Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 1

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh

Khoa Công nghệ Cơ khí

CHƯƠNG I:

NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Thời lượng: 6 tiết (2 buổi)

2 Các tình huống tối ưu hóa trong thiết kế Cơ khí

3 Các tình huống tối ưu hóa trong thiết kế Cơ khí

Cho dầm với mặt cắt hình tròn đặc với đường kính d, được làm từ vật liệu có khối lượng riêng ρ. Chiều dài dầm là L. Tìm đường kính d để khối lượng dầm là tối thiểu, biết tần số dao động riêng thứ nhất của nó không được vượt quá giá trị f

4 Các tình huống tối ưu hóa trong thiết kế Cơ khí

Tìm d, D, N để lò xo nhẹ nhất mà vẫn đảm bảo các điều kiện: - Về độ cứng - Về độ bền - Về tần số dao động

5 Phân dạng các vấn đề tối ưu hóa

Có ràng buộc

Không ràng buộc

Tối ưu hóa

Phát biểu của một vấn đề tối ưu hóa

Để hàm f(X) nhỏ nhất

Tìm

và phải thỏa mãn các điều kiện ràng buộc

Tìm

Để hàm f(X) nhỏ nhất

6 Phát biểu của một vấn đề tối ưu hóa

7 Phát biểu của một vấn đề tối ưu hóa

- Thường là: • Kích thước của các kết cấu (dài, góc) • Các thuộc tính vật liệu (khối lượng, nhiệt độ, …)

- Giá trị của các tham biến thường nằm trong 1 khoảng giới hạn - Tham biến có thể là một số thực, rời rạc, số nhị phân, số nguyên

8 Phát biểu của một vấn đề tối ưu hóa

- Thường là: • Khối lượng của một vật hay chi tiết, cụm vật, v.v… • Ứng suất, độ bền • Chuyển vị, độ cứng • Giá thành, chi phí • Hiệu suất, công suất, năng suất

9 Phát biểu của một vấn đề tối ưu hóa

Thường là các điều kiện liên quan đến: - ngưỡng giới hạn của một hiện tượng vật l{ nào đó - ngưỡng giới hạn của yêu cầu kỹ thuật về kích thước, khối lượng, ứng suất, biến dạng, tần số dao động, năng suất, độ nhám bề mặt, sai số, v.v…

10 Tính lồi lõm (Convexity)

Tập hợp lồi

Tập hợp không lồi

11 Tính lồi lõm (Convexity)

12 Tính lồi lõm (Convexity)

Khái niệm lồi – lõm quan trọng để xác định hàm số chỉ có 1 giá trị cực tiểu. Một hàm lồi sẽ có 1 cực tiểu toàn cục. Nếu hàm không lồi thì cực trị có thể chỉ là địa phương.

Cực trị địa phương

Cực trị toàn cục

Hàm số có nhiều hơn 1 cực đại và cực tiểu gọi là hàm đa phương thức (Multimodal function)

13 Cực tiểu toàn cục chặt chẽ

Không có cực tiểu toàn cục chặt chẽ

Cực tiểu toàn cục không chặt chẽ

Cực tiểu cục bộ chặt chẽ (toàn cục)

Cực tiểu cục bộ chặt chẽ

Cực tiểu cục bộ không chặt chẽ

14 Tính lồi lõm (Convexity)

cục

Các kỹ sư không chỉ quan tâm đến cực trị toàn (Global Optimum) mà còn cần quan tâm đến các cực trị địa phương và các cực trị trong điều kiện ràng buộc. Vì không phải lúc nào cũng có thể sử dụng thiết kế theo cực trị toàn cục do bị các ràng buộc kỹ thuật khác từ chối.

15 Tính lồi lõm (Convexity)

Nếu f(x) là hàm lồi thì –f(x) sẽ là hàm lõm

Chính vì vậy ta có:

16 Đạo hàm (độ dốc) của hàm số f(x)

Tiếp tuyến Phương của độ dốc thể hiện sự thay đổi giá trị của hàm số một cách lớn nhất. Độ dốc cung cấp thông tin cần thiết về phương hướng tìm kiếm cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) địa phương của hàm số. Trong hầu hết các bài toán tối ưu, khi mà hàm số f(x) là phi tuyến thì đạo hàm (độ dốc) thường được tính bằng phương pháp số.

Đối với hàm 1 biến số thì tiếp tuyến tại mọi điểm của đồ thị và độ dốc của nó là như nhau.

17 Phương pháp số để tính đạo hàm

18 Phân định cực đại hay cực tiểu

Điểm uốn

Cực tiểu

Cực đại

19 Độ dốc của hàm nhiều biến

20 Tiếp tuyến và độ dốc của hàm 2 biến

Giao tuyến giữa các mặt phẳng song song với mặt phẳng x1x2 với bề mặt hàm số sẽ tạo ra các đường đồng mức, mà ở đó giá trị của hàm số tại mọi điểm trên những đường này đều bằng nhau.

21 Tiếp tuyến và độ dốc của hàm 2 biến

Chiều của mũi tên là chiều mà giá trị hàm f tăng

22 Tiếp tuyến và độ dốc của hàm 2 biến

Độ dốc vuông góc với các tiếp tuyến với các đường đồng mức của hàm số. Hay nói cách khác: Độ dốc chính là véctơ Pháp tuyến với đường cong

23 Ma trận Jacobian

Xét m hàm số n biến: Độ dốc của những hàm này có thể được đặt trong 1 ma trận Jacobian:

Đối với các bài toán tối ưu hóa có ràng buộc, có thể việc di chuyển theo hướng độ dốc sẽ dẫn đến việc di chuyển vào vùng không hợp lệ (infeasible region). Trong trường hợp như vậy, người ta có thể di chuyển theo một số hướng tìm kiếm khác, và khi đó ta sẽ cần biết tốc độ thay đổi giá trị của hàm số theo những hướng đó. Đạo hàm định hướng (The directional derivative) sẽ cung cấp thông tin về vận tốc thay đổi giá trị tức thời của hàm số theo một hướng nhất định.

Nếu u là một véc tơ đơn vị, thì đạo hàm định hướng của hàm f(x) theo hướng của u được tính bởi công thức:

24 Ý nghĩa của đạo hàm định hướng

MAX

Rào cản ràng buộc

25 Ma trận Hessian

Xét hàm số n biến:

Ma trận Hessian được định nghĩa:

1. Ma trận Hessian là một ma trận đối xứng 2. Ma trận Hessian phải dương tại điểm cực tiểu của hàm số 3. Ma trận Hessian phải âm tại điểm cực đại của hàm số

26 Bài tập ví dụ 1

Cho hàm 3 biến số:

Yêu cầu: 1. Tìm Gradient và ma trận Hessian của hàm số 2. Tìm đạo hàm định hướng của hàm f tại điểm (1,1,1) theo

hướng của véctơ d=[1,2,3]T

tại điểm (1,1,1)

Gradient:

Đạo hàm định hướng:

Hessian:

Véctơ đơn vị của d:

27 Xấp xỉ tuyến tính và bậc 2

Dãy Taylor được dùng để xấp xỉ hóa hàm số n biến:

Với:

Xấp xỉ tuyến tính (The Linear Approximation):

Xấp xỉ bậc hai (The Quadratic Approximation):

Chú {, dĩ nhiên là f(x)≈l(x)≈q(x) khi x≈x0 Để tính toán cần tính sẵn các véctơ và ma trận sau đây:

28 Ý nghĩa của việc xấp xỉ

29 Bài tập ví dụ 2

Hãy xây dựng xấp xỉ tuyến tính và xấp xỉ bậc 2 của hàm số sau tại điểm (2,1) và kiểm tra lại giá trị của hàm số, giá trị của các xấp xỉ tại điểm lân cận của nó là (1.9,1.1)

Dựa theo quy trình tính, ta có: