻﾻﾻ ﾻ 0, y z y x 6 3 2
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 6 x 2 y 3 z 1 .
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba z
2
-
z = - 2
x 3
2 y 3
W
y
3
O xyD
= -
x
6 2 y
x
6
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
.
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 0 3, 0 2 6 2 , 0 y x y z
Gi i.ả Ta có mi n ề ﾻ là ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
ﾻ 2
ﾻ 6 2 y
3
2 y x ﾻ 3 3
I
dy
x dx
dz
V y ậ
ﾻ ﾻ
ﾻ
ﾻ
0
0
0
ﾻ 6 2 y
3
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
(6
dy
x
x
2 ) y dx
9 .
ﾻ
ﾻ
1 3
0
0
x 3 2 y 3 ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba 2
I
x ydxdydz
, trong đó
VD 4. Tính tích phân
ﾻ ﾻﾻﾻ
ﾻ
2
ﾻ ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
{0
2 ,
0,
1,
z
x
y
x
y
x
0} .
y y
y
x=
1
xyD
ﾻ ﾻ
ﾻ ﾻ
x ﾻ
ﾻ ﾻ
0, 1,
1, y
y x
y x
Gi i.ả Chi u ế mi n ề ﾻ lên Oxy cượ ta đ ﾻ { x xyD ﾻ {0
ﾻ 0} 1} .
x
1
O
2
Suy ra ﾻ ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
{0
1,
1, 0
2 } .
x
x
y
z
x
y
2
2
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba ﾻ
x
y
1
1
z
I
2 x dx
y dy
dz
V y ậ
ﾻ
ﾻ ﾻ
ﾻ
0
0 1
x 1
2
ﾻ
ﾻ
2 x dx
( y x
2 ) y dy
ﾻ
ﾻ
x
W
ﾻ
0 8 . 105
O
y
x
1 x=
y
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba 2.3.2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 2.3.2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
a) Đổi biến trong tọa độ trụ a) Đổi biến trong tọa độ trụ
z c
r
( , , ) M a b c •
cos j j sin
r
ﾻﾻ =ﾻ a ﾻ ﾻ =ﾻﾻ b
b
O
y
r
a
j
• ( , ,0) N a b
x
ﾻ
ﾻ
x
ở
ổ ế Đ i bi n
, khi đó mi n ề V tr thành
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba cos r ﾻ
ﾻ
sin
r
y
ﾻﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻﾻ
ﾻ
ﾻ
j
j
j
ﾻ
ﾻ
:
1 )
V
r
j
rz
ﾻ
ﾻ
j , )
z
j ( r 1 j , ) ( z r 1
2 j ( ) r 2 ( z r 2
ﾻﾻﾻﾻﾻﾻ ﾻﾻ ﾻﾻﾻ
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
VD
.
D �
Vi phân Vi phân ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ j D D D . ). ( . r V z r = j rd drdz dxdydz
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
Công thức đổi biến trong tọa độ trụ là
( , , ) f x y z dxdydz
���
V
j cos
,
si
n
j
r
, ). z r
j . d drd
z
= ��� ( r f
V
j
rz
ể
ễ
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba ( , , ) f x y z dxdydz
I
VD 5. Bi u di n
ﾻ ﾻﾻﾻ
V
ượ
sang t a đ tr , trong đó
ọ ộ ụ 2
2
V đ ﾻ
ﾻ
ﾻ
ớ ạ ở c gi i h n b i ﾻ 0,
y
x
z
,
2
2
ﾻ
ﾻ
ế ủ
z
và
ặ Gi iả . Giao tuy n c a hai m t
x 2
y 2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
x
y
z
1 là
1 .
x
y
y
x
ﾻ ﾻ ﾻ 1, x y z y x 0 .
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
z
1
V
1 2
1 2
y
1
xyD
1 2
x
1
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
ế
Chi u mi n
cượ mi n ề
2
ﾻ
1,
0,
2 + ﾻ y
+ + y
x
x
x
y
ề V lên Oxy ta đ {
xyD } ﾻ
ﾻ
ﾻ
ở
x
r
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba sin y
Đ t ặ
ﾻ thì mi n ề V tr thành
ﾻ
ﾻ
j
0
r p 2
ﾻ
ﾻ
=
r
j
j ( ) r 2
rzV
: 0 ﾻ ﾻ
+
1 + j 1 cos
sin
j
ﾻ
ﾻ
+
=
- 1
j (cos
j sin )
r
z
r
z
j ( , ). r 2
ﾻ cos , ﾻﾻﾻ ﾻﾻﾻﾻﾻ ﾻﾻﾻﾻ ﾻﾻﾻ
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
ﾻ ( )
ﾻ ( , ) r
z
r 2
2
ﾻ 2
ﾻ
ﾻ
I
ﾻ d
rdr
( cos , sin , ) r f r
z dz
V y ậ
.
ﾻ ﾻ
ﾻ
ﾻ
0
0
r
2
2
ﾻ
ﾻ
I
z x
y dxdydz
, trong đó
VD 6. Tính
ﾻﾻﾻ
2
2
V ﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 2} . V { x y 2 , 0 y z
z
2
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba ề V lên Oxy 2 ﾻ
2 y
y
Gi i.ả Chi u mi n ﾻ ta đ
cượ
.
2
ế : xyD x
V
1
O
y
2
xyD
x
Đ t ặ
ﾻ ﾻ x r
ﾻ
ﾻ
{0
rzVﾻ là ﾻ 2}.
r ﾻ
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba ﾻ cos , sin y ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ , 0 r ﾻ 2sin ﾻ
ﾻ
ﾻ
I
ﾻ d
2 r dr
z dz
V y ậ
.
ﾻ
ﾻ
ﾻ
64 9
0
0
0
ﾻ ta có mi n ề ﾻ 2sin , 0 z 2
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
x dxdydz
, trong đó
VD 7. Tính tích phân I
ﾻ ﾻﾻﾻ
ﾻ
2
2
2
ﾻ ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
0,
ﾻ 1
, 0
y
x
y
x
z
x
y
.
ﾻ
ﾻ
ế
cượ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
0,
ﾻ 1
x
y
x
.
xyD
ề ﾻ lên Oxy ta đ Gi i.ả Chi u mi n ﾻ y
ﾻ2
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba z
2
= - 1
y
x
y
y
x=
1
1 x
O
W
O
y
xyD
x
y
1 x=
ﾻ
ﾻ
Đ t ặ
ﾻ ta đ
cượ
r
x
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba sin y
r
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ j p
, 0
1, 0
r
z
r
j
rz
� � � 2 . � � �
ﾻ cos , � � p � = W � � 4 � �
2
ﾻ
1
r
ﾻ
ﾻ ﾻ
cos
I
ﾻ ﾻ d
2 r dr
dz
V y ậ
.
ﾻ
ﾻ
ﾻ
2 10
0
0
ﾻ 4
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
z c
b) Đổi biến trong tọa độ cầu b) Đổi biến trong tọa độ cầu a
r
( , , ) M a b c •
sin sin
q q
j cos j sin
b
r
rq
c
ﾻﾻ =ﾻﾻﾻ =ﾻ ﾻﾻ =ﾻﾻﾻ
b
O
r q (
q cos pﾻ ]) [0;
y
a
j
• ( , ,0) N a b
x
ổ ế Đ i bi n
ﾻ
ﾻ
j
j
j
ﾻ ﾻ ﾻ
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba ﾻ cos sin ﾻ sin sin cos
x y z r r r
ﾻﾻ ﾻﾻﾻ ﾻ ﾻﾻ ﾻﾻﾻ
:
j q
rV
1 q j ( , ) r 1 ﾻ
q 1
2 j q ( , ) r r 2 ﾻ q q . 2
ﾻﾻ ﾻﾻﾻ ﾻ ﾻﾻ ﾻﾻﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ�
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
ﾻ ﾻ D D ) q
D
V
r
�
Vi phân Vi phân ﾻ ﾻ ( sin . D q j )( r r 2 sin = qj q d d dr
r
dxdydz
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba Công thức đổi biến trong tọa độ cầu là
=
( , , ) f x y z dxdyd
z
2 . sin r
jq q d d dr
���
��� f
V
V
j q r
=
sin
q
j cos ,
sin
q
j sin ,
cos
q )
f
( f r
r
r
ễ
ể
sang t a ọ
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba ( , , ) f x y z dxdydz
I
VD 8. Bi u di n
ﾻ ﾻﾻﾻ
ộ ầ
ượ
đ c u, trong đó
V ứ V ch a đi m
ớ ạ c gi i h n
2
2
2
2
ﾻ
ﾻ
ở
z
x
y
ặ b i các m t
ể (0;0;1), đ và 2 x
ế ủ
2
2
2
2
=
+
4
�
2.
2 + + y
x
x
y
x
2 + = y
Gi i.ả Giao tuy n c a hai m t là ặ (
ﾻ ﾻ ﾻ y z 4 .
) 2
2
2
ế
Chi u mi n
ề V lên Oxy ta đ
cượ
ﾻ yﾻ 2 . : xyD x
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba z
2
2
2
2
2
2
+ + =
4
x
y
z
=
+
z
x
y
y
2
2
xyD
x
ổ ế Đ i bi n
ta đ
cượ
ﾻ r x
ﾻ ﾻ
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba ﾻ ﾻ sin cos ﾻ ﾻ sin sin ﾻ cos
r r y z
2
2
2
ﾻﾻ ﾻﾻﾻ ﾻ ﾻﾻ ﾻﾻﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 4 x y z r 2 .
ﾻ ﾻ
rV
Suy ra ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 0 ﾻ 2 , 0 2, 0 r .
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 4 ﾻ ﾻ
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba 2. sin f r
V y ậ
ﾻ ﾻ ﾻ d d dr I
2
p
p 4
.
j d
2 = � � � sin . f r dr
0
0
2 q q d 0
ﾻ ﾻﾻﾻ rV ﾻ ﾻ
ﾻ
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba 2 ﾻ
2 )
I
y dxdydz
( x
, trong đó
VD 9. Tính
ﾻﾻﾻ
2
2
2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
V 0,
V
y
x
0} .
ﾻ ﾻ 4, z z ọ ộ ầ ta có Gi i.ả Đ i bi n trong t a đ c u,
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ j p
, 0
2, 0
ﾻ q
r
j q
rV
p 2
� � � . � � �
{ y ổ ế � � � = ﾻ 0 � � � �
2
2
2
V y ậ
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ I ( sin ).( sin ) r d d dr r
ﾻ
2
ﾻ 2
ﾻ
ﾻ
3 sin
.
ﾻ d
4 r dr
ﾻ ﾻ d
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ 64 15
0
0
0
ﾻ ﾻﾻﾻ rV ﾻ ﾻ
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
ﾻ
I
, trong đó
VD 10. Tính
2
2
ﾻﾻﾻ
ﾻ
2
2
x ﾻ
ﾻ
z 2 , y z
z
0} .
2
dxdydz 2 ﾻ ﾻ y 2 ﾻ ﾻ { y x ọ ộ ầ , ta có: Gi i.ả Đ i bi n trong t a đ c u ﾻ ﾻ ﾻ 2sin sin 2 r y
ﾻ ﾻ ổ ế 2 2 ﾻ y x
.
ﾻ ﾻ ﾻ z
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
ề
Mi n ề ﾻ tr thành mi n ở
rﾻ ﾻ
ﾻ
.
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 0 , 0 ﾻ ﾻ 2sin sin , r
ﾻ 2 ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
V y ậ
ﾻ
ﾻ ﾻ r
ﾻ
ﾻ 2sin sin
ﾻ
ﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ sin I d d dr ﾻ ﾻﾻﾻ
.
ﾻ
ﾻ
ﾻ
0
0
ﾻ 2
ﾻ ﾻ ﾻ sin ﾻ d ﾻ ﾻ d dr
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
ﾻ
,
x
ạ
ặ
c) Công thức đổi biến tổng quát c) Công thức đổi biến tổng quát ﾻ Gi s ả ử ( , , ) ( , , ) ( , , ) z u v w z y u v w x u v w , uvwV đóng b ị ề có đ o hàm riêng liên t c trong mi n ch n trong không gian
ﾻ y ụ uvw .
ị
th cứ
Ta g iọ Jacobian (Jacobi) là đ nh
=
=
J
ﾻ ﾻ
( , , ) x y z ( , , ) u v w
x y z
x y z
x y z
ﾻ u ﾻ u ﾻ u
ﾻ v ﾻ v ﾻ v
ﾻ w ﾻ w ﾻ w
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba Công thức vi phân Công thức vi phân ﾻ
, ta có
uuur r và đ t ặ r OP xyz r ﾻ ( , , ). y u v w j
. ạ P c nh là
và
.
có m t ộ đ nhỉ r wﾻ ﾻ .wr
Vﾻ ﾻ uvwVﾻ r vﾻﾻ .vr ,
ﾻ r ( , , ). z u v w k r r
Xét đi mể ( , , ) P x y z r ( , , ). x u v w i Xét kh i ố hình h pộ r uﾻ ﾻ .ur Khi đó ta có: ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ y
ﾻ V x
)
)
v
w
r ﾻ ﾻ ( . r v
r ﾻ ﾻ . )].( r w
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ u v w
.
ﾻ ﾻ ﾻ z xyz
V uvw r ﾻ ﾻ ﾻ [( . u r u r r r ﾻ ﾻ ﾻ ). ( r r r v u w
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
ﾻ
ﾻ
[(
)
,
)
z
ặ M t khác r r r ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ). ( r r r w v u
ﾻ , , x y z u
ﾻ u
ﾻ u
ﾻ ﾻ , , ( x y z v v
ﾻ )].( x v
ﾻ ﾻ ﾻ , y w w w
=
|
ﾻ ﾻ ﾻ x y z u v w -
ﾻ ﾻ ﾻ x y z v w u -
ﾻ ﾻ ﾻ x y z w u v -
=
|
|
|.
J
+ ﾻ ﾻ ﾻ x y z w v u
+ ﾻ ﾻ ﾻ x y z v u w
ﾻ ﾻ ﾻ x y z u w v
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
|
|
Suy ra
x
y
z
J
ﾻ u v w
ﾻ
ﾻ
|
|
.
dxdydz
J dudvdw
0
ổ
J ﾻ
N u ế
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba thì ta có công th c đ i bi n
ứ ổ ế t ng quát
=
, , )
|
| J du
dvdw
��� ( f x y z dxdydz
��� . f
V
V
uvw
ﾻ
f
( ( , , ), ( , , ), ( , , )) f x u v w y u v w z u v w
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
2 3
I
xy z dxdydz
, trong đó
VD 11. Tính
ﾻ ﾻﾻﾻ
ﾻ 2
2
2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
:
z
4 .
ﾻ ﾻ ﾻ x
J 2
v
w
x 16 ổ ế Gi i.ả Đ i bi n 4 , u y ﾻ Mi n ề ﾻ tr thành mi n ề ở
y 9 ﾻ 3 , v z 2 ﾻ : uvw u
3
ﾻ
2 (4 )(3 )
12
I
u
v w dudvdw
Suy ra
.
ﾻﾻﾻ
ﾻ
uvw
w 2 ﾻ ﾻ ﾻ 12 . 4 .
cos ﾻ , ﾻ w r
ﾻ ﾻ ề
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba ọ ộ ầ : Đ i bi n trong t a đ c u ﾻ ﾻ sin cos , r v ở tr thành mi n
ổ ế ﾻ r u mi n ề
uvw
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ
rﾻ ﾻ ﾻ
0
ﾻ 2 , 0
2, 0
r
.
ﾻ
ﾻ
ﾻ ﾻ sin sin , ﾻ
8 2 3 (cos sin )(cos
5 sin )
V yậ ﾻ I
.
ﾻﾻﾻ
ﾻ
ﾻ ﾻ r
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 432 r d d dr
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
ﾻ
( , , ) u x y z ,
( , , ) v x y z ,
w
u
ﾻ ứ
ﾻ ể
ị
Chú ý Chú ý ế ặ ( , , ) v w x y z N u đ t ả thì ta có th dùng công th c Jacobian ngh ch đ o
-
1
=
=
J
ﾻ ﾻ
( , , ) u v w ( , , ) x y z
ﾻ u x ﾻ v x ﾻ w x
ﾻ ﾻ u u y z ﾻ ﾻ v v z y ﾻ ﾻ w w z y
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
z dxdydz
, trong đó
VD 12. Tính I
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
2 z
x
ặ ớ ạ ở c gi i h n b i 6 m t: ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 2 3 y ,
4 .
ﾻ ﾻﾻﾻ ﾻ ﾻ là kh i hình h p đ ộ ượ ố ﾻ ﾻ 2 1 2 z y x x z , ổ ế Gi i.ả Đ i bi n 2 , z v x
ﾻ
1
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 2 y u x , z w x 2 y 2 z
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 2 J J
1 . 2
1 0 2 1 2 1 1 2 2
ở
ﾻ ﾻ ﾻ
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba ﾻ ﾻ ﾻ [ 1; 1] [ 3; 3] [ 4; 4] .
uvw
ﾻ
ﾻ
ﾻ
( ) w v dudvdw
I
0 .
Vậy
ﾻﾻﾻ
Mi n ề ﾻ tr thành ﾻ 1 2
ﾻ
uvw
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
, trong đó
x dxdydz
VD 13. Tính tích phân I
ﾻ ﾻﾻﾻ
2
2
2
ﾻ ﾻ
2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
2 1)
2 2)
: ( x
( y
z
1 .
Gi i.ả Ta có
2
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ : x y z 2 x 4 y ﾻ 4 0 .
ổ ế Đ i bi n
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 1 2 sin J r ﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ sin cos ﾻ sin sin ﾻ r r cos r
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ
0
ﾻ 2 , 0
1, 0
r
và
.
ﾻ ﾻ r
ﾻﾻ ﾻﾻﾻ ﾻ ﾻﾻ ﾻﾻﾻ
ﾻ
x y z ﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba 2 ﾻ (1
V y ậ
ﾻﾻﾻ
ﾻ
ﾻ ﾻ r
2
3
2
=
+
sin
sin cos
q j j q
q j q d drd
d drd
��� r
��� r
W
j q r
j q r
ﾻ sin cos )( sin ) r r d drd I ﾻ
.
W ﾻ 4 3
ﾻ
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba
xy dxdydz
, trong đó
ﾻ ﾻﾻﾻ
ﾻ
2
2
2
2
2
ﾻ ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
0,
2
y
x
z
4 z
z
x
y
.
VD 14. Tính I ﾻ
ﾻ
2
ổ ế Gi i.ả Đ i bi n
ﾻ ﾻ sin J r ﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ r r 2 x y z r
Bài 2. Tích phân bội ba Bài 2. Tích phân bội ba ﾻﾻ ﾻ ﾻ sin cos ﾻﾻﾻ ﾻ ﾻ sin sin ﾻ ﾻﾻ ﾻ ﾻ cos ﾻﾻﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
0
ﾻ 2 , 0
2, 0
r
và
.
ﾻ ﾻ r
ﾻ 3 4
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
4
3 ﾻ sin2 sin
V y ậ
ﾻﾻﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ I r d drd 0 .
ﾻ
ﾻ ﾻ r
1 2
………………………………………………………………
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội
3.1. Tính diện tích của miền phẳng 3.1. Tính diện tích của miền phẳng 3.2. Tính thể tích của vật thể 3.2. Tính thể tích của vật thể 3.3. Tính giá trị trung bình của hàm 3.3. Tính giá trị trung bình của hàm 3.4. Tính khối lượng của vật thể 3.4. Tính khối lượng của vật thể 3.5. Tính trọng tâm của vật thể 3.5. Tính trọng tâm của vật thể
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội
ị ặ
ủ
3.1. Tính diện tích ệ Di n tích
của hình phẳng 3.1. Tính diện tích SS của hình phẳng ẳ D đóng, b ch n là
S c a hình ph ng
S
dxdy
= ��
D
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội
2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
3,
VD 1. Tính di nệ tích c a ủ hình ph ngẳ 2 ﾻ y
D
x
x
x
y
2 x
.
ﾻ
ượ c
Gi i.ả Đ i bi n trong t a đ c c, ta đ
.
ﾻ
rD
ọ ộ ự ﾻ 3
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ , 0 2cos r
ﾻ ổ ế ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
V yậ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
S
dxdy
rdrd
ﾻﾻ
ﾻﾻ
ﾻ 3 3 6 . 12
D
ﾻ
D r
ﾻ 4 ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội
của vật thể 3.2. Tính thể tích VV của vật thể 3.2. Tính thể tích Th tích ườ ể V c a v t th
ủ ậ ể ﾻ có đ ế
ﾻ
ﾻ
z
z
là
v i ớ Oz và hình chi u trên ặ ạ ở ( , ) f x y h n b i các m t 1
=
-
V
( , ) f x y dxdy 1
ng sinh song song Oxy là D , hai đáy gi i ớ ﾻ ( , ) f x y 2 � � �
� �� ( , ) f x y � � 2
D
ị ặ
ể
Th tích c a v
ủ ật th ể ﾻ tùy ý (đóng và b ch n) là
V
dxdydz
= ���
W
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội V c a v t th
ể 2
2
2
ﾻ ﾻ
ﾻ
ủ ậ ể 2 ﾻ ﾻ ﾻ
ﾻ
VD 2. Tính th tích 2 ﾻ 1,
2 )
y
y
z
x
ﾻ 5 ( x
y
x
.
ﾻ
2
2
ﾻ 1 ,
2
: D x 2
ﾻ
ﾻ
,
2 )
x
y
y
.
ﾻ ( , ) 5 ( x f x y 2
ﾻ Gi i.ả Ta có ﾻ ( , ) f x y 1
2
2
2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
2 )
y
x
V yậ V
ﾻﾻ
ﾻ ﾻ 5 ( x ﾻ ﾻ
ﾻ y dxdy ﾻ ﾻ
2
2
ﾻ
ﾻ
1
x
y
ﾻ
2
1
2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
(5
.
ﾻ d
r
) r rdr
ﾻ
ﾻ
ﾻ 23 6
0
0
yﾻ 2 ﾻ
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội
ể
ủ
2
ố 2
2
2
2
2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
x
J 2 ﾻ
abc 2 ﾻ
VD 3. Tính th tích c a kh i elipsoid x a . , a u y ở
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ : 1 .
. 1 .
w
v
ﾻ
ﾻ
dxdydz
abc
dudvdw
V y ậ V
ﾻﾻﾻ
ﾻﾻﾻ
ﾻ
ﾻ
uvw
y b ﾻ Gi i.ả Đ t ặ . , b v z ﾻ Khi đó, mi n ề ﾻ tr thành z c ﾻ . c w 2 ﾻ : uvw u
.
uvw
ﾻ ﾻ ﾻ . ( ) abcV abcﾻ
4 3
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội
z
2
2
4
=
+
: D x
2 z+ ﾻ
2 )
y
- 16 ( x
z
W
y
x
2
2
ể 2 ﾻ
ﾻ ﾻ
ﾻ
16} .
ủ ậ ể V c a v t th VD 4. Tính th tích 2 2 ﾻ ﾻ ﾻ 4, y x z
{ x
z
2
2
4
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội zﾻ ﾻ
: D x ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
cượ ﾻ 2 , 0
{0
r
ﾻ 2} .
ﾻ
2
2
2
2 )
Gi i.ả Chi u ế ﾻ lên Oxz ta đ ﾻ rD z
2 x
.
2
ﾻ
ﾻ
2 )
ﾻ 16 ( x
z dxdz
V y ậ V
ﾻﾻ 2
D
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 16, 0 y y y ﾻ 16 ( x z
2
ﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 16 r rdrd ﾻ.
ﾻ
ﾻﾻ 2 rD
256 64 3 3
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội
f x y trên mi nề ph ngẳ ( , )
3.3. Giá trị trung bình của hàm trên miền đóng 3.3. Giá trị trung bình của hàm trên miền đóng Giá tr trung bình c a hàm 2 đóng và b ch n là
ị D ﾻ ¡
f
( , ) f x y dxdy
ủ ị ặ 1 = �� ( ) S D
D
Giá tr trung bình c a hàm
f x y z trên mi n ề ( , , )
ﾻ ﾻ ¡
=
f
( , , ) f x y z dxdydz
ị ủ 3 ị ặ đóng và b ch n là 1 W ��� ( )
V
W
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội
VD 5. Tính giá tr trung bình c a hàm ﾻ
ﾻ
ﾻ
trên mi n ề
xy 2 } .
ủ ﾻ x
ị D
y
( , ) f x y ﾻ 2, y
ﾻ x
{ x 1
ﾻ 2
0, x
Gi i.ả Ta có
ﾻ
ﾻ
ﾻ ﾻ ( ) S D dx dy
2
0
x
1
ﾻ 2
x
7 6
.
ﾻ
ﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ f xdx ydy
2
0
x
6 7 9 28
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội
ị VD 6. Tính giá tr trung bình c a
ủ hàm ( , , ) f x y z 2
2
ﾻ ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
2 1, ﾻ
z
y
trên mi n ề
.
yﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 0 ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ
y 9 ﾻ
x 4 3 , v z
Gi i.ả Đ t ặ
2
2
2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ở
1,
{ u
v
w
v
Mi n ề ﾻ tr thành
0} .
ổ ế ﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 6 . x 2 , u y w J
uvw ọ ộ ầ ﾻ ﾻ ﾻ
ượ Đ i bi n trong t a đ c u ta đ c ﾻ ﾻ 1, 0 r
ﾻ ﾻ r
2
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ , 0 {0 ﾻ ﾻ . }
ﾻﾻﾻ
ﾻ
ﾻ ﾻ r
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ( ) 6 sin r d drd V Suy ra ﾻ. 4
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội
ﾻ
ﾻ
f
y dxdydz
(3 ).6 v
dudvdw
ﾻﾻﾻ
ﾻﾻﾻ
1 ﾻ 4
ﾻ
ﾻ
uvw
3
2
.
ﾻﾻﾻ
1 ﾻ 4 1 ﾻ 4
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 18 sin sin r d drd
ﾻ
ﾻ ﾻ r
9 8
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội
ả
ặ
ố ượ
ẳ
( , ) x y dxdy
m
của vật thể 3.4. Khối lượng mm của vật thể 3.4. Khối lượng 2 Xét b n ph ng chi m mi n D ﾻ ¡ (đóng và b ị ề ế ẳ Dﾻ ạ ể ậ ộ ố ượ ( , ) M x y ng t i đi m ch n) có m t đ kh i l x yﾻ ụ là hàm ( , ) không âm trên D . liên t c và ủ ả ng c a b n ph ng là Khi đó, kh i l = �� r
D
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội
ị
của vật thể 3.4. Khối lượng mm của vật thể 3.4. Khối lượng 3 Xét v t th chi m mi n ﾻ ﾻ ¡ ề ế ậ ể ố ượ ậ ộ có m t đ kh i l ng (kh i l ﾻ ố kh i) là
ặ (đóng và b ch n) t ỉ ố ượ ng riêng hay không âm trên ﾻ .
( , , ) x y z ố ượ
ụ liên t c và ủ ậ ể ng c a v t th là
Khi đó, kh i l
m
( , , ) x y z dxdydz
= ��� r
W
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội
2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ế 0} .
ủ ả 4, x
ﾻ
ề ẳ ố ượ ng c a b n ph ng chi m mi n VD 7. Tính kh i l 2 ﾻ { 0, y y x ậ ộ
xy
.
( , ) x y .
ﾻ xydxdy
D ế Bi t hàm m t đ là Gi i.ả Ta có m
ﾻ ﾻﾻ
D
ọ ộ ự
ể
Chuy n sang t a đ c c, ta đ
ượ c:
2
ﾻ 2
ﾻ
ﾻ
sin2
2 .
m
ﾻ ﾻ d
3 r dr
ﾻ
ﾻ
1 2
0
0
z
ế
ề ﾻ
1
yﾻ
x
1
y
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội ậ ể VD 8. Cho v t th chi m mi n ặ ớ ạ ở gi i h n b i các m t ﾻ ﾻ ﾻ 1 y z x , ọ ộ ẳ ặ và 3 m t ph ng t a đ . ố ế ỉ Bi t t kh i là hàm ( )m ﾻ . ﾻ ﾻ ( , , ) , tính x y z
x
1
x
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội
x dxdydz
Gi i.ả Ta có m
ﾻ ﾻﾻﾻ
ﾻ
ﾻ
x
y
1
ﾻ 1
x
ﾻ
ﾻ
xdx
dy
dz
ﾻ
ﾻ
ﾻ
1 . 8
0
0
0
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội
3.5. Trọng tâm của vật thể 3.5. Trọng tâm của vật thể Tr ng tâm
G c a b n ph ng
ọ ượ l ng là hàm
ậ ộ liên t c, không âm trên
ố ẳ D có m t đ kh i ụ D là
ủ ả x yﾻ ( , )
=
r . ( , )
x
x y dxdy
G
�� x
1 m
D
=
y
r . ( , ) d x y
xdy
G
�� y
1 m
D
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội
3
ươ
ọ
3.5. Trọng tâm của vật thể 3.5. Trọng tâm của vật thể T ng t , ự tr ng tâm
ủ ậ ể G c a v t th
là
ﾻ ﾻ ¡
=
x
( , , ) x y z dxdydz
G
��� r x
W
=
y
( , , ) x y z dxdyd
z
G
��� r y
W
=
z
( , , ) x y z dxdydz
G
��� r z
1 m 1 m 1 m
W
ﾻ ﾻ
ﾻ
ﾻ
y x
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội ớ ạ ẳ D gi i h n ọ ộ ọ VD 9. Tìm t a đ tr ng tâm hình ph ng ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 1 0, 0, . Bi t ế ( , ) 2 b i ở x y x y x x y . ﾻ ﾻ ﾻ Gi i.ả Ta có 1 1, 0 {0 } x y D .
1
ﾻ 1
x
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
m
( , ) x y dxdy
dx
(2 x
) y dy
ﾻ
ﾻ
ﾻﾻ
1 . 2
0
0
D
Suy ra:
ﾻ
ﾻ
•
x
x
( , ) x y dxdy
G
ﾻﾻ
D
1 m 1
ﾻ 1
x
2
ﾻ
ﾻ
ﾻ
dx
(2 x
) xy dy
ﾻ 2
ﾻ
5 . 12
0
0
ﾻ
ﾻ
ﾻ
0,
x
y
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội ớ ạ ẳ D gi i h n ọ ộ ọ VD 9. Tìm t a đ tr ng tâm hình ph ng ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 1 0, . Bi t ế ( , ) 2 b i ở x y y x x y .
ﾻ
ﾻ
ﾻ
•
y
y
( , ) x y dxdy
G
ﾻﾻ
1 . 3
1 m
D ậ ọ ộ ọ
V y t a đ tr ng tâm là
.
G
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 5 1 ﾻ ﾻ ; ﾻ ﾻ 12 3 ﾻ
ﾻ ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
{0
1,
ủ ậ ể ồ 2 2 ﾻ y ﾻ
ﾻ
0 .
k
ﾻ
dxdydz
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội ọ ộ ọ ấ VD 10. Tìm t a đ tr ng tâm c a v t th đ ng ch t 2 2 ﾻ ﾻ ﾻ 2 , 0} x z y x y . ﾻ ậ ể ồ ấ Gi i.ả V t th đ ng ch t nên ( , , ) x y z ﾻﾻﾻ ﾻ ﾻ m kV Ta có: m k
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
,
x
x dxdydz
x dxdydz
G
ﾻﾻﾻ
ﾻﾻﾻ
k m
1 V
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ
,
.
y
y dxdydz z
z dxdydz
G
G
ﾻﾻﾻ
ﾻﾻﾻ
1 V
1 V
ﾻ
ﾻ
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội
ọ ộ ụ
ể
Chuy n sang t a đ tr , ta đ
2
ﾻ
ﾻ 2
ượ c: 1
r
.
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻﾻﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ V dxdydz ﾻ d rdr dz
ﾻ
0
0
ﾻ
ﾻ 2
1
0 2 r
ﾻ 3 4
2 r dr
•
Gx
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ ﾻ cos ﾻ ﾻ d dz 0 .
0
0
0
2
ﾻ
ﾻ 2
1
r
4 ﾻ 3
2 r dr
•
.
Gy
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ ﾻ sin ﾻ ﾻ d dz
0
0
0
4 ﾻ 3 56 ﾻ 45
Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội Bài 3. Ứng dụng của tích phân bội
2
ﾻ
1
ﾻ 2
r
•
.
Gz
ﾻ
ﾻ
ﾻ
ﾻ ﾻ ﾻ d r dr z dz
0
0
0
4 ﾻ 3 7 9
ậ ọ ộ ọ
V y t a đ tr ng tâm là
.
0; G
ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ 56 7 ﾻ ﾻ ; ﾻ ﾻ ﾻ 9 45 ﾻ
