Tài liệu Chương 3: Không gian vectơ

ươ

ơ

Ch

ng 3: không gian vect

ệ ơ

ị ườ ợ V là m t ộ không gian vect ơ trên tr

ượ

ộ ướ K,  ng  ạ ố ọ   c trang b  m t phép toán đ i s  (g i ỏ   ệ ng, ký hi u (.) th a

ệ I: Khái ni m Không gian vect ậ : Ta nói t p h p  1. Đ nh nghĩa ơ ế V đ ị ộ ộ hay m t không gian vect , n u  ộ ệ là phép c ng), ký hi u (+) và m t phép nhân vô h ề mãn các đi u ki n sau:

�

+ = + y y

x

x y ( ,

)

1. Tính giao hoán c a phép c ng:

3

" ủ ộ

2 V x , + x

� V

+ y

z

x y z ( , , )

(

)

" ; + = + x z y ) ế ợ ủ ;

, ( ệ

ỏ ộ không, ký hi u là 0 th a mãn: V m t ph n t " ộ 2. Tính k t h p c a phép c ng:  ầ ử ồ ạ 3. T n t + = � x V x 0 ,

x-

,

x

x

4. + - (

x V = ) 0;

2

+ a

" (cid:0) ầ ử ố ệ ộ ỏ i m t ph n t đ i, ký hi u là th a mãn: i trong x ; ồ ạ t n t

�

x

y

x y ( ,

)

+ (

,

;

a K a 2

b

x +

" " 5.

�

� x V

K

x

x

,

, a b ,

+ b , (

= a y ) = a )

x ;

ab 2

" " 6.

� V ( (

a ) )

�

K

x

x

a b ,

, (

= a b )

(

);

" " 7.

� x V , =� x V x ,1

x .

" 8.

ơ 2: Không gian vect con

1. Đ nh nghĩa:

ỗ ủ V. ị Cho V là m t ộ K­không gian vect

conơ c g i là m t ộ ậ  c a ủ V n u W là m t

ộ không gian vect ớ và ơ W là m t t p con khác r ng c a  ộ K­ ạ ữ ượ ọ ơ ứ ế   ng v i nh ng phép toán (+) và (.) c a ế ủ V khi ta h n ch

W (cid:0)

Khi đó W đ không gian vect chúng lên W.

ơ ủ ộ ủ

2

ệ V là m t không gian con c a V khi ỏ c th a:

;

,

"

(cid:0) c a không gian vect ượ ề và ch  khi các đi u ki n sau đây đ +� x y W x , "� a

� y W a �� K x W x W ,

,

.

"

+

a 2

ﾡ �

,

,

.

ề ể ượ ề ế ằ c thay th  b ng đi u " " ở  trên có th  đ � y W ệ Hai đi u ki n i) và ii)  a � x y W x ( , ) ị 2. Đ nh lý:  ậ T p con  ỉ i)  ii)  ậ Nh n xét:  ệ ki n sau:

ể ứ ộ ậ ợ ỗ   Đ  ch ng minh m t t p h p khác r ng là không gian vector thì có hai cách

ứ ậ ặ ợ ộ ướ ớ ho c ch ng minh t p h p này v i hai phép toán c ng và nhân vô h ng

ề ủ ứ ặ ằ ậ ỏ ợ th a các tiên đ  c a không gian vector; ho c ch ng minh r ng t p h p đó

ộ ủ là không gian vector con c a m t không vector khác.

ự ộ ậ ụ ộ ế ế II: S  đ c l p tuy n tính và ph  thu c tuy n tính

ổ ợ ế 1. T  h p tuy n tính:

ộ ơ ườ K và  1 Cho V là m t không gian vect

v v ng  2, ủ  c a các vect

v ,..., n ơ

trên tr ế

n

2

(cid:0) K sao cho

ổ ợ  h p tuy n tính a ,..., ầ ử ủ V. Ta nói vect ướ ơ v là t a a ng  , 1

ị 1.1 Đ nh nghĩa:   c a  là các ph n t ế ồ ạ v v v  n u t n t ,..., n 2, 1 + + + = a a a v v v v ... n n 2 2 1 1 i các vô h .

ế ệ ệ ộ ậ ụ ộ

ị 2.1 Đ nh nghĩa:

v  c a không gian vect i các vô h

2 + a

a

ế 2. H  vector đ c l p tuy n tính – H  vector ph  thu c tuy n tính: ơ V trên  v v   2, ướ   ế ng ơ 1 ọ   ,..., n ph  thu c tuy n tính c g i là (cid:0) ằ

v n n ế

ượ ọ ụ ơ ộ  không ph  thu c tuy n tính đ c g i là

=

=

a

a

=

(0,1, 2,3);

(1, 2,3, 4)

1

2

3

ủ H  các vect ế ồ ạ ụ ộ ượ ọ ườ K đ  n u t n t tr ng  a a a ả ấ ả ề  K không ph i t   t c  đ u b ng 0 sao cho: ,..., , n 1 = . H  vect + + a ế ọ v v 0 ... 1 1 2 2 ệ ộ ậ h  đ c l p tuy n tính .

.

a (1, 0,1,1);   ế ộ

Ví d : ụ Trong R4 cho h  vect ệ ơ  ụ ộ ậ ế ệ H  trên đ c l p tuy n tính hay ph  thu c tuy n tính?

=

ệ ươ i:ả Gi Xét h  ph

+

0 =

0

+

+ a

= (cid:0) 0

a x 1 1

a x 2

x 3

2

3

+

+

=

2

3

0

x 2

x 3

+

+

=

3

3

0

x 1 x 2 x 1 x 1

x 2

x 3

=

A

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ơ ng trình vect : + x 3 x 2 3 (cid:0) . (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1 0 1 � � 0 1 2 � � 1 2 3 � 1 3 4 �

� � �  và rankA = 3, nên  � � �

ệ ố ủ ệ ậ Ta có ma tr n các h  s  c a h  trên là

ệ ệ ơ ấ ng trình trên có nghi m duy nh t (0, 0, 0). Do đó, h  các vect

ộ ậ ế

Ổ Ơ Ở

,

,

ệ ươ h  ph trên đ c l p tuy n tính.  III.BÀI TOÁN Đ I C  S  3.1:ví d :ụ

u u u l n l

2

3

=

u

ầ ượ ọ ộ t có t a đ  sau: ơ 1

(1, 0,1);

(0,1,1)

u 3

2

u 1

1) Trong R3 , cho c  s   = (1,1, 0); ơ ở B v i các vect ớ = .

1. Hãy l p ma tr n và công th c đ i t

ứ ổ ừ ơ ở ậ ậ c  s  chính t c ắ C sang

ơ ở B. c  s

3

ọ ộ ủ ơ ở B. € R3 trong c  s

2. Tìm t a đ  c a u = (5, 4, 3)   v ơ € R

3. Tìm vect = (1, 2,3)

]

ế ọ ộ ủ t t a đ  c a vect ơ v trong c  s ơ ở B là , bi

Bv [ i:ả

.

3  là c  s  g m các vect

=

ơ ở ồ ơ

(0,1, 0);

e 2

e 3

e 1

=

=

=

Gi ơ ở 1) Ta có c  s  chính t c  = = (1, 0, 0); ắ C c a Rủ (0, 0,1) . Khi đó,

C

C

C

u ] [ 1 [

] 2 [

]

]

]

1 �� �� u 0 ;[ ] �� 3 [ �� 1 ��

0 �� �� 1 �� �� 1 ��

1 �� �� u 1 ;[ �� �� 0 �� ơ ở B là  C sang c  s

=

P

1 1 0 � � 1 0 1 � � 0 1 1 �

� � � �■ �

ổ ừ ơ ở ậ . Do đó, ma tr n đ i t ắ    c  s  chính t c

u [ ] B [

]

x � � 1 � �= x � � 2 � �� � x 3

ứ ổ ọ ộ ủ ụ ộ 2) Gi ả ử  s , khi đó áp d ng công th c đ i t a đ  c a m t

=

+

=

ơ vect ta có:

3

1 1 0

=

=

+

=

�

�

(3, 2,1)

1 0 1

2

Bu [ ] [

]

(cid:0) (cid:0)

=

=

+

0 1 1

. V y ậ .■

1

5 � 4 � � 3

x 1 � x � 2 � x 3

x 1 x 1 x 2

x 2 x 3 x 3

5 �� � �� � = 4 �� � �� � 3 �� �

x �� � 1 �� � x �� � 2 �� � x �� � 3

(

,

,

)

x x x 1 2 3

(cid:0) (cid:0)

3) G i t a đ  c a ọ ọ ộ ủ v trong c  s  chính t c ắ V là ta có

3

=

4

=

1 1 0 1 0 1 0 1 1

5

x 1 x 2 x 3

x � � � 1 � � � = x � � � 2 � � � x � � � 3

1 ��� ��� 2 ��� ��� 3 ���

=

=

=

=

B

u

(1, 0,1);

(0,1,1)}

ơ ở = (cid:0) (cid:0) (cid:0) . V y ậ hay v= (3, 4, 5)(cid:0) R3■ (cid:0) (cid:0)

2

u 3

ệ ơ .

u { (1,1, 0); 1 ộ ơ ở ủ R3

ứ ằ IV: BÀI T PẬ Bài 1: Trong R3 cho h  3 vect a) Ch ng minh r ng B là m t c  s  c a

=

=

u

(1, 0, 0);

(0,1, 0);

(0, 0,1);

(3, 4,5)

e 2

e 3

ọ ộ ủ b) Tìm t a đ  c a các vect ơ 1 e

ơ ở B. trong c  s   i:ả

ệ ồ

ề  R3 , nên đ  ể ệ ộ ậ ỉ ầ ơ ơ ở ủ B là c  s  c a R B là h  đ c l p ữ ạ  trong không gian h u h n chi u 3  ta ch  c n ch ng minh  ứ

,

,

ự ể ề Gi a, Vì B là h  g m 3 vect ứ ế Đ  ch ng minh đi u này ta có th  xây d ng ma tr n A có các dòng là

0A (cid:0)

2

3

u u u , sau đó ch ng minh rankA = 3 hay

1 1 0

= -

ậ det ứ ch ng minh  tuy n tính.  ể ứ  ơ 1 các vect .

A =

det

1 0 1

2 0

0 1 1

,

,

(cid:0) Ta có, .

3

2

ậ ệ ộ ậ ơ ở ủ ệ V y h  các vect ơ 1 ế u u u là h  đ c l p tuy n tính nên đó là c  s  c a

R3  .

=

(

)

1,a2,a3)

3

Ba [

]

x x x , , 1 2 3

+

=

(cid:0) ộ ơ b) Xét m t vect tùy ý a=(a gi ả ử  s , khi đó R

x 2

=

=

+

+

=

=

+

+

�

�

a 1 a

x

a 1 a

a

1 1

0 1

1 0

x 3

x 1

2

x u 1 1

x u 2 2

x u 3 3

+

=

0

1

1

2 a 3

2

+ x 2 + x 3 �+ x 3

x 1 x 1 x 2

x 3 x 3

2 a 3

a x � � �� �� �� � � � 1 1 � � �� �� �� � � � + a x � � �� �� �� � � � 1 2 � � �� �� �� � � � a x � � �� �� �� � � � 3

� � � (cid:0) � (cid:0) � (cid:0)

(cid:0) (cid:0)

=

+

(

)

x 1

a 1

a 2

a 3

(cid:0) - (cid:0)

=

�

(

)

x 2

a 1

+ a 2

a 3

(cid:0) (cid:0) - (cid:0)

(cid:0)

=

(

)

x 3

+ a 1

+ a 2

a 3

1 2 1 2 1 2

(cid:0) - (cid:0) (cid:0)

3

=

+

(cid:0) ậ ớ ọ ơ V y v i m i vect tùy ý , thì ta có R

a

+ a

(

),

(

),

(

)

Ba [

]

a 1

2

a 3

a 1

+ a 2

a 3

+ a 1

2

a 3

- - -

1 2

1 � � 2 �

� . � �

a=(a1,a2,a3) 1 2

ầ ượ ọ ộ ủ ằ L n l t cho a b ng ơ

,

,

2

3

,

,

,

ầ ượ ơ ở B l n l t là:

e e e u ta có t a đ  c a các vect , 1 e e e u trong c  s   1

2

3

=

,

e 1

1 2

1 1 , 2 2

� � �

=

-

,

e 2

1 1 , 2 2

= -

,

,

e 3

1 1 1 2 2 2

� � � ■ � � �

=

u

� � � 1 � � 2 � � � � (1, 2, 3)

b

-

B b b '( ,

,

)

,

)

1

2

3

2

3

= -

=

(1, 3, 2)

1

2

( 1, 2,1); b

=

=

b

B a a a ( , 1 = 3 =

ư nh  sau: và

(1,1, 0);

(0,1,1)

1

2

Bài 2) Trong R3 cho 2 c  sơ ở  a a a (1,1,1); b (1, 0,1);

3  c  s   ọ ộ ủ

ể ừ ơ ở B sang c  s ơ ở B’.

ế t công th c tính t a đ  c a vect ơ x trong c  s ọ ộ ơ ở B theo t a đ

ậ 1) Tìm ma tr n chuy n t ứ 2) Vi ơ ở B’. c a ủ x trong c  s   Gi i:ả

b

+ a

a

+

(1)

1

1 1

2

a 3

b

+ a

a

+

3    (2)

a,

2

2

a 2 b 2

b 3

3

b

a

+

1 1 + a

(3)

3

c 2

c 3

3

1 1

= a a = a b = a c ơ ở B sang c  s   c  s

2 ơ ở B’ có d ng:ạ

=

ể ậ . Khi đó, ma tr n chuy n Gi ả ử  s

C

B B

'

ả ả ể . Đ  tìm i các (cid:0)

,

,

a b c  ta ph i gi i i

i

b 1 b 2 b 3

c 1 c 2 c 3

� � � � �

a � 1 � a � 2 � a � 3 ơ ng trình vect

ươ ph (1), (2), (3).

(cid:0)

+

1 =

- + = a 3 + 3

0

(cid:0) (cid:0) ươ ươ ươ Ph ng trình (1) t ng đ ớ ệ ng v i h

a 3 =

2

1

a 1 a 1 a 1

a 2 a 2 2 + + a 2

a 3

(cid:0) (cid:0)

(cid:0)

1 =

+

1

- + = b 3 + 3

(cid:0) (cid:0) ươ ươ ươ Ph ng trình (2) t ng đ ớ ệ ng v i h

b 3 =

0

2

b 1 b 1 b 1

b 2 b 2 2 + + b 2

(cid:0) (cid:0)

0 =

+

b 3 - + = c 3 + 3

1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ươ ươ Ph ng trình (3) t ng đ ớ ệ ng v i h

c 3 =

2

1

c 1 c 1 c 1

c 2 c 2 2 + + c 2

c 3

(cid:0) (cid:0)

ể ả ệ ươ ậ Ta dùng ph ng pháp Gauss đ  gi i các h  ph ng trình trên, l p các

ươ ệ ố ở ộ ậ ma tr n h  s  m  r ng:

- - -

d

d

d

2

2

3

2

d 2 d

d d

3

3

d 1 d 1

(cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) -

1 1 1 1 0 2 1 0 1 3 1 1 1 0 2

1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 2

� 1 � 0 � � 0 �

� � � � �

� 1 � 0 � � 0 �

� � � � �

� 1 � 1 � � 1 �

- -

d

d

3

d 22

3

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) -

1 1 0

1 1 1 0 1 1 0 1 3 1 1 2

� 1 1 1 1 0 � 3 0 1 1 2 � � 2 1 0 1 1 � -� 1 � 0 � � 0 �

� � � � �

= -

- -

2;

(cid:0)

= -

1

(cid:0) - ớ ệ ậ (cid:0) V y v i h  (1) ta có

=

1 4

a 3 a 2 a 1

a 2

= a 1; 3 + = a 3

=

(cid:0) - (cid:0)

3;

(cid:0)

=

1

(cid:0) - ệ (cid:0) H  (2) ta có

=

2; = - 1

4

b 3 b 2 b 1

= - b 3 + b 3

b 2 = -

(cid:0) - (cid:0)

(cid:0)

1; = - = c 3

(cid:0) ệ (cid:0) H  (3) ta có

=

2

c 3 c 2 c 1

c 2

1; = c 3

(cid:0) - (cid:0)

4

2

=

-

2

1

B BC (cid:0)

'

- ậ ậ V y ma tr n đ i c  s ổ ơ ở B sang c  s ơ ở B’ là

2

3

4 � � 1 � � �

� � .■ � � 1 �

=

=

,

,

,

)

Bx [ ] [

]

x x x 1 2 3

']

Bx [ ] [

y y y 1 2 3

- -

ứ

=

ả ử ( b) Gi  s   ộ ủ x trong c  s   đ  c a

4

2

4

2

( ) ơ ở B theo t a đ  c a  y 1

+ 2

1

2

y 3

- - (cid:0) ọ   . Khi đó, công th c tính t a ơ ở B’ là: y 3 (cid:0) - -

= -

3

2

y

,  và  ọ ộ ủ x trong c  s   y 4 + y 2 3

y 1 2

x 1 = x 2 x 3

2 + y 1

y 3

2

y �� � 1 �� � � (cid:0) y �� � (cid:0) 2 �� � y 1 �� � (cid:0) 3

x 4 � � � 1 � � � = x 1 � � � 2 � � � x � � � 3

■ - - -

Ự Ậ ƯƠ

=

=

=

u

u

a

(10,11,12);

(4,5, 6)};

(1,0,1);

(1, 2,3);

4

2

u 3

=

=

=

u

b

(2, 2, 4)};

(1, 2,3);

(1,0,1);

2

u 3

=

=

=

u

c

(1, 2,3);

(1, 0,1);

(2, 2,5)};

=

=

2 u

d

(1, 0,1);

2

ơ ộ ậ ụ ế ộ NG T ệ sau đ c l p tuy n tính hay ph  thu c

= u (3,3, 5,1);

)};

3

BÀI T P T Bài 1: Xét xem các h  vect ế tuy n tính = u ) { 1 u ) { 1 u ) { 1 u ) { 1 = - - - -

u 3 (1, 2,3)}. = u (3, 0,3, 10 2 (cid:0)x  (không gian các đa th c h  s  th c b c không quá  ơ  sau đ c l p tuy n tính hay ph  thu c tuy n tính?

2

3

ứ ệ ố ự ậ ụ ế ế ộ ệ 3 ộ ậ + 2 - x u a x 1}; 3; 2

3

+ 2 + 3 = - - u x u b x 3; 1; 10}; 2 = 3 u ) { 1 u ) { 1

2

+ 2 = - - u x x + 3 x + x 4 + 2 x x c 3; 2 1; 2}; 2 = 2 = 2 = 2 x 2 = u 3 u ) { 1

e u ){ (1, 2,3, 4); 1 Bài 2: Trong R3 (cid:0) 3), xét các h  vect + = x + x + x =

3 x u ;

2 x u 2 ; 3

4

2

x = = = + = x d x u 3 ; 2 3 ; 1}. u ) { 1

x u 5 ứ  ơ x, y, z. Ch ng minh r ng

ộ ậ ộ ậ ỉ ằ x, y, z} đ c l p

ế ơ V cho 3 vect Bài 3: Trong không gian vect ế {x+y, y+z, z+x} đ c l p tuy n tính khi và ch  khi { tuy n tính.

=

)

,

ọ ộ ủ ơ ở ứ là c  s  và tìm t a đ  c a

ườ

3

= = u u u Bài 4:Trong  R3 ch ng minh  ố ớ B trong các tr u đ i v i  = a u (1,1,1); )  1

2 (2,1, 3);

= - - - - u (6, 2, 7);

B u u u , ( 1 2 3 ợ ng h p sau: = (1, 2,3); = u (3, 2, 5); 3 = u 3 B =

{(1,1,1); (1,1, 2); (1, 2, 3)}

= - - - u (6,9,14); = u (1, 1,1); = - u (1, 1,0); (2, 0,0); (1,0, 1); ( 3,1, 2); b u )  1 c u )  1 (1,1, 2); = 2 = 2

ơ ệ và B’ =

3.

ứ

3.

ộ ơ ở ủ B là m t c  s  c a  R ộ ơ ở ủ

3 hãy tìm ma tr n chuy n c   ể ơ ậ ơ u = (1, 0, 0) trong hai c  ơ

ườ ợ B’ là c  s  c a R

Bài 5: Trong R3 cho hai h  vect {(2,1,­1); (3,2,­5);  (1,­1,m)}. ằ a) Ch ng minh r ng  b) Tìm m đ  ể B’ là m t c  s  c A R ơ ở ủ ng h p  c) Trong tr ọ ộ ủ  ở ừ B sang B’ và tìm t a đ  c a vect s  t ở s  đó.

{(1,1, 1);(1,0,1);(0,1,1)}

- ơ ệ và Bài 6: Trong R3 cho hai h  vect

3.Tìm ma tr n ậ

ứ B và B’ là các c  s  c a R

B = B’ = {(0,0,1); (1, ­1, 0);(1,1,1)}. ằ a) Ch ng minh r ng  ể ơ ở ừ B sang B’ và t chuy n c  s  t   ọ ộ ủ Tìm t a đ  c a vect

=

ơ ở ơ ở ủ  ừ B’ sang B. ơ x = (1, ­1, 1) trong hai c  s  đó

u

(2, 1, 2);

(2,1, 1);

= (1, 2,5);

(2, 4,1)

= u 3

= 2

= - v 1

v 3

(3,0,1); =

= v ( 3,1, 2); 2 =

- - - Bài 7: Trong R3, cho các vectơ  u 1

a) Ch ng minh r ng

3.

B

);

,

'

(

)

u u u B ( , 1 2

3

v v v , , 1 2 3

[

ứ ằ ơ ở ủ là các c  s  c a R

Bv [ ]

Bw ]

'

b) Tìm

ế ế u = (1, 2, 3), t và

v w n u bi ] B

u [ ] ;  ; [ B '

4 �� ��= 5 �� ���� 6

7 �� ��= 8 �� ���� 9

ộ ậ ụ ế ế ậ ộ Bài 8:các t p sau đây là đ c l p tuy n tính hay ph  thu c tuy n tính:

1, u1 =(1,2) và u2 =(­3,­6) trong R2 ?

2,u1 =(2,3) , u2 =(­5,8) ,u3 =(6,1) trong R2 ?

3,u1 =2+3x­x2 và u2=6+9x­3x2 trong R2 ?

1 ,u2 ,u3 } , B’={v1 ,v2 ,v3 }trong đó:

ơ ở Bài 9: xét trong R3 hai c  s  B={u

u1 =(­3,0,­3),      u2 =(­3,2,1),        u3=(1,6,­1)

v1 =(­6,­6,0),       v2=(­2,­6,4),      v3=(­2,­3,7)

B

ể ơ ở ừ ậ 1, hãy tìm ma tr n chuy n c  s  t B’ sang B

B c a w =(­5,8,­5) và tính [w]

ậ ọ ộ ủ 2,tính ma tr n t a đ [w]

B và ki m tra k t qu  trên

ự ế ế ể ả 3,tính tr c ti p [w]

ạ ớ Bài 10: làm l ậ i bài t p 9 v i

u1 =(2,1,1),   u2=(2,­1,­1), u3 =(1,2,1)

v1=(3,1,­5),   v2=(1,1,­3),   v3=(­1,0,2)