Bài tập Không gian vector

Chia sẻ: Ly Tran Hiep | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

225
lượt xem 25
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Problem 1.1. giả sử A là một ma trên vuông cấp n, và C(A) = {B \ BA = AB} là tập hợp tất cả các ma trận vuông phức cấp n giao giao hoán được với A: Chứng minh rằng: C(A) là không gian vector con của không gian vector Mnn v dimC(A) n:

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập Không gian vector

1. Không gian vector Problem 1.1. Gi s A là m t ma tr n vuông c p n, và C (A) = {B | BA = AB } là t p h p t t c các ma tr n vuông ph c c p n giao hoán đư c v i A. Ch ng minh r ng: C (A) là không gian vector con c a không gian vector Mn×n và dim C (A) ≥ n. Hint. Xét ánh x tuy n tính: T : Mn×n −→ Mn×n B → AB − BA. Khi đó S = ker T là không gian vector con c a không gian các ma tr n Mn×n . Đ ý r ng, n u C là ma tr n kh ngh ch thì AB = BA khi và ch khi C ACC BC = C BCC −1 AC. N u D1 , . . . , Dn là các ma tr n đ c l p tuy n −1 −1 −1 tính thì C −1 D1 C, . . . , C −1 Dn C cũng đ c l p tuy n tính. Do đó đ đơn gi n ta gi s A có d ng Jordan, v i kh i Jordan th i c p k là: a 1 ... 0    ... ...  Ai =  . 0 a 1 0 0 a Khi đó Ai giao hoán v i b1 b2 . . . bk   .. .. . .   Bi =  . 0 b b 1 2 0 0 b1 Do đó A giao hoán v i B1   .. B= . . Br Vì trong B có n bi n nên dim C (A) ≥ n. ♥ Problem 1.2. Cho S là không gian con c a không gian Mn (C) sinh b i t p t t c các ma tr n có d ng AB − BA. Ch ng minh r ng: dim S = n2 − 1. Hint. Ta c n ch ra S có n2 − 1 vector đ c l p tuy n tính. Đó là các ma tr n: Mij = Mik Mkj − Mkj Mik , i = j (có n2 − n ph n t ) M11 − Mjj = Mij Mj 1 − Mj 1 Mij , j = 1 (có n − 1 ph n t ), trong đó ma tr n Mij là ma tr n có ph n t 1 v trí ij, các v trí khác đ u b ng 0. Do đó dim S ≥ n2 − 1, m t khác S = Mn×n nên dim S < n2 . Suy ra: dim S = n2 − 1. ♥ Problem 1.3. Cho A, B là các không gian vector con c a không gian vector h u h n chi u V sao cho A + B = V. G i n = dim V, a = dim A, b = dim B. L y S là t p t t c các t đ ng c u f c a V mà f (A) ⊂ A, f (B ) ⊂ B. Ch ng minh r ng S là không gian con c a không gian t t c các t đ ng c u c a V và hãy bi u th s chi u c a S qua a, b, n. Hint. L y f, g ∈ S và r, s ∈ R. Khi đó ta có: ∀v ∈ A, (rf + sg )(v ) = f (rv ) + g (sv ) ∈ A vì f, g b t bi n đ i v i A. Tương t ta cũng có (rf + sg )(v ) ∈ B. V y rf + sg ∈ S, hay S là không gian vector con c a không gian vector các t đ ng c u c a V. Đ tính s chi u c a S ta ch c n tính s chi u c a không gian các ma tr n b t bi n v i A và B. G i A1 , B1 là không gian vector con c a V sao cho A = (A ∩ B ) A1 , B = (A ∩ B ) B1 . Khi đó dim(A ∩ B ) = r = a + b − n, dim A1 = a − r, dim B1 = b − r. L y {u1 , ..., ua−r } là c s c a A1 , {v1 , ..., vr } là c s c a A ∩ B , {w1 , ..., wb−r } là c s c a B1 , M i t đ ng c u b t bi n đ i v i A, B thì ph i b t bi n đ i v i A ∩ B. Do đó f (ui ) đư c bi u th tuy n tính qua 1
2 {u1 , ..., ua−r , v1 , ..., vr }, f (vi ) ch có th bi u di n tuy n tính qua {v1 , ..., vr }, f (wi ) đư c bi u di n tuy n tính qua {v1 , ..., vr , w1 , ..., wb−r }. Suy ra ma tr n c a f có d ng: a−r b−r r   a−r M1 0 0 r  M2 M3 M4  b−r 0 0 M5 trong đó s ph n t khác 0 nhi u nh t là (a − r)2 + rn + (b − r)2 = a2 + b2 + n2 − (a + b)n. V y dim S = a2 + b2 + n2 − (a + b)n. ♥ Problem 1.4. Cho T là t đ ng c u c a không gian vector V. Gi s x ∈ V mà T m x = 0, T m−1 x = 0 v i m là s nguyên nào đó. Ch ng minh r ng: x, T x, T 2 x, . . . , T m−1 x đ c l p tuy n tính. Hint. Gi s r ng có: a0 x + a1 T x + · · · + ak T k x + · · · + am−1 T m−1 x = 0. Tác đ ng T m−1 vào hai v ta có: a0 T m−1 x = 0, suy ra a0 = 0. B ng quy n p ta có ak = 0, ∀k = 0, m − 1 suy ra đi u ph i ch ng minh ♥ Problem 1.5. Cho E là m t không gian Euclide n chi u. Chúng ta nói hai cơ s (ai ) và (bi ) cùng hư ng n u ma tr n chuy n t cơ s (ai ) sang cơ s (bi ) có đ nh th c dương. Gi s (ai ) và (bi ) là hai cơ s tr c chu n cùng hư ng. Ch ng minh r ng (ai + 2bi ) cũng là m t cơ s c a E cùng hư ng v i (ai ). Hint. G i P là ma tr n chuy n t (ai ) sang (bi ). Khi đó I + 2P là ma tr n chuy n t (ai ) sang 1 (ai + 2bi ). Ta có λ là giá tr riêng c a I + 2P khi và ch khi (λ − 1) là giá tr riêng c a P. 2 Do (ai ) và (bi ) là các cơ s tr c chu n nên P là ma tr n tr c giao và các giá tr riêng c a P là 1, suy ra các giá tr riêng c a I + 2P là 3, −1. Do đó 0 không ph i là giá tr riêng c a I + 2P nên I + 2P kh ngh ch và (ai + 2bi ) là cơ s . Hơn n a det P = (−1)α 1β v i α, β là b i c a các giá tr riêng 1, −1 c a P . Do đó det(I + 2P ) = (−1)α 3β . Vì det p > 0 nên α là s ch n. V y ♥ det(I + 2P ) > 0, hay (ai ) và (ai + 2bi ) cùng hư ng v i nhau. Problem 1.6. Cho V là không gian vector n chi u và W là m t không gian con m chi u c a V , (m < n). CMR, t n t i m t cơ s c a V không ch a m t vector nào c a W. Hint. G i {v1 , . . . , vm } là cơ s c a W và {u1 , . . . , un−m } là cơ s c a ph n bù tuy n tính c a W trong V. Khi đó cơ s {v1 + u1 , . . . , vm + u1 , u1 , . . . , un−m } chính là cơ s c n tìm. ♥ Problem 1.7. Cho ϕ là ánh x tuy n tính t V vào W , trong đó V và W là các không gian vector h u h n chi u. G i L, Z là không gian vector con c a V và W . Ch ng minh r ng: a) dim ϕ(L) + dim(ker ϕ ∩ L) = dim L b) dim L − dim ker ϕ ≤ dim ϕ(L) ≤ dim L c) dim Z ≤ dim ϕ−1 Z ≤ dim Z + dim ker ϕ Hint. a) Xét ánh x tuy n tính h n ch c a ϕ lên L ta có: ϕ|L : L −→ ϕL, ker ϕ|L = ker ϕ ∩ L. Do đó: dim ϕ(L) + dim(ker ϕ ∩ L) = dim L. b) Suy ra t a) v i chú ý r ng dim(ker ϕ ∩ L) ≤ dim ker ϕ. c) Đ t L = ϕ−1 Z và chú ý r ng: ϕL ⊂ Z . T câu b) ta có: dim ϕ−1 Z ≤ dim ϕ(ϕ−1 Z ) + dim ker ϕ ≤ dim Z + dim ker ϕ. M t khác: ker ϕ ⊂ L nên t a) ta có: dim ϕ(L) + dim ker ϕ = dim L (1).
3 Ta cũng có: ϕ(L) = Z ∩ ϕ(V ) nên dim ϕ(L) = dim(Z ∩ ϕ(V )) = dim Z + dim ϕ(V ) − dim(Z + ϕ(V )) ≥ dim Z + dim ϕ(V ) − dim W = dim Z − dim ker ϕ. (2) ♥ T (1) và (2) ta có đi u ph i ch ng minh. Problem 1.8. Cho các đ ng c u c a các K-không gian vector h u h n chi u ϕ : V −→ W, ψ : W −→ Z. Ch ng minh r ng: a) dim ker(ψ.ϕ) = dim ker ϕ + dim(Im ϕ ∩ ker ψ ) b) dim ker(ψ.ϕ) ≤ dim ker ϕ + dim ker ψ c) rank(ψ.ϕ) = rank ϕ − dim(ker ψ ∩ Im ϕ) d) rank(ψ.ϕ) ≥ rank ϕ + rank ψ − dim W Hint. a) Đ t L = Im ϕ và áp d ng bài t p 1.6.a ta có: dim ψ (L) + dim(ker ψ ∩ L) = dim L hay dim Im(ψ.ϕ) + dim(ker ϕ ∩ L) = dim V − dim ker ϕ dim ker ϕ + dim(ker ϕ ∩ L) = dim V − dim Im(ψ.ϕ) = dim ker(ψ.ϕ. b) Suy ra t câu a) v i chú ý r ng: ker ϕ ∩ L ⊂ ker ϕ c) Suy ra t l p lu n ch ng minh c a câu a). d) Suy ra t câu c) v i chú ý r ng: ker ψ ∩ Im ϕ ⊂ ker ψ. ♥ Problem 1.9. Gi s P, Q, R là các ma tr n vuông c p n. Ch ng minh r ng: rank(P Q) + rank(QR) ≤ rank Q + rank(P QR). Hint. S d ng bài t p 1.7 câu c) ta có: rank(P QR) = rank(P Q) − dim(ker(P Q) ∩ Im R) rank(QR) = rank Q − dim(ker Q ∩ Im R) Suy ra: rank(P Q) + rank(QR) = rank(P QR) + rank Q + dim(ker Q ∩ Im R) − dim(ker(P Q) ∩ Im R) ≤ rank(P QR) + rank Q ♥ Problem 1.10. Cho V và W là các không gian vector h u h n chi u. T : V −→ W là ánh x tuy n tính, X là không gian vector con c a không gian vector W Ch ng minh: dim(T −1 X ) ≥ dim V − dim W + dim X . Hơn n a n u T toàn ánh thì ta có đ ng th c. Hint. Xét ánh x tuy n tính: F : V /T −1 X −→ W/X đư c cho b i: F (x) = T (x). Khi đó F là đơn ánh. Th t v y, n u F (y ) = 0 thì T (y ) ∈ X do đó y ∈ T −1 X hay y = 0. T đó suy ra: dim(V /T −1 X ) ≤ dim(W/X ) hay dim V − dim T −1 X ≤ dim W − dim X. Vy dim T −1 X ≥ dim V − dim W + dim X. ♥
4 Problem 1.11. Cho f : E −→ E là m t t đ ng c u tuy n tính c a không gian vector h u h n chi u E. Ch ng minh r ng dim ker f 2 ≤ 2 dim ker f. ♥ Hint. Áp d ng bài t p 1.10 v i X = ker f. Problem 1.12. Cho A và B là các ma tr n vuông c p n. Ch ng minh r ng không gian nghi m c a hai phương trình AX = 0 và BX = 0 b ng nhau khi và ch khi t n t i ma tr n C kh ngh ch sao cho A = CB . Problem 1.13. Cho A là ma tr n vuông ph c c p n sao cho trAk = 0 v i k = 1, . . . , n. Ch ng minh r ng A là ma tr n lu linh. Hint. Gi s A có d ng chéo hoá Jordan v i các kh i Jordan tương ng v i các giá tr riêng λ1 , . . . , λm phân bi t. Khi đó Ak là ma tr n có các ph n t trên đư ng chéo chính là các giá tr riêng λk . T gi thi t tr(Ak ) = 0, 1 ≤ k ≤ m ta có h phương trình: i m µi λk = 0, ∀k = 1, ..., n. i i=1 T h này ta suy ra λi = 0, 1 ≤ i ≤ m. V y A s là ma tr n lu linh. ♥ Problem 1.14. Cho A, B là các ma tr n vuông c p n sao cho AB − BA = B. Ch ng minh r ng (1) Ak B = B k (A + kIn ), v i m i k ∈ N. (2) det(B ) = 0 và tr(B k ) = 0, v i m i k ∈ N. (3) B là ma tr n lũy linh. Problem 1.15. Cho A, B là các ma tr n vuông c p n, tho mãn đi u ki n: AB = BA = 0 và Im A ∩ ker A = {0}, Im B ∩ ker B = {0}. Ch ng minh r ng: rank(A + B ) = rank(A) + rank(B ). Hint. Ta có rank(A + B ) ≤ rank(A) + rank(B ). Gi s e1 , e2 , . . . , ek và u1 , u2 , . . . , us là các cơ s c a Im(A) và Im(B ) tương ng. Ta ch ng minh h vector e1 , e2 , . . . , ek , u1 , u2 , . . . , us đ c l p tuy n tính trong Im(A + B ). Th t v y, gi s λi ei + µj uj = 0, ta suy ra λi Aei + µj Auj = 0. T gi thi t AB = 0 ta có Im(B ) ⊂ ker(A), do đó ta suy ra λi Aei = 0, hay A( λi ei ) = 0. T đó ta có λi ei = 0. V y λi = 0. Tương t ta cũng có µj = 0. Tóm l i ta có h vector e1 , e2 , . . . , ek , u1 , u2 , . . . , us là cơ s c a Im(A + B ). ♥ V y rank(A + B ) = rank(A) + rank(B ). Problem 1.16. Cho A1 , A2 , . . . , Am là các ma tr n vuông đ i x ng c p n tho mãn đi u ki n Ai Aj = 0, ∀i = j . Ch ng minh r ng: rank(A1 ) + rank(A2 ) + · · · + rank(Am ) ≤ n. Problem 1.17. Ma tr n A đư c g i là pseudoreflection n u rank(A − I ) = 1. Ch ng minh r ng m i ma tr n A c p n là tích c a không quá n + 1 ma tr n pseudoreflection. Problem 1.18. Cho A là ma tr n ph c và k là m t s t nhiên. Ch ng minh r ng t n t i ma tr n X sao cho X k = A. Problem 1.19. Cho A là ma tr n ph c c p m sao cho dãy (An )∞ h i t đ n ma tr n B . n=1 Ch ng minh r ng B đ ng d ng v i ma tr n đư ng chéo mà các ph n t trên đư ng chéo chính b ng 0 ho c 1. Hint. Do A2n = An .An suy ra B 2 = B. V y ta có đi u c n ch ng minh. ♥
5 Problem 1.20. Cho W là không gian vector n-chi u, U và V là các không gian con c a W sao cho U ∩ V = {0}. Gi s u1 , u2 , . . . , uk ∈ U và v1 , v2 , . . . , uk ∈ V v i k > dim U + dim V . Ch ng minh r ng t n t i các s λ1 , λ2 , . . . , λk không đ ng th i b ng 0 sao cho k k λi u i = λi vi = 0. i=1 i=1 Kh ng đ nh trên còn đúng không n u k ≤ dim U + dim V. Hint. Chú ý r ng ta có đơn c u U × V −→ W nên s chi u c a U × V không quá n. ♥ Problem 1.21. Cho f là đa th c h s th c có b c n > 0 và p0 , p1 , p2 , . . . , pn là các đa th c h s th c và có b c dương. CMR, t n t i các s th c a0 , a1 , a2 , . . . , an không đ ng th i b ng n ai (pi (x))i chia h t cho f . không sao cho đa th c Q(x) = i=0 Problem 1.22. Cho V là m t không gian vector trên trư ng vô h n K và V1 , V2 , . . . , Vn là các không gian vector con c a V. Gi s n V= Vi . i=1 Ch ng minh r ng t n t i i sao cho V = Vi . Hint. Đ t A = V1 ∪ . . . ∪ Vn−1 . Ta s ch ng minh r ng Vn = V ho c Vn ⊂ A. T đó suy ra đi u ph i ch ng minh. Th t v y, gi s Vn = V và Vn ⊂ A. Khi đó t n t i các vector x ∈ V \ Vn và y ∈ Vn \ A. Khi đó ta có x + λy ∈ Vn , v i m i λ = 0. Do đó ta có x + y, x + 2y, . . . , x + ny ∈ / A = V1 ∪ . . . ∪ Vn−1 . Do đó t n t i các s nguyên k, l sao cho x + ky, x + ly ∈ Vi , t đó suy ra y ∈ Vi ⊂ A. Đi u này là mâu thu n. ♥ Problem 1.23. Cho dãy các t đ ng c u f1 f2 f1 fm V0 −→ V1 −→ V2 −→ · · · −→ Vm . Ch ng minh r ng m m dim ker fi − dim(Vi / Im fi ) = dim V0 − dim Vm . i=1 i=1 Hint. Trư c h t ta ch ng minh cho trư ng h p m = 1. T c là f1 : V0 −→ V1 , ta có dim V0 = dim Im f1 + dim ker f1 = dim V1 − dim(V1 / Im f1 ) + dim ker f1 . Do đó dim V0 − dim V1 = dim ker f1 − dim(V1 / Im f1 ). Tương t , ta có dim V0 − dim V1 = dim ker f1 − dim(V1 / Im f1 ) dim V1 − dim V2 = dim ker f2 − dim(V2 / Im f2 ) ··· dim Vm−1 − dim Vm = dim ker fm − dim(Vm / Im fm ). ♥ C ng v theo v các đ ng th c trên, ta có đi u c n ch ng minh. Problem 1.24. Cho f, g là các t đ ng c u tuy n tính c a không gian vector V n-chi u tho mãn đi u ki n f ◦ g = g ◦ f , g lu linh và rank(f ◦ g ) = rank(f ). Ch ng minh các kh ng đ nh sau: a) Im(f ) ∩ ker(g ◦ f ) = {0}, b) Im(f ) ∩ ker(g 2 ◦ f ) = {0}, c) T đó suy ra f = 0.
6 Problem 1.25. Cho f là m t đ ng c u tuy n tính c a không gian vector V n-chi u. Gi s V = L N , dim(N ) = m, 0 < m < n. Ch ng minh r ng t n t i s nguyên k, (k ≤ n2m ) sao cho V = f k (L) N . Problem 1.26. Cho ϕ là m t t đ ng c u tuy n tính c a không gian vector h u h n chi u V . a) Gi s đa th c t i ti u c a ϕ có phân tích p(t) = h(t)g (t), trong đó h, g là các đa th c nguyên t cùng nhau. Ch ng minh r ng: V = L1 L2 , v i L1 = ker(h(ϕ)), L2 = ker(g (ϕ)). b) Gi s đa th c t i ti u c a ϕ có phân tích p(t) = h1 (t) . . . hk (t), trong đó hi (t), 1 ≤ i ≤ k là các đa th c đôi m t nguyên t cùng nhau. Ch ng minh r ng: k V= Li , i=1 v i Li = ker(hi (ϕ)), 1 ≤ i ≤ k. Hint. a) Do h(t) và g (t) là hai đa th c nguyên t cùng nhau nên t n t i các đa th c u(t) và v (t) sao cho 1 = h(t)u(t) + g (t)v (t). Khi đó m i vector x đ u có phân tích duy nh t thành x = h(ϕ)u(ϕ)(x) + g (ϕ)v (ϕ)(x) trong đó h(ϕ)u(ϕ)(x) ∈ L2 và g (ϕ)v (ϕ)(x) ∈ L1 . ♥ 2. H NG VÀ Đ NH TH C Problem 2.1. Cho ma tr n vuông c p n y ··· y x   x · · · y y A = . . .. . . . . . . . . y y ··· x v i x, y là các s th c cho trư c. Tính Ak , v i k là m t s nguyên dương. Hint. Đ t 1 ··· 1 1   1 · · · 1 1 B = . . .. . . . . . . . . . 1 1 ··· 1 Ta có A = (x − y )In + yB. T đây ta tính An . ♥ c có b c không vư t quá n − 2, n ≥ 2. Problem 2.2. Cho f1 (x), f2 (x), fn (x) là các đa th Tính đ nh th c sau f1 (a1 ) f1 (a2 ) · · · f 1 ( an ) f2 (a1 ) f2 (a2 ) · · · f 2 ( an ) . . . .. . . . . . . . fn (a1 ) fn (a2 ) · · · f n ( an ) Hint. Xét không gian vector Rn−2 [x] g m các đa th c v i h s th c và có b c không quá n − 2. Ta có dim Rn−2 [x] = n − 1. Do đó các vector f1 (x), f2 (x), · · · , fn (x) là ph thu c tuy n tính, t c là t n t i các s th c λ1 , λ2 , . . . , λn không đ ng th i b ng không sao cho λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x) + · · · + λn fn (x) = 0 v i m i x ∈ R. T k t qu này ta suy ra đ nh th c c a ma tr n f1 (a1 ) f1 (a2 ) · · · f1 (an ) f2 (a1 ) f2 (a2 ) · · · f2 (an ) . . . .. . . . . . . . fn (a1 ) fn (a2 ) · · · f n ( an ) ♥ b ng 0.
7 Problem 2.3. Cho a1 , a2 , . . . , an là các s th c. Ch ng minh r ng đ nh th c a1 a2 · · · an an a1 · · · an−1 . . .. . . . . . . . . a2 a3 · · · a1 b ng tích f ( 1 )f ( 2 ) · · · f ( n ), trong đó là các căn b n n c a đơn v , v i f (x) = a1 + a2 x + i · · · + an xn−1 . = 1, 2 , . . . , là n căn b c n c a 1. Ta có bi u di n Hint. G i 1 n ··· ··· a1 a2 · · · an 1 1 1 f (1) f ( 2) f ( n) ··· ··· an a1 · · · an−1 1 f (1) 2f ( 2) nf ( n) 2 n =. . . . . . . . .. . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n−1 n−1 n−1 n−1 a2 a3 · · · a1 ··· ··· 1 f (1) f ( 2) n f ( n) 2 2 n ♥ Problem 2.4. Cho A là ma tr n vuông th c c p n và At là ma tr n chuy n v c a nó. Ch ng minh r ng At A và A cùng h ng. Hint. Trư c h t ta ch ng minh: dim(ker At A) = dim ker A. Rõ ràng: ker A ⊂ ker At A, ngư c l i gi s v ∈ ker At A thì At Av = 0, suy ra At Av, v = Av, Av = 0 hay Av = 0, t c là v ∈ ker A. Do v y dim(ker At A) = dim ker A, t đó ta có rank(At A) = rank A. ♥ Problem 2.5. Gi s P và Q là các ma tr n vuông c p n th a mãn các đi u ki n sau: P 2 = P, Q2 = Q và I − (P + Q) kh ngh ch. Ch ng minh r ng P và Q có h ng b ng nhau. Hint. Ta có: rank P = rank P (I − P − Q) = rank P Q rank Q = rank(I − P − Q)Q = rank P Q ♥ V y ta có đi u ph i ch ng minh. Problem 2.6. Cho A, B là hai ma tr n có tính ch t A2 = A, B 2 = B . Ch ng minh r ng A đ ng d ng v i B khi và ch khi rank(A) = rank(B ). Problem 2.7. Cho a1 b 1 0 0 ... 0 0    b 1 a2 b 2 0 ... 0 0   0 b 2 a3 b 3 ... 0 0    T =. . . . . . . . . . . . . ... . . . . . .   0 0 0 0 . . . an−1 bn−1  0000 . . . bn−1 an Gi s bi = 0, v i m i i. Ch ng minh r ng: a) rank T ≥ n − 1, b) T có n giá tr riêng phân bi t. Hint. a) Ma tr n con có đư c b ng cách b dòng 1, c t n có h ng b ng (n − 1). b) Gi s λ là giá tr riêng c a A t c là det(A − λI ) = 0. Theo câu a) rank(A − λI ) = n − 1 nên dim ker(A − λI ) = 1, suy ra không gian con riêng ng v i giá tr riêng λ là m t chi u. Do A là ma tr n đ i x ng nên A có đ n giá tr riêng k c b i. V y A có n giá tr riêng khác ♥ nhau. Problem 2.8. Cho (aij ) là ma tr n vuông c p n v i các aij là các s nguyên. a) Ch ng minh r ng n u s nguyên k là m t giá tr riêng c a A thì đ nh th c c a A chia h t cho k.
8 b) Gi s m là m t s nguyên và m i dòng c a A có t ng b ng m n aij = m, i = 1, 2, . . . , n. j =1 Ch ng minh r ng đ nh th c c a A chia h t cho m. Hint. a) Ta có det(A − λI ) = (−1)n λn + ... + ci (−1)i λi + ... + cn trong đó cn = det A (aij nguyên nên ci nguyên). N u k là giá tr riêng nên (−1)n k n + ... + ci (−1)i k i + ... + det A = 0 suy ra k là ư c c a det A. b) L y x = (1, ..., 1) ta có Ax = mx nên m là giá tr riêng c a A. Theo câu a) ta có m là ư c ♥ c a det A. Problem 2.9. Cho đ nh th c Vandermonde (ph c) 1 a0 a2 . . . an   0 0  1 a1 a2 . . . an  1 1 A = . . . , . . . . . ... . .. . 1 an a2 . . . an n n v i ai là các s ph c. a) Ch ng minh r ng A kh ngh ch khi và ch khi các ai đôi m t khác nhau. b) N u các ai đôi m t khác nhau và b1 , b2 , . . . , bn là các s ph c tùy ý. Ch ng minh r ng t n t i duy nh t đa th c f b c n v i h s ph c sao cho f (ai ) = bi , ∀i = 1, 2, . . . , n. (ai − aj ), do đó A kh ngh ch khi và ch khi các ai khác nhau t ng Hint. a) Ta có: det A = i>j đôi m t. b) Gi s f = c0 + c1 x + · · · + cn xn là m t đa th c b c n h s ph c sao cho f (ai ) = bi , ta có h phương trình n là ci , i− = 0, n n  c 0 + c 1 a1 + · · · + c n a1 = b 1    c 0 + c 1 a2 + · · · + c n an = b 2  2 ···    c 0 + c 1 an + · · · + c n an = b n  n h phương trình trên có đ nh th c Crame khác 0 nên có nghi m duy nh t. V y t n t i duy ♥ nh t đa th c f b c n v i h s ph c sao cho f (ai ) = bi . Problem 2.10. Cho ví d m t hàm liên t c f : R −→ R3 v i tính ch t là f (v1 ), f (v2 ), f (v3 ) l p thành m t cơ s c a R3 , trong đó v1 , v2 , v3 là các s th c phân bi t. Hint. Xét hàm f (t) = (1, t, t2 ) thì f là hàm liên t c. Khi đó n u ti , i = 1, 2, 3 khác nhau t ng đôi m t thì   t1 t2 1 1 t2 t2  = 0. det 1 2 t3 t2 1 3 ♥ Problem 2.11. Cho f1 , f2 , . . . , fn là các hàm nh n các giá tr th c liên t c trên [a, b]. Ch ng minh r ng {f1 , f2 , . . . , fn } ph thu c tuy n tính khi và ch khi b det fi (x)fj (x)dx = 0. a
9 Hint. Xét tích vô hư ng trên C [a, b] xác đ nh b i b f, g = f (x)g (x)dx. a Ta có C [a, b] là không gian Euclid và b det fi (x)fj (x)dx a chính là đ nh th c Gram c a h vector {f1 , f2 , . . . , fn }. T đó suy ra đi u ph i ch ng minh. ♥ Problem 2.12. Ký hi u M2 (R) là không gian các ma tr n vuông th c c p 2. Cho 12 21 A= , B= . −1 3 04 Xét phép bi n đ i tuy n tính L : M2 (R) −→ M2 (R) xác đ nh b i L(X ) = AXB. Hãy tính v t và đ nh th c c a L. Hint. Xét các ánh x tuy n tính LA (X ) = AX LB (X ) = XB. Ma tr n c a LA và LB l n lư c là:     =1 0 2 0 20 0 0 0 1 0 2 1 4 0 0 MA =   M = . 0  B 0 0  −1 0 3 2 0 0 −1 0 3 00 1 4 Suy ra det L = det LA . det LB = 26 .52 , T r(L) = T r(MA .MB ) = 24 ♥ Problem 2.13. Ký hi u M3 (R) là không gian các ma tr n vuông th c c p 3. Cho   10 0 0 2 0 A= 00 1 1 Xét phép bi n đ i tuy n tính L : M3 (R) −→ M3 (R) xác đ nh b i L(X ) = (AX + XA). Hãy 2 tính đ nh th c c a L. Hint. L y X = (xij ), ta có:   3 x11 2 x12 x13 3 3 L(X ) =  2 x21 2x22 x . 2 23 x31 3 x32 x33 2 3 81 D th y m i ma tr n Mij đ u là vector riêng c a L. Suy ra det L = 2.( )4 = . ♥ 2 8 Problem 2.14. Ký hi u M3 (R) là không gian các ma tr n vuông th c c p 3. Gi s A ∈ M3 (R), det A = 32 và đa th c t i ti u c a A là (λ − 4)(λ − 2). Xét ánh x tuy n tính: LA : M3 (R) −→ M3 (R) xác đ nh b i LA (X ) = AX. Hãy tính v t c a LA . Problem 2.15. Ký hi u M7 (R) là không gian các ma tr n vuông th c c p 7. Gi s A ∈ M7 (R) là m t ma tr n chéo v i đư ng chéo chính g m 4 h ng t +1 và 3 h ng t -1. Xét ánh x tuy n tính LA : M7 (R) −→ M7 (R) xác đ nh b i LA (X ) = AX − XA. Hãy tính rank LA . Problem 2.16. Cho F là m t trư ng, n và m là hai s nguyên, Mm×n là không gian các ma tr n c p m × n trên trư ng F . Gi s A và B là hai ma tr n c đ nh c a Mm×n . Xét ánh x tuy n tính L : Mm×n −→ Mm×n xác đ nh b i L(X ) = AXB. Ch ng minh r ng n u m = n thì L suy bi n.
10 Hint. Trư ng h p m > n. Ta vi t T = T1 ◦ T2 , trong đó T2 : Mn×m −→ Mn×n đư c xác đ nh b i: T2 (X ) = XB và T1 : Mn×n −→ Mm×n đư c cho b i: T1 (Y ) = AY . Vì dim Mn×m = nm > n2 = dim Mn×n nên T2 không đơn ánh, suy ra T cũng không đơn ánh hay T không kh ngh ch. ♥ Trư ng h p m < n xét tương t . Problem 2.17. Gi s A1 , A2 , . . . , An+1 là các ma tr n c p n. Ch ng minh r ng tìm đư c n + 1 s x1 , x2 , . . . , xn+1 không đ ng th i b ng 0 sao cho ma tr n x1 A1 + x2 A2 · · · + xn+1 An+1 suy bi n. Hint. G i v1 , v2 , . . . , vn+1 là các vector có to đ là c t đ u tiên c a các ma tr n A1 , A2 , . . . , An+1 tương ng. Khi đó n + 1 vector này ph thu c tuy n tính. Do đó t n t i n + 1 s th c x1 , x2 , . . . , xn+1 không đ ng th i b ng 0 sao cho x1 v1 + x2 v2 + · · · + vn+1 xn+1 = 0. Lúc đó ma tr n x1 A1 + x2 A2 + · · · + xn+1 An+1 có c t đ u tiên b ng 0 nên ma tr n x1 A1 + x2 A2 + · · · + xn+1 An+1 suy bi n. ♥ Problem 2.18. Cho A là ma tr n vuông c p n. Ch ng minh r ng n u A2 = E thì t ng h ng c a các ma tr n A − E và A + E b ng n (E là ma tr n đơn v ). Hint. Xem A là t đ ng c u tuy n tính c a Rn . Đi u c n ch ng minh rank(A − E ) + rank(A + E ) = n tương đương v i dim(ker(A − E )) + dim(ker(A + E )) = n. Th t v y, v i m i x ∈ Rn ta có 1 1 x = (x + Ax) + (x − Ax) 2 2 1 1 trong đó (x + Ax) ∈ ker(A − E ) và (x − Ax) ∈ ker(A + E ). 2 2 M t khác ker(A + E ) ∩ ker(A − E ) = {0} nên Rn = ker(A + E ) ker(A − E ), suy ra dim(ker(A − E )) + dim(ker(A + E )) = n. ♥ Problem 2.19. Cho A là ma tr n vuông th c c p n. Ch ng minh r ng: det(A2 + E ) ≥ 0. Khi nào thì đ ng th c x y ra. Problem 2.20. Ta vi t A2 + E = (A + iE )(A − iE ) = (A + iE )(A + iE ). Suy ra det(A2 + E ) = det(A + iE ) det((A + iE )) = det(A + iE )det(A + iE ) = | det(A + iE )|2 ≥ 0. V y det(A2 + E ) ≥ 0 đ ng th c x y ra khi và ch khi đa th c đ c trưng c a A nh n ±i làm nghi m. Problem 2.21. Cho tam th c b c hai p(x) = x2 + ax + b tho mãn p(x) ≥ 0, ∀x ∈ R và A là m t ma tr n vuông th c c p n. Ch ng minh r ng: det p(A) ≥ 0. Hint. T gi thi t ta có p(x) có hai nghi m ph c liên h p λ và λ, do đó p(x) = (x − λ)(x − λ), p(A) = (A − λE )(A − λE ) = (A − λE )(A − λE ). Suy ra det p(A) = | det(A − λE )|2 ≥ 0. ♥
11 Problem 2.22. Cho f (x) là đa th c h s th c có b c dương, h s d n đ u b ng 1 và f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R, A là m t ma tr n vuông th c c p n. Ch ng minh r ng det f (A) ≥ 0. Hint. Do f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R và h s d n đ u b ng 1 nên f (x) là tích c a các tam th c b c hai có d ng x2 + ax + b không âm v i m i x. Theo bài 2.21 ta có đpcm. ♥ Problem 2.23. Cho A là ma tr n vuông c p n. Ch ng minh r ng: det(AAt + E ) > 0, trong đó At là ma tr n chuy n v c a ma tr n A và E là ma tr n đơn v cùng c p v i A. Hint. Ta có (AAt + E ) là ma tr n đ i x ng nên nó là ma tr n c a m t d ng toàn phương. Hơn n a, d ng toàn phương này xác đ nh dương. Th t v y, v i m i x ∈ Rn ta có (AAt + E )x, x = AAt x, x + x, x = Ax, Ax + x, x > 0. Do đó các giá tr riêng c a A đ u dương, vì v y đ nh th c c a A b ng tích các giá tr riêng c a ♥ A cũng dương. Problem 2.24. Cho A và B là các ma tr n th c c p n. Ch ng minh r ng: det(AAt + BB t ) ≥ 0. Problem 2.25. Ch ng minh tính ch t sau c a đ nh th c Gram G(a1 , a2 , . . . , ak , b1 , . . . , bk ) ≥ G(a1 , . . . , ak )G(b1 , . . . , bl ). Đ ng th c x y ra khi và ch khi ai , bj = 0 (i = 1, . . . , k ; j = 1, . . . , l) ho c m t trong hai h vector {a1 , . . . , ak }; {b1 , . . . , bl } là ph thu c tuy n tính. Hint. Tr c giao hóa h vector {a1 , ..., ak , b1 , ..., kl } thành h vector tr c giao {α1 , ..., αk , β1 , ..., βl } và {b1 , ..., bl } thành {ρ1 , ..., ρl }. G i Li = a1 , ..., ak , b1 , ..., bk−1 và Ni là ph n bù tr c giao c a Li trong V. Ta có ⊥ V = Li Ni . Quá trình tr c giao hóa ta có bi = y i + ρ i , i− 1 ρj ∈ b1 , ..., bi−1 và yi ⊥ρi . v i yi = j =1 M t khác, ta có phân tích ρi = yi + zi , v i yi ∈ Li , xi ∈ Ni . Hơn n a, ta có bi = βi + xi , v i xi ∈ Li và βi tr c giao v i Li nên βi ∈ Ni . V y ta có 2 bi u di n bi = xi + βi và bi = (yi + yi ) + zi . Suy ra βi = zi và do đó βi = zi ≤ ρi . Ta l i có Gr(a1 , ..., ak , b1 , ..., bl ) = α1 , α1 ... αk , αk β1 , β1 ... βl , βl =Gr(a1 , ..., ak ). β1 , β1 ... βl , βl ≤Gr(a1 , ..., ak ). ρ1 , ρ1 ... ρl , ρl =Gr(a1 , ..., ak ).Gr(ρ1 , ..., ρl ) = Gr(a1 , ..., ak ).Gr(b1 , ..., bl ) ♥ Problem 2.26. Cho A là ma tr n đ i x ng th c c p n v i các đ nh th c con chính đ u không âm, A1 là m t ma tr n con c p k (k < n) góc trên trái c a ma tr n A và A2 là ma tr n con c p k − n góc dư i ph i c a ma tr n A. CMR, det(A) ≤ det(A1 ) det(A2 ). Problem 2.27. Cho A là ma tr n vuông c p n, g i B và C là các ma tr n t o b i k c t đ u và n − k c t cu i tương ng c a ma tr n A. Ch ng minh r ng det(A)2 ≤ det(B t B ) det(At A).
12 Problem 2.28. Cho A, B là 2 ma tr n vuông th c c p n, gi s det(A + B ) và det(A − B ) khác không. Ch ng minh r ng ma tr n AB M= BA kh ngh ch. Hint. Ta có bi u di n A−B In 0 AB In 0 0 = −In In In In BA 0 A+B Có th ch ng minh tr c ti p n u AB x =0 BA y ♥ thì x = y = 0. Problem 2.29. Cho f : V −→ V là m t t đ ng c u tuy n tính. Ch ng minh r ng t n t i k ∈ N sao cho V = Im f k ⊕ ker f k . Problem 2.30. Cho A là m t ma tr n vuông c p 2. Gi i phương trình sau AX − XA = 0. 3. D NG CHÍNH T C Problem 3.1. Cho 12 A= . 1 −1 Hãy bi u th A−1 như là m t đa th c c a A v i h s th c. Hint. Ta có đa th c đ c trưng c a A là: χA (λ) = λ2 − 3 1 . Do đó: A2 − 3I = 0 hay A2 = 3I , suy ra A kh ngh ch và A−1 = A. ♥ 3 Problem 3.2. V i x ∈ R, đ t   x 1 1 1 1 x 1 1 Ax =  . 1 1 x 1 1 1 1 x a) Ch ng minh r ng det Ax = (x − 1)3 (x + 3). b) Ch ng minh r ng n u x = 1, 3, thì A−1 = (x − 1)−1 (x + 3)−1 A−x−2 . x Hint. a) Tính toán tr c ti p ta có det Ax = (x − 1)3 (x + 3). b) N u x = 1, 3 thì Ax kh ngh ch và đa th c đ c trưng c a Ax là: χ(t) = (x − t − 1)3 (x − t + 3). Suy ra đa th c t i ti u c a Ax là: m(t) = (x − t − 1)(x − t + 3), do đó: ((x − 1)I − Ax )((x + 3)I − Ax ) = 0, khai tri n ta có đư c: (x − 1)(x + 3)I − 2(x − 1)Ax + A2 = 0. Nhân hai v v i x A−1 và bi n đ i ta có x A−1 = −(x − 1)−1(x + 3)−1 A−x−2 . x ♥
13 Problem 3.3. Tính A10 v i   3 11 A= 2 4 2 . −1 −1 1 Problem 3.4. Ch ng minh ho c đưa ra ph n ví d : V i m i ma tr n vuông ph c A c p 2, t n t i ma tr n vuông ph c B c p 2 sao cho A = B 2 . Hint. Ch n A = ( 0 1 ) thì s không có m t ma tr n vuông ph c B c p 2 nào mà A = B 2 . ♥ 00 Problem 3.5. Cho   0 0 0 1 0 0 0 0 A= . 0 0 0 0 0 0 0 0 V i s nguyên n nào thì s t n t i ma tr n vuông ph c X c p 4 sao cho X n = A. Problem 3.6. Kh ng đ nh sau đúng hay không: T n t i ma tr n vuông th c A c p n sao cho A2 + 2A + 5I = 0, n u và ch n u n là s ch n. Hint. Kh ng đ nh đúng. Gi s A t n t i, suy ra A có đa th c t i ti u chia h t t2 + 2t + 5 là đa th c b t kh qui trên R V y mA (t) = t2 + 2t + 5. Vì đa th c đ c trưng và đa th c t i ti u có cùng nhân t b t kh qui nên χA (t) = mA (t)k suy ra n = deg χA (t) ph i là s ch n. Ngư c l i, n ch n, ta th y A0 = 0 −5 là m t nghi m c a phương trình t2 + 2t + 5 = 0. Do 1 −2 n kh i A0 trên đư ng chéo chính là ma tr n th a mãn yêu c u c a đ đó ma tr n kh i g m 2 ♥ bài. Problem 3.7. Phương trình nào có nghi m là m t ma tr n vuông th c (không nh t thi t ph i ch ra nghi m):   000 X 3 = 1 0 0 230   350 2X 5 + X = 5 1 9 090 0 −1 X 6 + 2X 4 + 10X = 10   34 0 X 4 = 0 3 0  . 0 0 −3 Problem 3.8. Cho A và B là hai ma tr n th c c p n tho mãn đi u ki n t n t i ma tr n ph c V sao cho A = V BV −1 . Ch ng minh r ng t n t i m t ma tr n th c U sao cho A = U BU −1 . Hint. Gi s V = X + iY, trong đó X, Y là các ma tr n th c. T đ ng th c AV = V B, ta có A(X + iY ) = (X + iY )B, suy ra AX = XB và AY = Y B, do đó A(X + tY ) = (X + tY )B v i m i t ∈ R. M t khác xét đa th c p(z ) = det(X + zY ), z ∈ C. Ta có p(i) = 0 nên t n t i m t giá tr th c t0 sao cho p(t0 ) = 0. V y ta có A(X + t0 Y ) = B (X + t0 Y ) trong đó X + t0 Y là ma ♥ tr n kh ngh ch.
14 Problem 3.9. Cho x là s th c dương. H i có t n t i hay không m t ma tr n vuông th c c p 2 sao cho −1 0 A2004 = . 0 −1 − x Problem 3.10. Cho ma tr n:   2 −1 0 A = −1 2 −1 0 −1 2 Ch ng minh r ng: m i ma tr n B sao cho AB = BA có d ng: B = aI + bA + cA2 , v i a, b, c là các s th c nào đó. Problem 3.11. Cho A là ma tr n c p n có n giá tr riêng phân bi t. Ch ng minh r ng: m i ma tr n B giao hoán đư c v i ma tr n A đ u bi u di n đư c dư i d ng: B = f (A), v i f là m t đa th c h s th c, b c không quá n − 1. Hint. Do A có n giá tr riêng phân bi t nên A chéo hóa đư c, t c là t n t i ma tr n C kh ngh ch sao cho C −1 AC = P là ma tr n chéo. Khi đó, ma tr n B giao hoán đư c v i A khi và ch khi ma tr n Q = C −1 BC giao hoán đư c v i P . Gi s :   λ1 0 · · · 0  0 λ2 · · · 0    P = · · · · · · · · · · · ·   · · · · · · · · · · · · 0 · · · 0 λn trong đó λi là các giá tr th c khác nhau t ng đôi m t. B ng cách th tr c ti p ta có: Q giao hoán đư c v i P khi và ch khi Q có d ng:   µ1 0 · · · 0  0 µ2 · · · 0    Q = · · · · · · · · · · · ·    · · · · · · · · · · · ·  0 · · · 0 µn trong đó µi là các giá tr th c nào đó. Bây gi ta c n tìm các s th c α0 , α1 , ..., αn−1 sao cho Q = α0 I + α1 P + · · · + αn−1 P n−1 Đi u này th c hi n đư c nh vi c gi i h phương trình tuy n tính:   x0 + λ1 x1 + · · · + λ1 −1 xn−1 = µ1 n    x + λ x + · · · + λn−1 x  n−1 = µ2 0 21 2 ···························    x + λ x + · · · + λn−1 x  =µ n−1 0 n1 n n T đó ta suy ra: B = α0 I + α1 A + · · · + αn−1 An−1 ♥ Problem 3.12. Cho A, B là các ma tr n vuông c p n. Ch ng minh r ng n u B giao hoán v i m i ma tr n giao hoán đư c v i A thì t n t i m t đa th c f (t) sao cho B = f (A). Hint. Cho A là ma tr n th c c p n × m. Ch ng minh r ng t n t i ma tr n th c B c p n sao cho AAt = B 2004 ♥
15 Problem 3.13. Cho A ∈ Mn (R) là ma tr n lũy linh. Gi i các phương trình sau X − AX − A = 0 và X + AX + A = 0. Hint. Do A là ma tr n lũy linh nên An = 0. Khi đó In − A là ma tr n kh ngh ch và (In − A)−1 = I + A + A2 + · · · + An−1 . T phương trình X − AX − A = 0 ta có X = (I − A)−1 A = A + A2 + · · · + An−1 . ♥ Problem 3.14. Cho A là ma tr n c p n tho A2 = A. Ch ng minh r ng phương trình AX − XA = 0 có nghi m, c n và đ là: t n t i ma tr n X0 sao cho X = AX0 + X0 A − X0 . ♥ Hint. Đưa A v d ng chéo. Problem 3.15. Cho A là ma tr n vuông c p n tho mãn đi u ki n A2 = A. Hãy tính đa th c đ c trưng c a A. Hint. Đáp s χA (λ) = (1 − λ)r (−λ)n−r , v i r là h ng c a A. ♥ Problem 3.16. Cho A và B là hai ma tr n lu linh, AB = BA. Ch ng minh r ng a) A + B cũng là m t ma tr n lũy linh. b) I − A kh ngh ch. c) det(I + A) = 1. d) I + A + B kh ngh ch. Problem 3.17. Cho A là ma tr n lũy linh và f (t) là m t đa th c v i h s t do khác 0. Ch ng minh r ng ma tr n f (A) kh ngh ch. (1) Cho A, B ∈ Mn (K), AB = BA, B = 0 và A là ma tr n lũy linh. Ch ng Problem 3.18. minh r ng rank(AB ) ≤ rank(B ) − 1. (2) Cho A1 , A2 , · · · , An ∈ Mn (K) là các ma tr n lũy linh giao hoán v i nhau t ng đôi m t. Ch ng minh r ng n Ai = 0. i=1 Hint. Do A là ma tr n lũy linh nên d ng chéo hóa Jordan c a A có d ng 0 ··· 0   0 ... ...  1 0  . .. . .. . . . . . . ··· 1 0 0 Do đó t n t i m t cơ s {u1 , u2 . . . , un } c a Rn sao cho A(u1 ) = u2 , A(u2 ) = u3 , · · · , A(un−1 ) = un và A(un ) = 0. Ta s ch ng minh n u rank(AB ) = rank(B ) thì B = 0, t c là Im(B ) = {0} . Th t v y, ta có Im(B ) = Im(AB ) = A(Im(B )) = A(span{Bu1 , Bu2 , . . . , Bun }) = span{ABu1 , ABu2 , . . . , ABun } =span{Bu2 , Bu3 , . . . , Bun } Tương t Im(B ) = Im(AB ) = A(Im(B )) = A(span{Bu2 , Bu3 , . . . , Bun }) = span{ABu2 , ABu3 , . . . , ABun } =span{Bu3 , Bu4 , . . . , Bun } Ti p t c quá trình trên, ta có Im(B ) = span{Bun } = {0} . V y rank(AB ) < rank(B ). ♥ 2) Suy ra t 1). Problem 3.19. Cho N là ma tr n (ph c) lu linh và r là m t s nguyên dương. Ch ng minh r ng t n t i ma tr n ph c A sao cho Ar = I + N.
16 4. VECTOR RIÊNG VÀ GIÁ TR RIÊNG Problem 4.1. Cho M là ma tr n vuông th c c p 3, M 3 = I và M = I. a) Tìm các giá tr riêng c a M. b) Cho m t ma tr n có tính ch t như th . Hint. a) Do M là nghi m c a đa th c x3 − 1 nên đa th c t i ti u c a M ph i là ư c c a x3 − 1. M t khác, M có ít nh t m t giá tr riêng th c, nên đa th c t i ti u có nhân t (x-1). Vì M = I nên đa th c t i ti u c a M không th là x − 1. Do đó đa th c t i ti u c a M là m(x) = x3 − 1. V y M có duy nh t m t giá tr riêng th c là 1. b) M t ma tr n có tính ch t như v y là: 1 0 0   √ 3 1 M = 0 2 2 √ 3 1 0− 2 2 ♥ Problem 4.2. Cho F là m t trư ng, n và m là các s nguyên và A là m t ma tr n vuông c p n v i các ph n t trong F sao cho Am = 0. Ch ng minh r ng: An = 0. Hint. Do An = 0 nên đa th c t i ti u p(x) c a A ph i là ư c c a xm . Suy ra p(x) = xk , v i k ≤ n. V y An = 0. ♥ Problem 4.3. Cho V là không gian vector h u h n chi u trên trư ng s h u t Q, M là m t t đ ng c u c a V, M (x) = x, ∀x ∈ V \ 0. Gi s M p = IdV , v i p là m t s nguyên t . Ch ng minh r ng s chi u c a V chia h t cho p − 1. Hint. Do M p = I nên đa th c t i ti u p(x) c a M ph i là ư c c a xp − 1 = (x − 1)(xp−1 + . . . + 1) Do M (x) = x v i m i x = 0 nên 1 không là giá tr riêng, suy ra p(x) là ư c c a (xp−1 + . . . + 1). Nhưng (xp−1 + . . . + 1) là đa th c kh qui trên trư ng Q nên p(x) = (xp−1 + . . . + 1). M t khác, đa th c đ c trưng χM và đa th c t i ti u có chung nhân t b t kh qui. Do đó χM (x) = (p(x))k , k ≥ 1. V y dim V = rank M = deg χM = k (p − 1). ♥ Problem 4.4. Ch ng minh r ng ma tr n   1 1+m 1 1 + m 1 1 + m (m > 0) 1 1+m 1 có m t giá tr riêng dương và m t giá tr riêng âm. Problem 4.5. Cho a, b, c là các ph n t b t kì c a trư ng F, hãy tính đa th c t i ti u c a ma tr n   00a 1 0 b  . 01c Hãy t ng quát hóa k t qu trên. Hint. Đa th c đ t trưng là χ(t) = t3 − ct2 − bt − a. Ta s ch ng t đây là đa th c t i ti u. Th t v y, ch n x0 = (1, 0, 0), khi đó x0 , Ax0 = (0, 1, 0), A2 x0 = (0, 0, 1) là đ c l p tuy n tính. Gi s A là nghi m c a m t đa th c b c 2, t c là k1 A2 + k2 A + k3 I = 0, suy ra k1 A2 x0 + k2 Ax0 + k3 x0 = 0 và ta có k1 = k2 = k3 = 0, đi u này là vô lý. V y đa th c t i ti u ph i có b c 3, hay χ(t) = t3 − ct2 − bt − a. ♥
17 Problem 4.6. Gi s A, B là các t đ ng c u c a không gian vector h u h n chi u V trên trư ng F. Đúng hay sai các kh ng đ nh sau: (1) M i vector riêng c a AB là m t vector riêng c a BA. (2) M i giá riêng c a AB là m t giá riêng c a BA. Hint. a) Sai, ch n h n A = ( 1 1 ) , B = ( 1 1 ). 11 01 b) Đúng. Gi s λ = 0 là giá tr riêng ng v i vector riêng x c a AB . Khi đó BA(Bx) = B (ABx) = λBx nên λ s là giá tr riêng c a BA (vì B (x) = 0). N u λ = 0 là m t giá tr riêng ♥ c a AB thì BA cũng suy bi n, do đó BA cũng có giá tr riêng là 0. Problem 4.7. Cho A, B là các ma tr n ph c sao cho A2 = B 2 = I. Ch ng minh r ng t n t i m t không gian vector con 1-chi u ho c 2-chi u b t bi n đ i v i A và B. Problem 4.8. Cho ab A= cd là m t ma tr n th c v i a, b, c, d > 0. Ch ng minh r ng A có m t vector riêng x ∈ R2 , y v i x, y > 0. Hint. Đa th c đ c trưng c a A: χA (t) = t2 − (a + d)t + ad − bc có nghi m 1√ 1 1 ∆ = (a + d ± (a − d)2 + 4bc). t1,2 = (a + d) ± 2 2 2 1 Đ t λ = 2 (a + d + (a − d)2 + 4bc) và v = (x, y ) là vector riêng ng v i x > 0. Bi u di n h ng t đ u tiên c a Av ta đư c: √ 1 ax + by = (a + d + ∆)x 2 √ 2by = (d − a + ∆)x. √ Do b > 0 và d − a + ∆ > 0 nên y > 0. ♥ Problem 4.9. Cho A là ma tr n vuông ph c c p n và P (t) là m t đa th c b c m. Ch ng minh r ng n u λ1 , λ2 , . . . , λn là các giá tr riêng c a ma tr n A thì: 1) |P (A)| = P (λ1 ).P (λ2 ) . . . P (λn ). 2) P (λ1 ), P (λ2 ), . . . , P (λn ) là các giá tr riêng c a P (A). Hint. 1) G i ϕ(λ) = |A − λE | là đa th c đ t trưng c a ma tr n A. G i P (t) là đa th c b c m và α1 , α2 , . . . αm là các nghi m (th c ho c ph c k c b i) c a P (t). Ta có: ϕ(λ) = (−1)n (λ − λ1 )(λ − λ2 )...(λ − λn ) P (t) = c(t − α1 )(t − α2 )...(t − αm ). Do đó P (A) = c(A − α1 E )(A − α2 E )...(A − αm E ), m |P (A)| = cn |A − α1 E |.|A − α2 E |...|A − αm E | = cn ϕ(αi ). i=1 M t khác: n n ϕ(αi ) = (−1) (αi − λ1 )(αi − λ2 )...(αi − λn ) = (λj − αi ) j =1
18 Vì v y m m n n n |P (A)| =c (λj − αi ) ϕ(αi ) = c i=1 i=1 j =1 n m n (λj − αi ) = = c P (λj ). j =1 i=1 j =1 2) Đ t p(t) = P (t) − λ và áp d ng k t qu trên ta có: |p(A)| = p(λ1 ).p(λ2 )...p(λn ) hay |P (A) − λE | = (−1)n (λ − P (λ1 ))(λ − P (λ2 ))...(λ − P (λn )). ♥ V y các giá tr riêng c a P (A) là P (λ1 ), P (λ2 ), . . . , P (λn ). Problem 4.10. Cho A và B là các ma tr n đ i x ng th c tho mãn AB = BA. Ch ng minh r ng A và B có chung 1 vector riêng trong Rn . Problem 4.11. G i S là t p không r ng g m các ma tr n ph c c p n giao hoán đư c v i nhau t ng đôi m t. Ch ng minh r ng các ph n t c a S có chung m t vector riêng Problem 4.12. G i A và B là các ma tr n ph c c p n sao cho AB = BA2 . Gi s r ng A không có các giá tr riêng có mođun b ng 1, ch ng minh r ng A và B có chung m t vectơ riêng. Problem 4.13. Cho ϕ là t đ ng c u tuy n tính chéo hoá đư c c a Rn . Ch ng minh r ng không gian con W c a Rn là b t bi n đ i v i ϕ khi và ch khi trong W ch n đư c m t cơ s g m các vector riêng c a ϕ. Problem 4.14. Cho A và B là hai ma tr n chéo hoá đư c và giao hoán đư c v i nhau. Ch ng minh r ng t n t i m t cơ s c a Rn g m toàn các vector riêng c a A và B . Problem 4.15. Cho A là ma tr n ph c c p n và đa th c t i ti u p có b c k . 1) Ch ng minh r ng n u λ không là giá tr riêng c a A thì t n t i m t đa th c pλ b c k − 1 sao cho pλ (A) = (A − λE )−1 . 2) G i λ1 , λ2 , . . . , λk là các s ph c phân bi t và không là giá tr riêng c a A. Ch ng minh r ng: t n t i các s ph c c1 , c2 , . . . , ck sao cho k ck (A − λk E )−1 = E. i=1 Hint. Xét đ ng th c pλ (A)(A − λE ) = p(A) − p(λ)E = p(λ)E suy ra đư c đa th c pλ . V i m i λi t n t i các pλi tương ng. Xét h phương trình theo các n ci ta thu đư c h Crammer do ♥ đó t n t i các ci c n tìm. Problem 4.16. Cho A là ma tr n vuông c p n và B là ma tr n vuông c p m, A và B không có giá tr riêng chung. Ch ng minh r ng (1) N u ma tr n X c p n × m sao cho AX − XB = 0 thì X = 0. (2) Phương trình AX − XB = C, v i C là ma tr n c p n × m có không quá m t nghi m X ∈ Mn×m (K). Hint. k k (x − λi )µi . Ta có q (B ) = (B − (1) G i q (x) là đa th c t i ti u c a B. Gi s q (x) = i=1 i=1 λi Im )µi = 0. T gi thi t ta có (A − λIn )k X = X (B − λIm )k , v i m i λ, v i m i k ∈ N. k k (A − λi Im )µi X = X (B − λi Im )µi = 0. Vì các giá tr riêng λi c a B T đó suy ra i=1 i=1 không là giá tr riêng c a A nên các ma tr n (A − λi In ) đ u kh ngh ch. V y X = 0.
19 (2) Suy ra t câu 1. ♥ Problem 4.17. Cho A, B là các ma tr n vuông ph c c p n sao cho rank(AB − BA) ≤ 1. Ch ng minh r ng t n t i vector riêng chung c a A và B. Problem 4.18. Cho E, F là các không gian vector h u h n chi u trên trư ng K và f, g là các ánh x tuy n tính t E vào F. Ch ng minh r ng rank(f + g ) = rank(f ) + rank(g ) khi và ch khi Im(f ) ∩ Im(g ) = {0} ker f + ker g = E Hint. T gi thi t, ta có dim Im(f + g )) = dim Im(f ) + dim Im(g ). M t khác ta có dim Im(f + g ) ≤ dim(Im(f ) + Im(g )) = dim Im(f ) + dim Im(g ) − dim(Im(f ) ∩ Im(g )). Suy ra dim(Im(f ) ∩ Im(g )) = {0} , hay Im(f ) ∩ Im(g ) = {0} . V y Im(f + g ) = Im(f ) ⊕ Im(g ). Suy ra Im(f ) ⊂ Im(f + g ). Do đó v i m i x ∈ E, ta có f (x) = (f + g )(t) = f (t) + g (t). Suy ra g (t) = f (x − t) ∈ Im(f ) ∩ Im(g ) = {0} nên t ∈ ker g và x − t ∈ ker f. V y x = (x − t) + t ∈ ker f + ker g, t c là ker f + ker g = E. Ngư c l i, t gi thi t ker f + ker g = E, ta ch ng minh Im(f + g ) = Im(f ) + Im(g ). T đó suy ra đi u c n ch ng minh. Th t v y, ta có Im(f + g ) ⊂ Im(f ) + Im(g ). N u f (u) + g (v ) ∈ Im(f ) + Im(g ) thì ta có phân tích u = x + y và v = z + t, v i x, z ∈ ker f và y, t ∈ ker g. Khi đó f (u) + g (v ) = (f + g )(y + z ) ∈ Im(f + g ). ♥ Problem 4.19. Cho A là ma tr n vuông c p n và rank(A) = r. Đ t S = {X ∈ Mn×m (K) : AX = 0} . Tính dim(S ). Problem 4.20. Gi s A là ma tr n c p n h ng r. Tìm s nghi m đ c l p tuy n tính c a phương trình AX = 0 v i X là ma tr n c p n. Hint. Do A là ma tr n c p n có h ng r nên t n t i các ma tr n kh ngh ch P, Q sao cho A = P In,r Q v i In,r là ma tr n có d ng: Ir 0 In,r = , 00 (t c là ma tr n có r ph n t đ u tiên trên đư ng chéo chính b ng 1 các ph n t còn l i b ng 0). Ta có nh n xét sau: k ma tr n X1 , . . . , Xk đ c l p khi và ch khi các ma tr n QX1 , . . . , QXk đ c l p tuy n tính (do Q là ma tr n kh ngh ch). Phương trình AX = 0 tương đương v i In,r QX = 0, nên t nh n xét trên đ tìm s nghi m đ c l p tuy n tính c a phương trình AX = 0 ta ch c n đi tìm s nghi m đ c l p tuy n tính c a phương trình In,r Y = 0. Ma tr n Y tho phương trình In,r Y = 0 ph i có d ng sau: n−r r r 0 0 Y= n−r Y1 Y2 Suy ra s nghi m đ c l p tuy n tính c a phương trình AX = 0 là n(n − r). ♥ Problem 4.21. Cho phương trình AX = B , trong đó A là hai ma tr n cho trư c c p n, X là n (X là ma tr n c p n). Ch ng minh r ng phương trình trên có nghi m khi và ch khi rank(A) = rank(A|B ), trong đó (A|B ) là ma tr n c p n × 2n có đư c b ng cách ghép ma tr n B vào bên ph i ma tr n A. AB Problem 4.22. Cho A, B, C, D là các ma tr n c p n, AC = CA. Đ t M = . Ch ng CD minh r ng det(M ) = det(AD − BC ).
20 I 0 AB , v i Y = D − CA−1 B . Hint. Gi s A kh ngh ch, ta phân tích: M = −1 CA I 0Y N u A tuỳ ý thì thay A b i A − λI và áp d ng l p lu n trên. ♥ Problem 4.23. Cho không gian vector E và E = M ⊕ N , g i p là phép chi u lên M theo phương N . Cho u là toán t tuy n tính c a E . Ch ng minh r ng: a) M là không gian con b t bi n c a u n u và ch n u pup = up. b) M và N đ u b t bi n qua u khi và ch khi pu = up. Problem 4.24. N u u là toán t tuy n tính v i trên không gian vector h u h n chi u và n u u giao hoán v i m i phép chi u có h ng 1, thì u = λI . Problem 4.25. Cho u là toán t tuy n tính trên không gian vector h u h n chi u. CMR a) N u u chéo hoá đư c và t n t i n ∈ N sao cho um+1 = um , n u và ch n u u là phép chi u. b) N u u chéo hoá đư c và um = I v i m t giá tr m ∈ N∗ , thì u2 = I . Problem 4.26. Cho u là toán t trên không gian vector ph c n-chi u. Ma tr n c a u đ i v i m t cơ s nào đó có d ng: 0 0 . . 0 λ1   0 0 . . λ2 0  . . . .. .   M = . . . .. .   0 λ n−1 . . 0 0 λn 0 . .00 CMR, u chéo hoá đư c khi và ch khi v i m i k ∈ {1, 2, . . . , n}, n u λk = 0, thì λn+1−k = 0. Tìm đa th c t i ti u c a u2 . Problem 4.27. Cho u và v là các toán t chéo hoá đư c c a không gian vector h u h n chi u E . CMR, t n t i đ ng c u tuy n tính f c a E sao cho f ◦ u = v ◦ f khi và chi khi u và v có t p các giá tr riêng trùng nhau và các không gian riêng ng v i t ng giá tr riêng c a u và v có cùng s chi u. Problem 4.28. Cho u và v là các toán t chéo hoá đư c trên không gian vector E n-chi u. CMR, các kh ng đ nh sau là tương đương. a) uv = vu. b) T n t i m t cơ s c a E g m toàn các vector riêng c a u và v . c) T n t i m t toán t w chéo hoá đư c c a E và các đa th c f, g ∈ R[x], h ∈ R[x, y ] sao cho u = f (w), v = g (w), w = h(u, v ). T đó suy ra, m t toán t trên E giao hoán đư c v i u và v khi và ch khi nó giao hoán đư c v i w. Problem 4.29. Cho u1 , u2 , . . . , um là các toán t chéo hoá đư c c a không gian vector E n-chi u. CMR, các kh ng đ nh sau là tương đương: a) ui uj = uj ui v i m i i, j ∈ [1, m]. b) T n t i m t cơ s c a E g m toàn các vector riêng c a ui . c) T n t i toán t w chéo hoá đư c c a E và các đa th c f1 , f2 , . . . , fm ∈ R[X ], h ∈ R[X1 , X2 , . . . , Xm ] sao cho fi (w) = ui , 1 ≤ i ≤ m và h(u1 , u2 , . . . , um ) = w. Problem 4.30. Cho E là không gian vector h u h n chi u và A ∈ Aut(E ). Ch ng t các đi u ki n sau là tương đương: (i) A = I + N , trong đó N là t đ ng c u lu linh. (ii) T n t i m t cơ s c a E sao cho ma tr n c a t đ ng c u A đ i v i cơ s đó có m i ph n t n m trên đư ng chéo chính b ng 1 còn m i ph n t n m ngoài đư ng chéo chính đ u b ng 0. (iii) T t c các nghi m c a đa th c đ c trưng c a t đ ng c u A (trong trư ng đóng đ i s ) đ u b ng 1.