zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Phương pháp giải Hình học không gian bằng Vector

Chia sẻ: Nguyễn Phong Châu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Báo xấu

3.002
lượt xem 1.751
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60. Tính thể tích khối chóp A.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp giải Hình học không gian bằng Vector

www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN HÌNH H C KHÔNG GIAN B NG VECTOR I. CÁC VÍ D MINH H A V n đ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh a. Hình chi u vuông góc c a S trên m t ph ng (ABC) là đi m H thu c c nh AB sao cho HA = 2HB. Góc gi a đư ng th ng SC và m t ph ng (ABC) b ng 60o . Tính th tích kh i chóp S.ABC và tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng SA và BC theo a. (Trích đ tuy n sinh Đ i H c môn Toán kh i A, A1 năm 2012.) L i gi i: Cách 1 ( Phương pháp ph bi n ): S d ng đ nh lý cosin trong ∆AHC ta tính đư c đo n HC: 4a2 2a 1 7a2 HC 2 = AH 2 + AC 2 − 2AH.AC.cos60o = + a2 − 2. . = √ 9 3 2 9 a 7 T đó ta có: HC = . M t khác HC là hình chi u c a SC lên m t ph ng (ABC) nên [SC, (ABC)] = SCH = 60o 3 √ √ √ √ √ o a 7√ a 21 1 1 a 21 a2 3 a3 7 ⇒ SH = HC.tan60 = . 3= . Suy ra VS.ABC = .SH.S∆ABC = . . = 3 3 3 3 3 4 12 −→ − − −→ −→ − Cách 2 (Phương pháp vector): Đ t BC = a, BA = b, SH = c. Hi n nhiên: BC = BA = |a| = b = a và SH = |c|. S M A φ F C H N B − −→ → − −→ −→ − L p lu n như cách trên ta có: (SC; HC) = 60o . Ta s bi u di n l n lư t các SC và HC theo các a, b, c. −→ −→ −→ − − − → −→ −→ − − 1 −→ −→ −→ − − − 1 SC = SH + HC = SC + BC − BH = a − b + c. Còn HC = BC − BH = a − b. 3 3 www.MATHVN.com 1
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam − −→ → − 1 1 1 − −→ → − SC.HC 1 (a − b + c)(a − b) 1 (a − b)2 1 3 3 3 Ta có: cos(SC; HC) = − → −→ = 2 ⇔ − 1 1 = ⇔ 2 1 1 = 2 SC . HC a− b+c . a− b a− b+c . a− b 3 3 3 3 1 a− b 3 1 1 1 1 1 1 ⇔ = ⇔ 4(a − b)2 = (a − b + c)2 ⇔ 4(a − b)2 = (a − b)2 + c2 + 2(a − b)c 1 2 3 3 3 3 3 a− b+c 3 1 1 2 1 1 2 7a2 ⇔ 3(a − b)2 = c2 ⇔ 3(a2 + b2 − ab) = c2 ⇔ 3(a2 + a2 − . a.a) = c2 ⇔ = c2 √ 3 9 3 9 √2 3 √ √ 3 a 7 1 1 a 7 a2 3 a3 7 ⇔ c = √ . T đó tính đư c VS.ABC = . |c| .S∆ABC = . √ . = . 3 3 3 3 4 12 Nh n xét: Mình không khuy n khích các b n dùng cách này đ tính m t câu th tích r t d như th kia có th gi i b ng cách r t thông d ng. Mình gi i như th ch đ làm rõ phương pháp c a ch đ này cho các b n hi u. Nhưng đ n câu h i tính kho ng cách thì phương pháp này l i r t kh thi trong vi c xác đ nh đo n vuông góc chung và đ dài kho ng cách gi a 2 đư ng th ng. − → 2 −→ − Ta d dàng bi u di n đư c các vector: SA = b + c và BC = a 3 −→ − −→ 2x −→ − −→ − G i M,N l n lư t là các đi m n m trên SA và BC th a: SM = xSA = b + xc và BN = y BC = ya. 3 − → −→ − − − → −→ −2x − 1 1 M N = M S + SB + BN = b − xc + c − b + ya = ya − (2x + 1)b + (1 − x)c (1) 3 3 3 − →.− = 0 − →   M N ⊥SA M N SA Đ MN là đo n vuông góc chung c a SA và BC thì: ⇔ − → −→ − − M N ⊥BC M N .BC = 0   ab − 2 (2x + 1)b2 + (1 − x)c2 = 0  2y ⇔ 3 9 ya2 − 1 (2x + 1)ab = 0  3 2 2    2y a  . − 2 (2x + 1)a2 + (1 − x). 7a = 0 7  (1 − x) − 2 (2x + 1) + y = 0 −7x − 2 (2x + 1) + y = −7  ⇔ 3 2 9 3 ⇔ 3 9 3 ⇔ 3  2 1 ya − (2x + 1). a = 0 2 − 1 (2x + 1) + y = 0  −2x + 6y = 1 3 2  6  25 − x + y = −19 x =  13 ⇔ 3 3 ⇔ 16 −2x + 6y = 1 7 y =  16 −→ − 7 7 3 Thay x, y vào phương trình (1) ta thu đư c: M N = a − b + c. 16 8 16 −→− 7 2 2 7 2 2 3 2 2 7 7 7 7 3 7 a2 7 7 Ta có: M N = M N = ( ) .a + ( ) .b + ( ) .c − 2ab. . = ( )2 .a2 + ( )2 .a2 + ( )2 . .a2 − 2 . . √ 16 8 16 16 8 16 8 16 3 2 16 8 a 42 = . 8 3V Các b n có th gi i câu kho ng cách b ng cách s d ng ti s đư ng cao ho c công th c h = b ng cách qua A S d ng m t đư ng th ng song song v i BC. Nh n xét: Cách này cho ta th y đươc chính xác v trí c a các đi m M, N n m trên c nh SA và BC. Nên đư ng vuông góc chung hoàn toàn đư c xác đ nh. M t l i th n a c a phương pháp này so v i phương pháp t a đ là ta không c n ph i s d ng 3 tr c vuông góc t ng đôi m t và xu t phát t m t đi m như h tr c Decartes mà ch c n bi t rõ góc gi a các vector. Ta c n ph i ch n b 3 các vector a, b, c v a có th bi u di n đư c hoành đ và tung đ c a m t ph ng đáy và cao đ c a chi u cao t đ nh. Ưu tiên ch n các vector a, b, c có các góc đ p gi a các vector như 30o , 45o , 60o và đ c bi t là 90o . Lưu ý: Không ch n 3 vector cùng n m trong cùng m t m t ph ng ho c có ít nh t 2 vector n m cùng phương v i nhau. V n đ 2: Cho hình chóp S.AB có đáy là tam giác vuông cân t i B, AB = BC = 2a. Hai m t ph ng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABC). G i M là trung đi m c a AB, m t ph ng qua SM và song song v i BC, c t AC t i N. Bi t góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABC) b ng 60o . Tính th tích kh i chóp S.BCNM và kho ng cách gi a hai đư ng th ng AB và SN theo a.(Trích đ tuy n sinh Đ i H c môn Toán kh i A năm 2011.) L i gi i:  (SAB)⊥(ABC) Theo gi thi t : ⇒ SA⊥(ABC) (SAC)⊥(ABC) www.MATHVN.com 2
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam − −→ −→ − −→ Đ i v i bài này ta ch n h vector như sau: Đ t BA = a, BC = b, SA = c. Hi n nhiên ta có: BA = BC = |a| = b = 2a Lưu ý: Các vector a, b, c đôi m t vuông góc nhau nên tích vô hư ng gi a chúng hi n nhiên b ng 0 vi c ch n như th s d dàng cho vi c tính toán. Đ xác đ nh góc gi a 2 m t ph ng (SBC) và (ABC) ta làm như sau: (SBC) ∩ (ABC) = BC. M t khác:  AB ∈ (ABC), AB⊥BC(gt) ⇒ [(SBC); (ABC)] = (AB; SB) = SBA = 60o . BC⊥SB(BC⊥(SAB) √ √ T đó tính đư c SA = AB.tan60o = 2 3a ⇒ c2 = 3a2 = 3b2 (v i |c| = 2 3a) 1 1 3a2 D th y t giác BM N C là hình thang vuông nên ta có SBM N C = .BM.(M N + BC) = .a.(a + 2a) = 2 2 2 1 1 √ 3a2 3 √ VSBM N C = .SA.SBM N C = .2 3a. =a 3 3 3 2 − −→ − − → Đ tính kho ng cách gi a AB và SN ta s bi u di n các vector AB, SN theo a, b, c. S K N C A M φ B H − −→ −→ − − → −→ − → − − 1 AB = −a, SN = SA + AM + M N = − (a − b) + c 2 −→ − −− → −→ − −→ − y G i các đi m H ∈ AB và K ∈ SN sao cho: AH = xAB = xa.SK = y SN = − (a − b) + yc 2 − → −→ − − − → −→− y y y HK = HA + AS + SN = −xa − c − (a − b) + yc = −(x + )a + b + (y − 1)c 2 2 2  − → − = 0 − − →  HK⊥AB HK.AB Đ HK là đo n vuông góc chung c a AB và SN thì: ⇔ − → −→ − − HK⊥SN HK.SN = 0  y  y  y x + = 0 x + = 0 x + = 0 ⇔ 1 2 ⇔ 1 2 ⇔ 1 2 7y  (x + y )a2 + y b2 + (y − 1)c2 = 0  (x + y ) + y + 3(y − 1) = 0  x+ =3 2 2 4 2 2 4 2 2 x = − 6  −→− 6 1 ⇔ 13 ⇒ HK = b− c y = 12  13 13 13 www.MATHVN.com 3
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam √ −→ − 6 1 6 −1 2 2 39a ⇒ HK = HK = ( b − c)2 = ( )2 + 3( ) b = . 13 13 13 13 13 V n đ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a. G i M và N l n lư t là trung đi m c a các c nh AB và AD, H là giao đi m c a CN và DM. Bi t SH vuông góc v i m t ph ng √ (ABCD) và SH = a 3. Tính th tích kh i chóp S.CDNM và kho ng cách gi a hai đư ng th ng DM và SC theo a. (Trích đ tuy n sinh Đ i H c môn Toán kh i A năm 2010.) 1 1 a2 a2 5a2 L i gi i: D th y: SCDN M = SABCD − SAM N − SBM C = a2 − .AM.AN − .BM.BC = a2 − − = √2 2 8 4 8 1 1 √ 5a2 5 3a3 T đó tinh đư c: VS.CDN M = .SH.SCDN M = .a 3. = 3 3 8 24 S M B A N T H≡K D C −→ − −→ − −→ − a √ Đ t AM = a, DN = b, SH = c. Hi n nhiên ta có: AM = DN = |a| = b = , SC = |c| = a 3 −→ − −→ − 2 −→ − − → ⇒ c2 = 12a2 = 12b2 . Ta có: DM = a + 2b, CN = −2a + b. Đ n đây ta s bi u di n l n lư t DM , SC theo a, b, c. −→ −→ − − Nhưng đ làm đư c đi u đó ta ph i xác đ nh đư c v trí đi m H m i có th bi u di n đư c DH, CH t đó bi u di n −→ − − → DM , SC . −→ − −→ − Cách xác đ nh đi m H như sau:Đ t DH = u(a + 2b), CH = v(−2a + b) − → −→ −→ −→ − − − − HH = HD + DC + CH = −u(a + 2b) + 2a + v(−2a + b) = −(u + 2v − 2)a + (−2u + v)b  −→ − u + 2v − 2 = 0 Mà HH = 0 ⇔ (Do a, b không cùng phương ngư c hư ng) −2u + v = 0 2 4 −→ 2 − → − − −→ 4 −→ − − ⇔ u = , v = ⇒ DH = DM và CH = CN 5 5 5 5 −→ − −→ −→ −→ − − 4 4 T đó DM = a + 2b, SC = SH + HC = c − (−2a + b) = (2a − b) + c 5 5 −→ − −→ − −→ −→ 4y G i các đi m K ∈ DM và T ∈ SC sao cho: DK = xDM = x(a + 2b), ST = y SC = (2a − b) + yc 5 −→ −→ − − − → − → −→ −→ −→ − − − − → 2 4y KT = KD + DS + ST = KD + DH + HS + ST = −x(a + 2b) + (a + 2b) − c + (2a − b) + yc 5 5 8y 2 4y 4 = (−x + + )a + (−2x − + )b + (y − 1)c (1) 5 5 5 5 www.MATHVN.com 4
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam −→.− → = 0 − −   KT ⊥DM KT DM Đ KT là đo n vuông góc chung c a DM và SC thì: ⇔ −→ − − → KT ⊥SC KT .SC = 0  −x + 8y + 2 + 2(−2x − 4y + 4 ) = 0   −5x + 2 = 0 ⇔ 8 5 5 5 5 ⇔ 76y  (−x + 8y ) + −4y (−2x − 4y + 4 ) + 12(y − 1) = 0   − 12 = 0  5 5 5 5 5 5 x = 2  −→ 24 − 12 4 ⇔ 5 ⇒ KT = a − b − c (Thay x,y vào (1) ) y = 15  19 19 19 19 −→ − 24 12 4 24 −12 2 −4 2 Suy ra KT = KT = ( a − b − c)2 = ( )2 + ( ) + 12.( ) . |a| √ √ 19 19 19 19 19 19 4 57 a 2 57a = . = 19 2 19 2 Nh n xét: T x = ta có th th y đư c đi m K mà ta gi đ nh trùng v i đi m H. T đó th y đư c 5 đo n vuông góc chung cũng chính là đo n HT. Các b n nên hi u rõ r ng phương pháp tính đ dài vector trong các v n đ trên hoàn toàn xu t phát t đ nh lý cosin trong tam giác ch không có gì m i l c . Ngoài ra phương pháp vector cũng r t hi u qu trong các trư ng h p tính góc. Ta hãy xét các v n đ ti p theo đ hi u rõ phương pháp. V n đ 4: Cho lăng tr ABC.A’B’C’ có đ dài c nh bên b ng 2a, đ y là tam giác vuông có AB = a, √ AC = a 3. Hình chi u vuông góc c a đ nh A’ trên m t ph ng (ABC) là trung đi m c a c nh BC. Tính theo a đư ng cao kh i chóp A’.ABC và tính cosin c a góc gi a hai đư ng th ng AA", B’C’. (Trích đ thi đ i h c môn toán kh i A năm 2008) L i gi i: −− −→ −→ − −→ − G i M là trung đi m c a BC theo gi thi t A M ⊥(ABC). Ta ch n các vector như sau: A B = a, A C = b, A M = c (Đây là b ba vector đôi m t vuông góc nhau nên tích vô hư ng gi a chúng s b ng 0 ) √ T đó có đư c A B = |a| = a, A C = b = a 3, A M = |c| . B' C' A' B M C A www.MATHVN.com 5
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam − → − → −→ − → 1 − − − − − −→ − → 1 Ta có: A A = A M − AM = A M − (AB + AC) = − (a + b) + c. M t khác AA = 2a nên AA 2 = 4a2 2 2 −1 1 1 1 ⇔[ (a + b) + c]2 = 4a2 ⇔ (a + b)2 + c2 = 4a2 ⇔ (a2 + b2 ) + c2 = 4a2 ⇔ (a2 + 3a2 ) + c2 = 4a2 2 4√ 4 4 ⇔ c2 = 3a2 hay AM = |c| = a 3 −→ − → − − −→ − → − − AA .B C Đ tính cosin góc gi a AA , B C ta s s d ng công th c: cos(AA ; B C ) = cos(AA ; B C) = −→ − − . − −→ AA . B C −→ − − − −→ −→ − 1 −− −→ Ta s bi u di n AA , B C theo các a, b, c. Ta có: AA = − (a + b) + c, B C = b − a 2 −→ − − − −→ 1 1 1 3 AA .B C = a2 − b2 = a2 − b2 = −a2 2 2 2 2 −→ − −− −→ √ AA = AA = 2a. B C = B C = (b − a)2 = a2 + b2 = 2a −→ − → − − −a2 1 ⇒ cos(AA ; B C ) = cos(AA ; B C) = 2 = . 4a 4 Lưu ý: Đ i v i 1 s bài toán có hình v ph c t p yêu c u ch ng minh quan h vuông góc thì phương pháp này cũng t ra r t hi u qu . V n đ 5: Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a. G i E là đi m đ i x ng c a D qua trung đi m c a SA, M là trung đi m c a AE, N là trung đi m c a BC. Ch ng minh MN vuông góc v i BD va tính theo (a) kho ng cách gi a hai đư ng th ng MN và AC. (Trích đ thi đ i h c môn toán kh i B năm 2007) L i gi i: G i O là tâm hình vuông, K là trung đi m SA theo gi thi t ta có: SO⊥(ABCD). Do K v a là trung đi m SA v a −→ − 1− → 1 −→ −→ − −→ − − → −→ − là trung đi m DE nên t giác ADSE là hình bình hành.⇒ M A = SD = (SO + OD). Và AN = AO + ON = 2 2 − → 1 − −→ −→ − AO + (OC + OB). 2 − −→ −→ − −→ − → −→ − − Ta s ch n h vector như sau: OC = a, OD = b, SO = c. Ta s l n lư t bi u di n M N , BD theo các vector a, b, c E S M K A B O N K D C − → − → −→ 1 − − − 1 1 −→ − − → −→ − − Ta có: M N = M A + AN = (b + c) + (3a − b) = (3a + c). Và BD = 2b ⇒ M N .BD = b(3a + c) = 0 (Do các vector 2 2 2 www.MATHVN.com 6
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam a, b, c vuông góc t ng đôi m t nên tích vô hư ng gi a chúng s b ng 0) Đ tìm và tính đo n vuông góc chung gi a hai đư ng th ng MN và AC ta làm như sau: −→ − −→ x − −→ − −→ G i các đi m H ∈ M N và K ∈ AC sao cho: M H = xM N = (3a + c), AK = y AC = 2ya 2 − → − → − → −→ − − − − x 1 1 1 1 HK = HM + M A + AK = − (3a + c) + (b + c) + 2ya = (−3x + 4y)a + b − (x − 1)c (1) 2 2 2  2 2 − → − → = 0 − −  HK⊥M N HK.M N Đ HK là đo n vuông góc chung c a MN và AC thì: ⇔ −→ −− → HK⊥AC HK.AC = 0  3 (−3x + 4y)a2 − 1 (x − 1)c2 = 0   x − 1 = 0 −→ 1 − ⇔ 4 4 ⇔ ⇒ HK = b (Thay vào (1) ) −3x + 4y = 0 −3x + 4y = 0 2 √ −→ − 1 a 2 ⇒ HK = HK = b = 2 4 3 Nh n xét: T hê phương trình trên ta có th gi i ra và th y x = 1 nghĩa là đi m H ≡ N, y = nên đi m K là trung 4 đi m c a đo n OC. D dàng th y đư c đo n vuông góc chung gi a hai đư ng th ng MN và AC là NK. Lưu ý: Ngoài ra n u g p câu h i v kho ng cách t đi m t i m t ta có th d ng m t m t ph ng song song r i chuy n v tìm đo n vuông góc chung gi a hai đo n th ng b ng phương pháp trên. M t cách làm nghe có v "ngư c đ i" nhưng hoàn toàn có th th c hi n đư c b ng phương pháp trên. Ta xét ti p các v n đ k ti p s th y rõ hi u qu . V n đ 6: Cho hình h p đ ng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C=a. Tính th tích c a kh i t di n ABB’C’và kho ng cách t đi m A đ n m t ph ng (BCD’) theo a . (Trích đ tuy n sinh Đ i H c môn Toán kh i D năm 2012.) L i gi i: √ a 2 a Do ∆AA C vuông cân t i A nên ta tính đư c: AA = AC = và c nh c a hình vuông AB = 2 2 Theo đ bài AB⊥BB và AB⊥BC nên d dàng suy ra đư√ AB⊥(BB C C). √ c: 1 1 a 1 a a 2 a3 2 Suy ra: VABB C = .AB.S∆BB C = . . . . = . 3 3 2 2 2 2 48 A B D C K A' B' D' C' Đ tính kho ng cách t A đ n m t ph ng (BCD’) ta có th tính kho ng cách gi a hai đư ng đư ng AD và CD’ (vì www.MATHVN.com 7
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam (AD (BCD )). √ − −→ −→ − −→ − a a 2 2 Ta ch n h vector như sau: BA = a, AD = b, AA = c v i |a| = b = , |c| = . Hay c2 = 2 |a| . − → −→ − − − − −→ 2 2 Ta có: CD = CC + C D = a + c. −→ − −→ − −→− −→ − G i các đi m H ∈ AD và K ∈ CD sao cho: AH = xAD = xb, CK = y CD = y(a + c) − → −→ − − − → −→ −→ −→ − − − − −→ −→ − HK = HA + AC + AK = HA + BC − BA + AK = −xb + b − a + y(a + c) = (y − 1)a + (1 − x)b + yc (1) − → − = 0 − →   HK⊥AC HK.AC Đ HK là đo n vuông góc chung c a AD và CD’ thì: ⇔ −→ − → − − HK⊥CD HK.CD = 0   1 − x = 0 x = 1 −→ 1 − ⇔ ⇔ 1 ⇒ HK = (−2a + c) (th x, y vào t (1) ) y − 1 + 2y = 0 y = 3 3 √ −→ − 1 1 √ a 6 ⇒ HK = HK = (−2a + c)2 = . |a| . 4 + 2 = . 3 √ 3 6 a 6 V y d[A; (BCD )] = HK = . 6 Nh n xét: T h trên ta th y ngay đi m H ≡ D nên đo n vuông góc chung c a AD và CD’ là đo n DK cũng chính là đư ng cao k t đ nh D trong ∆CDD . √ V n đ 7: Cho hình lăng tr ABCD.A1 B1 C1 D1 có đáy ABCD là hình ch nh t. AB = a, AD = a 3. Hình chi u vuông góc c a đi m A1 trên m t ph ng (ABCD) trùng v i giao đi m c a AC và BD. Góc gi a hai m t ph ng (ADD1 A1 ) và (ABCD) b ng 60o . Tính th tích kh i lăng tr đã cho và kho ng cách t đi m B1 đ n m t ph ng (A1 BD) theo a . (Trích đ tuy n sinh Đ i H c môn Toán kh i B năm 2011.) L i gi i: G i O là tâm hình ch nh t ABCD và M là trung đi m AD ta d dàng ch ng minh đư c: A1 O⊥(ABCD), OM ⊥AD và A1 M ⊥AD nên góc gi a hai m t ph ng (ADD1 A1 ) và (ABCD) là (A1 M ; OM ) = A1 M O = 60o . √ √ o AB √ a 3 a 3 √ 3a2 ⇒ A1 O = OM.tan60 = . 3= . Suy ra VABCD.A1 B1 C1 D1 = A1 O.SABCD = .a.a 3 = . 2 2 2 2 Đ tính kho ng cách t đi m B1 đ n m t ph ng (A1 BD) ta có th chuy n v tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng A1 B1 H D1 O1 C1 A M φ B O D C www.MATHVN.com 8
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam B1 D1 và A1 B (vì B1 D1 (A1 BD) ). √ −→ − −− −→ −→ − a 3 3 2 Ta ch n h vector như sau: OD = a, B1 A1 = b, A1 O = c v i |a| = b = a, |c| = . Hay c2 = |a| . 2 4 1 D th y A1 B1 D1 = 60o nên suy ra (a; b) = 60o t đó lưu ý r ng a.b = .a2 −− −→ − → − → −→ − − − 2 Ta có: B1 D1 = 2a và A1 B = A1 O + OB = −a + c −− −→ −− −→ −− −→ −→− G i các đi m H ∈ B1 D1 và K ∈ A1 B sao cho: B1 H = xB1 D1 = 2xa, A1 K = y A1 B = y(−a + c) −→ −− − −→ − − − → −− −→ HK = HB1 + B1 A1 + A1 K = −2xa + b + y(−a + c) = −(2x + y)a + b + yc  (1) − → − − = 0 − −→  HK⊥B D HK.B1 D1 1 1 Đ HK là đo n vuông góc chung c a B1 D1 và A1 B thì: ⇔ −→ − →− − HK⊥A1 B HK.A1 B = 0 x = 1     −2(2x + y)a2 + 2a.b = 0 −2(2x + y) + 1 = 0 4x + 2y = 1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 4 (2x + y)a2 − a.b + yc2 = 0 2x + y − 1 + 3y = 0 2x + 7y = 1 y = 0 2 4 2 2 −→ − 1 −→− 1 1 2 1 Thay x, y vào (1) ta đư c: HK = − a + b ⇒ HK = HK = (− a + b)2 = a + a2 − a2 √ 2√ 2 4 2 a 3 a 3 = ⇒ d[B1 ; (A1 BD)] = HK = . 2 2 Nh n xét: T h trên ta có th th y đư c đi m H là trung đi m c a đo n O1 B1 (v i O1 là tâm c a hình ch nh t A1 B1 C1 D1 và K ≡ A1 nên đo n vuông góc chung tìm đư c đây là đo n A1 H. Đ t ng k t phương pháp ta s đi đ n v n đ cu i cùng và sau đó là m t vài bài t p t luy n đ các b n có th hi u và n m ch c phương pháp này. V n đ 8: Cho hình lăng tr tam giác đ u ABC.A’B’C’ .C nh đáy có đ dài là a, bi t góc gi a 2 đư ng th ng AB’ và BC’ là 60o . Tính th tính c a kh i lăng tr ABC.A’B’C và kho ng cách gi a hai đư ng th ng AB’ và BC’ theo a. L i gi i: −→ − → − − Đ x lí d ki n góc gi a hai đư ng th ng AB’ và BC’ ta s s d ng công th c: cos(AB ; BC ) = cos(AB ; BC ) = B C K A H B' C' A' www.MATHVN.com 9
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam −→ − → − − AB .BC 1 −→ − → = 2 . − − AB . BC − −→ −→ −→ − Ta ch n h vector như sau: AB = a, AC = b, AA = c và AB = AC = |a| = b = a a2 Đ ý r ng a.b = |a| . b .cos(a; b) = a.a.cos60o = . Do c vuông v i 2 vector a, b nên tích vô hư ng c a c đ i v i hai 2 vector này đ u b ng 0. −→ − → − − −→ − −→ − Ta bi u di n AB , BC theo các vector a, b, c. D th y AB = a + c và BC = −a + b + c −→ − → − − a2 −→ − √ −→ − √ AB .BC = −a2 + a.b + c2 = − + c2 . AB = a2 + c2 . BC = a2 + b2 + c2 − 2a.b = a2 + c2 . 2 a2 c2 − −→ − → − − 2 1 √ ⇒ cos(AB ; BC ) = cos(AB ; BC ) = 2 2 = ⇔ c = 0 (lo i) ho c c2 = 2a2 ⇒ |c| = a 2 a +c √ 2 √ √ a 3 a3 6 T đó ta có: VABC.A B C = AA .SABC = a 2. = . 4 4 Đ tìm và tính đo n vuông góc chung gi a hai đư ng th ng AB’ và BC’ ta làm như sau: −→ − −→ − −→ − −→ − G i các đi m H ∈ AB và K ∈ BC sao cho: AH = xAB = x(a + c), BK = y BC = y(−a + b + c) − → −→ − − − − → −→ − → − HK = HA + AB + BK = −x(a + c), + a + y(−a + b + c) = −(x + y − 1)a + y b + (y − x)c (1) − → − → = 0 − −   HK⊥AB HK.AB Đ HK là đo n vuông góc chung c a AB’ và BC’ thì: ⇔ −→ − → − − HK⊥BC HK.BC = 0  −(x + y − 1) + 1 y + 2(y − x) = 0  −(x + y − 1)a2 + a.b.y + (y − x)c2 = 0  ⇔ ⇔ 2 (x + y − 1)a2 + yb2 + (y − x)c2 − (x + 2y − 1)ab = 0 1 (x + y − 1) + y + 2(y − x) − (x + 2y − 1) = 0    2  3 −3x + y = −1 x =  5 ⇔ −3 2 ⇔ 9 1 y = 4   x + 3y =  2 2 9 −→ 1 − −→ − 1 1√ 1 √ Thay x, y vào (1) ta có: HK = (4b − c) ⇒ HK = HK = (4b − c)2 = . 16b2 + c2 = b . 16 + 2 √ 9 9 9 9 a 2 = . 3 T NG K T: Qua các ví d trên mình mu n cho các b n th y r ng m t bài toán hình h c không gian có th đư c gi i b ng nhi u cách t đó các b n có th ch n đư c phương pháp gi i phù h p đ bài trong m i trư ng h p c th . Chúc các b n ôn thi có k t qu cao và n m ch c đư c 1 đi m ph n hình h c không gian trong đ thi Đ i H c s p t i năm 2013. Sau cùng là m t vài bài t p cho các b n t luy n đ đánh giá m c đ nh n bi t. II. CÁC BÀI T P T LUY N T luy n 1: Cho hình lăng tr đ ng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, c nh bên AA’ = √ a 2. G i M là trung đi m c a c nh BC. Tính theo a th tích c a kh i lăng tr ABC.A’B’C’ và kho ng cách gi a hai đư ng th ng AM, B’C. (Trích đ tuy n sinh √ i H c môn Toán kh i D năm 2008). √ Đ a3 2 a 7 Đáp s : VABC.A B C = , d(AM ; B C) = . 2 7 √ T luy n 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh b ng 2a, SA=a, SB=a 3 và m t ph ng (SAB) vuông góc v i m t ph ng đáy. G i M, N l n lư t là trung đi m c a AB, BC. Tính th tích kh i chóp S.BMDN và tìm cosin c a góc gi a hai đư ng th ng SM, DN.(Trích đ tuy n sinh Đ i H c môn Toán kh i B năm 2008). √ √ a3 3 5 Đáp s : VS.BM DN = , cos(AM ; B C) = . 3 5 T luy n 3: Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’. Tìm s đo c a góc t p b i hai m t ph ng (BA’C) và (DAC).(Trích đ tuy n sinh Đ i H c môn Toán kh i A năm 2003). Đáp s : [(BA C); (D”AC)] = 60o √ T luy n 4: Cho kh i chóp S.ABCD có đáy là hình thoi c nh b ng a 5, AC= 4a và chi u cao c a hình chóp là SO √ = 2 2a, đây O là giao đi m c a AC và BD. G i H là trung đi m c a SC. Tìm góc và tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng SA và BM theo a.(Trích đ √ tuy n sinh Đ i H c môn Toán kh i A năm 2004). 2 6a Đáp s : (SA; BM ) = 30o , d(SA; BM ) = 3 T luy n 5: Cho hình l p phương ABCD.A1 B1 C1 D1 có c nh b ng a. Tìm kho ng cách gi a hai đư ng th ng A1 B và B1 D (Trích đ tuy n sinh Đ i H c môn Toán kh i B năm 2002). www.MATHVN.com 10
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam √ a 6 Đáp s : d(A1 B; B1 D) = 6 T luy n 6: Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’ c nh b ng a. G i M, N l n lư t là trung đi m c a AB và CD. Tìm kho ng cách gi a hai đư ng√ ng A’C và MN (Trích đ tuy n sinh Đ i H c môn Toán kh i A năm th a 2 2006). Đáp s : d(A C; M N ) = 4 T luy n 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i B, AB = a , BC =2a, c nh SA vuông góc v i đáy và SA= 2a. Xác đ nh và tính đ dài đo n vuông góc chung c a hai đư ng th ng AB và SC. √ Đáp s : d(AB; SC) = a 2. T luy n 8: Cho hình lăng tr ABC.A’B’C’ các m t bên đ u là các hình vuông c nh a. G i D, F l n lư t là trung đi m c a các c nh BC, B’C’. Tính kho ng cách gi a 2 đư ng th ng A’B và B’C’. √ a 21 Đáp s : d(A B; B C ) = . 7 T luy n 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a. Chân đư ng vuông góc h t S xu ng m t ph ng (ABC) là m t đi m thu c BC. Tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng BC và SA rheo a. Bi t SA= a và t o v i m t ph ng đáy m t √ 30o . góc a 3 Đáp s : d(BC; SA) = . 4 √ T luy n 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh b ng 4 2a, c nh bên SC vuông góc v i đáy và SC =2a. G i M,N l n lư t là trung đi m c a BC, AB. Tính góc và kho ng cách gi a hai đư ng th ng SM và CN. √ o 2 3a Đáp s : (SM ; CN ) = 45 , d(SM ; CN ) = . 3 T luy n 11: Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC có SA=4a. Đi m D n m trên c nh SC, CD=3a. Kho nh cách t A đ n BD b ng 2a. Tính th tích kh i chóp S.ABC theo a. √ 3 174 Đáp s : VS.ABC = a 16 √ T luy n 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình ch nh t tâm O. Bi t AB = a, BC = a 3, tam giác SAO cân t i S, m t ph ng (SAD) vuông góc v i đáy. Góc gi a SD và đáy b ng 60o . Tính th tính kh i chóp S.ABCD và kho ng cách gi a SB, AC theo a. 3a Đáp s : d(SB; AC) = 4 T luy n 13: Cho hình lăng tr đ ng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân t i A v i AB = AC = a và góc BAC = 120o , c nh bên BB’ = a. G i I là trung đi m c a CC’. Ch ng minh r ng tam giác AB’I vuông t i A. Tính cosin c a góc gi a hai m t ph ng (ABC) và (AB’I). √ 30 Đáp s : cos[(ABC); (AB I)] = . 10 Tài li u tham kh o: Đ tuy n sinh Đ i H c môn Toán các năm 2002 - 2012 c a B GD và ĐT. Phân d ng và phương pháp gi i các chuyên đ hình h c (Nguy n Phú Khánh - Nguy n T t Thu - Nguy n T n Siêng) Tài li u tham kh o trên internet. Ngư i vi t: iceage3 H t CHÚC CÁC B N THÀNH CÔNG www.MATHVN.com 11

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023

240 tài liệu

1117 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.