intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 5 - ThS. Phạm Trí Cao (2019)

Chia sẻ: Minh Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST
Báo xấu
26
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Xác suất thống kê - Chương 5: Lý thuyết mẫu" cung cấp cho người học các kiến thức: Mẫu và phương pháp mẫu, các đặc trưng số cơ bản của tổng thể và mẫu, phân phối của các đặc trưng mẫu,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 5 - ThS. Phạm Trí Cao (2019)

  1. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 5 17-02-2019 PHAÀN 2: THOÁNG KEÂ Bản 2019 coù một soá ñieàu chænh cho THOÁNG NHAÁT vôùi CHÖÔNG 5: saùch THOÁNG KEÂ ÖÙNG DUÏNG TRONG KINH TEÁ VAØ KINH DOANH. Taùc giaû ANDERSON & SWEENEY & LYÙ THUYEÁT MAÃU WILLIAMS. Nhaø xuaát baûn HOÀNG ÑÖÙC 2016. Khoa Toaùn-Thoáng keâ, tröôøng ñaïi hoïc Kinh teá TP.HCM bieân dòch. 1 2 1. MAÃU VAØ PHÖÔNG PHAÙP MAÃU Moät soá lyù do khoâng theå nghieân cöùu toaøn boä toång theå: Giaû söû ta caàn nghieân cöùu moät taäp hôïp coù raát nhieàu  Giôùi haïn veà thôøi gian, taøi chính… phaàn töû, vì moät soá lyù do maø ta khoâng theå khaûo saùt toaøn boä taäp lôùn naøy (khaûo saùt taát caû caùc phaàn töû), nhöng ta Thí duï muoán khaûo saùt xem chieàu cao trung bình cuûa laïi muoán coù keát quaû treân taäp lôùn. Ta coù theå giaûi quyeát thanh nieân Vieät Nam hieän nay coù taêng leân so vôùi tröôùc nhö sau: töø taäp hôïp lôùn laáy ra moät taäp hôïp nhoû hôn ñeå ñaây khoâng, ta phaûi ño chieàu cao cuûa toaøn boä thanh nieân nghieân cöùu, ta thu ñöôïc keát quaû treân taäp nhoû, töø keát Vieät nam (giaû söû xaáp xæ N= 40 trieäu ngöôøi), ñieàu naøy quaû treân taäp nhoû ta suy ra keát quaû cho taäp lôùn. Phöông tuy laøm ñöôïc nhöng roõ raøng toán nhieàu thôøi gian, tieàn phaùp laøm vieäc nhö vaäy goïi laø phöông phaùp maãu. Taäp baïc, coâng söùc…. lôùn goïi laø toång theå hay ñaùm ñoâng, soá phaàn töû cuûa taäp Ta coù theå khaûo saùt khoaûng 1 trieäu thanh nieân vaø töø lôùn goïi laø kích thöôùc toång theå/ñaùm ñoâng, kyù hieäu laø N. Taäp nhoû goïi laø maãu, soá phaàn töû cuûa maãu goïi laø kích chieàu cao trung bình cuûa n= 1 trieäu ngöôøi naøy, ta suy ra thöôùc maãu hay côõ maãu, kyù hieäu n. 3 chieàu cao trung bình cuûa toaøn boä thanh nieân VN. 4 1
  2. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 5 17-02-2019 Moät soá lyù do khoâng theå nghieân cöùu toaøn boä toång theå: Moät soá lyù do khoâng theå nghieân cöùu toaøn boä toång theå:  Khoâng xaùc ñònh ñöôïc chính xaùc toång theå.  Phaù vôõ toång theå nghieân cöùu. Thí duï muoán khaûo saùt xem tyû leä nhöõng ngöôøi bò Thí duï ta caát vaøo kho N= 10000 hoäp saûn phaåm, muoán nhieãm HIV qua ñöôøng tieâm chích ma tuùy laø bao nhieâu bieát tyû leä hoäp hö trong kho sau 1 thôøi gian baûo quaûn. phaàn traêm. Trong tình huoáng naøy thì toång theå chính laø Ta phaûi kieåm tra töøng hoäp ñeå xaùc ñònh soá hoäp hö M= nhöõng ngöôøi bò nhieãm HIV, nhöng ta khoâng theå xaùc 300, thì tyû leä hoäp hö trong kho laø M/N. ñònh chính xaùc taát caû nhöõng ngöôøi bò nhieãm HIV vì chæ Moät saûn phaåm sau khi ñöôïc kieåm tra thì bò maát phaåm coù nhöõng ngöôøi töï nguyeän ñeán trung taâm xeùt nghieäm, chaát, khi ta kieåm tra xong caû kho thì cuõng “tieâu” luoân beänh vieän thì môùi bieát ñöôïc, coøn nhöõng ngöôøi khoâng caùi kho! ñi xeùt nghieäm thì khoâng bieát ñöôïc. Ta coù theå laáy ngaãu nhieân n= 100 hoäp ra kieåm tra, giaû Do ñoù ta chæ bieát moät phaàn cuûa toång theå, laø nhöõng söû coù m= 9 hoäp hö. Töø tyû leä hoäp hö 9% ta suy ra tyû leä ngöôøi ñaõ ñi xeùt nghieäm. Ngoaøi ra soá ngöôøi bò nhieãm hoäp hö cuûa caû kho. 5 môùi HIV vaø bò cheát do HIV coù theå thay ñoåi töøng giaây 6 neân soá phaàn töû cuûa toång theå thay ñoåi töøng giaây.  Muoán töø keát quaû cuûa maãu suy ra keát quaû cho toång theå toát thì  Toång theå ñöôïc ñaëc tröng bôûi daáu hieäu nghieân cöùu X, laø maãu phaûi ñaïi dieän ñöôïc cho toång theå, muoán vaäy thì maãu phaûi moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân. Do ñoù khi noùi veà X töùc laø ñöôïc laáy moät caùch ngaãu nhieân. Trong phaïm vi baøi giaûng naøy noùi veà toång theå. khoâng ñeà caäp ñeán kyõ thuaät laáy maãu (maãu giaûn ñôn, maãu heä thoáng, maãu chuøm, maãu phaân toå, maãu nhieàu caáp …).  Maãu ngaãu nhieân (coù côõ maãu n) ñöôïc kyù hieäu  Coù 3 caùch laáy maãu thoâng duïng: WX=(X1,…,Xn) laø moät veùctô coù n thaønh phaàn, moãi thaønh C1: Laáy ngaãu nhieân n phaàn töû: phaân phoái sieâu boäi phaàn Xi laø moät ÑLNN. Caùc ÑLNN naøy ñoäc laäp nhau vaø C2: Laáy laàn löôït n phaàn töû coù cuøng quy luaät phaân phoái gioáng vôùi X. C3: Laáy coù hoaøn laïi n phaàn töû: phaân phoái nhò thöùc  Maãu cuï theå (coù côõ maãu n) ñöôïc kyù hieäu Wx= (x1,…,xn) laø * Veà maët xaùc suaát: c1 = c2 moät veùctô coù n thaønh phaàn, moãi thaønh phaàn xi laø moät * Khi n
  3. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 5 17-02-2019 VD1: Moät keä chöùa 100 ñóa nhaïc vôùi giaù nhö sau:  VD1: (Xeùt toång theå veà maët ñònh löôïng)  Laáy ngaãu nhieân (coù hoaøn laïi) 4 ñóa nhaïc töø keä. Giaù (ngaøn ñ) 20 25 30 34 40 Goïi Xi= giaù cuûa ñóa nhaïc thöù i laáy ñöôïc, i= 1,4 Soá ñóa 35 10 25 17 13  Ta thaáy caùc Xi ñoäc laäp vaø coù cuøng quy luaät ppxs Xeùt toång theå veà maët ñònh löôïng: gioáng nhö X. Laáy ngaãu nhieân 1 ñóa nhaïc trong keä.  Laäp WX= (X1,X2,X3,X4), goïi laø maãu ngaãu nhieân. Goïi X= giaù cuûa ñóa nhaïc naøy. Ta thaáy X coù quy luaät ppxs nhö sau: X 20 25 30 34 40 P 0,35 0,10 0,25 0,17 0,13 9 10  VD1: (Xeùt toång theå veà maët ñònh löôïng) VD1: Baây giôø ta xeùt toång theå veà maët ñònh tính:  Baây giôø ta xem giaù cuï theå cuûa töøng ñóa laáy ra, thaáy Ñóa coù giaù döôùi 25 ngaøn ñ laø ñóa “doûm”. Laáy ngaãu nhö sau: nhieân 1 ñóa töø keä. Goïi X= soá ñóa doûm laáy ñöôïc.  Ñóa 1: giaù 20 ngaøn ñ  Ñóa 2: giaù 30 ngaøn ñ X 0 1  Ñóa 3: giaù 20 ngaøn ñ P 0,65 0,35  Ñóa 4: giaù 40 ngaøn ñ Laáy ngaãu nhieân (coù hoaøn laïi) 4 ñóa nhaïc töø keä. Goïi Xi= soá ñóa doûm laáy ñöôïc khi laáy 1 ñóa ôû laàn laáy  Laäp Wx= (x1,x2,x3,x4) = (20,30,20,40), goïi laø maãu thöù i, i= 1,4 cuï theå. Caùc Xi ñoäc laäp vaø coù cuøng quy luaät ppxs gioáng X. 11 Laäp WX= (X1,X2,X3,X4), goïi laø maãu ngaãu nhieân. 12 3
  4. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 5 17-02-2019  VD1: (xeùt toång theå veà maët ñònh tính) II. Caùc ñaëc tröng soá cô baûn cuûa toång theå vaø maãu:  Baây giôø ta xem giaù cuï theå cuûa töøng ñóa laáy ra, thaáy  Ta xeùt toång theå veà maët ñònh löôïng: Toång theå ñöôïc ñaëc nhö sau: tröng bôûi daáu hieäu nghieân cöùu X, X laø ÑLNN.  Ñóa 1: giaù 20 ngaøn ñ  x1= 1 Ta coù E(X)=µ laø trung bình toång theå. Var(X)=2 laø  Ñóa 2: giaù 30 ngaøn ñ  x1= 0 phöông sai toång theå, vaø  laø ñoä leäch chuaån cuûa toång theå.  Ñóa 3: giaù 20 ngaøn ñ  x1= 1  Ñóa 4: giaù 40 ngaøn ñ  x1= 0  Ta xeùt toång theå veà maët ñònh tính: toång theå coù kích  Laäp Wx= (x1,x2,x3,x4) = (1,0,1,0), goïi laø maãu cuï thöôùc N, trong ñoù coù M phaàn töû coù tính chaát A quan theå. taâm. Ta coù p= M/N goïi laø tyû leä toång theå.  Töông töï, ta cuõng coù trung bình maãu x , phöông sai 13 maãu (ñaõ hieäu chænh) s2, tyû leä maãu f. 14 Caùc ñaëc tröng soá cô baûn cuûa maãu (daïng ngaãu nhieân): Caùc ñaëc tröng soá cô baûn cuûa maãu (daïng ngaãu nhieân):  Ñònh löôïng:  Ñònh tính:  Trung bình maãu: X  1n X n  Tyû leä maãu: F = 1n  X i i i1  Phöông sai maãu (chöa hieäu chænh): Sˆ2  n 1 (X  X )2  Vôùi Xi coù quy luaät phaân phoái xaùc suaát (khoâng-moät): i  Phöông sai maãu (ñaõ hieäu chænh): S2  1 (X  X )2  n - 1 i Xi 0 1  Ñoä leäch chuaån maãu (chöa hieäu chænh): Sˆ  Sˆ2 P q p  Ñoä leäch chuaån maãu (ñaõ hieäu chænh): S  S 2  Ta coù: S  Sˆ n n1  Sai soá chuaån maãu (ñaõ hieäu chænh): S 15 16 n 4
  5. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 5 17-02-2019 Caùc ñaëc tröng soá cô baûn cuûa maãu (daïng cuï theå): Caùc ñaëc tröng soá cô baûn cuûa maãu (daïng cuï theå):  Ñònh löôïng:  Ñònh tính:  Trung bình maãu: x  1nx n  Tyû leä maãu: f = 1n  xi i i1  Phöông sai maãu (chöa hieäu chænh): sˆ2  1n(x  x)2 i Vôùi xi chæ coù giaù trò laø 0 hoaëc laø 1.  Phöông sai maãu (ñaõ hieäu chænh): s2  1 (x  x)2 n1 i  Trong thöïc haønh ta xaùc ñònh tyû leä maãu:  Ñoä leäch chuaån maãu (chöa hieäu chænh): sˆ sˆ2 f = m/n  Ñoä leäch chuaån maãu (ñaõ hieäu chænh): s s2 Vôùi:  Ta coù: s  sˆ n n1 n: côõ maãu  Sai soá chuaån maãu (ñaõ hieäu chænh): s 17 m: soá phaàn töû coù tính chaát A quan taâm trong maãu 18 n Trong thöïc haønh: Xaùc ñònh trung bình maãu, VD2: Ñieàu tra naêng suaát luùa treân dieän tích 100 hecta troàng luùa cuûa moät vuøng, ta thu ñöôïc baûng soá phöông sai maãu (ñaõ hieäu chænh) nhö sau: lieäu sau: xi n i Maãu daïng ñieåm Naêng suaát (taï / ha) 41 44 45 46 48 52 54 x1 n1 * xi laø giaù trò thu thaäp Soá ha coù naêng suaát 10 20 30 15 10 10 5 ... ... töông öùng xi ni ñöôïc * ni laø soá laàn xuaát 1) Tính trung bình maãu, phöông sai maãu hieäu chænh, ... ... ñoä leäch chuaån maãu hieäu chænh xk nk hieän cuûa xi trong maãu 2) Nhöõng thöûa ruoäng coù naêng suaát töø 48 taï trôû leân n=n1+...+nk laø nhöõng thöûa ruoäng coù naêng suaát cao. Tính tyû leä   1 thöûa ruoäng coù naêng suaát cao 1 2 2 2 x  ni xi ; s   n x  n( x ) 19 3) Tính trung bình maãu, phöông sai maãu hieäu chænh20 n n 1 i i cuûa nhöõng thöûa ruoäng coù naêng suaát cao 5
  6. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 5 17-02-2019 Löu yù: Maùy tính Casio fx-570VN Plus coù chöùc naêng tính Giaûi: trung bình maãu, ñoä leäch chuaån maãu (hieäu chænh). 1) Ta laäp baûng nhö sau Xem file höôùng daãn treân trang web cuûa Phaïm Trí Cao. xi ni nixi nixi2 Trung bình maãu cuûa naêng suaát: 41 10 410 16.810 1 4600 x   n i xi   46 taï/ha 44 20 880 38.720 n 100 45 30 1350 60.750 Phöông sai maãu (ñaõ h/chænh) cuûa naêng suaát: 46 15 690 31.740 1 48 10 480 23.040 s2  n 1  n xi i 2  n ( x )2  52 10 520 27.040 s2  1  212680  100 * 46 2   10 ,909 54 5 270 14.580 100  1    Toång n = 100 4600 212680 21 Ñoä leäch chuaån maãu (ñaõ hieäu chænh): 22 s  s 2  10,909  3,303 2) Tyû leä maãu laø f = 10 10  5  0,25 VD3: Quan saùt tuoåi thoï cuûa moät soá ngöôøi ta coù 100 baûng soá lieäu sau : 3) Laäp baûng sau Tuoåi (naêm) Soá ngöôøi Maãu xi ni ni.xi ni.xi2 20 – 30 5 daïng 48 10 480 23040 30 – 40 14 khoaûng 52 10 520 27040 40 – 50 25 54 5 270 14580 50 – 60 6 Toång n = 25 1270 64660 1) Tính trung bình maãu x , phöông sai maãu s2. x  1270  50,8 2) Nhöõng ngöôøi soáng döôùi 40 tuoåi laø "cheát 25 2 treû". Tìm tyû leä ngöôøi cheát treû. s = 1 [64660  25*(50,8)2 ]  6 23 24 25 1 6
  7. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 5 17-02-2019  VD4: Giaûi:  Khaûo saùt 500.000 ngöôøi ôû moät nöôùc, ngöôøi ta thaáy coù Ñöa veà daïng ñieåm, laäp baûng tính nhö VD2. 75000 ngöôøi coù bieåu hieän taâm thaàn. xi ni  Tìm tyû leä maãu cuûa nhöõng ngöôøi coù bieåu hieän taâm thaàn?  Giaûi: 25 5  Tyû leä maãu f = 75000 / 500000 = 0,15 35 14  VD5: 45 25  Loâ haøng coù nhieàu saûn phaåm, caùc saûn phaåm ñöôïc ñoùng 55 6 vaøo töøng hoäp. Moãi hoäp coù 10 saûn phaåm.  Laáy 20 hoäp töø loâ haøng thì thaáy coù 60 saûn phaåm loaïi A. 1) n= 50 ; x = 41,40 ; s2= 68,4082  Tìm tyû leä maãu cuûa saûn phaåm loaïi A? 2) Tyû leä maãu f = (5+14)/ 50 = 0,38 25  Giaûi: 26  Tyû leä maãu f= 60/ 20*10 = 60/ 200  VD 7: Baûng soá lieäu veà chieàu cao cuûa moät soá ngöôøi nhö sau:  VD6: Chieàu cao (m) 1,3-1,5 1,5-1,7 1,7-1,8 1,8-2,0  Maùy töï ñoäng saûn xuaát ra saûn phaåm, cöù 10 saûn phaåm ñoùng thaønh 1 hoäp. Laáy ngaãu nhieân 100 hoäp ñeå kieåm Soá ngöôøi 30 70 60 40 tra, ta coù baûng soá lieäu sau:  a) Nhöõng ngöôøi coù chieàu cao trong khoaûng töø 1,7m ñeán 1,8m laø Soá sp loaïi A trong hoäp 7 8 9 10 nhöõng ngöôøi coù chieàu cao meâ ly. Xaùc ñònh tyû leä ngöôøi meâ ly?  b) Nhöõng ngöôøi coù chieàu cao töø 1,5m trôû xuoáng laø nhöõng ngöôøi Soá hoäp 5 25 30 40 mi nhon. Xaùc ñònh tyû leä ngöôøi mi nhon?  c) Nhöõng ngöôøi coù chieàu cao töø 1,5m ñeán 1,8m laø nhöõng ngöôøi  Xaùc ñònh tyû leä maãu cuûa saûn phaåm loaïi A? coù chieàu cao lyù töôûng. Xaùc ñònh tyû leä ngöôøi cao lyù töôûng?  Giaûi:  Giaûi:  Tyû leä maãu f = (1/1000).{7(5)+8(25)+9(30+10(40)}  a) Tyû leä maãu f= 60/200 = 0,905  b) f= 30/200 27 28  c) f= 130/200 7
  8. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 5 17-02-2019 VD8: Maãu cuï theå 2 chieàu Giaûi: Ta coù baûng soá lieäu veà 2 chæ tieâu X, Y cuûa 1 loaïi saûn phaåm nhö sau: 1) Ta coù baûng taàn soá thöïc nghieäm Y X 5 10 15 20 25 cuûa X vaø Y nhö sau: 2 2 1 xi 2 4 6 8 yi 5 10 15 20 25 4 2 2 6 4 6 3 1 ni 3 4 14 9 ni 2 7 12 6 3 8 4 3 2 * Chæ tieâu X: n = 30 , nxx = 178 1) Xaùc ñònh caùc ñaëc tröng soá cuûa maãu veà chæ tieâu X, chæ tieâu Y?  n x x 2 = 1156 , x = 178/30 = 5,9333 2) Saûn phaåm coù chæ tieâu Y
  9. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 5 17-02-2019 Quy luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa ñaëc tröng maãu NN: Quy luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa ñaëc tröng maãu NN: Ñònh tính: Ñònh löôïng: Ta coù X  N(, 2) F  1n  X , vôùi Xi coù quy luaät ppxs 0-1. i 2  X ~ N (  , n )  X   ~ N (0,1) E (F )  p , var( F )  pq n / n Do ñoù: P ( a  X  b )   ( b   )   ( a   ) Ñònh lyù: / n / n Neáu n lôùn (p khoâng quaù gaàn 0 vaø 1) thì: P (| X   |  )  2 (  ) / n F  p F  N ( p , pq n )   N ( 0 ,1) pq / n  Neáu chöa bieát 2, ta coù: X   ~ T ( n  1) S/ n ( n  1) S 2 ~  2 ( n  1) 2 33 34 VD9: Chieàu cao thanh nieân cuûa vuøng M laø bieán ngaãu nhieân phaân phoái chuaån vôùi = 165 cm, 2= 202 cm2 . Giaûi: 1) Ngöôøi ta ño ngaãu nhieân chieàu cao cuûa 100 thanh nieân vuøng ñoù. 1) X laø chieàu cao tb cuûa 100 thanh nieân khaûo saùt a) Xaùc suaát ñeå chieàu cao trung bình cuûa 100 thanh nieân ñoù seõ sai leäch so vôùi chieàu cao trung bình cuûa thanh nieân vuøng  laø chieàu cao tb cuûa thanh nieân toaøn vuøng M M khoâng vöôït quaù 1 cm laø bao nhieâu? b) Khaû naêng chieàu cao trung bình cuûa 100 thanh nieân treân X~N(165, 202)  X ~N(165, 202/ 100) = N(165, 22) lôùn hôn 168 cm laø bao nhieâu? 1 2) Neáu muoán chieàu cao trung bình ño ñöôïc cuûa 1 soá thanh a) P(| X   | 1)  2( )  2(0,1915)  0,3830 nieân sai leäch so vôùi chieàu cao trung bình cuûa toång theå (cuûa 2 taát caû thanh nieân vuøng M) khoâng vöôït quaù 3 cm vôùi xaùc suaát P(X 168)  0,5( 165) 168 b) 2 laø 0,99 thì chuùng ta phaûi tieán haønh ño chieàu cao cuûa bao35  0,5(1,5)  0,50,4332 0,0668 36 nhieâu thanh nieân? 9
  10. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 5 17-02-2019 Giaûi: 2) X laø chieàu cao tb cuûa n thanh nieân caàn khaûo saùt  VD10:  laø chieàu cao tb cuûa thanh nieân toaøn vuøng M Tỷ lệ dân ở tỉnh A tốt nghiệp THPT là 72%. Tìm n sao cho: P (| X   | 3)  0,99 1) Lấy một mẫu ngẫu nhiên 30 người. X~N(165, 202)  X ~N(165, 202/ n) Tính xác suất để tỷ lệ mẫu sai lệch với tỷ lệ tổng thể không quá 5%? P (| X   | 3)  2 ( 3 )  0,99 2) Tìm cỡ mẫu sao cho tỷ lệ mẫu nhỏ hơn 77% với xác 20 / n suất là 72,91%   ( 3 n )  0,495   (2,58) 20  3 n = 2,58  n= 295,84  296 (laøm troøn leân) 20 Laøm troøn leân cuûa 1 soá thaäp phaân laø laáy phaàn 37 38 nguyeân cuûa soá ñoù coäng theâm 1 HD: 2) Tìm n sao cho P ( F  0,77)  0,7291 Gọi F là tỷ lệ mẫu 0,72(1  0,72)   2 1) Xem F có phân phối chuẩn Với F ~ N (0,72; )  N (0,72; 0,4490 / n ) n p (1  p ) 0,72(1  0,72) F ~ N ( p, )  N (0,72 ; )  N (0,72;0,08202 ) 0,77  0,72 n 30 P( F  0,77)  0,5   ( )  0,7291 P(| F  p | 0,05)  P (| F  0,72 | 0,05) 0,4490 / n 0,05   (0,1114 n )  0, 2291   (0,61)  2 ( )  2 (0,61)  2 * 0,2291  0, 4582 0,082  0,1114 n  0,61  n  5, 4758  n  29,984  31 39 40 10
  11. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 5 17-02-2019 Môøi gheù thaêm trang web: 41 https://sites.google.com/a/ueh.edu.vn/phamtricao/ https://sites.google.com/site/phamtricao/ 11
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2