intTypePromotion=1

Hình Học Vi Phân - chương 1 Lý Thuyết Đường

Chia sẻ: Hoang Nam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

0
405
lượt xem
117
download

Hình Học Vi Phân - chương 1 Lý Thuyết Đường

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phép tính vi tích phân là công cụ chủ yếu để nghiên cứi hình học vi phân. do đó một cách tự nhiên và hợp lý nhất là để sử dụng công cụ này là đồng nhất chúng hoặc một bộ phận của chúng với các đối tượng của giải tích, các hàm khả vi

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Hình Học Vi Phân - chương 1 Lý Thuyết Đường

  1. L IM ĐU Chúng tôi thành th t cám ơn Trư ng Đ i H c Sư Ph m, Đ i H c Hu đã t o đi u ki n đ bài gi ng này đư c ra đ i. Trong quá trình vi t ch c ch n s không tránh kh i nh ng sai sót. Chúng tôi r t mong nh n đư c càng nhi u càng t t nh ng ý ki n đóng góp c a b n đ c, sinh viên cũng như các đ ng nghi p. Hu , ngày 16 tháng 01 năm 2006 Tác gi i
  2. M cl c 1 Lý thuy t đư ng 1 1.1 Đư ng tham s ............................. 1 1.1.1 Đ nh nghĩa đư ng tham s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Đư ng tham s chính quy. Đ dài cung . . . . . . . . . . . . 4 Các tính ch t đ a phương c a đư ng tham s trong R3 . . . . . . . 1.2 7 1.2.1 Đ cong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Trư ng m c tiêu Frénet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Đ xo n. Công th c Frénet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.4 Công th c tính đ cong và đ xo n . . . . . . . . . . . . . . 13 Đ nh lý cơ b n cho đư ng tham s trong R3 . . . . . . . . . 15 1.2.5 Đư ng tham s trong R2 (Đư ng tham s ph ng) . . . . . . . . . . 17 1.3 1.3.1 Đ nh lý cơ b n cho đư ng tham s ph ng . . . . . . . . . . 19 1.3.2 Đư ng tròn m t ti p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.3 Đư ng túc b và đư ng thân khai . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4 M t s tính ch t toàn c c c a các đư ng cong ph ng . . . . . . . . 23 1.4.1 Bài toán đ ng chu và b t đ ng th c đ ng chu . . . . . . . . 24 ii
  3. Hình h c vi phân 1.4.2 Đ nh lý b n đ nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 iii
  4. Chương 1 Lý thuy t đư ng 1.1 Đư ng tham s Phép tính vi tích phân là công c ch y u đ nghiên c u hình h c vi phân. Do đó m t cách t nhiên và h p lý nh t là đ s d ng công c này là đ ng nh t chúng ho c m t b ph n c a chúng v i các đ i tư ng c a gi i tích, các hàm kh vi. 1.1.1 Đ nh nghĩa đư ng tham s Đ nh nghĩa 1. Cho ánh x c : I −→ Rn v i I ⊂ R là m t kho ng (m , đóng, n a m n a đóng, n a đư ng th ng th c ho c c toàn b đư ng th ng th c. . . ). G i C = c(I ) ⊂ Rn , nh c a toàn b t p I. Khi đó (C, c) đư c g i là m t đư ng tham s (parametrized curve) v i tham s hóa c và tham s t. C đư c g i là v t c a đư ng tham s . N u c là hàm liên t c, kh vi l p C k , kh vi l p C ∞ . . . thì tương ng ta nói C là đư ng tham s liên t c, kh vi l p C k , kh vi l p C ∞ . . . . Gi s c(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)), thì c kh vi l p C k (k = 0, 1, 2, . . . ) có nghĩa là các hàm thành ph n xi : I −→ R 1
  5. Hình h c vi phân kh vi l p C k (k = 0, 1, 2, . . . ). N u c là kh vi thì vector c (t) := (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) ∈ Rn , g i là vector ti p xúc hay vector v n t c c a C t i c(t) (hay c a c t i t). Chú ý. 1. Trong su t giáo trình này, n u không nói gì thêm, thu t ng kh vi đư c hi u là kh vi t i m i đi m và kh vi đ n l p c n thi t. T đây tr đi chúng ta ch xét các đư ng tham s kh vi. Vì th , khi không c n nh n m nh chúng ta s b đi t kh vi. 2. Đ đơn gi n, thay vì dùng ký hi u đ y đ (C, c) đ ch đư ng tham s ta có th nói C là đư ng tham s n u tham s hóa đã bi t. Th t ra tham s hóa c a đư ng tham s cho phép ta xác đ nh đư c v t c a nó nên khi nói v đư ng tham s ch c n cho tham s hóa c a nó là đ . Đây là lý do đa s các tài li u đ u đ ng nh t đư ng tham s v i tham s hóa c a nó. Chúng ta cũng s làm như v y trong su t giáo trình này. Nhi u tài li u s d ng thu t ng cung tham s thay vì đư ng tham s . 3. Khái ni m đư ng cong trong chương này s đư c hi u là v t c a m t đư ng tham s nào đó. V sau khái ni m này còn đư c hi u theo m t nghĩa r ng hơn (xem Nh n xét ??, Chương II). 4. Các ví d dư i đây s cho th y m t t p con C ⊂ Rn có th có nhi u tham s hóa khác nhau. V i hai tham s khác nhau s cho các tính ch t khác nhau. Ví d 1. Chúng ta có th xem đ th c a hàm s y = f (x) v i mi n xác đ nh I ⊂ R như là v t c a đư ng tham s c : I −→ R2 ; c(t) = (t, f (t)). Ví d 2. Đư ng tham s (v i tham s hóa) c(t) = p + tv ∈ Rn , là đư ng th ng đi qua đi m p v i vector v n t c v. Ví d 3. Đư ng tròn tâm O, bán kính r có m t tham s hóa d ng c(t) = (r cos t, r sin t), 2
  6. Hình h c vi phân c(I ) f (b) f (a) c(I ) c c(t) = (t, f (t) a b I I Hình 1.1: c(t) = (t, f (t)). Hình 1.2: c(t) = (x(t), y (t)). Ví d 4. Đư ng parabol có m t tham s hóa d ng c(t) = (t, t2 ), Ví d 5. Cho đư ng tham s C v i tham s hóa t ∈ R , a > 0, b = 0 . c(t) = (a cos t, a sin t, bt); Đư ng tham s C g i là đư ng xo n c. Đư ng n m trên m t tr x2 + y 2 = a2 v i đ d c 2πb. Tham s t chính là góc gi a tr c x v i đư ng th ng n i O v i hình chi u c a c(t) lên m t ph ng Oxy. 6. Ánh x c : R −→ R2 , xác đ nh b i Ví d c(t) = (t3, t2 ); t ∈ R, là tham s hóa c a m t đư ng tham s kh vi l p C ∞. Chú ý r ng c (0) = (0, 0), t c là t i t = 0 vector v n t c b ng 0. 7. Ánh x c : R −→ R2 , xác đ nh b i Ví d c(t) = (t3 − 4t, t2 − 4); t ∈ R, là tham s hóa c a m t đư ng tham s kh vi l p C ∞ . Chú ý r ng c(2) = c(−2) = (0, 0), t c là ánh x c không đơn ánh. 3
  7. Hình h c vi phân 8. Ánh x c : R −→ R2 , xác đ nh b i Ví d t ∈ R, c(t) = (t, |t|); là tham s hóa c a m t đư ng tham s liên t c không kh vi vì hàm y (t) = |t| không kh vi t i t. 9. Hai ánh x c, r : R −→ R2 , xác đ nh b i Ví d c(t) = (cos t, sin t), r (t) = (cos 2t, sin 2t); là hai tham s hóa khác nhau c a đư ng tròn x2 + y 2 = 1. Chúng xác đ nh hai đư ng tham s v i các vector ti p xúc t i t ng đi m là khác nhau vì có đ dài khác nhau. 10. Hai ánh x c, r : R −→ R2 , xác đ nh b i Ví d c(t) = (t, t), r (t) = (t3, t3 ); là hai tham s hóa c a cùng m t đư ng th ng x = y. Chúng xác đ nh hai đư ng tham s v i các vector ti p xúc t i t ng đi m là khác nhau. Hai đư ng cong này mô t hai chuy n đ ng cùng qu đ o nhưng cách chuy n đ ng hoàn toàn khác nhau. Đư ng cong th nh t mô t chuy n đ ng đ u trên đư ng th ng. Đư ng cong tham s th hai mô t chuy n đ ng ch m d n (v i t < 0), v n t c t c th i b ng không t i t = 0, và sau đó (v i t > 0) chuy n đ ng nhanh d n . 1.1.2 Đư ng tham s chính quy. Đ dài cung Đ nh nghĩa 2. Cho đư ng tham s c : I −→ Rn . N u c (t) = 0 thì t (hay c(t)) g i là đi m chính quy còn nh ng đi m mà c (t) = 0 g i là đi m kỳ d . V i m i t ∈ I mà c (t) = 0, chúng ta g i đư ng th ng đi qua c(t) v i vector ch phương c (t) là ti p tuy n c a c t i t. Đư ng tham s c : I −→ Rn g i là đư ng tham s chính quy n u m i đi m đ u là đi m chính qui, t c là c (t) = 0 v i m i t ∈ I. 4
  8. Hình h c vi phân Đ nh nghĩa 3. Đ dài cung c a m t đư ng tham s chính quy c : I −→ Rn , t đi m t0 đ n t, v i t0 , t ∈ I, đư c đ nh nghĩa là s t s(t) = |c (t)|dt. t0 ds Do c (t) = 0 nên đ dài cung là m t hàm kh vi c a t và = |c (t)|. dt Đ nh nghĩa 4. Đư ng tham s chính qui c : I −→ Rn , (n = 2, 3) v i |c(t)| = 1, ∀t g i là đư ng tham s v i tham s là đ dài cung, hay v i vector v n t c đơn v hay đư ng tham s v i tham s hóa t nhiên. Tham s đ dài cung thư ng đư c ký hi u là s. N u ta có |c (t)| = 1, thì t dt = t − t0. t0 Do đó đ dài cung c a c là s đo t m t tham s nào đó. Trong trư ng h p t0 = 0, thì s(t) = t. Đi u này gi i thích thu t ng tham s đ dài cung. Đ nh nghĩa 5. Hai đư ng tham s c : I −→ Rn , r : J −→ Rn g i là tương đương n u t n t i vi phôi ϕ : I −→ J sao cho c = r ◦ ϕ. Nh n xét. 1. D nh n th y n u đư ng tham s c là chính qui và r là đư ng tham s tương đương v i nó thì r cũng chính qui. N u ϕ < 0, thì c và r ngư c chi u nhau. Trong trư ng h p này ta nói c và r là tương đương ngư c hư ng. 2. N u ϕ > 0, thì c và r cùng chi u. Trong trư ng h p này ta nói c và r là tương đương cùng hư ng. 3. Cho đư ng tham s chính qui c : [a, b] −→ Rn . Khi đó ta có th đ nh nghĩa đ dài c a đư ng tham s c là s b L(c) = |c (t)|dt. a 5
  9. Hình h c vi phân Khi đó n u hai đư ng tham s chính qui c : [a, b] −→ Rn và r : [c, d] −→ Rn là tương đương thì L(c) = L(r ). Th t v y, b b L(c) = |c (t)|dt = |(r ◦ ϕ) (t)|dt a a b d |(r (ϕ(t))|.|ϕ (t)|dt = |(r (τ )|dτ a c Ví d 11. Cho c : I −→ Rn là đư ng tham s chính qui v i tham s là đ dài cung v i I = (a, b). Ta xác đ nh đư ng tham s r : (−b, −a) −→ Rn , r (−s) = c(s). Khi đó d th y v t c a c và r là trùng nhau, |r (−s)| = |c (s)|, nhưng r (−s) = −c (s). Hai đư ng cong tham s này là ngư c hư ng nhau. Chúng ta có đ nh lý sau: Đ nh lý 1.1.1. M i đư ng tham s chính quy đ u t n t i đư ng tham s v i tham s là đ dài cung tương đương (cùng hư ng) v i nó. Ch ng minh. Gi s c : I −→ Rn là đư ng tham s v i tham s không nh t thi t là đ dài cung. Xét hàm t s = s(t) = |c (t)|dt, t, t0 ∈ I. t0 ds Do = |c (t)| > 0, hàm s = s(t) có hàm ngư c kh vi t = t(s) ∈ s(I ) = J. Đ đơn dt gi n v m t ký hi u ta dùng t đ ch hàm ngư c c a s t c là t = s− 1. Đ t β = c ◦ t : −1 dt ds n J −→ R , thì d th y β (J ) = c(I ) và |β (s)| = |c (t). | = |c (t). | = 1. ds dt Như v y β là đư ng tham s v i tham s là đ dài cung tương đương v i c. Ví d 12. Cho đư ng tham s t ∈ R , a > 0, b = 0 . c(t) = (a cos t, a sin t, bt); Hãy tính đ dài c a đư ng xác đ nh trên đo n [0, 1] (đ dài c a đư ng t đi m 0 đ n 1) và xác đ nh tham s hóa v i tham s đ dài cung tương đương v i c. 6
  10. Hình h c vi phân Ta có 1 1 a2 + b2 dt = a2 + b2 . L(c|[0,1]) = |c (t)|dt = 0 0 Đt t a2 + b2 t. s(t) = |c (t)|dt = 0 Suy ra s t(s) = √ . a2 + b2 Như v y ta có tham s hóa v i tham s là đ dài cung s s s a cos √ , a sin √ , b√ r (s) = . a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 Các tính ch t đ a phương c a đư ng tham s trong R3 1.2 Trong m c này chúng ta ch xét các đư ng tham s trong R3 . 1.2.1 Đ cong. Đ nh nghĩa 6. Cho đư ng tham s v i tham s là đ dài cung c : I −→ R3 . S không âm |c (s)| g i là đ cong c a c t i s và đư c ký hi u là k (s). Khi đó ta có hàm không âm k : I −→ R, g i là hàm đ cong c a đư ng tham s c. Ý nghĩa hình h c c a đ cong. G i θ là góc gi a c (s) và c (s + s) (tính b ng radian) thì θ k (s) = lim . s s→0 Th t v y, ta có θ |2 sin | = |c (s + s) − c (s)| = | s(c (s) + )|, 2 7
  11. Hình h c vi phân c (s ) c (s ) c(s + ) θ c (s + ) Hình 1.3: Đ cong đo s tách kh i ti p tuy n c a đư ng tham s . trong đó → 0 khi s → 0. T đây, θ 2 sin θ θ 2 2 lim = lim . θ s s s→0 sin →0 2 θ 2 = lim . lim |c (s) + | = |c (s)| = k (s). sin θ s→0 s→0 2 Do đó có th nói đ cong k (s) đo s thay đ i c a góc gi a các ti p tuy n t i s và ti p tuy n t i s + s. Nó cho th y đ “tách” kh i ti p tuy n t i s c a đư ng cong. Nh n xét. 1. N u đư ng tham s là đư ng th ng c(s) = vs + p thì hàm đ cong b ng không. Ngư c l i, n u đư ng tham s có k (s) = 0, ∀s ∈ I thì d dàng ch ng minh đư c r ng đư ng có tham s hóa d ng c(s) = vs + p, nghĩa là đư ng là đư ng th ng (ho c m t ph n c a đư ng th ng). 2. N u đ o ngư c hư ng c a đư ng thì d th y vector ti p xúc đ i hư ng còn vector c (s) không thay đ i. T đây suy ra vector c (s) và hàm đ cong là các b t bi n (không thay đ i) không ph thu c vào hư ng c a đư ng. 8
  12. Hình h c vi phân 1.2.2 Trư ng m c tiêu Frénet. Đ nh nghĩa 7. Cho đư ng tham s c : I −→ R3 . N u t i t ∈ I h g m hai vector {c (t), c (t)} đ c l p tuy n tính thì t (hay c(t)) đư c g i là đi m song chính qui. Đư ng tham s mà m i đi m đ u là đi m song chính qui đư c g i là đư ng tham s song chính qui. Nh n xét. D th y r ng m t đư ng tham s r tương đương v i m t đư ng tham s song chính qui c thi r cũng là song chính qui. Cho đư ng tham s song chính qui v i tham s là đ dài cung c : I −→ R3 . Do |c (s)| = 1, nên suy ra c (s).c (s) = 0. Nói cách khác c (s) ⊥ c (s). Chúng ta đ t t(s) := c (s), 1 n(s) := c (s) k (s) và b(s) := t(s) ∧ n(s). Chúng ta g i t(s) là vector ti p xúc đơn v t i s; vector n(s) là vector pháp chính t i s còn vector b(s) là vector trùng pháp t i s. Như v y, chúng ta có các hàm vector t, n, b : I −→ R3 . T i m i s ∈ I (chính xác là t i m i c(s) ∈ c(I )) chúng ta có m t m c tiêu tr c chu n {c(s); t(s), n(s), b(s)}. Chúng ta g i {t, n, b} là trư ng m c tiêu Frénet d c đư ng cong c. Chúng ta còn có các khái ni m sau: 1. Đư ng th ng đi qua c(s) v i vector ch phương n(s) g i là pháp tuy n chính. 2. Đư ng th ng đi qua c(s) v i vector ch phương b(s) g i là trùng pháp tuy n. 3. M t ph ng đi qua c(s) v i c p vector ch phương t(s), n(s) g i là m t ph ng m t ti p. Như v y m t ph ng m t ti p t i c(s) nh n vector trùng pháp b(s) làm vector pháp. 9
  13. Hình h c vi phân Trùng pháp tuy n PHÁP b(s) C Đ C Pháp tuy n chính R T n(s) c(s) n y tu p M T TI P i T ) s t( Hình 1.4: M c tiêu Frénet. 4. M t ph ng đi qua c(s) v i c p vector ch phương t(s), b(s) g i là m t ph ng tr c đ c. Như v y m t ph ng tr c đ c t i c(s) nh n vector pháp chính n(s) làm vector pháp. 5. M t ph ng đi qua c(s) v i c p vector ch phương n(s), b(s) g i là m t ph ng pháp. Như v y m t ph ng pháp t i c(s) nh n vector ti p xúc t(s) làm vector pháp. 1 6. T i nh ng đi m mà đ cong khác không, ta g i R(s) := là bán kính cong k (s) c a đư ng t i s. 1.2.3 Đ xo n. Công th c Frénet Cho c : I −→ R3 là đư ng cong song chính qui v i trư ng m c tiêu Frénet {t, n, b}. Do |b(s)| = 1, ta suy ra b(s) ⊥ b (s). M t khác b (s) = (t(s) ∧ n(s)) = t (s) ∧ n(s) + t(s) ∧ n (s) = t(s) ∧ n (s). T đây ta suy ra b (s) ⊥ t(s) và do đó b (s)cùng phương v i n(s). Như v y có hàm s τ : I −→ R sao cho v i m i s ∈ I b (s) = −τ (s).n(s). 10
  14. Hình h c vi phân Ta g i τ (s) là đ xo n c a đư ng t i s (hay t i c(s)) và g i τ là hàm đ xo n c a c. Đ cong và đ xo n là các b t bi n hình h c giúp chúng ta bi t đư c nhi u v dáng đi u đ a phương c a đư ng trong các lân c n. Chúng ta th tính đ o hàm c a n(s). n =b ∧t+b∧t = −τ.(n ∧ t) + k.(b ∧ n) = τ b − k t. Chúng ta s g i các công th c  t (s) = k n  (1.1) n (s) = −k t + τ b   b (s) = −τ n là công th c Frénet. Nói m t cách hình tư ng, m t đư ng cong trong trong không gian R3 là v t th nh n đư c b ng cách l y m t đo n th ng (hay c đư ng th ng) r i u n cong (ta có đ cong) và xo n nó (ta có đ xo n). Ý nghĩa hình h c c a đ xo n. N u g i θ là góc gi a b(s) và b(s + s) (tính b ng radian) thì đây cũng là góc gi a m t ph ng m t ti p t i s và m t ph ng m t ti p t i s + s. Khi đó θ |τ (s)| = lim . s s→0 Phép ch ng minh hoàn toàn tương t như ch ng minh cho trư ng h p đ cong. Do đó có th nói đ xo n τ (s) đo s thay đ i c a góc gi a các trùng pháp tuy n (hay m t ph ng m t ti p) t i s và trùng pháp tuy n (hay m t ph ng m t ti p) t i s + s. Nó cho th y đ “tách” kh i m t ph ng m t ti p t i s c a đư ng cong. B đ 1.2.1. Cho đư ng tham s chính qui v i tham s đ dài cung c : I −→ R3 , v i k (s) > 0, ∀s ∈ I. Khi đó hàm đ xo n τ = 0 khi và ch khi c là m t đư ng cong ph ng, nghĩa là v t c a nó n m trên m t m t ph ng. Ch ng minh. Gi s τ = 0. Theo công th c Frénet b = 0. Ta suy ra b = a (const.) v i |a| = 1. Do b.t = 0, t c là a.c = 0, ta suy ra a.c = λ (const.). Ch n 11
  15. Hình h c vi phân s0 ∈ I c đ nh, ta có a(c(s) − c(s0 )) = 0, ∀s ∈ I. Do đó, v t c a c n m trên m t ph ng đi qua p = c(s0) v i pháp vector là a. Ngư c l i, gi s v t c a c n m trên m t ph ng đi qua đi m p v i pháp vector a nào đó. Ta có a(c(s) − p) = 0, ∀s ∈ I. (1.2) Đ o hàm 1.2 ta nh n đư c c (s).a = c (s).a = 0, ∀s ∈ I. (1.3) T đây ta suy ra a(s) cùng phương v i b(s) v i m i s ∈ I. Do |b| = 1, nên ta suy ra b = const.. Do đó b = 0 và τ = 0. B đ 1.2.2. Cho c : I −→ R3 là đư ng tham s chính qui ph ng (τ = 0) v i tham s đ dài cung. Khi đó n u k = const. > 0 thì v t c a c là m t đư ng tròn (ho c là m t ph n c a đư ng tròn). Ch ng minh. Xét hàm vector γ : I −→ R3 , xác đ nh b i: 1 γ (s) = c(s) + n(s). k Ta có 1 γ =c + n k 1 = t + (−k t + τ b) k = 0. 1 Do đó γ = cons., hay c(s) + n(s) = p (const.), ∀s ∈ I. k N u g i Π là m t ph ng ch a c(I ), thì Π nh n b=const. làm pháp vector. Do 1 1 c(s) − p = − n(s), ta suy ra p ∈ Π và |c(s) − p| = , ∀s ∈ I, t c là c(s) thu c k k 1 đư ng tròn tâm p bán kính trong m t ph ng Π. k 12
  16. Hình h c vi phân M nh đ 1.2.3 ( Áp d ng c a công th c Frénet.). Cho c : I −→ R3 là đư ng tham s chính qui v i tham s đ dài cung. N u C n m trên m t c u tâm O bán kính r > 0 thì 1 k≥ . r Th t v y, do c(s) n m trên m t c u v i m i s ∈ I nên c.c = r 2 . Đ o hàm hai v , ta có 2c.c = 0 hay c.t = 0 Đ o hàm hai v m t l n n a, ta đư c c .t + c.t = 0 ⇔t.t + k.c.n = 0 Suy ra k |c.n| = 1. Theo b t đ ng th c Cauchy-Schwartz, ta có |c.n| ≤ |c|.|n| = r. 1 1 Do đó, k = ≥. |c.n| r 1.2.4 Công th c tính đ cong và đ xo n Cho c : I −→ R3 là đư ng tham s song chính qui v i tham s b t kỳ t và c : J −→ R3 đư ng tham s v i tham s đ dài cung tương đương v i c. Ta có c(t) = c(s(t)), ∀t ∈ I. Đ các khái ni m trư ng m c tiêu Frénet, đ cong đ xo n mang ý nghĩa tr c quan v m t hình h c, chúng ta s đ nh nghĩa đ cong k (t), đ xo n τ (t), trư ng m c tiêu Frénet {t(t), n(t), b(t)} c a c t i t chính là các đ cong k (s(t)), đ xo n τ (s(t)), trư ng m c tiêu Frénet {t(s(t)), n(s(t)), b(s(t))}c a c t i s(t). Như v y, chúng ta có các đ nh nghĩa: k (t) := k (s(t)), τ (t) := τ (s(t)), t(t) := t(s(t)), n(t) := n(s(t)), b(t)} := b(s(t)). 13
  17. Hình h c vi phân B đ 1.2.4. V i các ký hi u như trên, chúng ta có t = k |c |n n = −k |c |t + τ |c |b. b = −τ |c |n Ch ng minh. Ta có t = t s = (k n)s = k |c |n. Ch ng minh cho các trư ng h p còn l i hoàn toàn tương t . 2 B đ 1.2.5. Ta có các công th c sau đ i v i đư ng tham s b t kỳ c c ∧c t= ; n = b ∧ t; b = ; |c | |c ∧ c | |c ∧ c | (c ∧ c ).c det(c , c , c ) k= ; τ= = . |c |3 |c ∧ c |2 |c ∧ c |2 Ch ng minh. Do c = c(s) nên c = c (s)s = t(s)s = ts . Chú ý r ng s = |c |, ta có c t= . |c | Ta tính c . c = (s t) =s t+st . = s t + s (ks n) = s t + k (s )2 n T đây ta tính đư c c ∧ c = (s t) ∧ (s t + k (s )2 n) = k (s )3 b. Do k ≥ 0; s > 0, nên |c ∧ c | = k (s )3. T đây suy ra c ∧c b= , |c ∧ c | 14
  18. Hình h c vi phân và |c ∧ c | k= . |c |3 Do b = t ∧ n nên n = b ∧ t. Đ tính công th c đ xo n, ta ch c n tính thành ph n c a c có ch a b. Ta có c = (s t + k (s )2 n) = k (s )2n + {thành ph n không ch a b} = k (s )2(−ks t + τ s b) + {thành ph n không ch a b} = kτ (s )3 b + {thành ph n không ch a b} Do đó (c ∧ c ).c = (k (s )3b)(kτ (s )3b = k 2 (s )6τ = |c ∧ c |2τ. Ta có đi u c n ph i ch ng minh. 2 Đ nh lý cơ b n cho đư ng tham s trong R3 1.2.5 Đ nh lý 1.2.6. V i các hàm kh vi k (s) > 0 và τ (s), s ∈ I , cho trư c, t n t i m t đư ng tham s song chính qui c : I −→ R3 sao cho s là đ dài cung, k là hàm đ cong và τ là hàm đ xo n c a c. Hơn n a hai đư ng tham s song chính qui như th sai khác v i nhau m t phép d i thu n. Ch ng minh. Ch ng minh s t n t i liên quan đ n đ nh lý t n t i và duy nh t nghi m c a phương trình vi phân thư ng. Chúng ta ch p nh n s t n t i và ch trình bày ch ng minh tính duy nh t sai khác phép d i thu n. Chú ý r ng đ dài cung, đ cong và đ xo n là các b t bi n đ i v i phép d i thu n. Ví d , gi s ϕ : R3 −→ R3 là m t phép d i thu n, khi đó ta có b b b d(ϕ ◦ c) dc dc dt = ϕ dt = dt. dt dt dt a a a Như v y, đ dài cung b t bi n đ i v i phép d i thu n. Các khái ni m đ cong và đ xo n đư c tính thông qua tích vô hư ng, tích vector c a các đ o hàm. . . đ u không thay đ i qua phép d i thu n nên cũng là các b t bi n (xem bài t p ??). 15
  19. Hình h c vi phân Gi s α, β : I −→ R3 là hai đư ng tham s chính qui v i tham s đ dài cung nh n k và τ làm hàm đ cong và đ xo n. L y s0 ∈ I, xét hai m c tiêu tr c chu n {α(s0 ); t, n, b} và {β (s0); tβ , nβ , bβ }, v i {t, n, b} là m c tiêu Frénet t i α(s0) và {tβ , nβ , bβ }, là m c tiêu Frénet t i β (s0 ). G i A : R3 −→ R3 là phép d i thu n bi n m c tiêu tr c chu n {β (s0); tβ , nβ , bβ } thành {α(s0 ); t, n, b} và đ t α := A ◦ β, t := A ◦ tβ , n := A ◦ nβ , b := A ◦ bβ . Rõ ràng ta có α(s0 ) = α(s0); t(s0 ) = t(s0 ); n(s0) = n(s0); b(s0 ) = b(s0 ). (1.4) Ta có công th c Frénet t = kn t = kn n = −k t + τ b n = −k t + τ b b = τn b = τn Xét ánh x F := (t − t)2 + (n − n)2 + (b − b)2 . Ta có dF = 2[(t − t)(t − t ) + (n − n)(n − n ) + (b − b)(b − b )] ds = 2[k (t − t)(n − n) − k (n − n)(t − t) + τ (n − n)(b − b) − τ (b − b)(n − n)] = 0. Suy ra F là hàm h ng. T 1.4 ta suy ra F = 0. Đi u này có nghĩa là v i m i s ∈ I t(s) = t(s); n(s) = n(s); b(s) = b(s). L i do α = t = t = α , nên d (α − α) = 0. ds T c là α − α = a là hàm h ng. Vì α(s0 ) = α(s0), ta suy ra a = 0, t c là α = α = A ◦ β. 2 16
  20. Hình h c vi phân Đư ng tham s trong R2 (Đư ng tham s ph ng) 1.3 N u ch n h t a thích h p thì m i đư ng tham s ph ng đ u có th xem như là đư ng tham s trong R2 . Chính vì th trong m c này chúng ta ch xét các đư ng tham s d ng c : I −→ R2 . Gi s c : I −→ R2 là đư ng tham s chính qui v i tham s đ dài cung trong R2 v i đ nh hư ng chính t c. Ta đ t t(s) = c (s), và ch n n(s) sao cho {t(s), n(s)} là m t h tr c chu n v i đ nh th c dương. Ta g i {t, n} là trư ng m c tiêu Frénet c a c. Khi đó ta có n(s) = k (s)c (s), ∀s ∈ I. Ta g i k (s) là đ cong đ i s c a c t i s ( hay c a C = c(I ) t i c(s)). Nh n xét. 1. Cho đư ng tham s c : I −→ R2 v i tham s b t kỳ, ta luôn có đư ng tham s v i tham s đ dài cung c : J −→ R2 tương đương v i c. Chúng ta cũng s đ nh nghĩa trư ng m c tiêu Frénet, đ cong đ i s c a c như đã làm đ i v i đư ng tham s trong R3 . 2. Đ cong đ i s c a đư ng tham s trong R2 có th âm. Đi u đó ph thu c vào h vector {c (s), c (s)} là thu n hay ngh ch (so v i hư ng chính t c trong R2 ). Đư ng tham s ph ng có th xét như là m t đư ng tham s trong R3 , khi đó đ cong và đ cong đ i s c a nó b ng nhau v giá tr tuy t đ i. 3. Chúng ta có th xây d ng công th c xác đ nh trư ng m c tiêu Frénet và đ cong đ i s c a đư ng tham s ph ng v i tham s b t kỳ như sau. Gi s c : I −→ R2 là đư ng tham s ph ng v i tham s b t kỳ và c : J −→ R2 là đư ng tham s v i tham s đ dài cung tương đương c . Ta có c = c(s); c = s c = s t; c = (s )2t + s t = k (s )2n + s t. 17
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2