Biến ngẫu nhiên
Chương 2
Biến ngẫu nhiên
Hàm phân phối
Biến ngẫu nhiên rời rạc
Biến ngẫu nhiên liên tục
Kỳ vọng, phương sai, mod
Bài tập
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa: Xét phép thử có không gian mẫu . Hàm 𝑋
xác định trên và lấy giá trị trong tập các số thực được
gọi là một biến ngẫu nhiên.
Ví dụ: Tung hai đồng xu cân đối đồng chất. Nếu có mặt
sấp thì được 2 đồng, nếu có mặt ngửa thì thua 1 đồng.
Gọi 𝑋 là số tiền nhận được thì 𝑋 là một biến ngẫu
nhiên.
Không gian mẫu: Ω={𝑆𝑆,𝑆𝑁,𝑁𝑆,𝑁𝑁}
𝑋𝑁𝑁 =−2
𝑋𝑆𝑁 =1
𝑋𝑆𝑆 =4
𝑋=−2 ={𝑁𝑁}
𝑋=1 ={𝑆𝑁,𝑁𝑆}
𝑋=4 ={𝑆𝑆}
𝑋𝑁𝑆 =1
𝑃𝑋=−2 =?
𝑃𝑋=1 =?
𝑃𝑋=4 =?
Ví dụ: Một người mua hai linh kiện điện tử. Mỗi linh
kiện có thể bị từ chối hoặc được chấp nhận. Giả sử 4
kết quả có thể - 𝑑,𝑑, 𝑑,𝑎, 𝑎,𝑑,(𝑎,𝑎)- có các
xác suất tương ứng là 0.09;0.21;0.21;0.49 (với
(𝑎,𝑑) có nghĩa là linh kiện thứ nhất là được chấp
nhận và linh kiện thứ hai thì bị từ chối). Đặt 𝑋 là số
linh kiện chấp nhận được sau khi mua. Thì 𝑋 là biến
ngẫu nhiên, và có thể nhận các giá trị với xác xuất
tương ứng cho ở bảng sau:
𝑋 0 1 2
𝑃 0.09 0.42 0.49
Biến ngẫu nhiên
Hàm phân phối
Ví dụ
Định nghĩa: Cho 𝑋 là một biến ngẫu nhiên xác định
trên không gian mẫu . Với mỗi 𝑥∈ℝ, ta đặt
𝐹𝑥 =𝑃𝑋<𝑥.
𝐹(𝑥) được gọi là hàm phân phối xác suất của 𝑋.
𝑋 0 1 2
𝑃 0.09 0.42 0.49
𝐹0.5 =𝑃𝑋<0.5 =𝑃𝑋=0 =0.09
𝐹1.0 =𝑃𝑋<1.0 = ?
Hàm phân phối
Tính chất
1. Không giảm,
2. 𝐹−∞ =0,𝐹+∞ =1
3. 𝑃𝑎≤𝑋<𝑏 =𝐹𝑏 −𝐹(𝑎)
Ví dụ: Cho 𝑋 là BNN liên tục có hàm phân phối
𝐹𝑥 =𝑎+𝑏arctan𝑥.
Xác định 𝑎,𝑏.
Ví dụ 𝑋 0 1 2
𝑃 0.09 0.42 0.49
𝑃0≤𝑋<1.5 =?