zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Hình Học Vi Phân: Chương 3 Ánh xạ Gauss

Chia sẻ: Hoang Nam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Báo xấu

327
lượt xem 66
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khi nghiên cứu tốc độ thay đổi của tiếp tuyến của một đường cong C tại một điểm dẫn ta đến một bất biến hình học quan trọng, độ cong tại điểm đang xét của đường cong. Khi nghiên cứu tốc độ thay đổi của mặt phẳng mặt tiếp, hay một cách tương đương tốc độ thay đổi của các vecto trùng pháp, ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hình Học Vi Phân: Chương 3 Ánh xạ Gauss

Chương 3 Ánh x Gauss Khi nghiên c u t c đ thay đ i c a ti p tuy n c a m t đư ng cong C t i m t đi m d n ta đ n m t b t bi n hình h c quan tr ng, đ cong t i đi m đang xét c a đư ng cong. Khi nghiên c u t c đ thay đ i c a m t ph ng m t ti p, hay m t cách tương đương t c đ thay đ i c a các vector trùng pháp, ta có khái ni m đ xo n, là b t bi n hình h c quan tr ng th hai c a đư ng cong. Hai b t bi n này ph n ánh hình dáng đ a phương t i t ng đi m c a đư ng cong. M t cách hoàn toàn tương t , chúng ta s xét t c đ bi n thiên c a m t ph ng ti p xúc trong m t lân c n c a đi m p c a m t m t chính qui hay m t cách tương đương là t c đ c a trư ng pháp vector đơn v trong lân c n đó. T c đ bi n thiên này không đư c đ c trưng b i m t con s mà đư c đ c trưng b i m t t đ ng c u tuy n tính t liên h p c a Tp S. Nhi u tính ch t đ a phương đáng ng c nhiên đư c tìm th y t s nghiên c u ánh x tuy n tính này. Cho S là m t m t chính qui và X :−→ S là m t tham s hóa đ a phương c a S. Như đã bi t n u chúng ta ch n các vector pháp đơn v t i m i đi m c a X (U ) như sau Xu ∧ Xv (p), p ∈ X (U ); N (p) = |Xu ∧ Xv | chúng ta nh n đư c m t ánh x kh vi N : X (U ) −→ R3 p −→ N (p). Cho V ⊂ S là t p m . M t trư ng vector trên V là ánh x F : V −→ R3 . Trư ng vector F đư c g i là liên t c, kh vi n u ánh x F có các tính ch t như v y. N u F (p) ∈ Tp S, ∀p ∈ V, thì ta nói F là trư ng vector ti p xúc trên V. N u F (p) ⊥ Tp S, ∀p ∈ V, ta nói F là trư ng pháp vector trên V. N u F (p) ⊥ Tp S, |F (p)| = 1, ∀p ∈ V, ta nói F là trư ng pháp vector đơn v trên V. Theo đ nh nghĩa này N (p) xác đ nh như trên là m t trư ng pháp vector đơn v trên X (U ). 3.1 M t đ nh hư ng Đ nh nghĩa 1. M t m t chính qui S g i là đ nh hư ng đư c n u có m t trư ng pháp vector đơn v liên t c N xác đ nh trên toàn b m t. Khi đó trư ng pháp vector N đư c g i là m t đ nh hư ng 1
Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý) c a S. M t m t chính qui đ nh hư ng là m t chính qui đ nh hư ng đư c cùng hư ng xác đ nh N. Do trên m i lân c n t a đ X (U ) đ u có trư ng pháp vector đơn v kh vi N (p) = |Xu ∧Xv | nên Xu ∧Xv chúng ta có th nói m i m t chính qui đ u đ nh hư ng đư c m t cách đ a phương. Hơn n a, theo M nh đ ?? thì m i m t chính qui liên thông có đúng hai hư ng. Ví d 1. D th y r ng m t ph ng là m t m t đ nh hư ng đư c. Ví d ngay sau đây cho ta th y có nh ng m t không đ nh hư ng đư c. Ví d 2. M t M¨bius. L y m t d i gi y hình ch nh t. Dán hai c nh đ i di n lai v i nhau sau o 0 khi đã xo n 180 . M t nh n đư c chính là m t M¨bius. Chúng ta d nh n th y r ng m t vector o pháp s đ i chi u sau khi trư t d c theo đư ng chính gi a m t đúng 1 vòng. Đi u này cho th y m t M¨bius là không th đ nh hư ng đư c. o Hai m nh đ ti p theo cho ta các ví d khác v các m t chính qui đ nh hư ng đư c. M nh đ 3.1.1. Cho h : U ⊂ R2 −→ R là m t hàm kh vi. Khi đó đ th c a h là m t m t chính qui đ nh hư ng đư c. Ch ng minh. Xét tham s hóa (u, v ) ∈ U. X (u, v ) = (u, v, h(u, v )), Khi đó X (U ) = Gh và X là đơn ánh. Xét Xu ∧ X v (−hu , hv , 1) N ◦X = = |Xu ∧ Xv | 1 + h2 + h2 u v 2 Vì 1 + h2 + h2 > 0, nên N là liên t c. u v M nh đ 3.1.2. Cho f : U ⊂ R3 −→ R là hàm kh vi và a là m t giá tr chính qui c a f. Khi đó S = f −1 (a) là m t m t chính qui đ nh hư ng đư c. Ch ng minh. L y đi m b t kỳ p ∈ S , gi s p = (x0 , y0 , z0 ). Xét đư ng tham s c(t) = (x(t), y (t), z (t)), t ∈ (− , ) ⊂ R trên m t S đi qua p v i c(0) = p. Vì đư ng cong n m trên m t nên f (x(t), y (t), z (t)) = a, ∀t ∈ I. Đ o hàm c hai v t i t = 0, ta nh n đư c fx (p)x (0) + fy (p)y (0) + fz (p)z (0) = 0. T đây suy ra vector ti p xúc c a c t i t = 0 tr c giao v i (fx , fy , fz ) t i p. Do đi m p và đư ng tham s c đư c l y tùy ý nên ta suy ra r ng fx fy fz N (x, y, z ) = , , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 fx + fy + fz fx + fy + fz fx + fy + fz 2 2 2 xác đ nh trên toàn b S. Do a là đi m chính qui nên fx + fy + fz > 0 t i m i đi m c a m t. Do 2 đó N là liên t c. 2
Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý) Bài t p 3.1. Gi s r ng m t m t chính qui S là h p c a hai m t chính qui S1 và S2 , S = S1 ∪ S2 . Ch ng minh n u S1 và S2 đ nh hư ng đư c và S1 ∩ S2 liên thông thì S đ nh hư ng đư c. Bài t p 3.2. Cho S = S1 ∪ S2 , v i S, S1 , S2 là các m t chính qui, S1 , S2 liên thông và S1 ∩ S2 có hai thành ph n liên thông A và B. Ch ng minh r ng n u S1 và S2 có th đ nh hư ng sao cho các đ nh hư ng c m sinh trên A là trùng nhau còn các đ nh hư ng c m sinh trên B là đ i nhau thì S là m t không đ nh hư ng đư c. Ch ng minh đây cũng là trư ng h p c a băng Mobius. R t d nh n th y r ng m i m t chính qui đ u đ nh hư ng đư c m t cách đ a phương. Đi u này có nghĩa là cho dù m t chính qui là không đ nh hư ng đư c, nhưng t i m i đi m, m i lân c n c a đ c a m t đ u đư c đ nh hư ng b i trư ng pháp vector đơn v Xu ∧ X v N= . |Xu ∧ Xv | Cho (S, N ) là m t m t chính qui đ nh hư ng, P là m t đi m trên m t S. Chúng ta s nói c s c a không gian ti p xúc Tp S là đ nh hư ng dương n u det(a, b, Np ) > 0. Trong trư ng h p ngư c l i chúng ta s nói cơ s {a, b} là đ nh hư ng âm. N u f : S1 −→ S2 là ánh x kh vi, v i S1 , S2 là hai m t chính qui, có tính ch t đ o hàm Dfp t i m i đi m p ∈ S bi n m t cơ s đ nh hư ng dương thành m t cơ s đ nh hư ng dương thì ta nói f là ánh x b o toàn hư ng. M t cách tr c giác m i hư ng c a m t cho ta m t phía c a m t. R t d hình dung m t ph ng, m t c u, m t tr . . . có hai phía. M nh đ sau đây cho phép ta kh ng đ nh r ng, m i m t chính qui liên thông đ nh hư ng đư c có đúng hai phía, hay nói cách khác có đúng hai đ nh hư ng trên m i m t chính qui liên thông đ nh hư ng đư c. M nh đ 3.1.3. N u S là m t m t chính qui đ nh hư ng đư c và N và N là hai đ nh hư ng trên m t S thì ta ph i có ho c N = N , ho c N = −N . Ch ng minh. T i m i đi m p ∈ S, Np và N p s là hai vector trùng nhau ho c chúng là hai vector đ i nhau.Đ t A = {p ∈ S : Np = N p } và B = {p ∈ S : Np = −N p }, chúng ta có A và B là hai t p r i nhau và S = A ∪ B. Do N và N liên t c ta có A và B là hai t p đóng. Nhưng do S là liên 2 thông nên ta ph i có A = S, B = ∅ ho c A = ∅, B = S. 3.2 Ánh x Gauss và d ng cơ b n th hai Cho (S, N ) là m t chính qui đ nh hư ng. Do |Np | = 1, ∀p ∈ S nên có th xem N là ánh x kh vi t m t chính qui S vào m t c u đơn v S 2 Ánh x N : S −→ S 2 đư c g i là ánh x GaussƯ c a m t đ nh hư ng S. Theo đ nh nghĩa ánh x Gauss là kh vi. Khi đó đ o hàm c a N t i đi m p ∈ S là ánh x tuy n tính DNp : Tp S −→ TNp S 2 . Do Tp S ⊥ Np và TNp S 2 ⊥ Np , ∀p ∈ S nên ta có Tp S ≡ TNp S 2 , ∀p ∈ S. Như v y DNp là m t t đ ng c u tuy n tính c a Tp S. 3
Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý) Ví d 3. Xét m t ph ng Q có phương trình ax + by + cz + d = 0. Khi đó 1 N= (a, b, c) a2 + b2 + c2 Là m t hàm h ng nên ta có DNp = 0, ∀p ∈ Q. Ví d 4. Xét m t c u S (O, r) tâm O bán kính r có phương trình x2 + y 2 + z 2 = r 2 . Gi s α(t) = (x(t), y (t), z (t)) là m t đư ng tham s trên m t c u S (O, r), ta có x2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t) = r2 . Đ o hàm hai v theo t ta nh n đư c 2xx + 2yy + 2zz = 0. V i chú ý r ng (x (t), y (t), z (t)) là m t vector ti p xúc c a m t c u S (O, r) t i α(t), ta có vector (x, y, z ) là pháp vector c a m t c u S (O, r) t i đi m (x, y, z ). Do đó chúng ta có hai trư ng pháp vector đơn v trên m t c u S (O, r) 1 1 N (x, y, z ) = (−x, −y, −z ). N (x, y, z ) = (x, y, z ), r r D th y N là trư ng pháp vector hư ng ra ngoài còn N là trư ng pháp vector hư ng vào tâm c a m t c u và D N p ( v ) = −v ; DNp (v ) = v, v i p ∈ S (O, r) và v ∈ Tp S (O, r). Ví d 5. Xét m t tru C có phương trình x2 + y 2 = r2 . M t tru C có hai trư ng pháp vector đơn v 1 1 N (x, y, z ) = (x, y, 0), N (x, y, z ) = (−x, −y, 0). r r D th y N là trư ng pháp vector hư ng ra ngoài còn N là trư ng pháp vector hư ng vào tr c c a m t tr và DN p (v ) = −π (v ); DNp (v ) = π (v ), v i p ∈ S (O, r), v ∈ Tp S (O, r) và π là phép chi u lên m t ph ng xy. N u v ∈ Tp C và v cùng phương v i e3 thì DNp (v ) = DN p (v ) = 0, t c là v là vector riêng ng v i giá tr riêng 0 c a DNp và DN p . N u v ∈ Tp C và v tr c giao v i e3 thì DNp (v ) = v còn DN p (v ) = −v, t c là v là vector riêng ng v i giá tr riêng 1 c a DNp và là vector riêng ng v i giá tr riêng −1 c a DN p . Bài t p 3.3. M nh đ sau cho ta m t tính ch t quan tr ng c a ánh x DNp . 4
Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý) M nh đ 3.2.1. Đ o hàm DNp : Tp S −→ Tp S c a ánh x Gauss là t liên h p, nghĩa là v i m i α, β ∈ Tp S DNp (α), β = α, DNp (β ) . (3.1) Ch ng minh. Gi s X (u, v ) là m t tham s hóa c a S t i p và {Xu , Xv } là m t cơ s c a Tp S. Đ i v i cơ s này ánh x DNp có ma tr n d ng ∂N 1 ∂N 1 ∂u ∂v . ∂N 2 ∂N 2 ∂u ∂v T đây chúng ta có DNp (Xu ) = Nu ; DNp (Xv ) = Nv . Do đó n u α = aXu + bXv ; β = cXu + dXv , thì DNp (α), β = aNu + bNv , cXu + dXv = ac Nu , Xu + ad Nu , Xv + bc Nv , Xu + bd Nv , Xv ; và α, DNp (β ) = aXu + bXv , cNu + dNv = ac Xu , Nu + ad Xu , Nv + bc Xv , Nu + bd Xv , Nv . Ta có N , Xu = 0 và N , Xv = 0 nên Nv , Xu + N , Xuv = 0. (3.2) Nu , Xv + N , Xuv = 0. (3.3) T 3.2 và 3.3, ta có Nv , Xu = Nu , Xv và do đó DNp (α), β = α, DNp (β ) . 2 Đ nh nghĩa 2. D ng toàn phương IIp (α) := − DNp (α), α đư c g i là d ng cơ b n th hai c a S t i p. 3.3 Đ cong pháp và công th c Euler 3.3.1 Đ cong pháp Đ nh nghĩa 3. Cho C là đư ng cong chính qui trên m t S đi qua đi m p. G i k là đ cong c a C t i p, n là vector pháp (đơn v ) c a C t i p và N là vector pháp (đơn v ) c a S t i p. Khi đó s kn (p) = k n, N đư c g i là đ cong pháp c a C ⊂ S t i p. 5
Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý) Nh n xét 1. Đ cong pháp kn (p) chính là đ dài hình chi u c a k n lên pháp tuy n c a m t v i d u ph thu c vào hư ng c a N. Gi s w ∈ Tp S, |w| = 1. G i α là đư ng tham s (v i tham s đ dài cung) α(0) = p, α (0) = w. Ký hi u N (s) là h n ch c a N lên đư ng tham s α, do N , α = 0, ta suy ra N (s), α (s) = − N (s), α (s) . Do đó IIp (α (0)) = − DNp (α (0)), α (0) = N (0), α (0) = N (0), α (0) = N , k n (p) = kn (p). T đây chúng ta có các nh n xét sau. 1. Giá tr c a d ng cơ b n th hai IIp đ i v i vector đơn v w ∈ Tp S chính là đ Nh n xét 2. cong pháp c a m t đư ng chính qui đi qua p và có vector ti p xúc là w. 2. Đ cong pháp kn (p) ch ph thu c vào vector ti p xúc, không ph thu c vào đư ng cong. 3. V i w ∈ Tp S không nh t thi t là vector đơn v , ta có công th c sau IIp (w) kn (p) = . Ip (w) T nh n xét này chúng ta đi đ n đ nh lý sau. Đ nh lý 3.3.1 (Meusnier). T t c các đư ng cong n m trên m t cùng đi qua m t đi m p có các ti p tuy n t i đi m này trùng nhau có đ cong pháp t i đi m này gi ng nhau. T Đ nh lý Meusnier, chúng ta có đ nh nghĩa sau. Đ nh nghĩa 4. Đ cong pháp c a m t S t i đi m p ∈ S theo (hư ng c a) vector w là đ cong c a m t đư ng chính qui trên m t đi qua p và có vector ti p xúc t i p là w. Xét m t ph ng P đi qua p v i c p vector ch phương {w, N }. Giao c a P và S lđư c g i là lát c t chu n t c c a S t i p d c theo w. Trong m t lân c n c a p, lát c t này là m t đư ng chính qui có pháp vector là ±N (p) ho c là vector không. V i thu t ng này chúng ta có th phát bi u M nh đ 3.3.2. Giá tr tuy t đ i c a đ cong pháp c a m t S t i đi m p theo vector w b ng đ cong c a lát c t chu n t c c a S t i p d c theo w. Ví d 6. N u S là m t ph ng, thì N = 0. Cho nên DN = 0 và do đó IIp = 0.Suy ra đ cong pháp c a m t t i m i đi m theo m i phương đ u b ng 0. Có th l p lu n theo cách khác như sau: do t t c các lát c t chu n t c c a m t đ u là đư ng th ng, có đ cong b ng 0 nên đ cong pháp c a m t t i m i đi m theo m i phương đ u b ng 0. 6
Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý) Ví d 7. Xét m t c u S 2 v i đ nh hư ng N (x, y, z ) = (−x, −y, −z ). M i lát c t chu n t c là m t đư ng tròn l n, có đ cong h ng b ng 1. T đây suy ra đ cong pháp c a m t t i m i đi m theo m i phương đ u b ng 1. Do ánh x tuy n tính DNp là liên h p nên t n t i cơ s tr c chu n {e1 , e2 } sao cho DNp (e1 ) = −k1 e1 , DNp (e2 ) = −k2 e2 . Nói cách khác −k1 , −k2 là các giá tr riêng, còn e1 , e2 là các vector riêng đơn v l n lư t ng v i −k1 , −k2 c a DNp . Chúng ta luôn gi thi t r ng k1 ≤ k2 . Đ nh nghĩa 5. Các giá tr k1 , k2 đư c g i là các đ cong chính, còn các vector riêng e1 , e2 xác đ nh các phương g i là các phương chính. Chúng ta có th g i các vector e1 , e2 là các vector ch phương chính. 3.3.2 Công th c Euler Gi s {e1 , e2 } là m t cơ s tr c chu n c a Tp S g m toàn các vector riêng c a DNp và v ∈ Tp S, |v | = 1, v = cos θe1 + sin θe2 . Do đó IIp (v ) = − DNp (v ), v = − k1 cos θe1 + k2 sin θe2 , cos θe1 + sin θe2 = k1 cos2 θ + k2 sin2 θ. Như v y, chúng ta có công th c sau g i là công th c Euler. kn (p, v ) = k1 cos2 θ + k2 sin2 θ. (3.4) Nh n xét 3. T công th c Euler ta d dàng rút ra các nh n xét: các đ cong chính k1 , k2 l n lư t là các giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c a d ng cơ b n th hai IIp trên đư ng tròn đơn v trong Tp S, t c là các giá tr nh nh t và giá tr l n nh t đ cong pháp t i đi m p. 3.4 Đ cong Gauss và đ cong trung bình Đ nh nghĩa 6. Cho (S, N ) là m t chính qui đ nh hư ng, p ∈ S và DNp là đ o hàm c a ánh x Gauss N t i đi m p. ta se g i 1. đ nh th c c a DNp là đ cong Gauss c a S t i đi m p, ký hi u K (p); 1 2. m t n a v t c a −DNp , − 2 tr(DNp ), là đ cong trung bình c a S t i p, ký i u H (p). Nh n xét 4. 1. D th y K = k1 .k2 ; (3.5) k1 + k2 H= . (3.6) 2 7
Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý) 2. N u thay đ i hư ng c a m t thì đ cong Gauss K không thay đ i còn đ cong trung bình H đ i d u. Đ nh nghĩa 7. M t đi m p c a m t S đư c g i là 1. đi m elliptic n u đ cong Gauss K > 0; 2. đi m hyperbolic n u đ cong Gauss K < 0; 3. đi m parabolic n u đ cong Gauss K = 0 và DNp = 0; 4. đi m ph ng (planar) n u DNp = 0; 5. đi m r n (umbilic) n u k1 = k2 . Chúng ta có các nh n xét sau 1. T i các đi m elliptic, do K > 0 nên hai đ cong chính cùng d u và do đó đ Nh n xét 5. cong pháp theo m i phương cùng d u. Đ u này cho th y t t c các đư ng cong đi qua đi m này có pháp vector ch v cùng m t phía đ i v i m t ph ng ti p xúc. 2. T i các đi m hyp bolic, do do K < 0 nên hai đ cong chính khác d u và do đó t n t i các đư ng cong có pháp vector ch v c hai phía c a m t ph ng ti p xúc. 3. T i các đi m parabolic, do K = 0 và DNp = 0 nên có m t đ cong chính b ng 0 và m t đ cong chính khác không. 4. T i các đi m ph ng, c hai ô cong chính đ u b ng 0. 5. Đi m ph ng là trư ng h p đ c bi t c a đi m r n. T i các đi m r n, do k1 = k2 nên DNp = k idTp S . Đ nh lý 3.4.1. N u t t c các đi m c a m t m t liên thông S là đi m r n thì S ch a trong m t m t c u ho c ch a trong m t m t ph ng. Ch ng minh. L y p ∈ S và X (u, v ) là m t tham s hóa t i đi m p sao cho lân c n t a đ V = X (U ) là liên thông. V i m i q ∈ V do q là đi m r n nên v i m i v = a1 Xu + a2 Xv ∈ Tq S, ta có DNq (v ) = λ(q )v, (3.7) v i λ(q ) là hàm kh vi trên V. Ta s ch ng minh λ là hàm h ng trên V. Đ ng th c 3.7 đư c vi t l i như sau a1 Nu + a2 Nv = λ(a1 Xu + a2 Xv ). (3.8) Do v là b t kỳ, ta suy ra Nu = λXu (3.9) Nv = λXv (3.10) Đ o hàm 3.9 theo v và đ o hàm 3.10 theo r i tr nhau ta đư c λu Xv − λv Xu = 0. (3.11) Do Xu , Xv đ c l p tuy n tính ta suy ra λu = λv = 0, ∀q ∈ V. Do V la liên thông, ta suy ra λ = const. trên V. Ta có hai trư ng h p 8
Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý) 1. N u λ = 0, ta suy ra Nu = Nv = 0. Do đó N =const. và DNp = 0. Ta có ∂ X, N = Xu , N + X, 0 = 0; (3.12) ∂u ∂ X, N = Xv , N + X, 0 = 0; (3.13) ∂v Vy X, N = const., do đó X (u, v ) n m trên m t ph ng qua p v i pháp vector N v i m i (u, v ) ∈ U. 1 2. N u λ = 0, khi đó X (u, v ) − λ N (u, v ) ch là m t đi m c đ nh b i vì ∂ 1 1 (X (u, v ) − N (u, v )) = Xu − Nu = 0; ∂u λ λ ∂ 1 1 (X (u, v ) − N (u, v )) = Xv − Nv = 0. ∂v λ λ 1 Đ t I = X − λ N, ta có 1 |X (u, v ) − I |2 = . λ2 1 V y V ch a trong m t c u tâm I bán kính . | λ| Như v y chúng ta ch m i ch ng minh đ nh lý t i đ a phương c a t ng đi m. Đ có k t qu toàn c c, chúng ta c n đ n tính ch t liên thông c a m t. V i m i p, q ∈ S, do S liên thông nên t n t i đư ng tham s liên t c α[0, 1] −→ S n i p và q v i α(0) = p và α(1) = q. V i m i t ∈ [0, 1] t n t i lân c n t a đ Vt c a α(t) (có th gi s Vt là các hình c u) sao cho α−1 (Vt ∩ α([0, 1]) là m t kho ng m c a [0, 1]. H {α−1 (Vt ∩ α([0, 1]); t ∈ [0, 1]} ph đo n [0, 1]. Do đo n [0, 1] là compact, ta suy ra t n t i ph h u h n c a đo n [0, 1] và do đó α([0, 1]) đư c ph b i m t h h u h n các lân c n Vt . 1. N u các đi m c a m t lân c n t a đ V0 thu c m t m t ph ng ta suy ra t t c các đi m thu c m i Vt đ u thu c m t ph ng đó. 2. N u các đi m c a m t lân c n t a đ V0 thu c m t m t c u ta suy ra t t c các đi m thu c m i Vt đ u thu c m t c u đó. 2 Do q là đi m đư c l y tùy ý ta suy ra đi u ph i ch ng minh. 9
Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý) 3.5 Các công th c tính toán Cho (S, N ) là m t chính qui đ nh hư ng và X : U −→ S là m t tham s hóa đ a phương c a S t i đi m p ∈ S. Chúng ta gi s đ nh hư ng N c a S là tương thích v i X, có nghĩa là X u ∧ Xv N= . |Xu ∧ Xv | N , N = 0, ta suy ra N , Nu = 0 và N , Nv = 0. Như v y Nu , Nv ∈ Tp S và do đó T Nu = a11 Xu + a21 Xv , Nv = a12 Xu + a22 Xv ; và ma tr n c a DNp đ i v i cơ s {Xu , Xv } là a11 a12 a21 a22 Chúng ta xét ma tr n c a d ng cơ b n IIp . Đ t e = IIp (Xu ) = − DNp (Xu ), Xu = − Nu , Xu = N , Xuu , f = − DNp (Xu ), Xv = − Nv , Xu = N , Xuv , g = IIp (Xv ) = − DNp (Xv ), Xv = − Nv , Xv = N , Xvv . Ta có ma tr n c a IIp đ i v i cơ s {Xu , Xv } là ef fg T −e = Nu , Xu = a11 Xu + a21 Xv , Xu = a11 E + a21 F, −f = Nu , Xv = a11 Xu + a21 Xv , Xv = a11 F + a21 G = Nv , Xu = a12 Xu + a22 Xv , Xu = a12 E + a22 F, −g = Nv , Xv = a12 Xu + a22 Xv , Xv = a12 F + a22 G; ta có ef a11 a21 EF − = ; fg a12 a22 FG và do đó −1 a11 a21 ef EF =− . a12 a22 fg FG V i chú ý r ng −1 1 G −F EF = −F E FG EG − F 2 ta có các phương trình c a Weingarten 10
Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý) f F − eG gF − eG eF − f G f F − gG a11 = , a12 = , a21 = , a22 = ; 2 2 2 EG − F 2 EG − F EG − F EG − F và công th c tính đ cong Gauss, đ cong trung bình eg − f 2 eG − 2f F + gE 1 K= ,H = . 2 EG − F 2 EG − F 2 Ví d 8. Chúng ta s tính đ cong Gauss và đ cong trung bình c a nh ng di m n m trên m t xuy n đư c ph bơit tham s hóa sau: X (u, v ) = ((a + r cos u) cos v, (a + r cos u) sin v, r sin u), 0 < u, v < 2π. Chúng ta s tính Xu , Xv , Xuu , Xuv , Xvv , N các các h s c a d ng cơ b n I và II. Xu = (−r sin u cos v, −r sin u sin v, r cos u), Xv = (−(a + r cos u) sin v, (a + r cos u) cos v, 0), Xuu = (−r cos u c Xu ∧ Xv = (rA cos u cos v, rA cos u sin v, −rA sin u), |Xu ∧ Xv | = rA, v i A = (a + r cos u), N = (cos u cos v, cos u sin v, − sin u), E = Xu , Xu = r2 , F = Xu , Xv = 0, G = Xv , Xv = (a + r cos u)2 , e = N , Xuu = r, f = N , Xuv = 0, g = N , Xvv = cos u(a + r cos u). Ta có ma tr n c a d ng cơ b n I r2 EF 0 = , 0 (a + r cos u)2 FG ma tr n c a d ng cơ b n II ef r 0 = , fg 0 cos u(a + r cos u) và ma tr n chuy n v c a DNp 1 0 a11 a21 r = . cos u 0 a12 a22 a+r cos u Do đó, ta có hai đ cong chính là 1 và a+cos u u) và các phương chính là các phương xác đ nh b i r r cos các vector Xu và Xv . Các đ cong Gauss và đ cong trung bình là cos u K = k1 k2 = , r(a + r cos u) 1 a + 2r cos u H = (k1 + k2 ) = . 2 r(a + r cos u) 11
Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý) Chúng ta cũng có th dùng công th c sau đ tính đ cong Gauss và đ cong trung bình. eg − f 2 K= , EG − F 2 1 eG − 2f F + gE H= . EG − F 2 2 Ta d dàng nh n th y các đi m thu c vào các đư ng tròn u = π và u = 32 có đ cong Gauss π 2 K = 0, các đi m thu c vào mi n π < u < 32 có đ cong Gauss K < 0, các đi m thu c vào các π 2 mi n < u < π 2 và < 32 < u < 2π có đ cong Gauss K > 0. 0 π 3.6 M t k và m t c c ti u 3.6.1 M tk Cho α, w : I −→ R3 là hai hàm kh vi v i I là m t kho ng m trong R và w(u) = 0, ∀u ∈ I. Chúng ta s xem α(u), u ∈ I là các đi m còn w(u), u ∈ I là các vector trong R3 . M t tham s u ∈ I, v ∈ R X (u, v ) = α(u) + vw(u), đư c g i là m t k sinh b i α và w. Các đư ng th ng Lu đi qua α(u) v i vector ch phương w(t) các đư ng sinhvà đư ng cong α(u) g i là đư ng chu n. Chú ý r ng chúng ta có th ch p nh n m t k có nh ng đi m kỳ d , t c là các đi m mà t i đó Xu ∧ Xv = 0. Ví d 9. Các m t sau là các m t k : 1. M t ph ng. 2. M t ti p tuy n c a m t đương chính qui (xem Ví d ??. 3. M t tr là m t k sinh b i α, w v i α(I ) ch a trong m t m t ph ng và w(t) song song v i m t phương c đ nh. 4. M t nón là m t k sinh b i α, w v i α(I ) ch a trong m t m t ph ng P và các đư ng sinh Lu cùng đi qua m t đi m c đ nh p ∈ P.. Ví d 10. M t hyperboloid tròn xoay Ví d 11. M t yên ng a (paraboloid hyperbolic) V i vi c ch p nh n các đi m kỳ d trên m t k , các m t ti p tuy n, m t nón là các m t k . Đư ng th t c a m t k Xét m t k X (u, v ) = α(u) + vw(u) 12
Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý) v i gi thi t w(u) = 0, u ∈ I. M t k như v y đư c g i là m t k không tr (noncylindrical). Không gi m tính t ng quát chúng ta có th gi s |w(u)| = 1, u ∈ I. Đư ng tham s β (u) = α(u) − ϕ(u)w(u) v i ϕ(u) = αww đư c g i là đư ng th t c a m t k X. M i đi m c a β g i là m t đi m trung , 2 tâm c a m t k . Đư ng th t có các tính ch t sau đây 1. Đư ng β n m trên m t k . 2. β (u), w (u) = 0, u ∈ I. Th t v y, ta có β = α − ϕ w − ϕw Do đó β , w = α , w − ϕ w, w − ϕ w , w = 0 α ,w vì w, w = 0 và ϕ(u) = . w2 3. Đư ng th t không ph thu c vào đư ng chu n α. B n đ c t ch ng minh tính ch t này như m t bài t p. (Bài t p 3.4). 4. Các đi m kỳ d c a m t k n m trên đư ng th t. B n đ c t ch ng minh tính ch t này như m t bài t p (Bài t p 3.5). 5. T i các đi m chính qui, đ cong Gauss c a m t k th a mãn K ≤ 0 và đ cong Gauss K = 0 d c theo các đư ng sinh đi qua các đi m kỳ d c a đư ng th t.B n đ c t ch ng minh tính ch t này như m t bài t p (Bài t p 3.6). Bài t p 3.4. Ch ng minh r ng đư ng th t không ph thu c vào đư ng chu n α. Bài t p 3.5. Ch ng minh r ng các đi m kỳ d c a m t k n m trên đư ng th t Bài t p 3.6. Ch ng minh r ng t i các đi m chính qui, đ cong Gauss c a m t k th a mãn K ≤ 0 và đ cong Gauss K = 0 d c theo các đư ng sinh đi qua các đi m kỳ d c a đư ng th t. Bài t p 3.7. Ch ng minh r ng các m t sau là m t k . Hãy xác đ nh m t nào là m t k không tr và tìm các đư ng th t c a chúng 1. M t ph ng. 2. M t tr x2 + y 2 = 1. 3. M t nón x2 + y 2 − x2 = 0. 4. M t hyperboloid tròn xoay 1=t ng x2 + y 2 − z 2 = 1. 5. M t paraboloid hyperbolic (m t yên ng a) x2 + y 2 − z 2 = −1. 6. M t Helicoid v i tham s hóa X (u, v ) = (u cos v, u sin v, v ). 13
Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý) Bài t p 3.8. M t k X (u, v ) = α(u) + vw(u) đư c g i là m t k kh tri n n u det(w, w , α ) = 0. Ch ng minh r ng t i các đi m chính qui c a m t k kh tri n, đ cong Gauss K = 0 và Nv , Xv = Nv , Xu = 0. T đây suy ra r ng m t ph ng ti p xúc (t i các đi m chính qui) c a m t m t kh tri n là h ng d c m t đư ng sinh c đ nh. 3.6.2 M t c c ti u Trong các đ i tư ng hình h c, các m t c c ti u có l là m t đư c nghiên c u nhi u nh t trong hình h c vi phân. Lý thuy t các m t c c ti u là m t nhánh l n c a hình h c vi phân và hi n nay có r t nhi u tài li u vi t v lãnh v c này. Bên c nh nh ng k t qu gây ti ng vang m t th i như l i gi i v tính t n t i nghi m c a bài toán Plateau v i biên là m t đư ng cong Jordan cho trư c, v n còn r t nhi u các v n đ m thú v liên quan đ n các m t c c ti u đang còn đư c nghiên c u. Có th k ra nhi u nh ng bài toán như v y, bài toán v b t đ ng th c đ ng chu trên các m t c c ti u là m t ví d . Vi c nghiên c u các m t c c ti u cho th y chúng có m i liên h sâu s c đ n các hàm gi i tích ph c và phương trình đ o hàm riêng. Các k t qu v các m t c c ti u thư ng d hình dung nhưng r t khó ch ng minh. Đi u này đã làm cho lý thuy t các m t c c ti u tr thành m t lãnh v c thu hút s quan tâm c a nhi u nhà toán h c l n. Đ nh nghĩa 8. M t tham s chính qui X : Ω −→ R3 đư c g i là m t c c ti u n u đ cong trung bình t i m i đi m b ng không. Cho X : Ω −→ R3 là m t m t tham s chính qui, D ⊂ Ω là mi n b ch n và h : D → R là m t hàm kh vi. Ta g i m t bi n phân chu n t c c a X (D) xác đ nh b i h là ánh x ϕ : D × (− , ) −→ R3 xác đ nh như sau ϕ(u, v, t) = X (u, v ) + th(u, v )N (u, v ), (u, v ) ∈ D, t ∈ (− , ). V i m i t c đ nh, ánh x X t : D −→ R3 X t (u, v ) −→ ϕ(u, v, t) là m t m t tham s . Tính toán tr c ti p cho ta ∂X t = Xu + thNu + thu N, ∂u ∂X t = Xv + thNv + thv N. ∂v 14
Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý) Do đó n u ký hi u E t , F t , Gt là các h s c a d ng cơ b n th nh t thì E t = E + 2th Xu , Nu + t2 h2 Nu , Nu + t2 h2 , u F t = F + 2th xu , Nv + t2 h2 Nu , Nv + t2 hu hv , Gt = G + 2th xv , Nv + t2 h2 Nv , Nv + t2 h2 , v Thay xu , Nu = −e, xu , Nv = xv , Nu = −f, xv , Nv = −g và 2H (EG − F 2 ) = Eg − 2f F + Ge, ta nh n đư c E t Gt − (F t )2 = EG − F 2 − 2th(Eg − 2f F + Ge) + R = (EG − F 2 )(1 − 4thH ) + R, v i limt→0 ( R ) = 0. t đ nh thì X t là m t tham s chính qui. Ta có Nu E t Gt − (F t )2 dudv A(t) = D √ 1 − 4thH + R EG − F 2 dudv = D R v iR= . đ nh thì A là m t hàm kh vi và đ o hàm c a nó t i t = 0 D th y r ng, n u EG−F 2 là √ 2hH EG − F 2 dudv = − A (0) = − 2hHdA. D D Đ nh lý 3.6.1. Gi s X : Ω −→ R3 là m t tham s chính qui và D ⊂ Ω là m t mi n b ch n. M t tham s X là c c ti u khi và ch khi A (0) = 0 v i m i mi n b ch n D và v i m i bi n phân chu n t c c a X (D). Ch ng minh. N u X là c c ti u, H = 0 và do đó A (0) = 0. Ngư c l i gi s A (0) = 0 và t n t i đi m p ∈ D sao cho H (p) = 0. Không gi m tính t ng quát ta gi s H (p) > 0. Ch n h : D −→ R sao cho h(p) > 0 và H đ ng nh t b ng không ngoài m t lân c n đ nh c a p. Khi đó A (0) < 0 v i bi n phân xác đ nh b i h. Đi u mâu thu n này ch ng t H = 0. V i m t chính qui X ta xác đ nh vector đ cong trung bình b i H = HN. N u ch n h = H ta có √ EG − F 2 dudv < 0. A (0) = − H, H D Đi u này có nghĩa là n u ta bi n d ng X (D) theo hư ng c a vector H di n tích s b t đ u gi m đi. PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE 15
Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý) Xét m t S trong R3 là đ th c a m t hàm hai bi n l p C 2 , f : Ω ⊂ R2 −→ R3 , v i Ω là m t mi n m liên thông v i bao đóng compact và biên trơn trong R2 . M t S đư c bi u di n b i hàm vector X : Ω −→ R3 (x, y ) −→ S (x, y ) := (x, y, f (x, y ) Các tính toán c th cho ta Xx = (1, 0, fx ) Xy = (0, 1, fy ) Xx ∧ Xy = (−fx , −fy , 1) 1 1 Xx ∧ Xy = (−fx , −fy , 1) N= |Xx ∧ Xy | 2 2 1 + fx + fy Các h s c a d ng cơ b n th nh t và th hai fxx 2 e = −I (Xx , Nx ) = E = I (Xx , Xx ) = 1 + fx (3.14) 2 2 1 + fx + fy fxy = −I (Xx , Ny ) = F = I (Xx , Xy ) = fx fy f (3.15) 2 2 1 + fx + fy fyy 2 g = −I (Xy , Ny ) = G = I (Xy , Xy ) = 1 + fy (3.16) 2 2 1 + fx + fy N u S là m t c c ti u, có nghĩa là 1 eE + gG − 2f F H= = 0. EG − F 2 2 Hay m t cách tương đương eE + gG − 2f F = 0. Thay các giá tr c a E, F, G và e, f, g tính đư c trên ta nh n đư c phương trình 2 2 fxx (1 + fy ) − 2fx fy fxy + fyy (1 + fx ) = 0. Phương trình trên do Lagrange phát hi n đ u tiên nên đư c g i là phương trình Lagrange. CÁC TÍNH CH T Đ A PHƯƠNG Đ nh nghĩa 9. Tham s hóa X : Ω −→ R3 g i là tr c giao (isothermal) n u E = G và F = 0. Đ nh lý 3.6.2. M i m t tham s c c ti u X đ u có tham s hóa tr c giao đ a phương Ch ng minh. L y p ∈ S, p = X (x0 , y0 ) v i (x0 , y0 ) ∈ Ω. Do các phép bi n đ i đ ng c (rigid motion) không làm thay đ i các h s E, F, G và e, f, g nên chúng bi n m t c c ti u thành m t c c ti u. Do đó không gi m tính t ng quát chúng ta có th gi s p là g c t a đ và Tp X là m t ph ng xy. Theo b đ trên trong m t lân c n c a p, S có tham s hóa ki u đ th . Gi s X (x, y ) = 16
Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý) 2 2 (x, y, f (x, y )). Đ thu n ti n cho vi c vi t các ký hi u, ta đ t w = 1 + fx + fy , p = fx , q = fy . Chúng ta có 2 1 + fx fx fy fy 2 2 − = − (fxx (1 + fy ) − 2fx fy fxy + fyy (1 + fx )) w wx w y 2 1 + fy fx fy fx 2 2 − =− (fxx (1 + fy ) − 2fx fy fxy + fyy (1 + fx )) w w w x y Do S là m t c c ti u nên f th a mãn phương trình Lagrange. Do đó ta có 2 2 1 + fy 1 + fx fx fy fx fy − − = = 0. w wx w wy y x Hay 1 + p2 1 + q2 pq pq − − = = 0. w w w w x y y x Chúng ta xác đ nh hai trư ng vector 1 + p2 pq pq 1 + q 2 V= , ; W= , . w w w w Theo công th c Green, v i Ω là mi n liên thông đơn 1 + p2 pq − V= =0 wx w ∂Ω Ω y 1 + q2 pq − W= =0 w w y ∂Ω Ω x Đi u này cho th y V và W có các hàm th v (potential function), nghĩa là t n t i các hàm s µ và ρ sao cho µ = V và ρ = W. Chúng ta có 1 + p2 pq µx = ; µy = w w 1 + q2 pq ρx = ; ρy = . w w Xét hàm T : Ω −→ R2 T (x, y ) = (x + µ(x, y ), y + ρ(x, y )). Ma tr n Jacobi c a T 1+p2 pq 1 + µx µy 1+ w w dT = = 2 pq + 1+q ρx 1 + ρy 1 w w 2 Do đ nh th c |dT | = (1+w) > 0, nên theo Đ nh lý hàm ngư c, t n t i hàm ngư c T −1 (u, v ) = (x, y ). w Chúng ta có (theo chain rule) 2 1 + 1+q − pq 1 −1 −1 w w d(T ) = (dT ) = 2 − pq 1 + 1+p det dT w w   xu xv 2 1 −pq w+1+q =  yu yv  = w + 1 + p2 −pq (1 + w)2 17
Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý) Bây gi chúng ta s ki m tra tham s hóa X (u, v ) = (x(u, v ), y (u, v ), f (x(u, v ), y (u, v ))) là isothermal. Tính toán tr c ti p ta có 1 (w + 1 + q 2 , −pq, p(w + 1 + q 2 ) + q (−pq )), Xu = 2 (1 + w) 1 (−pq, w + 1 + p2 , q (w + 1 + p2 ) + p(−pq )). Xv = (1 + w)2 Do đó w2 E=G= , (1 + w)2 và F = 0. 2 Nh n xét. Đ nh lý trên cũng đúng cho m t m t chính qui b t kỳ. Đ nh lý 3.6.3. N u X (u, v ) là tr c giao thì X = Xuu + Xvv = (2EH )N. Ch ng minh. Chúng ta có Eu Ev Xu − Xuu = Xv + eN 2E 2G Gu Gv = − Xu − Xvv Xv + gN. 2E 2G Do đó Eu Ev Gu Gv Xu − +− Xuu + Xvv = Xv + eN Xu + Xv + gN 2E 2G 2E 2G Eu Ev Gu Gv Xu − Xv + eN − = Xu + Xv + gN 2E 2G 2E 2G e+g = (e + g )N = 2E N = (2EH )N. 2E Và chúng ta có h qu tr c ti p H qu 3.6.4. M t tham s X (u, v ) v i tham s hóa X tr c giao là m t c c ti u n u và ch n u x, y, z là các hàm đi u hòa, nghĩa là X = 0. 3.7 Các đư ng đ c bi t trên m t 3.7.1 Đư ng chính (line of curvature) Đ nh nghĩa 10. Đư ng chính qui C ⊂ S mà t i m i đi m p ∈ C phương ti p xúc t i p c a C là m t phương chính c a S t i p g i là m t đư ng chính. 18
Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý) M nh đ 3.7.1 (Olinde Rodrigues). Cho C ⊂ S là m t đư ng chính qui và N là trư ng pháp vector đơn v c a S. V i α là m t tham s hóa nào đó c a C, ta có 1. C là m t đư ng chính khi và ch khi N (t) và α (t) cùng phương; α .N 2. n u C là m t đư ng chính thì đ cong chính ng v i α (t) là . α .α Ch ng minh. 1. D th y r ng n u α(t) là vector ch phương chính thì α (t) là m t vector riêng c a DNα(t) và do đó DNα(t) (α (t) = N (t) = λ(t)α (t); ∀t. Chi u ngư c l i là hi n nhiên. N .α N.α 2. kn (p, α ) = − = . α .α α .α 2 B đ 3.7.2. Cho đư ng chính qui C là giao c a m t chính qui S v i m t ph ng P. N u góc gi a S và P là h ng d c theo α thì α là đư ng chính. Ch ng minh. Gi s N và V là các trư ng pháp vector đơn v c a S và P (tương ng) d c theo C. Do P là m t ph ng, V = const. Suy ra V = 0. Do N.V = const, suy ra N ⊥ V. L i do N là trư ng pháp vector đơn v nên N ⊥ N. T đây suy ta N và α cùng phương và do đó α là đư ng chính. 2 Trong trư ng h p n u N = ±V thì N = 0 và do đó m t cách t m thư ng α là đư ng chính. Ví d 12. Xét m t hyperbolic parabolic S có phương trình z = x2 − y 2 . M t là đ th c a hàm s f (x, y ) = x2 − y 2 nên có m t tham s hóa d ng X (u, v ) = (u, v, u2 − v 2 ), v i U = R2 và X (R2 ) = S. Ta có Xv = (0, 1, −2v ); Xu = (1, 0, 2u), Xu ∧ Xv = (−2u, 2v, 1). Do đó m t có m t trư ng pháp vector đơn v xác đ nh b i 1 (u, −v, 1). N (X (u, v )) = + v2 + 1 u2 4 Ta xét t i đi m p = (0, 0, 0). Gi s α là m t đư ng chu n khác c a m t k , t c là X (u, v ) = α(u) + vw(u) = α(u) + vw(u), v i v là hàm c a bi n v, v = v (v ). 19
Hình h c vi phân (Giáo trình đang ch nh lý) 3.7.2 Đư ng ti m c n và ch đ Dupin Đ nh nghĩa 11. Cho S là m t chính qui đ nh hư ng và p là m t đi m thu c S. Vector v ∈ Tp S mà kn (p, v ) = 0 đư c g i là m t vector ch phương ti m c n. M t đư ng ti m c n (asymtotic curve) C trên m t S là m t đư ng chính qui liên thông sao cho v i m i p ∈ C vector ti p xúc t i p là vector ch phương ti m c n. Phương xác đ nh b i vector ch phương ti m c n g i là phương ti m c n. Đ nh nghĩa 12. Ch đ Dupin (Dupin indicatrix) c a m t S t i p là t p t t c các vector v ∈ Tp S sao cho IIp (v ) = ±1. G i {e1 , e2 } là cơ s tr c chu n c a Tp S g m các vector riêng c a DNp , và ký hi u x, y ) là t a đ c a các vector trong Tp S. Cho v ∈ Tp S, v = xe1 + ye2 và gi s v = |v |(cos θe1 + sin θe2 ). Như v y, x = |v | cos θ và y = |v | sin θ. Theo công th c Euler IIp (v ) = v 2 (k1 cos2 θ + k2 sin2 θ = k1 x2 + k2 y 2 = ±1. Nh n xét 6. T đ nh nghĩa chúng ta có các nh n xét sau: 1. Ch đ ti p xúc t i m i đi m là h p c a các conic. 2. T i các đi m elliptic, ch đ Dupin là m t ellipse do k1 và k2 cùng d u. Khi k1 = k2 = 0, đi m là đi m r n không ph i là đi m ph ng, ch đ Dupin là m t đư ng tròn. D th y t i đi m elliptic không có phương ti m c n và do đó không có đư ng ti m c n đi qua các đi m elliptic. 3. T i các đi m hyperbolic, do k1 và k2 trái d u, ch đ Dupin là hai hyperbola liên h p có chung các đư ng ti m c n. Theo các phương ti m c n này, đ cong pháp t i p b ng không. Đi u này gi i thích t i sao có tên g i “phương ti m c n”. D th y t i các đi m hyperbolic có đúng hai phương ti m c n tr c giao nhau. 4. T i các đi m parabolic, m t đ cong chính b ng không do đó ch đ Dupin suy bi n thành hai đư ng th ng song song. Phương c a hai đư ng th ng này chính là phương ti m c n duy nh t t i đi m này. Đ nh nghĩa 13. Cho p là m t đi m trên m t S. Hai vector khác không v1 .v2 |inTp S g i là liên h p n u DNp (v1 ), v2 = DNp (v2 ), v1 = 0. Hai vector liên h p xác đ nh hai phương g i là hai phương liên h p. Hai đư ng th ng n m trong m t ph ng Tp S đi qua p g i là hai đư ng th ng liên h p n u các vector ch phương c a chúng là các vector liên h p. Nh n xét 7. T đ nh nghĩa chúng ta d dàng ki m tra đư c các nh n xét sau: Đ nh nghĩa v hai phương liên h p và hai đư ng th ng liên h p không ph thu c vào các vector đư c ch n. Hai phương chính là hai phương liên h p. 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.