Slide toán phương trình vi phân

ườ

ọ

- GVHD : Lê Ng c C ng

- L p HP

: 1016FMAT0211

ớ

ấ

ố

ế

ẳ

ạ ấ ấ

ấ

ượ

ả

ấ

ụ ụ ng trình vi phân c p 1 và ví d . ụ ươ ng trình vi phân c p 1 bi n s phân li. ấ ng trình vi phân có d ng y’= f(x). ng trình đ ng c p c p 1. ấ ng trình tuy n tính c p 1. ế ng trình Bernoulli. ng trình vi phân c p 2 và ví d . ụ ươ ng trình vi phân c p 2 gi m c p đ ấ ng trình vi phân tuy n tính c p 2. ế ng trình vi phân tuy n tính c p 2 h s ệ ố ế

ấ ấ

Ứ

ủ

•

M c l c: Các d ng ph ạ • Ph ươ • Ph ươ • Ph ươ • Ph ươ • Ph ươ Các d ng ph ạ • Ph ươ • Ph ươ • Ph ươ h ng.ằ  ng d ng c a ph ụ Mô hình ô nhi m môi tr

ng.

ng trình vi phân. ươ ễ

ườ

Các khái ni m c b n:

ệ

ị

ươ

ng trình liên h ệ t và

ơ ả ng trình vi phân là ph ế

ộ ậ

ế

ố

ấ

ủ

ng trình vi phân: là c p cao nh t c a đ o ấ

ấ ủ

ạ

ươ ố

ổ

ộ ậ

ủ

ế

ấ

ớ

ạ ộ

ế ượ

ủ

ệ

ộ

ọ

ng trình đó cho ta đ ng nh t th c đ u g i là

ả ế ấ

ế ứ

ấ ề

ố ồ

ươ

ọ

• Đ nh nghĩa: Ph gi a bi n đ c l p (hay các bi n đ c l p) hàm ch a bi ộ ậ ế ữ đ o hàm c a hàm s đó. ủ ạ • C p c a ph hàm c a hàm s có m t trong phuong trình đó. ặ ủ -D ng t ng quát c a PTVP c p n v i bi n đ c l p x, bi n ph ụ thu c y là trong đó không đ khuy t . ế • Nghi m c a ph ng trình vi phân: ư Cho m t PTVP c p n, m i hàm s , kh bi n đ n c p n mà khi ấ thay vào ph nghi m c a PTVP đó. ủ ệ

NG TRÌNH VI PHÂN C P 1

Ấ

ƯƠ 1.Đ nh nghĩa:

ng trình vi phân c p 1 có d ng :

ấ

ạ F(x, y, y’) =0

ị ươ + D ng t ng quát

ạ ạ

2. Đ nh lí t n t

ổ + D ng chính t c ồ ạ

ị

ắ y’= f(x) i và duy nh t nghi m ấ

ệ :

- Cho PTVP c p 1:y’=f(x,y) n u f(x,y) liên t c trên mi n ụ ề ế ấ

m D v i Mo(xo,yo) D t n t i nghi m y=f(x) Th a mãn ồ ạ ớ ở ệ ỏ ˛

yo=y(xo). N u f(x)liên t c trên D thì nghi m đó là duy ụ ế ệ

nh t ấ

ề ệ

ầ

ọ

3.Đi u ki n ban đ u c a PTVP: N u ế g i là đi u ki n ban đ u ệ ầ ủ ề

ng trình vi phân c p 1

ấ

ươ ạ ng trình có d ng ng pháp gi

2.Các lo i ph ươ ươ

c ạ i: tích phân 2 v ta đ ả y’= f (x) ượ ế

2.1 Ph Ph

)( yg

)( dxxf

2.2 Ph ươ ng trình vi phân c p 1 bi n s phân li: ấ ế ố

xdx

(cid:242) (cid:242) a. D ngạ : f(x)dx = g(y)dy b. PP: tích phân 2 v ta đ ế ượ c

vd:

c ượ

+ ydy + ydy

0= = c

xdx

ế = (cid:222) (cid:242) (cid:242)

tích phân 2 v ta đ 2 y 2

= 22

x 2 c là nghi m c a ph ệ

(cid:222) ng trình. ươ ủ

(1)

2.3 Ph ng trình đ ng c p ươ ấ c p 1: ấ ẳ

a.D ngạ

xu .

+= u

y (cid:222)= x

(cid:222) Đ t ặ

ng trình (1) ta đ c ươ ượ cách làm: Thay y’ vào ph

vd: gpt

(

y )2

xdy

xĐK ( :

„ (cid:222)

dy dx xu .

y x += uy '

xu '

(cid:222)

y (cid:222)= x

Đ t ặ

+= 21' u

ng trình ta đ ươ c ượ Thay y’ vào ph

ĐK (

„+ u

du + 1 u

dx x

(cid:222)

1ln

=+ u

(cid:222)+ c

=+ u

. xc

(cid:222)

= cxx (

u =

- Thay ta có:

y x 0=x

Tr ng h p là nghi m c a (1) ườ ủ ệ ợ

ng trình đ ng c p ng trình đ a v ph ư ề ươ ẳ ấ

- Cách gi + Xét đ nh th c + Đ t:

b.Ph ươ - D ng ạ

ặ

ị

i:ả ứ

Khi đó ta có

(cid:246) (cid:230)

+ +

(cid:247) (cid:231)

dY dX

aX dX

bY eY

Đ t .Ta gi

 gi

ặ

ả

i PT đ ng c p ẳ

ấ

+ N u đ nh th c thì

ứ

ế

ị

Đ t đ a v PT v ph i không ch a ề

ứ

ế

ặ

ả

ł Ł

Ví d : ụ GPT

Ta có: Đ t:ặ

Khi đó ta có: (*)

Đ t:

ặ

2.4 Ph

ươ

ng trình tuy n tính c p 1 ế + )( xQyxPy ' )(

ấ (*)

+ yxPy '

)(

thì ph ng trình a. D ng: ạ 0)( =xQ • N u ế ươ

đ thu n nh t. ấ ầ ấ

ng trình tuy n tính c p 1 ế 0 ng trình (*) thì ph

đ không c g i là ph ươ ượ ọ „xQ • N u ế )( c g i là ph ươ ọ ươ ng trình tuy n tính c p 1 ế ấ ượ

thu n nh t. ầ ấ

ng trình ệ ủ ổ ươ

a. Cách gi iả :

Nghi m t ng quát c a ph tuy n tính c p 1 (*) có d ng: ấ ế ạ

xP (

)

xP (

)

[

exQ ( ).

]

- (cid:242) (cid:242)

(cid:242)

(cid:222)

: gi

i:ả

ả

i pt thu n nh t: ầ

ấ

+ yxPy '

)(

( y=0 không ph i nghi m c a ph

ng trình đã cho)

ủ

ệ

ả

ươ

: Coi D=D(x)

B c 2 ướ

)(

+ ' xQyxPy )( thay y’ vào PT: đ

c:ượ

xP )(

Cách gi B c 1 ướ

xD )(

exQ ( ).

]

(cid:242)

(cid:242) (cid:222)

Ví d : GPT ụ (*) Xét ph

ng trình thu n nh t: ươ ấ ầ

c:ượ

(1)

Coi D=D(x) Thay y’ vào (*) ta đ

2.5 Ph

ươ

ng trình Bernouli ayxQyxPy + = ' ).

)(

(

(*)

(*) là pt tuy n tính c p 1 ế

ấ

[

a) D ng ạ

] + yxQxPy '

)(

0=a +, (*) có d ngạ

Đây là pt tuy n tính c p 1 thu n nh t ấ

ế

ấ

ầ

- a) Cách gi i:ả 1=a

¢ ¢ ¢

)

Đ tặ

(*) có d ng ạ =¢ a-= 1y z

1,0#a + xP )(

xQ )(

y a y

chia c 2 v ế ả y a y

- (cid:222)

+ y a y

+¢

xQzxP )(

)(

zPz )

x )(

xQ ) )(

(*)

- - (cid:222)

+,y=0 là nghi m c a pt

ủ

ệ

PH NG TRÌNH VI PHÂN C P 2 ƯƠ Ấ

1.Đ nh nghĩa ị

•Ph ng trình vi phân c p 2 t ng quát có d ng: ấ ạ

0)",'

yyxf

hay ươ =yyyxF , ổ y = "

ng trình vi phân c p 2 ổ ệ ấ

•Nghi m t ng quát c a ph ươ ủ y 21 ccx , ,( ) là hàm

y = "

yyxf

ng trình vi phân c p 2: ấ

Tìm nghi m ph ươ ề thỏa ệ ầ

ệ mãn đi u ki n đ u: = (cid:236) x, a, b các s cho tr ố cướ

(cid:237)

(cid:238)

b 2. Các d ng toán c a ph

)( xy 0 )(' xy 0 ạ

ng trình vi phân ươ ủ

xf )(

y = " a. D ngạ

c p2:ấ

- Cách gi iả :tích phân 2 l nầ

y = "

yxf ,(

b- D ng: ạ

xz )(

y '

- Cách gi H b c b ng cách đ t i:ả ạ ậ ằ ặ

y = "

yyf ,(

3. Ph ng trình d ng: ươ ạ

a- D ng:ạ

yz )(

b- Cách gi H b c b ng cách đ t i:ả ạ ậ ằ ặ

" y

(cid:215)= z

'. zz

dz dx

dz dy

dy dx

dz dy

-Vd:

(cid:215) (cid:222)

(1)

yy ".

- y

2 = '

Vd: gi i pt: ả

Đ tặ

yz )(

" y

dz dy

2 =

(cid:215) (cid:222)

(1)

dzy dy

- (cid:215)

;

(

ĐK

dy y

dz z

„ „ (cid:222)

yc 1

c 1

ng trình có

V ph ậỵ

ươ

nghi mệ

yc 1

(cid:222) (cid:222)

4.Ph

ng trình vi phân tuy n tính

ươ

ế

c p 2 : ấ

Ph ng trình tuy n tính c p 2 có d ng t ng quát là ươ ế ấ ạ ổ

+ " y

+ '

xf )(

ba,

các h ng s ố ằ

a) Ph ươ ấ ớ ầ

+ '

ng trình tuy n tính c p 2 thu n nh t v i ấ = (*) ế + y ay " h s h ng s : ố ệ ố ằ

=+ b

Ph ng trình ươ đ c g i là ượ ọ

ph ng trình đ c tr ng c a ph ng trình (*). ươ ư ủ ặ ươ

ng trình đ c tr ng có 2 nghi m ươ ệ phân ư ặ ế

1, l

* N u ph

bi t ệ

)( xy

ec 1

Nghi m t ng quát c a p trinh (*) là: ủ ệ ổ

ec 2 l

)( xy

(

c 1

l + x l = 1 2 l + xexc ) 2

* ng trình đ c tr ng có nghi m kép N u ph ế ươ ư ệ ặ

Nghi m t ng quát c a p ủ trình (*) là: ổ

* ng trình đ c tr ng có nghi m ph c ứ ư ệ ặ

ệ N u ph ế l ươ a += (cid:236)

a -=

(cid:237)

(cid:238)

Nghi m t ng quát c a ph ủ ệ ổ

xy )(

a e

(

sin

cos

)

c 1

c 2

ươ b ng trình + (*) là: b

a) Ph ươ ế ấ

+ " y

ng trình tuy n tính c p 2 không thu n nh t ấ + ' ay ầ xf )( v i h s h ng s : ố ớ ệ ố ằ

)(

)(ˆ xy

Nghi m t ng quát c a ph ng trình này có d ng: ủ ệ ổ ươ ạ

xy )(

(cid:236) ệ

(cid:239) (cid:239) thu n nh t: ấ ầ là nghi m t ng quát c a ph ng trình ươ ổ + = y " 0 ủ + by ' V i ớ (cid:237)

(cid:239)

)(ˆ xy

(cid:239) ệ (cid:238)

ấ là nghi m riêng c a ph ươ + ay ' ủ + y " không thu n nh t: ầ ng trình = by xf )(

)(ˆ xy

xa=

Cách tìm nghi m riêng ệ

xf )(

xPe )( n

Tr ng h p ườ ợ

l đ c tr ng: ư ặ

n ng trình đ c

ươ xa=

N u ế α không ph i là nghi m c a ph ủ ả al + 2 )(ˆ xy 0 N u ế α là nghi m kép c a ph ươ ệ

ệ = ủ ng trình xQe . )( ặ

tr ng: ư l + 2

=

)(ˆ xy

xa 2 xQex . )(

al

0

ng trình đ c ủ ơ ươ ặ

+ b Lúc này: N u ế α là nghi m đ n c a ph ệ

tr ng: ư

)(ˆ xy

xQex . . )(

Khi đó:

'2" y y (1) ạ

- vd: tìm nghi m t ng quát ệ ổ

2 xxe + xy )(

(1) )(ˆ xy

ệ ổ

=+ y = xy )( Nghi m t ng quát c a pt có d ng: ủ )(xy

B c 1 ướ : Tìm

k (cid:222)= 1

)( xy

xexc ) 2 x2 xe ng trình đ c

- Ph có ươ ng trình đ c tr ng ặ ư

01 + ( c 1 = )( xf ươ

k nghi m kép ệ 1 ướ : Tìm B c 2 α=2 là ko là nghi m ệ tr ngư )(ˆ xy

)

ủ (1)

là nghi m riêng c a -= A

ệ B

Ta có: c a ph ủ ặ

e Ax .( thế vào

(1)

)(ˆ xy L y

,1 +

2 +

ấ

)( xy

(

).2 e

(

V y nghi m TQ là: ệ

ậ

) exc 2

c 1

xf )(

(

)(sin

xQx (

cos

]

a xPe [ n

•Tr ng h p ườ ợ

α ± iβ không ph i là nghi m c a ả

 N u ế ph ươ )(ˆ xy

ủ ệ

[

]

)( xKx l l = max{

cos nm },

ng trình đ c tr ng thì ư ặ = b sin)( xHe

 N u ế α ± iβ là nghi m c a ph

ng trình đ c ủ ệ ươ ặ

x xHex . [

sin)(

]

xKx )( l l = max{

cos nm },

tr ng thì = ư )(ˆ xy

+ 4" y

cos

)(xy

VD1: Tìm nghi m t ng quát c a ph ng trình ủ ệ ổ ươ

B c 1 ướ : Tìm

=+k 042

có nghi mệ Ph ươ ng trình đ c tr ng ặ ư

,2 i

2 i

k 1

ph c là: ứ

(

cos

x )2sin

c 1

c 2

(cid:222)

= xy e )( )(ˆ xy = xf )(

.1(

cos

x )2sin.0

a (

= nm ,0

B c 2 ướ : Tìm

2–= i

a Ta có:

– ng trình là nghi m c a ph ệ ủ ươ

)(ˆ xy

(

cos

+ Bx

x )2sin

đ c tr ng nên ư ặ

)(ˆ xy th vào ph ế =

c ươ ượ L y ấ

ng trình đ u ta tính đ ầ 1 4

ng trình đ u là: ươ ầ

+

ậ xy )(

(

)2sin x

2sin

1 4

ệ = = V y nghi m t ng quát c a ph ổ ủ )(ˆ xy xy )( + cos 2 c c 1 2

ng h p nguyên lí ch ng ch t nghi m: ườ ệ ấ ồ ợ

• Tr

)(ˆ xy 1

: (cid:236)

(cid:239) là nghi m riêng c a ph ươ ệ + = " yxbyxay ')( ủ )( ng trình 1 xf )( (cid:239)

V i ớ (cid:237)

(cid:239)

)(ˆ xy 2

(cid:239) : (cid:238)

là nghi m riêng c a ph ươ ệ + = " yxbyxay ')( ủ )( ng trình 2 xf )(

ng trình

Là nghi m c a ph ệ

ủ

ươ

)(ˆ xy

)(ˆ xy 1

)(ˆ xy 2

+ ''

+ yxbyxa

')(

)(

xf )( 1

xf )( 2

Khi đó:

Ph n 3: ng d ng c a ph

ng trình vi

ầ

ứ

ụ

ươ

ườ

ủ phân Mô hình ô nhi m môi tr ễ ng . Hàm l

ng ng tăng theo quy

ượ

ể

ả

ố ể

ụ ở

ầ

ấ

ượ ọ ượ

ng mà nhà máy th i ra vào khí quy n (1) : tham s bi u di n t ph n C h p th b i MTTN ễ ỉ

• G i y là hàm l x: l lu t: ậ

ng)

ố ươ

ằ

ạ ộ

ế ớ

ễ ỉ

ị ạ

ể

ầ

ố

ủ

ễ

ố ấ

ậ ả ả ử s th i ra khí quy n tăng theo quy lu t: ể

ể ễ

i d ng PTVP c p 2. ướ ạ ệ ấ

•Gi (2) (a,b, β: h ng s d β: bi u di n t ph n b h n ch b t do ho t đ ng ch ng ô nhi m c a các qu c gia Mô hình này là 1 h 2 PTVP c p 1, ta có bi u di n chúng d

Đ o hàm 2 v ph (1) ta có: ế ạ ươ ng trình

(3)

Th ế (2) vào (3)



ng trình thu n nh t, tìm nghi m ươ ệ ầ ấ

Xét ph =

ng trình thu n nh t: ươ ấ ầ

Nghi m c a ph ệ ủ =)(ty

yˆ

ệ ố ấ ị

S d ng h s b t đ nh : ử ụ (t) =

•  nghi m ph ng trình ệ ươ