LỜI MỞ ĐẦU
Chúng tôi thành thật cám ơn Trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế đã tạo điều kiện để bài
giảng này được ra đời. Trong quá trình viết chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót. Chúng
tôi rất mong nhận được càng nhiều càng tốt những ý kiến đóng góp của bạn đọc, sinh viên cũng
như các đồng nghiệp.
Huế, ngày 16 tháng 01 năm 2006
Tác giả
i
Mục lục
1 Lý thuyết đường 1
1.1 Đườngthamsố ............................. 1
1.1.1 Định nghĩa đường tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Đường tham số chính quy. Độ dài cung . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Các tính chất địa phương của đường tham số trong R3....... 7
1.2.1 Độcong.............................. 7
1.2.2 Trường mục tiêu Frénet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Độ xoắn. Công thức Frénet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4 Công thức tính độ cong và độ xoắn . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5 Định lý cơ bản cho đường tham số trong R3......... 15
1.3 Đường tham số trong R2(Đường tham số phẳng) . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Định lý cơ bản cho đường tham số phẳng . . . . . . . . . . 19
1.3.2 Đường tròn mật tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3 Đường túc bế và đường thân khai . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Một số tính chất toàn cục của các đường cong phẳng . . . . . . . . 23
1.4.1 Bài toán đẳng chu và bất đẳng thức đẳng chu . . . . . . . . 24
ii
Hình học vi phân
1.4.2 Định lý bốn đỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iii
Chương 1
Lý thuyết đường
1.1 Đường tham số
Phép tính vi tích phân là công cụ chủ yếu để nghiên cứu hình học vi phân. Do đó
một cách tự nhiên và hợp lý nhất là để sử dụng công cụ này là đồng nhất chúng
hoặc một bộ phận của chúng với các đối tượng của giải tích, các hàm khả vi.
1.1.1 Định nghĩa đường tham số
Định nghĩa 1. Cho ánh xạ
c:I−→ Rn
với I⊂Rlà một khoảng (mở, đóng, nửa mở nửa đóng, nửa đường thẳng thực
hoặc cả toàn bộ đường thẳng thực. . . ). Gọi C=c(I)⊂Rn,ảnh của toàn bộ tập
I. Khi đó (C, c)được gọi là một đường tham số (parametrized curve) với tham số
hóa cvà tham số t. C được gọi là vết của đường tham số.
Nếu clà hàm liên tục, khả vi lớp Ck, khả vi lớp C∞. . . thì tương ứng ta nói Clà
đường tham số liên tục, khả vi lớp Ck, khả vi lớp C∞....
Giả sử c(t)=(x1(t),x
2(t),...,x
n(t)),thì ckhả vi lớp Ck(k=0,1,2,...)có nghĩa
là các hàm thành phần
xi:I−→ R
1
Hình học vi phân
khả vi lớp Ck(k=0,1,2,...).
Nếu clà khả vi thì vector c′(t):=(x′
1(t),x
′
2(t),...,x
′
n(t)) ∈Rn,gọi là vector tiếp
xúc hay vector vận tốc của Ctại c(t)(hay của ctại t).
Chú ý.
1. Trong suốt giáo trình này, nếu không nói gì thêm, thuật ngữ khả vi được hiểu
là khả vi tại mọi điểm và khả vi đến lớp cần thiết. Từ đây trở đi chúng ta chỉ
xét các đường tham số khả vi. Vì thế, khi không cần nhấn mạnh chúng ta sẽ
bỏ đi từ khả vi.
2. Để đơn giản, thay vì dùng ký hiệu đầy đủ (C, c)để chỉ đường tham số ta
có thể nói Clà đường tham số nếu tham số hóa đã biết. Thật ra tham số
hóa của đường tham số cho phép ta xác định được vết của nó nên khi nói
về đường tham số chỉ cần cho tham số hóa của nó là đủ. Đây là lý do đa số
các tài liệu đều đồng nhất đường tham số với tham số hóa của nó. Chúng ta
cũng sẽ làm như vậy trong suốt giáo trình này. Nhiều tài liệu sử dụng thuật
ngữ cung tham số thay vì đường tham số.
3. Khái niệm đường cong trong chương này sẽ được hiểu là vết của một đường
tham số nào đó. Về sau khái niệm này còn được hiểu theo một nghĩa rộng
hơn (xem Nhận xét ??, Chương II).
4. Các ví dụ dưới đây sẽ cho thấy một tập con C⊂Rncó thể có nhiều tham số
hóa khác nhau. Với hai tham số khác nhau sẽ cho các tính chất khác nhau.
Ví dụ 1. Chúng ta có thể xem đồ thị của hàm số y=f(x)với miền xác định
I⊂Rnhư là vết của đường tham số c:I−→ R2;c(t)=(t, f(t)).
Ví dụ 2. Đường tham số (với tham số hóa)
c(t)=p+tv ∈Rn,
là đường thẳng đi qua điểm p với vector vận tốc v.
Ví dụ 3. Đường tròn tâm O, bán kính r có một tham số hóa dạng
c(t)=(rcos t, r sin t),
2