3
BAØI GIAÛNG TOÙM TAÉT
MOÂN TOAÙN C2
(GV: Traàn Ngoïc Hoäi - 2009)
CHÖÔNG 3
KHOÂNG GIAN VECTÔ
§1. KHOÂNG GIAN VECTÔ Rn
1.1. Ñònh nghóa:
Xeùt taäp hôïp:
Rn = {(x1, x2,..., xn)|∀1≤ i ≤ n, xi∈R}
Treân Rn ta ñònh nghóa hai pheùp toaùn nhö sau:
• Pheùp coäng vectô: Vôùi moïi u = (x1, x2,..., xn); v = (y1, y2,..., yn) ∈ Rn:
u + v = (x1 + y1, x2 + y2,..., xn + yn).
• Pheùp nhaân moät soá vôùi vectô: Vôùi moïi u = (x1, x2,..., xn) vaø α ∈ R:
αu = (αx1, αx2,..., αxn).
Vôùi hai pheùp toaùn ñoù, ta noùi Rn laø moät khoâng gian vectô treân R.
• Moãi phaàn töû u ∈ Rn laø moät vectô.
• Moãi soá α ∈ R laø moät voâ höôùng.
• Vectô 0 = (0, 0,...,0) laø vectô khoâng.
• Vectô (–u) = (-x1, -x2,..., -xn) laø vectô ñoái cuûa u = (x1, x2,..., xn).
1.2. Meänh ñeà:
Vôùi moïi u ∈ Rn vaø α ∈ R ta coù:
1) αu = 0 ⇔ (α = 0 hay u = 0).
2) (–1)u = –u.
4
§2. TOÅ HÔÏP TUYEÁN TÍNH
2.1. Ñònh nghóa:
Cho u1, u2, ..., uk ∈ Rn. Caùc toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2,..., uk laø caùc vectô
coù daïng:
u = α1u1 + α2u2 + ... + αkuk
vôùi αi ∈ R (1 ≤ i ≤ k).
2.2. Tính chaát:
1) u laø toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2, ..., uk khi vaø chæ khi phöông trình
α1u1 + α2u2+ ... + αkuk = u coù nghieäm (α1, α2, ..., αk)∈ Rn.
2) Töø ñònh nghóa ta thaáy toång cuûa hai toå hôïp tuyeán tính, tích cuûa moät soá
vôùi moät toå hôïp tuyeán tính cuõng laø caùc toå hôïp tuyeán tính (cuûa u1, u2,..., uk):
kkk
1i 1i i i i
i1 i1 i1
uu()u
===
α+β= α+β
∑∑∑
kk
ii i i
i1 i1
u()u
==
⎛⎞
αα=αα
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
3) Vectô khoâng 0 luoân luoân laø moät toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2, ..., uk vì
0 = 0u1 + 0u2 + ... + 0uk
4) Moãi vectô ui, 1 ≤ i ≤ k laø moät toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2, ..., uk vì
ui = 0u1 + ... + 0ui–1 + 1ui + 0ui+1 + ... + 0uk
Toång quaùt hôn, moïi toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2,...,uj (1 ≤ j ≤ k) ñeàu laø toå
hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2, ..., uk vì
α1u1+α2u2 +...+αjuj = α1u1+α2u2+...+αjuj+0uj+1 +...+0uk
4) Moïi toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2,... ,uk-1, uk ñeàu laø toå hôïp tuyeán tính cuûa
u1, u2, ..., uk-1 khi vaø chæ khi uk laø moät toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2,..., uk-1.
2.3. Heä quaû:
Cho u1, u2, ..., uk laø k vectô trong khoâng gian Rn vôùi uj = (u1j, u1j, ..., unj),
1≤ j≤ k:
u1 = (u11, u21 ..., un1)
u2 = (u12, u22 ..., un2)
................................
Vuihoc24h.vn
5
uk = (u1k, u2k ..., unk)
Khi ñoù vectô u = (b1, b2, ..., bn) ∈ Rn laø toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2, ..., uk
khi vaø chæ khi heä phöông trình tuyeán tính UX = B, trong ñoù:
11 12 1k 1 1
21 22 2k 2 2
n1 n2 nk n k
uu...u b
uu...u b
U;B;X
..... ...... ... ...... ... ...
u u ... u b
α
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
α
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
===
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
α
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
coù nghieäm X.
Nhaän xeùt: Ñeå deã nhôù, ta noùi ma traän U coù ñöôïc baèng caùch döïng u1,u2,...,uk
thaønh caùc coät, coøn ma traän B coù ñöôïc baèng caùch döïng u thaønh coät.
Ví duï:
1) Trong khoâng gian R4 cho caùc vectô:
u1 = (1, 1, 1, 1);
u2 = (2, 3, –1, 0);
u3 = (–1, –1, 1, 1);
u4 = (1, 2, 1, –1)
Tìm ñieàu kieän ñeå vectô u = (a1, a2, a3, a4) laø moät toå hôïp tuyeán tính cuûa:
a) u1, u2, u3;
b) u1, u2, u3, u4.
Giaûi toùm taét:
a) Theo Heä quaû 2.3, u = (a1, a2, a3, a4) laø toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2, u3 khi
vaø chæ khi heä U1X = B1 coù nghieäm X, trong ñoù:
11
2
112
33
4
a
12 1
a
13 1
U;B;X
a
111
a
10 1
−⎛⎞
⎛⎞ α
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
−⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
===α
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
−⎜⎟
α
⎜⎟
⎜⎟ ⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
Ta khaûo saùt heä treân baèng phöông phaùp Gauss thì tìm ñöôïc ñieàu kieän ñeå heä
U1X = B1 coù nghieäm laø:
a1 – a2 – a3 + a4 = 0 hay a1 + a4 = a2 + a3
Vaäy u = (a1, a2, a3, a4) laø toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2, u3 khi vaø chæ khi
a1 + a4 = a2 + a3.
b) Töông töï, u = (a1, a2, a3, a4) laø toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2, u3, u4 khi vaø
chæ khi heä U2X = B2 coù nghieäm X, trong ñoù:
6
11
22
22
33
44
a
12 11
a
13 12
U,B,T
a
1111
a
10 1 1
α
−⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ α
−⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
===
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ α
−⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ α
−
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
Ta tính ñöôïc detU2 = -6 neân heä U2X = B2 luoân luoân coù nghieäm X. Ñieàu naøy
chöùng toû moïi vectô u =(a1, a2, a3, a4) ∈ R4 ñeàu laø toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2, u3,
u4.
§3. ÑOÄC LAÄP TUYEÁN TÍNH –PHUÏ THUOÄC TUYEÁN TÍNH
3.1. Ñònh nghóa:
Cho u1, u2, ..., uk ∈ Rn. Xeùt phöông trình:
α1u1 + α2u2 + ... + αkuk = 0 (1)
Neáu (1) chæ coù nghieäm taàm thöôøng α1= α2 =...= αk = 0 thì ta noùi u1,u2,..., uk
ñoäc laäp tuyeán tính.
Neáu ngoaøi nghieäm taàm thöôøng, (1) coøn coù nghieäm khaùc thì ta noùi u1,u2,..., uk
phuï thuoäc tuyeán tính.
Noùi caùch khaùc,
• u1, u2, ..., uk ñoäc laäp tuyeán tính khi vaø chæ khi vôùi moïi α1, α2, ..., αk ∈ R
ta coù:
α1u1 + α2u2+ ... + αkuk = 0 ⇒ α1 = α2 = ... = αk = 0.
• u1, u2, ..., uk phuï thuoäc tuyeán tính khi vaø chæ khi toàn taïi α1, α2, ...,αk∈ R
khoâng ñoàng thôøi baèng 0 sao cho:
α1u1 + α2u2+ ... + αkuk = 0.
3.2. Nhaän xeùt:
Caùc vectô u1, u2, ... , uk phuï thuoäc tuyeán tính khi vaø chæ khi toàn taïi vectô ui
“phuï thuoäc” vaøo caùc vectô khaùc theo nghóa vectô ui ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng toå
hôïp tuyeán tính cuûa caùc uj, 1 ≤ j ≠ i ≤ k.
3.3. Heä quaû:
Cho u1, u2, ... , uk laø k vectô trong Rn. Goïi A laø ma traän coù ñöôïc baèng
caùch xeáp u1, u2, ..., uk thaønh caùc doøng. Khi ñoù:
u1, u2, ... , uk ñoäc laäp tuyeán tính ⇔ A coù haïng laø r(A) = k.
Vuihoc24h.vn
7
3.4. Chuù yù:
Trong thöïc haønh, ta kieåm tra tính ñoäc laäp tuyeán tính cuûa caùc vectô u1, u2,...,
uk trong Rn nhö sau:
Böôùc 1: Laäp ma traän A baèng caùch xeáp u1, u2, ..., uk thaønh caùc doøng.
Böôùc 2: Duøng caùc pheùp BÑSCTD ñöa A veà daïng baäc thang R. Khi ñoù:
• Neáu R khoâng coù doøng 0 thì u1, u2, ... , uk ñoäc laäp tuyeán tính.
• Neáu R coù ít nhaát moät doøng 0 thì u1, u2, ... , uk ñoäc laäp tuyeán tính.
Tröôøng hôïp k = n, ta coù A laø ma traän vuoâng. Khi ñoù coù theå thay Böôùc 2
baèng Böôùc 2′ nhö sau:
Böôùc 2′: Tính ñònh thöùc detA:
• Neáu detA ≠ 0 thì u1, u2, ... , uk ñoäc laäp tuyeán tính.
• Neáu detA = 0 thì u1, u2, ... , uk phuï thuoäc tuyeán tính.
Ví duï 1: Trong khoâng gian R5 cho caùc vectô:
u1 = (1, 2, -3, 5, 1);
u2 = (1, 3, -13, 22, -1);
u3 = (3, 5, 1, -2, 5);
u4 = (2, 3, 4, -7, 4);
Haõy xeùt xem u1, u2, u3, u4 ñoäc laäp tuyeán tính hay phuï thuoäc tuyeán tính.
Giaûi toùm taét:
Laäp ma traän A baèng caùch xeáp u1, u2, u3, u4 thaønh caùc doøng:
12 3 5 1
1 3 13 22 1
A35 1 2 5
23 4 7 4
−
⎛⎞
⎜⎟
−−
⎜⎟
=⎜⎟
−
⎜⎟
−
⎝⎠
Duøng caùc pheùp BÑSCTD ta ñöa ñöôïc A veà daïng baäc thang
12 3 5 1
0 1 10 17 2
R00 0 0 0
00 0 0 0
−
⎛⎞
⎜⎟
−−
⎜⎟
=⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Vì A ∼ R vaø R coù doøng 0 neân u1, u2, u3, u4 phuï thuoäc tuyeán tính.
Ví duï 2: Trong khoâng gian R3 cho caùc vectô:
8
u1 = (2m + 1, -m, m + 1)
u2 = (m-2, m – 1, m – 2)
u3 = (2m - 1, m – 1, 2m –1)
Tìm ñieàu kieän ñeå u1, u2, u3 ñoäc laäp tuyeán tính treân R.
Giaûi toùm taét:
Laäp ma traän A baèng caùch xeáp u1, u2, u3 thaønh caùc doøng:
2m 1 m m 1
Am2m1m2
2m 1 m 1 2m 1
+− +
⎛⎞
⎜⎟
=− − −
⎜⎟
⎜⎟
−− −
⎝⎠
Ta tính ñöôïc ñònh thöùc cuûa A laø: m(m-1)(m+1). Do ñoù:
u1, u2, u3 ñoäc laäp tuyeán tính treân R ⇔ m ≠ 0; m ≠ ± 1.
§4. KHOÂNG GIAN CON – TAÄP SINH – CÔ SÔÛ VAØ SOÁ CHIEÀU
4.1. Ñònh nghóa:
Cho W laø moät taäp con khaùc ∅ cuûa Rn. Ta noùi W laø moät khoâng gian con cuûa
Rn, kí hieäu W ≤ Rn, neáu W thoûa caùc tính chaát sau:
1) 0 ∈ W;
2) Vôùi moïi u, v ∈ W, u + v ∈ W;
3) Vôùi moïi u ∈ W vaø α ∈ R, αu ∈ W.
Ví duï:
1) {0} vaø Rn laø hai khoâng gian con cuûa Rn. Ta goïi ñaây laø caùc khoâng gian con
taàm thöôøng cuûa Rn.
2) Trong khoâng gian R3 xeùt ñöôøng thaúng (D) ñi qua goác toïa ñoä O vaø coù
vectô chæ phöông laø v(,,)
=
αβ
γ
. Khi ñoù phöông trình tham soá cuûa (D) laø:
(D) x = tα; y = tβ; z = tγ vôùi t ∈ R
Suy ra (D) = {t(α, β, γ) | t ∈ R}. Deã thaáy raèng caùc tính chaát trong Ñònh nghóa 4.1
ñöôïc thoûa ñoái vôùi (D). Do ñoù (D) laø moät khoâng gian con cuûa R3.
3) Trong khoâng gian R3 xeùt maët phaúng (P) ñi qua goác toïa ñoä O vaø coù hai
vectô chæ phöông:
1111 2222
v ( , , ) vaø v ( , , )=α β γ =α β γ
Vuihoc24h.vn
9
Khi ñoù phöông trình tham soá cuûa (P) laø:
(P): x = t1α1 + t2α2, y = t1β1 + t2β2, z = t1γ1 + t2γ2 (t∈R)
Suy ra
(P) = {(t1α1 + t2α2, t1β1 + t2β2, t1γ1 + t2γ2) | t1, t2 ∈ R}
= {t1(α1, β1, γ1) + t2(α2, β2, γ2) | t1, t2 ∈ R}
Deã thaáy raèng caùc tính chaát trong Ñònh nghóa 4.1 ñöôïc thoûa ñoái vôùi (P). Do ñoù (P)
laø moät khoâng gian con cuûa R3.
4.2. Ñònh lyù vaø Ñònh nghóa:
Trong khoâng gian Rn cho caùc vectô u1, u2, ... , uk. Ñaët:
<u1,u2,...,uk>={u= α1u1 + α2u2 +...+ αkuk | αi ∈ R,∀1≤ i ≤ k}
(= Taäp taát caû caùc toå hôïp tuyeán tính cuûa u1, u2,..., uk)
Khi ñoù <u1,u2,...,uk> laø moät khoâng gian con cuûa Rn. Ta goïi:
• <u1,u2,...,uk> laø khoâng gian con sinh bôûi u1, u2,..., uk.
• {u1,u2,...,uk} laø moät taäp sinh cuûa <u1,u2,...,uk>.
Ví duï:
1) Trong khoâng gian R3, vôùi (D) laø ñöôøng thaúng ñi qua goác toïa ñoä O, coù
vectô chæ phöông laø v = (α, β, γ), ta coù:
(D) = {t(α, β, γ) | t ∈ R} = {tv| t ∈ R} = <v>
nghóa laø: (D) laø khoâng gian con sinh bôûi v.
2) Trong khoâng gian R3, vôùi (P) laø maët phaúng ñi qua goác toïa ñoä O, coù hai
vectô chæ phöông laø 1111 2222
v(,,)vaøv(,,)=α β γ =α β γ , ta coù:
(P) = {t1(α1, β1, γ1) + t2(α2, β2, γ2) | t1, t2 ∈ R}
= {t1v1+ t2v2 | t1, t2 ∈ R} = <v1,v2>
nghóa laø: (P) laø khoâng gian con sinh bôûi v1,v2.
4.3. Ñònh nghóa:
Cho W laø moät khoâng gian con cuûa Rn vaø B = {u1, u2,..., uk} laø moät taäp con
cuûa W. Ta noùi B laø moät cô sôû cuûa W neáu B laø moät taäp sinh ñoäc laäp tuyeán tính
cuûa W.
4.4. Tính chaát:
10
Giaû söû W coù moät cô sôû B = {u1, u2,..., uk} goàm ñuùng k vectô. Khi ñoù, vôùi moïi
taäp con S = {v1, v2,...,vh} cuûa W goàm h vectô, ta coù:
1) Neáu h > k thì S phuï thuoäc tuyeán tính vaø do ñoù S khoâng theå laø moät cô sôû
cuûa W.
2) Neáu h < k thì S thì < S > ≠ W, nghóa laø S khoâng laø moät taäp sinh cuûa W
vaø do ñoù S khoâng theå laø moät cô sôû cuûa W.
3) Moïi cô sôû khaùc cuûa W cuõng goàm ñuùng k vectô. Soá k chung ñoù ñöôïc goïi laø
soá chieàu cuûa W, kí hieäu dimW.
4) Neáu k = dimW thì taäp con S = {v1, v2,...,vk} cuûa W goàm ñuùng k vectô laø
moät cô sôû cuûa W khi vaø chæ khi v1, v2,...,vk ñoäc laäp tuyeán tính.
4.5. Cô sôû vaø soá chieàu cuûa khoâng gian Rn:
1) Cô sôû chính taéc vaø dimRn:
Trong khoâng gian Rn, xeùt B0 = {e1, e2, ..., en} trong ñoù:
e1 = (1, 0, 0,..., 0)
e2 = (0, 1, 0,..., 0)
............................
en = (0, 0,..., 0, 1)
Ta thaáy:
• B0 laø moät taäp sinh cuûa Rn vì:
• B0 ñoäc laäp tuyeán tính .
Vaäy B0 = {e1, e2, ..., en} laø moät cô sôû cuûa Rn. Suy ra Rn coù soá chieàu baèng n. Ta
goïi B0 = {e1, e2, ..., en} laø cô sôû chính taéc cuûa Rn.
2) Cô sôû baát kyø cuûa Rn:
Vì dim Rn = n neân moïi cô sôû cuûa Rn phaûi goàm ñuùng n vectô. Hôn nöõa, töø
4.4 vaø 3.4 ta thaáy: Vôùi B = {u1, u2, ... , un} laø moät taäp con goàm ñuùng n vectô cuûa
Rn, ta coù:
B = {u1, u2, ... , un} laø moät cô sôû cuûa Rn
⇔ u
1, u2, ... , un ñoäc laäp tuyeán tính
⇔ detA ≠ 0, trong ñoù A laø ma traän coù ñöôïc baèng caùch xeáp u1, u2, ... , un thaønh
caùc doøng.
Vuihoc24h.vn
11
Ví duï:
1) Trong khoâng gian R4, caùc vectô
u1 = (1, 1, 1, 1)
u2 = (2, 3, –1, 0)
u3 = (–1, –1, 1, 1)
u4 = (1, 2, 1, –1)
taïo thaønh cô sôû cuûa R4 vì:
1111
2310 60
1111
1211
−=− ≠
−−
−
2) Trong khoâng gian R3, caùc vectô
u1 = (2m + 1, -m, m + 1)
u2 = (m-2, m – 1, m – 2)
u3 = (2m - 1, m – 1, 2m –1)
taïo thaønh moät cô sôû cuûa R3 khi vaø chæ khi: det A 0 m 0, 1
≠
⇔≠±
§5. KHOÂNG GIAN DOØNG
5.1. Ñònh nghóa:
Cho ma traän A = (aij) loaïi m×n vôùi heä soá thöïc:
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a ... a
aa...a
A..... ...... ... ......
a a ... a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Ñaët:
u1 = (a11, a12, ... , a1n)
u2 = (a21, a22, ... , a2n)
..................................
um = (am1, am2, ..., amn)
12
vaø WA = <u1, u2, ..., um>. Ta goïi u1, u2, ..., um laø caùc vectô doøng cuûa A, vaø WA laø
khoâng gian doøng cuûa A.
5.2. Ñònh lyù:
Neáu A vaø B laø hai ma traän töông ñöông doøng: A ∼ B thì WA = WB, nghóa laø
A vaø B coù cuøng khoâng gian doøng.
5.3. Nhaän xeùt:
Vì caùc vectô doøng khaùc 0 cuûa moät ma traän daïng baäc thang luoân luoân ñoäc laäp
tuyeán tính neân chuùng taïo thaønh moät cô sôû cuûa khoâng gian doøng. Töø ñaây ta suy ra
caùch tìm soá chieàu vaø moät cô sôû cuûa khoâng gian doøng cuûa ma traän A nhö sau:
• Duøng caùc pheùp BÑSCTD ñöa A veà daïng baäc thang R.
• Soá chieàu cuûa khoâng gian doøng WA baèng soá doøng khaùc 0 cuûa R ( do ñoù
baèng r(A)) vaø caùc vectô doøng khaùc 0 cuûa R taïo thaønh moät cô sôû cuûa WA.
5.4. Caùch tìm soá chieàu vaø cô sôû cuûa moät khoâng gian con cuûa Rn khi
bieát moät taäp sinh:
Giaû söû W = <u1, u2, ..., um> ≤ Rn (u1, u2, ..., um khoâng nhaát thieát ñoäc laäp
tuyeán tính). Ñeå tìm soá chieàu vaø moät cô sôû cuûa W ta tieán haønh nhö sau:
• Laäp ma traän A baèng caùch xeáp u1, u2, ..., um thaønh caùc doøng.
• Duøng caùc pheùp BÑSCTD ñöa A veà daïng baäc thang R.
• Soá chieàu cuûa W baèng soá doøng khaùc 0 cuûa R (do ñoù baèng r(A)) vaø caùc
vectô doøng khaùc 0 cuûa R taïo thaønh moät cô sôû cuûa W.
Ví duï:
1) Tìm moät cô sôû cho khoâng gian con cuûa R4 sinh bôûi caùc vectô u1, u2, u3, u4
trong ñoù:
u1 = (1, 2, 1, 1)
u2 = (3, 6, 5, 7)
u3 = (4, 8, 6, 8)
u4 = (8, 16, 12, 20)
Giaûi toùm taét
Khoâng gian W sinh bôûi u1, u2, u3, u4 laø khoâng gian doøng cuûa ma traän:
Vuihoc24h.vn