Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 4 - ĐH Công nghiệp TP.HCM

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

62
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 4: Tối ưu hàm nhiều biến số với ràng buộc đẳng thức - Phương pháp cổ điển" cung cấp cho người học các kiến thức: Phát biểu bài toán tổng quát, phương pháp thế trực tiếp, vi phân bậc r của hàm f,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 4 - ĐH Công nghiệp TP.HCM

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh Khoa Công nghệ Cơ khí CHƯƠNG 04: TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VỚI RÀNG BUỘC ĐẲNG THỨC: PHƯƠNG PHÁP CỔ ĐIỂN Thời lượng: 3 tiết
2 Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc đẳng thức Tìm cực tiểu (Minimum) của hàm nhiều biến sau: f x Với các điều kiện ràng buộc đẳng thức: g j x  0 j  1, 2, ,m x   x1 xn  T Với: x2 Điều kiện: m ≤ n  Nếu m > n bài toán sẽ không có lời giải. Có 3 phương pháp giải: 1. Phương pháp thế trực tiếp (direct substitution) 2. Phương pháp biến đổi ràng buộc (constrained variation) 3. Phương pháp nhân tử Lagrange (Lagrange multipliers)
3 Phương pháp thế trực tiếp Từ m ràng buộc đẳng thức, ta biến đổi và thu được các biểu thức tính m biến số thông qua (n-m) biến số còn lại (trong số n biến số tất cả). Từ đó thế vào biểu thức hàm f ban đầu. Như vậy hàm f sẽ trở thành hàm có (n-m) biến số nhưng không còn ràng buộc nào hết. Ta quay trở về bài toán tối ưu không ràng buộc. x   x1 xn  T x2 xn  m xn  m 1 xn  m  2 (n-m) tham biến cơ sở m tham biến cần triệt tiêu trong f  xn  m 1  h1  x1 , x2 , , xn  m    g j  x   0  xn  m  2  h2  x1 , x2 , , xn  m  Từ:    j  1..m  x  h  x , x , , x   n m 1 2 nm  f  x   f  x1 , x2 , , xn  m   min Hàm (n-m) biến số
4 Phương pháp thế trực tiếp Tối ưu hàm số sau: f  x1 , x2 , x3   8 x1 x2 x3 n3 Với ràng buộc: x12  x22  x32  1 m 1 Tìm biểu thức liên hệ của 1 tham biến vào 2 tham biến còn lại: x12  x22  x32  1  x3  1  x12  x22 Thế vào hàm f ban đầu: Tối ưu hàm 2 biến f  x1 , x2 , x3   f  x1 , x2   8 x1 x2 1  x  x 2 1 2 2 không ràng buộc Giải hệ phương trình Gradient = 0:
 8 x2  2 x12  x22  1  5  f      x        2 1  0 2 2 2 2 1 x x  1 2 x x f  x      0 2 1 1 2  f   8 x1  x1  2 x2  1  2 2  x1  2 x2  1  0 2  x      2 1  x1  x2  2 2    1  1  x1  x2   x3   Điểm dừng 3 3 Tính ma trận Hessian tại điểm dừng:  8 x x  2 x  3x  3 2 2 8  2 x14  3 x12 x22  2 x24  3 x12  3 x22  1    f  f    2 2 1 2 1 2  x   1  x  x  1  x1  x2  3 3  2 x x 2 2 2 2 2 2   H   1 1   2 1 2   f 2  f 2  8  2 x  3 x x  2 x  3 x  3 x  1 4 2 2 4 2 2 8 x1 x2  2 x1  3 x2  3  2 2     1 1 2 2 1 2     2    1  x  x  1  x12  x22  2  x2 x x1 2 2 2 3 2 3  1 2   32 16   3   32  0    1 3 A  3  Điểm cực đại  16 32    3   A2  256  0  3 T  1 1  Vậy cực đại của hàm ban đầu là: x*   1   f  x *   8  max  3 3 3 3 3
6 Phương pháp thế trực tiếp Phương pháp thế trực tiếp có vẻ đơn giản về mặt lý thuyết, nhưng trên thực tế lại có những hạn chế khi sử dụng. Đó chính là những biểu thức hàm ràng buộc gi(x) thường là các hàm phi tuyến phức tạp nên khó có thể rút ra được biểu thức biểu diễn tham biến qua các tham biến khác từ những hàm phức tạp này. Chính vì vậy, chúng chỉ có thể áp dụng ở một số trường hợp hàm gi(x) đơn giản.
7 Vi phân bậc r của hàm f f  x  , x  x1 , x2 , , xn Nếu tất cả các đạo hàm riêng của hàm f với bậc r ≥ 1 tồn tại và liên tục tại điểm x*, thì đa thức sau đây được gọi là vi phân bậc r của hàm f tại điểm x*:   r f  x*   Có nr d r f  x*    n n n   ir 1  xi1 xi2 xir dxi1 dxi2 dxir   hạng tử i1 1 i2 1   x  x1 , x2 , , xn ; Trong đó: dxik  xik  xik ; ik  1..n; k  1..r
8 Vi phân bậc r của hàm f f  x  ; x  x1 , x2 ; x  x1 , x2 f  x*  f  x*  n=2, r=1  Có d 1 f  x*   dx1  dx2 ; x1 x2 21 =2 hạng tử dxi  xi  xi ; i  1..2  2 f  x*   2 f  x*   2 f  x*   2 f  x*  d 2 f  x*   dx12  dx22  dx1dx2  dx2 dx1 n=2, r=2  Có x12 x22 x1x2 x2 x1 22 = 4 hạng tử  2 f  x*   2 f  x*   2 f  x*   dx12  dx22  2 dx1dx2 x 2 1 x 2 2 x1x2 dxi  xi  xi ; i  1..2
9 Vi phân bậc r của hàm f f  x  ; x  x1 , x2 , x3 ; x  x1 , x2 , x3 f  x*  f  x*  f  x*  d 1 f  x*   dx1  dx2  dx3 ; n=3, r=1  Có x1 x2 x3 31 = 3 hạng tử dxi  xi  xi ; i  1..3  2 f  x*   2 f  x*   2 f  x*   2 f  x*   2 f  x*  d 2 f  x*   dx12  dx22  dx32  dx1dx2  dx2 dx1  x 2 1 x 2 2 x 2 3 x1x2 x2 x1  2 f  x*   2 f  x*   2 f  x*   2 f  x*   dx1dx3  dx3 dx1  dx2 dx3  dx3dx2 n=3, r=2  Có x1x3 x3x1 x2 x3 x3x2 32 = 9 hạng tử  2 f  x*   2 f  x*   2 f  x*   2 f  x*   2 f  x*   2 f  x*   dx  2 dx  2 dx  2 2 dx1dx2  2 dx2 dx3  2 dx3dx1 x x x x1x2 x2 x3 x3x1 2 1 2 2 2 3 1 2 3 dxi  xi  xi ; i  1..3
10 Dãy TAYLOR của hàm f(x) quanh điểm x* f  x   f  x*  dx   f  x   d f  x   d f  x   d f  x*   d f  x*   RN  x* , dx   1 2 1 3 1 N 1 * *  2! 3! N!   N R  x * , dx   1  N  1! d N 1 f  x *   dx    dx  x  x  x  x  dx * *  x   x1 x2 xn  T  *  T x   x1 x2 xn     0    1  
11 Dãy TAYLOR của hàm f(x) quanh điểm x* Tìm biểu thức dãy Taylor xấp xỉ bậc 2 cho hàm f quanh điểm x*: f  x   f  x1 , x2 , x3   x x  x1e ; x  1 0 2 2 x3 * T 2 3 f  x   f  x   d f  x   d f  x*   1 1 2 * Ta có: 2!  f  x   f 1, 0, 2   e  2 f  x*  f  x*  f  x*   d 1 f  x*   dx1  dx2  dx3 x1 x2 x3    e x3 * x  dx1   2 x2 x3  x* dx2  x22  x1e x3  * x dx3  e 2 dx1  0dx2  e 2 dx3  d 1 f  x*   e 2 dx1  e 2 dx3
 2 f  x*   2 f  x*   2 f  x*   2 f  x*  12  d 2 f  x*   dx12  dx22  dx32  2 dx1dx2 x2 1 x 2 2 x 2 3 x1x2  2 f  x*   2 f  x*  2 dx2 dx3  2 dx3dx1 x2 x3 x3x1  0dx12   2 x3  x* dx22  x1e x3   * x dx3   2  0  dx1dx2   2  2 x2  x* dx2 dx3 2   2  e x3  x* dx3dx1   4  dx22  e 2 dx32  2e 2 dx3dx1  d 2 f  x*    4  dx22  e 2 dx32  2e 2 dx3dx1 Vậy, biểu thức dãy Taylor xấp xỉ bậc 2 cho hàm f quanh điểm x* có dạng: f  x   f  x*  dx  1  e  e  dx1  dx3    4  dx2  e dx3  2e dx3dx1  2 2  2 2 2 2 2
13 Phương pháp biến đổi ràng buộc Ý tưởng chính của phương pháp này nằm ở chỗ đi tìm một biểu thức dạng đóng* cho vi phân bậc 1 của hàm số (tức là 1 biểu thức của df) tại tất cả các điểm mà ở đó các biểu thức ràng buộc gi(x)=0 được thỏa mãn. Khi đó thì các điểm cực trị cần tìm sẽ thu được bằng cách giải phương trình df=0.
14 Phương pháp biến đổi ràng buộc Tìm cực trị hàm số sau: f  x1 , x2  n2 Với 1 ràng buộc: g  x1 , x2   0 m 1 Điều kiện cần để hàm f có cực trị tại điểm x* = (x1*, x2*) là vi phân bậc 1 của hàm f phải bằng 0 tại đó. Ta có biểu thức:  f f  df   dx1  dx2   0 1  x1 x2  x* Do vì g(x1*, x2*)=0 tại điểm cực trị, nên mọi biến thể dx1, dx2 xung quanh điểm x* được gọi là các biến thể được chấp nhận (admissible variations) nếu những điểm có tọa độ (x1*+dx1, x2*+dx2) cũng nằm trên đường cong ràng buộc g(x1, x2)=0.
15 : x*   x1 , x2  A là điểm cực trị của hàm f mà nằm trên đường cong g(x1, x2)=0. B và C là các điểm biến thể (gần với A) được chấp nhận vì chúng nằm trên đường cong g(x1, x2)=0. D là điểm biến thể (gần với A) không được chấp nhận vì nó không nằm trên đường cong g(x1, x2)=0.
16 Với các điểm biến thể được chấp nhận (B và C), ta sẽ có: g  x1  dx1 , x2  dx2   0 Ta lại sử dụng dãy Taylor bậc 1 cho hàm g:   g  x1  dx1 , x2  dx2   g  x1 , x2   g  x   0    x1 x2  g  x*  g  x*   g  x   dx1  dx2  0 x1 x2 0 dg g  x*  g  x*   dg  dx1  dx2  0  2 x1 x2 g g  x*  x1 Giả sử  0  dx2   g dx1  3 x2 x2 x*
17 Thế (3) vào (1), ta thu được:  g   f x1 f  Biến thể ràng df    g  dx1  0  4  x1 x2  buộc của hàm f  x2  x*  f g f g     0  x1 x2 x2 x1  x* Điều kiện cần để tồn tại cực trị của hàm f(x1,x2) với ràng buộc g(x1,x2) =0: f g f g  0  5 x1 x2 x2 x1
18 Phương pháp biến đổi ràng buộc Tìm cực trị hàm số sau: f  x1 , x2   k 2 n2 x1 x2 m 1 Với 1 ràng buộc: g  x1 , x2   x12  x22  a 2  0 Sử dụng phương trình (5): f k   2 2 x1 x1 x2  g    a  2 x2   1x  x2  k 2k  3    5    2 2  2 x2   2 x1  0  x2  x1 2   f 2k  x1 x2 3 x1 x2  x  a 2  3 x2 x1 x2   2 3  g  2 x1  x1 
19 Phương pháp biến đổi ràng buộc Trong trường hợp tổng quát hàm có n biến số và m ràng buộc, phương pháp này rất phức tạp nên khó áp dụng khi giải các bài toán thực tế. Vì vậy phổ biến hơn cả sẽ là phương pháp nhân tử Lagrange
20 Phương pháp nhân tử Lagrange Tìm cực trị hàm số sau: f  x1 , x2  n2 Với 1 ràng buộc: g  x1 , x2   0 m 1 Từ (4), ta có:  g   f   f x1 f   f x2 g   4  : df    g  dx1  0      0 6  x1 x2   x1 g x1   x2  x*  x2  x* f x2 Nhân tử Đặt:    g Lagrange  f g  x2 x*    0 8  x1 x1  x*  f g  Kết hợp với phương trình:    0 7 g  x1 , x2   0  9   x2 x2  x*