Hình vi phân

Chia sẻ: Trần Thị Thanh Hằng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Thêm vào BST

Báo xấu

99
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khi đó ( ) 0 0 , M r u v = là điểm chính qui của mặt ( ) S nếu hai véctơ ( ) ( ) 0 0 0 0 ' , , ' , u v r u v r u v độc lập tuyến tính. Nếu mặt ( ) S chính qui tại mọi điểm ( ) , M r u v = , với ( ) , u v U Î thì ( ) S là mặt chính qui....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hình vi phân

TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN – TIN HỌC Tài liệu hỗ trợ môn HÌNH VI PHÂN Trích bài giảng và bài tập của thầy Nguyễn Hà Thanh sinh viên thực hiện Nguyễn Thành An Học phần MẶT TRONG KHÔNG GIAN ¡3 Tp. Hồ chí minh – 8/2008
Phaàn 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Mặt tham số. Cho U là tập mở trong ¡ 2 , hàm véctơ r : U ® ¡ 3 là mặt tham số nếu r là ánh xạ khả vi ( u, v ) a r ( u, v ) trên U . Khi đó r (U ) là giá của mặt tham số. Hai mặt tham số r : U ® ¡ 3 , r : U ® ¡ 3 là tương đương nếu tồn tại vi phôi j : U ® U sao cho ~ ~ ~ r = r 0 j , ký hiệu r : r . Nếu hai mặt tham số tương đương với nhau thì giá của chúng trùng nhau. ~ ~ 2. Mặt đơn. Cho mặt ( S ) có tham số hóa r , nếu r đơn ánh thì ( S ) là mặt đơn. 3. Mặt chính qui. . Khi đó M = r ( u0 , v0 ) là điểm chính qui của Cho mặt ( S ) có tham số hóa r : U ® ¡3 ( u, v ) a r ( u, v ) mặt ( S ) nếu hai véctơ r 'u ( u0 , v0 ) , r 'v ( u0 , v0 ) độc lập tuyến tính. Nếu mặt ( S ) chính qui tại mọi điểm M = r ( u, v ) , với ( u, v ) Î U thì ( S ) là mặt chính qui. Điểm không chính qui là điểm kỳ dị. Tính chính qui của mặt ( S ) không phụ thuộc vào biểu diễn tham số (các bạn tự chứng minh). Nếu tại điểm M = r ( u0 , v0 ) là điểm chính qui của mặt ( S ) thì phương trình mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện tại điểm M ( x0 , y0 , z0 ) nhận r 'u ( u0 , v0 ) , r 'v ( u0 , v0 ) làm cặp véctơ chỉ phương có x - x0 y - y0 z - z0 dạng x 'u ( u0 , v0 ) y 'u ( u0 , v0 ) z 'u ( u0 , v0 ) = 0 . x 'v ( u0 , v0 ) y 'v ( u0 , v0 ) z 'v ( u0 , v0 ) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc tại điểm M = r ( u0 , v0 ) là pháp tuyến có y ' ( u , v ) z 'u ( u0 , v0 ) x - x0 y - y0 z - z0 = = với a, b, c được tính bởi a = u 0 0 phương trình , y 'v ( u0 , v0 ) z 'v ( u0 , v0 ) a b c z 'u ( u0 , v0 ) x 'u ( u0 , v0 ) x ' (u , v ) y 'u ( u0 , v0 ) b= , c= u 0 0 , hơn nữa không gian sinh bởi z 'v ( u0 , v0 ) x 'v ( u0 , v0 ) x 'v ( u0 , v0 ) y 'v ( u0 , v0 ) r 'u ( u0 , v0 ) , r 'v ( u0 , v0 ) tại điểm M = r ( u0 , v0 ) là không gian tiếp xúc với mặt ( S ) tại điểm M , U ký hiệu TM ( S ) . Khi đó T ( S ) = TM ( S ) là tập tất cả các không gian tiếp xúc. M Î( S ) 4. Đường trên mặt. 2
Cho mặt ( S ) chính qui có tham số hóa r : U ® ¡3 và (x ) là đường trong U có tham số ( u, v ) a r ( u, v ) ìu = u ( t ) ï , t Î I qua r cho ta đường cong (x ) Ì ( S ) có j : I ® ¡3 í . ïv = v ( t ) t a j (t ) = r (u (t ) , v (t )) î Ta khảo sát 2 trường hợp đặc biệt sau. ìu = u ( t ) r ï ¾¾ (x ) có j ( t ) = ( u ( t ) , v0 ) . Ta nói ® Trường hợp 1. v = v0 tương ứng với đường í ïv = v0 î đây là họ tham số thứ nhất trên mặt ( S ) . Các tiếp tuyến của đường tham số thứ nhất có phương là r 'u ( u, v ) . ìu = u0 ï ¾¾ (x ) có j ( t ) = ( u0 , v ( t ) ) . Ta nói ® Trường hợp 2. u = u0 tương ứng với đường í r ïv = v ( t ) î đây là họ tham số thứ hai trên mặt ( S ) . Các tiếp tuyến của đường tham số thứ hai có phương là r 'v ( u, v ) . 5. Mặt định hướng, véctơ pháp tuyến đơn vị trên mặt định hướng. Cho mặt ( S ) chính qui có tham số hóa r : U ® ¡ 3 , theo trên hai mặt tham số hóa gọi là ( u, v ) a r ( u, v ) ~ tương đương nếu tồn tại vi phôi j : U ® U r = r 0 j . Như ta đã biết ~ sao cho ~ ~ du dv r '~ Ù r '~ , nếu J > 0 thì ( S ) là mặt định hướng được. du dv r 'u Ù r 'v = ~ ~ u v ~ ~ du dv 1 24 43 dv du J r 'u Ù r 'v r 'u Ù r 'v ~ ~ Cho mặt ( S ) định hướng ta luôn có . Tại mọi điểm M = r ( u, v ) ta luôn có = r 'u Ù r 'v r 'u Ù r 'v ~ ~ r 'u Ù r 'v một véctơ đơn vị n ( u, v ) = là véctơ pháp tuyến đơn vị của ( S ) . r 'u Ù r 'v 6. Dạng toàn phương cơ bản thứ nhất. (S ) r : U ® ¡3 Cho mặt chính qui có tham số hóa . Xét dạng toàn phương ( u, v ) a r ( u, v ) I : TM ( S ) ® ¡ . Khi đó công thức dạng toàn phương cơ bản thứ nhất có dạng a a I ( a ) = a, a 3
E = ( r 'u ( u , v ) ) , I ( a ) = E ( au ) + 2 Fau av + G ( av ) 2 2 2 với đ ượ c xác định bởi E, F , G F = r 'u ( u , v ) .r 'v ( u , v ) , G = ( r 'v ( u , v ) ) . 2 Đối với dạng toàn phương cơ bản thứ nhất ta thường quen nhìn ở dạng I ( a ) = E ( du ) + 2 Fdudv + G ( dv ) . 2 2 7. Công thức tính độ dài cung trên mặt. Cho mặt ( S ) chính qui có tham số hóa r : U ® ¡ 3 và đường cong (x ) có tham số ( u, v ) a r ( u, v ) j ( t ) = r ( u ( t ) , v ( t ) ) , t Î [ a, b ] . Khi đó công thức tính độ mặt dài cung trên là b l = ò E ( u 't ) + 2 Fu 't v 't + G ( v 't ) dt , với E , F , G được xác định như trên. 2 2 a 8. Công thức góc giữa hai đường cong trên mặt. Cho mặt ( S ) chính qui có tham số hóa r : U ® ¡ 3 và hai đường cong ( u, v ) a r ( u, v ) (x1 ) có j1 ( t ) = r ( u1 ( t ) , v1 ( t ) ) ,j '1 ( t ) = r 'u u '1 + r 'v v '1 1 1 (x 2 ) có j2 ( t ) = r ( u2 ( t ) , v2 ( t ) ) ,j '2 ( t ) = r 'u u '2 + r 'v v '2 2 2 ( u1 , u2 , v1 , v2 đều lấy đạo hàm theo biến t ). (x1 ) (x 2 ) Khi đó công thức giữa 2 đường tính góc cong và là Eu '1 u '2 + F ( u '1 v '2 + u '2 v '1 ) + Gv '1 v '2 () · cos x1,x 2 = . E ( u '1 ) + 2 Fu '1 v '1 + G ( v '1 ) E ( u '2 ) + 2 Fu '2 v '2 + G ( v '2 ) 2 2 2 2 Trong trường hợp đặc biệt. j1 ( t ) = r ( u ( t ) , v0 ) , j 2 ( t ) = r ( u0 , v ( t ) ) (x1 ) (x 2 ) j '1 ( t ) = r 'u u 't , Nế u có có thì () · F j '2 ( t ) = r 'v v 't . Khi đó cos x1,x 2 = . EG 9. Ánh xạ Weingarten. ìr 'u ¾¾ h ( r 'u ) = -n 'u ® h ï Xét ánh xạ h : TM ( S ) ® TM ( S ) thỏa mãn í ïr 'v ¾¾ h ( r 'v ) = -n 'v ® h î và a Î TM ( S ) : a = au r 'u + av r 'v ¾¾ a = au ( -n 'u ) + av ( -n 'v ) = -au n 'u - av n 'v . ® h ta gọi ánh xạ h được xác định như trên là ánh xạ Weingarten (ánh xạ định dạng của ( S ) ). Khi đó det [ h ] là độ cong Gauss của ( S ) và các giá trị riêng của ma trận [ h ] gọi là độ cong chính. Nhận xét. h là ánh xạ tuyến tính, cách xác định ánh xạ tuyến tính h không phụ thuộc vào tham số. Ma trận của ánh xạ tuyến tính h là ma trận cấp 2, l là giá trị riêng của ma trận h nếu A - l I = 0 . Ánh xạ Weingarten là ánh xạ tuyến tính đối xứng, tự liên hợp. 4
10. Dạng toàn phương cơ bản thứ hai. Cho mặt ( S ) chính qui có tham số hóa r : U ® ¡ 3 ( u, v ) a r ( u, v ) Ánh xạ II : TM ( S ) ® TM ( S ) là dạng song tuyến tính đối xứng. Khi đó ( a, b ) a I ( a, b ) = h ( a ) .b = a.h ( b ) II ( a, a ) = a.h ( a ) = h ( a ) .a là dạng toàn phương cơ bản thứ hai có công thức dạng II ( a ) = L ( au ) + 2Mau av + N ( av ) , với L = -n 'u ( u , v ) r 'u ( u, v ) , 2 2 được tính bởi L, M , N M = -n 'u ( u , v ) r 'v ( u, v ) = -n 'v ( u, v ) r 'u ( u, v ) , N = -n 'v ( u, v ) r 'v ( u , v ) . Nếu mặt ( S ) có tham số hóa dạng r ( u , v ) = ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) thì L, M , N được tính x ''uu y ''uu z ''uu x ''uv y ''uv z ''uv 1 1 L= z 'u , M = z 'u , x 'u y 'u x 'u y 'u EG - F 2 EG - F 2 x 'v y 'v z 'v x 'v y 'v z 'v x ''vv y ''vv z ''vv 1 N= x 'u y 'u z 'u EG - F 2 x 'v y 'v z 'v 11. Độ cong pháp dạng. Lấy a Î TM ( S ) : a = au r 'u + av r 'v . Độ cong pháp dạng của ( S ) tại điểm M theo phương a II ( a ) L ( au ) + 2 Mau av + N ( av ) 2 2 được ký hiệu K M ( a ) và K M ( a ) = = . I ( a ) E ( au )2 + 2 Fau av + G ( av ) 2 Lưu ý. K M ( l a ) = K M ( a ) 12. Phương chính. Giả sử h là ánh xạ Weingarten của mặt ( S ) , a Î TM ( S ) , a ¹ 0 . Ta nói a là phương chính của mặt ( S ) nếu a là véctơ riêng của ma trận ánh xạ tuyến tính h hay h ( a ) = l a với l là độ cong chính. Thấy rằng a Î TM ( S ) : a = au r 'u ( u , v ) + av r 'v ( u , v ) ta sẽ xác định au , av dựa vào định thức -au av a 2v a 2u G = 0. E F L M N LN - M 2 EN + GL - 2 FM Khi đó K = là độ cong Gauss, H = là độ cong trung bình. ( ) EG - F 2 EG - F 2 2 5
( S ) ta Lưu ý. Việc tính độ cong chính của mặt có thể dựa vào phương trình ( EG - F ) l - ( EN + LG - 2MF ) l + ( LN - M ) = 0 để ý rằng K = l .l , H = l + l 2 2 2 1 2 . 1 2 2 13. Phân loại điểm trên mặt. (S ) chính qui có tham số hóa r : U ® ¡ 3 Cho mặt và độ cong Gauss tại điểm ( u, v ) a r ( u, v ) LN - M 2 A = r ( u , v ) Î ( S ) có công thức K = , độ cong chính tương ứng là l1 , l2 . EG - F 2 Nếu K > 0 thì A là điểm Eliptic. Nếu K < 0 thì A là điểm Hyperbolic. Nếu K = 0 thì A là điểm Parabolic. Nếu l1 = l2 thì A là điểm rốn. Nếu l1 = l2 ¹ 0 thì A là điểm cầu. Nếu l1 = l2 = 0 thì A là điểm dẹt. Phaàn 2 BÀI TẬP MINH HỌA Bài 1. Viết phương trình tham số hóa của các mặt tròn xoay sau trong ¡ 3 . a) Mặt Elipxoit tròn xoay. b) Mặt Hyperboloit 1 tầng tròn xoay. c) Mặt Hyperboloit 2 tầng tròn xoay. d) Mặt Paraboloit tròn xoay. Giải. x2 y 2 z 2 a) Phương trình Elipxoit tròn xoay quay quanh trục ( 0 x ) có dạng + + = 1. a 2 b2 b2 ì2 x2 y2 ì x = a. cos u.cos v ïcos u = 2 + 2 ï ï a b í y = b.cos u.sin v . Đặ t í . Khi đó ta được 2 ïsin 2 u = z ï z = b.sin u î ï î b2 Do vậy phương trình tham số hóa của mặt Elipxot tròn xoay quay quanh trục ( 0 x ) là r ( u , v ) = ( a.cos u.cos v, b.cos u.cos v, b.sin u ) . x2 y2 z 2 Phương trình Elipxoit tròn xoay khi quay quanh trục ( 0 y ) có dạng + + = 1 . Tương a2 b2 a2 tự như trên cho ta phương trình tham số hóa của mặt Elipxoit tròn xoay quay quanh trục ( 0 y ) là r ( u , v ) = ( a.cos u.cos v, b.cos u.cos v, a.sin u ) . x2 y 2 z 2 b) Phương trình Hyperboloit 1 tầng tròn xoay có dạng 2 - 2 + 2 = 1 . a b a 6
ì2 x2 y 2 ì x = a. cos u.chv ïcos u = 2 - 2 ï ï a b í y = b.cos.shv . Do vậy phương trình tham số hóa Đặ t í . Khi đó ta được 2 ïsin 2 u = z ï z = a.sin u î ï î a2 của Hyperboloit 1 tầng tròn xoay là r ( u , v ) = ( a.cos u.chv, b.cos u.shv, a.sin u ) . x2 y 2 z 2 c) Phương trình Hyperboloit 2 tầng tròn xoay có dạng 2 - 2 - 2 = 1 . a b b ì2 x2 y 2 ì x = a.chu.chv ïch u = - ï ï a 2 b2 í y = b.chu.shv . Do vậy phương trình tham số hóa của Đặ t í . Khi đó ta được z2 ï sh 2u = ï z = b.shu î ï î a2 Hyperboloit 2 tầng tròn xoay là r ( u , v ) = ( a.chu.chv, b.chu.shv, a.shu ) . d) Phương trình Parabolit tròn xoay có dạng x 2 + y 2 = 2 pz . ì 12 ïz = 2 p u ï ï Đặt í x = u.cos v . Khi đó phương trình tham số hóa của Paraboloit tròn xoay là ï y = u.sin v ï ï î æ 1 2ö r ( u , v ) = ç u.cos v, u. sin v, u ÷. è 2p ø Bài 2. Cho U = [ 0, 2p ] ´ [ 0, 2p ] và hai hàm véctơ r : U ® I Ì ¡ 3 , r : U = U ® ¡ 3 xác định bởi ~ ~ ìr ( u , v ) = ( ( 2 + cos u ) cos v, ( 2 + cos u ) sin v,sin u ) ï công thức í ~ ææ ~ö ~ö ~æ ~ö ïr ( u , v ) = ç ç 2 + cos v ÷ cos u , ç 2 + cos v ÷ sin u ,sin v ÷ ~ èè ø è ø ø î ~æ ~ ö a) Chứng minh rằng r và r là các mặt tham số hóa và r (U ) = r ç U ÷ . ~ èø b) r và r có tương đương không? Vì sao? ~ Giải. a) Dễ dàng kiểm tra được r , r là 2 ánh xạ khả vi vì các hàm cos, sin u là các hàm số sơ cấp. ~ ~æ ~ ö Do U = U nên r (U ) = r ç U ÷ . ~ èø 7
~ b) Giả sử r và r tương đương tức là tồn tại phép biến đổi tham số j : U ® U sao cho r = r0j . ~ ~ æ ¶j 1 ö ¶j 1 ç~ ÷ ¶u ¶~ ~ v Khi đó j là vi phôi bảo toàn hướng từ U lên U tức là det J j > 0 với Jj = ç ÷. ç ¶j 2 ÷ ¶j 2 ç~ ÷ è ¶u ¶~ ø v æ æ ~ ~ö æ ~ ~ öö ~æ ~ ~ö æ ~ ~ö ~æ ~ ~ö Ta lại có r ç u, v ÷ = ( r0j ) ç u, v ÷ Û r ç u , v ÷ = r ç j 1 ç u , v ÷ ,j 2 ç u , v ÷ ÷ è ø è ø è ø èè ø è øø ìæ æ 1 æ ~ ~ öö ~ö 2æ ~ ~ö ïç 2 + cos v ÷ cos u = ç 2 + cosj ç u , v ÷ ÷ cosj ç u , v ÷ ~ ïè ø è øø è ø è ì 1æ ~ ~ ö ~ ïj ç u , v ÷ = v ïæ æ æ ~ ~ öö ï ïè ø ~ö æ ~ ~ö Û íç 2 + cos v ÷ sin u = ç 2 + cosj 1 ç u , v ÷ ÷ sin j 2 ç u , v ÷ . Suy ra ~ í ïè ø è øø è ø ïj 2 æ u , v ö = u è ~~ ~ ç ÷ ï~ ïè ø î 1æ ~ ~ ö ïsin u = sin j ç u , v ÷ è ø ï î æ1 1 ö Do đó Jj = ç ÷ có det J j = -1 < 0 (mâu thuẫn). è 1 0ø Vậy ta có điều cần chứng minh. ( ) Bài 3. Cho U mở trong ¡ , mặt ( S ) có r : U ® ¡ 3 xác định bởi r ( u , v ) = u , v, u 2 - v 2 , với mọi ( u, v ) Î U . a) Chứng minh r là tham số hóa chính qui. b) Tìm giao tuyến giữa mặt phẳng tiếp xúc (p ) tại điểm A = r ( 0,1) với mặt ( S ) . Giải. a) Xét tại điểm tùy ý A = r ( u , v ) Î U . Lấy đạo hàm theo biến u , v cho ta r 'u ( u, v ) = (1,0, 2u ) , r 'v ( u, v ) = ( 0,1, -2v ) . Suy ra ( r 'u Ù r 'v ) ( u, v ) = ( -2u , 2v,1) Theo trên ta lại được ( r 'u Ù r 'v ) ( u , v ) = 4u 2 + 4v 2 + 1 ¹ 0, " ( u , v ) Î U . Do đó 2 véctơ r 'u ( u , v ) , r 'v ( u , v ) độc lập tuyến tính. Vậy r là tham số hóa chính qui hay ( S ) là mặt chính qui. (p ) A = r ( 0,1) Î ( S ) b) Phương trình mặ t phẳng tiếp tại dạng xúc có là ì A = r ( 0,1) = ( x0 , y0 , z0 ) = ( 0,1, -1) x - x0 y - y0 z - z0 ï y 'u ( 0,1) z 'u ( 0,1) = 0 (3.1), trong đó í x 'u ( 0,1) = 1, y 'u ( 0,1) = 0, z 'u ( 0,1) = 0 . x 'u ( 0,1) ï x 'v ( 0,1) y 'v ( 0,1) z 'v ( 0,1) î x 'v ( 0,1) = 0, y 'v ( 0,1) = 1, z 'v ( 0,1) = -2 8
y -1 z +1 x 0 = 0 hay 2 y + z - 1 = 0 . Thế vào (3.1) ta được 1 0 -2 0 1 Do vậy phương trình mặt phẳng tiếp xúc (p ) là 2 y + z - 1 = 0 . ìx = u ï Lấy M ( x, y , z ) Î r ( u , v ) Û í y = v . Khi đó mặt ( S ) : z = x 2 - y 2 . ï îz = u - v 2 2 éì x + y - 1 = 0 êí î2 y + z - 1 = 0 ì z = x2 - y2 suy ra ê Từ đó cho ta í êì x - y + 1 = 0 î2 y + z - 1 = 0 êí ê î2 y + z - 1 = 0 ë Do vậy giao tuyến giữa mặt phẳng tiếp xúc (p ) với ( S ) là cặp đường thẳng có phương trình éì x + y - 1 = 0 êí ê î2 y + z - 1 = 0 . êì x - y + 1 = 0 êí ê î2 y + z - 1 = 0 ë Bài 4. Trong ¡3 với mục tiêu trực chuẩn 0 xyz cho ( P ) : y = 0, z = ax 2 a) Viết phương trình mặt tròn xoay sinh ra khi ( P ) quay quanh trục 0 z . b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc tại điểm tùy ý của mặt tròn xoay. Giải. ì2 1 ïx = z 1 a quanh trục 0 z cho ta mặt tròn xoay ( S ) có phương trình x + y = z . a) Quay ( P ) : í 2 2 a ïy = 0 î ( ) b) Phương trình tham số hóa của mặt ( S ) là r ( u , v ) = u cos v, u sin v, au 2 . A = r ( u0 , v0 ) Î ( S ) (p ) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc tại điểm có dạng x - x0 y - y0 z - z0 x 'u ( u0 , v0 ) y 'u ( u0 , v0 ) z 'u ( u0 , v0 ) = 0 (4.1). x 'v ( u0 , v0 ) y 'v ( u0 , v0 ) z 'v ( u0 , v0 ) ( ) Với A = r ( u0 , v0 ) = ( x0 , y0 , z0 ) = u0 cos v0 , u0 sin v0 , au0 2 r 'u ( u0 , v0 ) = ( x 'u , y 'u , z 'u ) = ( cos v0 ,sin v0 , 2au0 ) r 'v ( u0 , v0 ) = ( x 'v , y 'v , z 'v ) = ( -u0 sin v0 , u0 cos v0 ,0 ) . ( )( ) Thế vào (4.1) cho ta mặt phẳng (p ) là 2au0 2 cos v0 x + 2au0 2 sin v0 y - u0 z - au03 = 0 . 9
Bài 5. Cho f là hàm trơn trên tập mở U Ì ¡ 2 và mặt ( S ) có tham số hóa r : U ® ¡ 3 xác định bởi r ( u , v ) = ( u , v, f ( u , v ) ) , với mọi ( u, v ) Î U . a) Tìm dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của r . b) Tính độ cong Gauss K của ( S ) tại một điểm tùy ý. Giải. a) Dạng cơ bản thứ nhất của r có dạng I ( a ) = E ( au ) + 2 Fau av + G ( av ) (5.1) 2 2 Với E = ( r 'u ( u , v ) ) = 1 + ( f 'u ) , F = r 'u ( u, v ) r 'v ( u, v ) = f 'u . f 'v 2 2 G = ( r 'v ( u , v ) ) = 1 + ( f 'v ) . 2 2 Thế vào (5.1) ta được I ( a ) = é1 + ( f 'u ) ù ( au ) + 2 f 'u f 'v au av + é1 + ( f 'v ) ù ( av ) . 2 2 2 2 ë û ë û Dạng cơ bản thứ hai của r có dạng II ( a ) = L ( au ) + 2Mau av + N ( av ) (5.2). 2 2 x ''uu y ''uu z ''uu f ''u 1 Vớ i L = z 'u = x 'u y 'u 1 + ( f 'u ) + ( f 'v ) EG - F 2 2 2 x 'v y 'v z 'v x ''uv y ''uv z ''uv f ''uv 1 M= z 'u = x 'u y 'u 1 + ( f 'u ) + ( f 'v ) EG - F 2 2 2 x 'v y 'v z 'v x ''vv y ''vv z ''vv f ''vv 1 N= z 'u = x 'u y 'u 1 + ( f 'u ) + ( f 'v ) EG - F 2 2 2 x 'v y 'v z 'v ( f '' ( a ) ) 1 + 2 f ''uv au av + f ''v ( av ) . Thế vào (5.2) ta được II ( a ) = 2 2 u u 1 + ( f 'u ) + ( f 'v ) 2 2 LN - M 2 b) Độ cong Gauss tại một điểm tùy ý được tính theo công thức K = theo câu a) ta EG - F 2 f ''u f ''v - ( f ''uv ) 2 đ ượ c K = . 1 + ( f 'u ) + ( f 'v ) 2 2 Bài 6. Cho U = [ 0, 2p ] ´ [ 0, 2p ] và mặt xuyến ( S ) có r : U ® ¡ 3 xác định bởi công thức r ( u , v ) = ( ( 2 + cos u ) cos v, ( 2 + cos u ) sin v,sin u ) a) Xác định các đường tọa độ r ( u , v0 ) , r ( u0 , v ) của r . æp ö b) Lập phương trình tổng quát của các mặt phẳng tiếp xúc tại 2 điểm A = r ( 0,0 ) , B = r ç ,0 ÷ . è2 ø Giải. 10
ìu = u ( t ) r ï ¾¾ (x ) . Với mọi điểm M Î (x ) cho ta a) Với v = v0 tương ứng với đường í ® ïv = v0 î ì x = ( 2 + cos u ) cos v0 ì x sin v0 - y cos v0 = 0 ï í y = ( 2 + cos u ) sin v0 suy ra í î z - sin u = 0 ï z = sin u î ì x sin v0 - y cos v0 = 0 Do vậy họ tham số v = v0 là những đường thẳng có phương trình í . Khi z - sin u = 0 î v0 thay đổi các đường thẳng này tạo thành lưới tọa độ thứ nhất. ìu = u0 ï ¾¾ (x ) . Với mọi điểm M Î (x ) cho ta ® Với u = u0 tương ứng với đường í r ïv = v ( t ) î ì x = ( 2 + cos u0 ) cos v ì x 2 + y 2 = ( 2 + cos u0 )2 ï ï í y = ( 2 + cos u0 ) sin v suy ra í . Do vậy họ tham số u = u0 là những z - sin u0 = 0 ï ï z = sin u î î 0 đường tròn giao giữa mặt phẳng z - sin u0 = 0 và mặt trụ. Khi u0 thay đổi các đường thẳng này tạo thành lưới tọa độ thứ hai. (p A ) tại điểm A = r ( 0,0 ) Î ( S ) b) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc có dạng ì( x0 , y0 , z0 ) = ( 3,0, 0 ) x - x0 y - y0 z - z0 ï với ír 'u ( 0, 0 ) = ( 0,0,1) . x 'u ( 0,0 ) y 'u ( 0,0 ) z 'u ( 0,0 ) = 0 (6.1) ï x 'v ( 0, 0 ) y 'v ( 0,0 ) z 'v ( 0,0 ) îr 'v ( 0, 0 ) = ( 0,3,0 ) Thế vào (6.1) cho ta phương trình mặt phẳng là x - 3 = 0 . æp ö Tương tự phương trình mặt phẵng tiếp xúc (p B ) tại điểm B = r ç ,0 ÷ Î ( S ) là x + z - 3 = 0 . è2 ø Bài 7. Cho U = [ 0, 2p ] ´ [ 0, 2p ] Ì ¡ 2 và mặt giả cầu ( S ) có r : U ® ¡ 3 xác định bởi công thức æ u öö æ r ( u , v ) = ç a sin u cos v, a sin u sin v, a ç cos u + ln tan ÷ ÷ . è 2 øø è a) Xác định dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của mặt ( S ) . b) Tính độ cong Gauss, độ cong trung bình, độ cong chính của ( S ) . c) Xác định các điểm Hyperbolic, Eliptic và Parabolic của ( S ) . Giải. a) Dạng cơ bản nhất của mặt ( S ) có dạng I ( a ) = E ( au ) + 2 Fau av + G ( av ) (7.1). 2 2 Với E = ( r 'u ( u , v ) ) = a 2 cot an 2u , F = r 'u ( u , v ) r 'v ( u , v ) = 0, G = ( r 'v ( u , v ) ) = a 2 sin 2 u . 2 2 11
Thế vào (7.1) cho ta I ( a ) = a 2 cot an 2u ( au ) + a 2 sin 2 u ( av ) . 2 2 Dạng cơ bản thứ hai của mặt ( S ) có dạng II ( a ) = L ( au ) + 2Mau av + N ( av ) (7.2). 2 2 Với L = -n 'u ( u, v ) r 'u ( u, v ) = -a cot anu, M = -n 'u ( u , v ) r 'v ( u, v ) = 0 1 N = -n 'v ( u , v ) r 'v ( u , v ) = a sin 2u . 2 æ1 ö Thế vào (7.2) cho ta II ( a ) = ( -a cot anu ) ( au ) + ç a sin 2u ÷ ( av ) . 2 2 è2 ø LN - M 2 1 b) Độ cong Gauss được tính theo công thức K = theo câu a) ta tính được K = - . EG - F 2 a EN + LG - 2 FM Độ cong trung bình được tính theo công thức H = theo câu a) ta tính được ( ) EG - F 2 aæ ö 1 H= ç - cot anu + sin 2u ÷ . 2è ø 2 Độ cong chính l của mặt ( S ) tại một điểm tùy ý là nghiệm của phương trình ( EG - F ) l - ( EN + LG - 2MF ) l + ( LN - M ) = 0 (7.3) theo câu a) ta thế vào (7.3) cho 2 2 2 ta phương trình a 2 cosul 2 - a ( sin u - cos u cot anu ) l - cosu = 0 điều kiện cos u ¹ 0 . é a a ( sin u - cos u cot anu ) + ê sin u ê l1 = a2 2 > 0 khi u ¹ 0, p , 2p cho ta 2 nghiệm ê 2a cos u Vớ i D = ê 2 sin u a a ( sin u - cos u cot anu ) - ê êl = sin u ê ë 2 2 2a cos u é a a ( sin u - cos u cot anu ) + ê sin u ê l1 = p 3p 2 Vậy độ cong chính của mặt là ê 2a cos u khi u ¹ 0, , p , , 2p . ê 2 2 a a ( sin u - cos u cot anu ) - ê êl = sin u ê ë 2 2 2a cos u 1 < 0 với mọi ( u , v ) Î U nên điểm nào của mặt ( S ) luôn là điểm Hyperbolic. c) Vì K = - a Bài 8. Cho mặt tròn xoay ( S ) có tham số hóa r ( u , v ) = (j ( u ) cos v, j ( u ) cos u , x ( u ) ) , với j , x là các hàm một biến trơn thỏa j > 0, (j ') + (x ') ¹ 0 . 2 2 a) Xác định các dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của ( S ) . b) Tính độ cong Gauss tại điểm tùy ý của ( S ) . 12
Giải. a) Dạng cơ bản thứ nhất có công thức dạng I ( a ) = E ( au ) + 2 Fau av + G ( av ) (8.1). 2 2 Ta lại có r 'u ( u , v ) = (j 'cos v, j 'cos u - j ( u ) sin u , x ') , r 'u ( u , v ) = ( -j ( u ) sin v, 0,0 ) Suy ra E = ( r 'u ( u , v ) ) = (j 'cos v ) + (j 'cos u - j ( u ) sin u ) + (x ') 2 2 2 2 F = r 'u ( u , v ) r 'v ( u , v ) = -j 'j ( u ) sin v cos v , G = ( r 'v ( u , v ) ) = (j ( u ) sin v ) 2 2 Thế vào (8.1) ta được I ( a ) = é(j 'cos v ) + ( j 'cos u - j ( u ) sin v ) + (x ') ù ( au ) + 2 2 2 2 ë û 2 ( -j 'j ( u ) sin v cos v ) au av + (j ( u ) sin v ) ( av ) 2 2 Dạng cơ bản thứ hai có công thức dạng II ( a ) = L ( au ) + 2Mau av + N ( av ) (8.2). 2 2 Hơn nữa r ''u ( u , v ) = (j ''cos v,j ''cos u - j ' ( sin u + cos u ) - j ( u ) cos u , x '') r ''uv ( u , v ) = ( -j 'sin v,0,0 ) , r ''v ( u , v ) = ( -j ( u ) sin v,0,0 ) Suy ra M = 0, N = 0 thế vào (8.2) cho ta II ( a ) = L ( au ) , với L được tính như trên. 2 LN - M 2 b) Độ cong Gauss được tính theo công thức K = theo câu a) ta được K = 0 . EG - F 2 Bài 9. Cho U = [ 0, 2p ] ´ [ 0, 2p ] Ì ¡ 2 và mặt xuyến ( S ) có r : U ® ¡ 3 xác định bởi công thức r ( u , v ) = ( ( 2 + cos u ) cos v, ( 2 + cos u ) sin v,sin u ) , với mọi ( u, v ) Î U . a) Xác định các dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của ( S ) . b) Tìm phương chính, độ cong Gauss và độ cong chính của ( S ) . c) Xác định các điểm Hyperbolic, Eliptic và Parabolic của ( S ) . d) Trên ( S ) có điểm rốn không? Tại sao? Giải. a) Dạng cơ bản thứ nhất có công thức dạng I ( a ) = E ( au ) + 2 Fau av + G ( av ) (9.1). 2 2 Với E = ( r 'u ( u , v ) ) = 1, F = r 'u ( u , v ) r 'v ( u , v ) = 0, G = ( r 'v ( u , v ) ) = ( 2 + cos u ) . 2 2 2 Thế vào (9.1) cho ta công thức dạng cơ bản thứ nhất là I ( a ) = ( au ) + ( 2 + cosu ) ( av ) . 2 2 2 Dạng cơ bản thứ hai có công thức dạng II ( a ) = L ( au ) + 2Mau av + N ( av ) (9.2) 2 2 Với r ''u ( u , v ) = ( - cos u cos v, - cos u sin v, - sin u ) , r ''uv ( u , v ) = ( sin u sin v, - sin u cos v,0 ) r ''v ( u , v ) = ( - ( 2 + cos u ) cos v, - ( 2 + cos u ) sin v,0 ) nên theo công thức tính L, M , N cho ta L = 1, M = 0, N = 2cos u + cos 2 u . ( ) Thế vào (9.2) ta công thức dạng cơ bản thứ hai là II ( a ) = ( au ) + 2cos u + cos 2u ( av ) . 2 2 13
LN - M 2 b) Độ cong Gauss được tính theo công thức K = theo kết quả câu a) ta được EG - F 2 K = cos u . (S ) Theo lý thuyết ta biết rằng độ cong chính của mặt là nghiệm của phương trình ( EG - F ) l - ( EN + LG - 2MF ) l + ( LN - M ) = 0 theo kết quả câu a) cho ta phương 2 2 2 él = 1 trình ( 2 + cos u ) l - ( 2cos u + 2 ) l + cos u = 0 suy ra ê . Do vậy độ cong chính 2 ê l = cos u 2 + cos u ë él = 1 của mặt ( S ) tại điểm bất kỳ là ê . ê l = cos u 2 + cos u ë Gọi phương chính của mặt ( S ) tại điểm bất kỳ là a = au r 'u ( u , v ) + av r 'v ( u , v ) (9.3). ( av ) ( au ) 2 2 -au av = 0 và kết quả câu a) ta được au av = 0 . Dựa vào E F G L M N Trường hợp 1. au = 0 suy ra a = ( - av ( 2 + cos u ) sin v, av ( 2 + cos u ) cos v,0 ) nên ta có thể chọn phương chính tại điểm bất kỳ là a = ( - ( 2 + cos u ) sin v, ( 2 + cos u ) cos v,0 ) . Trường hợp 2. av = 0 suy ra a = ( - au sin u cos v, - au sin u sin v, au cos u ) nên ta có thể chọn phương chính tại điểm bất ký là a = ( - sin u cos v, - sin u sin v, cos u ) . æ p pö æ p pö c) Nếu K > 0 Û cos u > 0 Û u Î ç - , ÷ thì tại mọi điểm A = r ( u , v ) thỏa u Î ç - , ÷ là è 2 2ø è 2 2ø điểm Eliptic. æ p 3p ö æ p 3p ö Nếu K < 0 Û cos u < 0 Û u Î ç , ÷ thì tại mọi điểm A = r ( u , v ) thỏa u Î ç , ÷ là è2 2 ø è2 2 ø điểm Hyperbolic. p Nếu K = 0 Û cos u = 0 Û u = + kp , k Î ¢ thì tại mọi điểm A = r ( u, v ) thỏa 2 p u = + kp , k Î ¢ là điểm Parabolic 2 cos u d) Giả sử mặt ( S ) có điểm rốn tức là l1 = l2 Û 1 = (vô lí). Vậy mặt ( S ) không có 2 + cos u điểm rốn. 14
(S ) trong ¡ 3 được tham số hóa sao cho dạng cơ bản thứ nhất có dạng Bài 10. Cho mặt 1 æ 2ö 1 I ( a ) = ( au ) + G ( av ) . Chứng minh rằng độ cong Gauss của ( S ) cho bởi K = - 1 ç G ÷ . 2 2 G 2 è øuu Giải. Như ta đã biết độ cong Gauss tại một điểm tùy ý được tính theo công thức 1 æ ¶ æ 1 ¶E ö ¶ æ 1 ¶G ö ö K= . ÷+ ç çç ÷÷ . 2 EG è ¶v è EG ¶v ø ¶u è EG ¶u ø ø æ 1ö çG2 ÷ 1 æ ¶ æ 1 ¶G ö ö 1 æ 1 2ö è øuu 1 ÷ ÷ = G ç - 2 Guu + 4G ( Gu ) ÷ = - Theo giả thiết ta có E = 1 nên K = - çç . 2 G è ¶u è G ¶u ø ø è ø 1 2 G Bài 11. Mặt trong ¡ 3 gọi là mặt tối tiểu nếu độ cong trung bình triệt tiêu tại mọi điểm. Chứng æ ö u u minh rằng mặt ( S ) có tham số hóa r ( u , v ) = ç a.ch .cos v, a.ch .sin v, u ÷ là mặt tối tiểu. è ø a a EN + LG - 2 FM Giải. Độ cong trung bình tại một điểm bất kỳ có công thức là H = (11.1). ( ) 2 EG - F 2 æu ö æ ö u u u Ta lại có r 'u ( u , v ) = ç sh .cos v, sh .sin v,1÷ , r 'v ( u , v ) = ç - a.ch .sin v, a.ch .cos v,0 ÷ èa ø è ø a a a æ1 u ö æ ö 1u u u r ''u ( u , v ) = ç ch .cos v, ch .sin v, 0 ÷ , r ''uv ( u , v ) = ç - sh .sin v, sh .cos v,0 ÷ èa a ø è ø aa a a æ ö u u r ''v ( u , v ) = ç -a.ch .cos v, -a.ch .sin v,0 ÷ è ø a a 2 2 æ uö æ uö a2 1 Suy ra E = ç sh ÷ + 1, F = 0, G = a 2 ç ch ÷ và L = - , M = 0, N = è aø è aø a a Thế vào (11.1) ta được H = 0 tức là mặt ( S ) là mặt tối tiểu. Bài 12. Cho mặt tham số hóa ( S ) trong ¡3 có r ( u , v ) = ( u cos v, u sin v, u + v ) . a) Xác định các dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai và độ cong Gauss của ( S ) . b) Tìm độ cong chính và phương chính của ( S ) tại điểm A ( 0,0 ) . Giải. a) Dạng cơ bản thứ nhất có công thức dạng I ( a ) = E ( au ) + 2 Fau av + G ( av ) (12.1). 2 2 Với E = ( r 'u ( u , v ) ) = 2, F = r 'u ( u , v ) r 'v ( u , v ) = 1, G = ( r 'v ( u , v ) ) = u 2 + 1 . 2 2 ( ) Thế vào (12.1) công thức dạng cơ bản thứ nhất là I ( a ) = 2 ( au ) + 2au av + u 2 + 1 ( av ) . 2 2 Dạng cơ bản thứ hai có công thức dạng II ( a ) = L ( au ) + 2 Mau av + N ( av ) (12.2). 2 2 15
r ''u ( u , v ) = ( 0,0,0 ) , r ''uv ( u , v ) = ( - sin v,cos v,0 ) , r ''v ( u , v ) = ( -u cos v, -u sin v,0 ) Vớ i nên 1 u theo công thức tính L, M , N cho ta L = 0, M = - ,N = - . 2u 2 + 1 2u 2 + 1 2 u ( av ) Thế vào (12.2) công thức dạng cơ bản thứ hai là II ( a ) = - 2 au av - . 2u + 1 2u + 1 2 2 b) Theo lý thuyết ta biết rằng độ cong chính của mặt ( S ) tại điểm A = r ( 0,0 ) là nghiệm của ( ) ( ) phương trình EG - F 2 l 2 - ( EN + LG - 2 MF ) l + LN - M 2 = 0 (12.3). Tại điểm A = r ( 0,0 ) cho ta E = 2, F = 1, G = 1 và L = 0, M = -1, N = 0 é l = -1 + 2 Thế vào (12.3) cho ta phương trình l 2 + 2l - 1 = 0 suy ra ê 1 . ê l2 = -1 - 2 ë Gọi phương chính của mặt ( S ) tại điểm A = r ( 0,0 ) là a = au r 'u ( 0,0 ) + av r 'v ( 0,0 ) (12.4). Với r 'u ( 0,0 ) = (1,0,1) , r 'v ( 0,0 ) = ( 0,0,1) , tại điểm A = r ( 0,0 ) ta được E = 2, F = 1, G = 1 và ( av ) ( au ) 2 2 -au av = 0 ta được 2 ( au ) - ( av ) = 0 . 2 2 L = 0, M = -1, N = 0 dựa vào E F G L M N é a = 2au Suy ra ê v ê av = - 2au ë ( )) ( Trường hợp 1. av = 2au suy ra phương chính a = au ,0, 1 + 2 au nên ta có thể chọn ( ) phương chính là a = 1,0,1 + 2 . ( )) ( Trường hợp 2. av = - 2au suy ra phương chính a = au ,0, 1 - 2 au nên ta có thể chọn ( ) phương chính là a = 1,0,1 - 2 . æ yö Bài 13. Chứng minh rằng các mặt phẳng tiếp xúc (p ) với mặt ( S ) : z = x. f ç ÷ luôn đi qua một èxø điểm cố định. ì ïx = u ï æ æ v öö ï cho ta tham số hóa của mặt ( S ) là r ( u , v ) = ç u , v, u. f ç ÷ ÷ . Giải. Đặt í y = v è u øø è ï ævö ï z = u. f ç ÷ ï èuø î 16
M = r ( u0 , v0 ) Î ( S ) (p ) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc tại điểm có dạng là x - x0 y - y0 z - z0 x 'u ( u0 , v0 ) y 'u ( u0 , v0 ) z 'u ( u0 , v0 ) = 0 (13.1). x 'v ( u0 , v0 ) y 'v ( u0 , v0 ) z 'v ( u0 , v0 ) æ æ v0 ö ö æ æ v0 ö v0 æ v0 ö ö Với ( x0 , y0 , z0 ) = ç u0 , v0 , u0 . f ç ÷ ÷ , r 'u ( u0 , v0 ) = ( x 'u , y 'u , z 'u ) = ç1,0, f ç ÷- f 'ç ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ è u0 ø ø è u0 ø u0 è u0 ø ø è è æ æ v öö r 'v ( u0 , v0 ) = ( x 'v , y 'v , z 'v ) = ç 0,1, f 'ç 0 ÷ ÷ . ç ÷ è u0 ø ø è év æ v öù æv ö æv ö Thế vào (13.1) cho ta ê 0 f ' ç 0 ÷ - f ç 0 ÷ ú x - f ' ç 0 ÷ y + z = 0 . Dễ thấy rằng mặt phẳng tiếp ë u 0 è u0 ø è u0 ø û è u0 ø xúc (p ) luôn đi qua điểm cố định 0 . ì ï x = u sin v 3 3 ï Bài 14. Cho mặt ( S ) có phương trình tham số í y = u 3cos3v . Chứng minh rằng tổng bình ï 3 ( ) ï z = a2 - u 2 2 î phương các đoạn chắn tạo bởi mặt phẳng tiếp xúc (p ) của ( S ) với các trục tọa độ là không đổi, với a Î ¡ . (p ) tại điểm M = r ( u0 , v0 ) Î ( S ) có dạng là Giải. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc x - x0 y - y0 z - z0 x 'u ( u0 , v0 ) y 'u ( u0 , v0 ) z 'u ( u0 , v0 ) = 0 (14.1). x 'v ( u0 , v0 ) y 'v ( u0 , v0 ) z 'v ( u0 , v0 ) æ ö 3 ( ) Với ( x0 , y0 , z0 ) = ç u03 sin 3 v0 , u03cos3v0 , a 2 - u0 2 ÷ 2 è ø æ ö 1 ( ) r 'u ( u0 , v0 ) = ( x 'u , y 'u , z 'u ) = ç 3u0 2 sin 3 v0 ,3u0 2cos3v0 , -3u0 a 2 - u0 2 ÷ 2 è ø ( ) r 'v ( u0 , v0 ) = ( x 'v , y 'v , z 'v ) = 3u03 sin 2 v0 cos v0 , -3u03cos 2v0 sin v0 ,0 æ ö æ ö 1 1 ( ) ( ) Thế vào (14.1) cho ta ç 9u0 4 a 2 - u0 2 cos 2v0 sin v0 ÷ x + ç 9u0 4 a 2 - u0 2 cos v0 sin 2 v0 ÷ y 2 2 è ø è ø 1 ( ) ( ) + 9u0 cos v0 sin v0 z - 9a u0 a - u0 cos 2v0 sin 2 v0 = 0 . 5 2 2 2 5 2 22 17
ì ï ( ) ï(p ) Ç ( 0 x ) = A a u0 sin v0 ,0,0 2 ï ( ) Ta lại có í(p ) Ç ( 0 y ) = B 0, a 2u0 cos v0 , 0 . Do đó yêu cầu của bài toán tương đương với việc ï æ ö ï 1 ( ) ï(p ) Ç ( 0 z ) = C ç 0,0, a a - u0 2 2 2 ÷ 2 è ø î tính OA2 + OB 2 + OC 2 = u0 2 a 4 sin 2 v0 + u0 2 a 4cos 2 v0 + a 6 - a 4u0 2 = a 6 . Bài 15. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc (p ) và pháp tuyến của mặt ( S ) có tham số hóa r ( u , v ) = ( v cos u, v sin u , ku ) tại một điểm bất kỳ, với k Î ¡ . tại điểm M = r ( u0 , v0 ) Î ( S ) có dạng là (p ) Giải. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc x - x0 y - y0 z - z0 x 'u ( u0 , v0 ) y 'u ( u0 , v0 ) z 'u ( u0 , v0 ) = 0 (15.1). x 'v ( u0 , v0 ) y 'v ( u0 , v0 ) z 'v ( u0 , v0 ) Với ( x0 , y0 , z0 ) = ( v0 cos u0 , v0 sin u0 , ku0 ) , r 'u ( u0 , v0 ) = ( x 'u , y 'u , z 'u ) = ( -v0 sin u0 , v0 cos u0 , k ) r 'u ( u0 , v0 ) = ( x 'v , y 'v , z 'v ) = ( cos u0 ,sin u0 ,0 ) . Thế vào (15.1) cho ta mặt phẳng tiếp xúc ( p ) là ( - k sin u0 ) x + ( k cos u0 ) y - v0 z + kv0u0 = 0 . x - x0 y - y0 z - z0 Phương trình pháp tuyến tại điểm M = r ( u0 , v0 ) Î ( S ) có dạng = = (15.1) a b c y 'u ( u0 , v0 ) z 'u ( u0 , v0 ) v0 cos u0 k Vớ i a = = = - k sin u0 y 'v ( u0 , v0 ) z 'v ( u0 , v0 ) sin u0 0 z 'u ( u0 , v0 ) x 'u ( u0 , v0 ) k -v0 sin u0 b= = = k cos u0 z 'v ( u0 , v0 ) z 'v ( u0 , v0 ) 0 cos u0 x 'u ( u0 , v0 ) y 'u ( u0 , v0 ) -v0 sin u0 v0 cos u0 c= = = -v0 x 'v ( u0 , v0 ) y 'v ( u0 , v0 ) cos u0 sin u0 x - v0 cos u0 y - v0 sin u0 z - ku0 = = Thế vào (15.1) cho ta phương trình pháp tuyến là . -k sin u0 -v0 k cos u0 Bài 16. Chứng minh rằng thể tích của tứ diện tạo bởi từ các mặt phẳng tọa độ và mặt phẳng tiếp æ a3 ö xúc (p ) của mặt ( S ) có phương trình tham số hóa r ( u , v ) = ç u , v, ÷ không phụ thuộc vào tiếp è uv ø điểm, với a Î ¡ . 18
tại điểm M = r ( u0 , v0 ) Î ( S ) có dạng là (p ) Giải. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc x - x0 y - y0 z - z0 x 'u ( u0 , v0 ) y 'u ( u0 , v0 ) z 'u ( u0 , v0 ) = 0 (17.1). x 'v ( u0 , v0 ) y 'v ( u0 , v0 ) z 'v ( u0 , v0 ) æ a3 ö æ a3 ö Với M = r ( u0 , v0 ) = ( x0 , y0 , z0 ) = ç u0 , v0 , ÷ , r 'u ( u0 , v0 ) = ( x 'u , y 'u , z 'u ) = ç 1,0, - 2 ÷ è u0v0 ø è u0 v0 ø æ a3 ö r 'v ( u0 , v0 ) = ( x 'v , y 'v , z 'v ) = ç 0,1, - ÷. u0v0 2 ø è a3 a3 3a 3 Thế vào (17.1) cho ta phương trình mặt phẳng tiếp xúc (p ) là 2 x + y+z- = 0. u0v0 2 u0 v0 u0 v0 ì ï ï(p ) Ç ( 0 x ) = A ( 3u0 , 0,0 ) ï 3a 3 1 1 9 Ta lại có í(p ) Ç ( 0 y ) = B ( 0,3v0 ,0 ) .Do đó VABCD = xA xB xC = 3u0 3v0 = a 3 điều 6 6 u0v0 2 ï ï(p ) Ç ( 0 z ) = C æ 0,0, 3a ö 3 ç ÷ ï è u0v0 ø î này chứng tỏ thể tích tứ diện ABCD không phụ thuộc vào việc chọn điểm M = r ( u0 , v0 ) Î ( S ) . æ u 2 + v2 ö Bài 17. Xây dựng ánh xạ Weingarten của mặt ( S ) có tham số hóa r ( u , v ) = ç u , v, ÷. è 2ø Giải. Lấy đạo hàm theo biến u , v ta có r 'u ( u, v ) = (1,0, u ) , r 'v ( u , v ) = ( 0,1, v ) r 'u Ù r 'u æ ö u v 1 Suy ra n ( u , v ) = = ç- ,- ÷ , r 'u Ù r 'u è u 2 + v2 + 1 u 2 + v2 + 1 u 2 + v2 + 1 ø æ ö ç ÷ -v 2 - 1 -u uv Nên n 'u ( u , v ) = ç ÷ , , 3 3 3 ( )( )( ) ç u 2 + v2 + 1 2 u 2 + v2 + 1 2 u 2 + v2 + 1 ÷ 2 è ø æ ö ç ÷ -u 2 - 1 -v uv n 'v ( u , v ) = ç ÷ , , 3 3 3 ( )( )( ) ç u 2 + v2 + 1 2 u 2 + v2 + 1 2 u 2 + v2 + 1 ÷ 2 è ø Xây dựng ánh xạ h : TM ( S ) ® TM ( S ) thỏa mãn æ ö ç ÷ v2 + 1 uv u r 'u ¾¾ -n 'u = ç ® h ÷ , , 3 3 3 ( )( )( ) ç u 2 + v2 + 1 2 u 2 + v2 + 1 2 u 2 + v2 + 1 ÷ 2 è ø 19
æ ö ç ÷ -uv u2 + 1 v r 'v ¾¾ -n 'v = ç ® h ÷ , , 3 3 3 ( )( )( ) ç u 2 + v2 + 1 2 u 2 + v2 + 1 2 u 2 + v2 + 1 ÷ 2 è ø ì v2 + 1 uv -n 'u = r 'u - ï r 'v 3 3 ( ) ( ) ï u + v +1 2 u + v +1 2 2 2 2 2 ï Khi đó í v2 + 1 ï-n ' = - uv r 'u + r 'v ïv 3 3 ( ) ( ) u + v +1 u + v +1 ï 2 2 2 2 2 2 î é ù v2 + 1 -uv ê ú 3 3 ( )( ) ê u 2 + v2 + 1 u 2 + v2 + 1 ú 2 2 Suy ma trận của phép biến đổi là A = ê ú ê ú -uv u2 +1 ê 3ú 3 ( )( ) ê u 2 + v2 + 1 u 2 + v2 + 1 2 ú 2 ë û Do vậy h là ánh xạ Weingarten. ( ) Bài 18. Cho mặt ( S ) có dạng toàn phương cơ bản thứ nhất I = au 2 + u 2 + b 2 av 2 . Tính góc tại giao điểm của 2 đường cong ( C1 ) : u + v = 0, ( C2 ) : u - v = 0 . ìu + v = 0 Giải. Gọi A = ( C1 ) Ç ( C2 ) có tọa độ là nghiệm của hệ í Û A = ( 0,0 ) îu - v = 0 ìu = t ìu = t Dạng tham số của ( C1 ) : í 1 và ( C2 ) : í 1 îv1 = -t îv1 = t 1 - a2 - u 2 Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường cong ( C1 ) , ( C2 ) cho ta cosf = 1 + a2 + u 2 1 - a2 Suy ra góc giữa hai đường cong ( C1 ) , ( C2 ) tại điểm A = ( 0,0 ) là cosf = . 1 + a2 ( ) Bài 19. Cho mặt ( S ) có dạng toàn phương cơ bản thứ nhất I = ( au ) + u 2 + a 2 ( av ) . Tìm chu vi 2 2 ì 12 ïu = ± av của tam giác cong trên ( S ) xác định bởi í . 2 ïv = 1 î Giải. Xét hệ trục tọa độ ( 0uv ) cho ta cách xác định các đỉnh của tam giác ABC . 12 1 av giao với đường u = - av 2 cho ta một điểm A = ( 0,0 ) Ta thấy rằng u = 2 2 æa ö 12 Tương tự đường u = av giao với đường v = 1 cho ta một điểm C = ç ,1÷ è2 ø 2 20