Bài giảng Giải tích B2: Làm quen với phương trình vi phân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích B2: Làm quen với phương trình vi phân gồm có những nội dung chính sau: Lập mô hình toán học với phương trình vi phân, phương trình vi phân cấp 1, phương trình vi phân tuyến cấp 2. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt các nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích B2: Làm quen với phương trình vi phân

LÀM QUEN VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 5.1. Lập mô hình toán học với phương trình vi phân MÔ HÌNH TĂNG DÂN SỐ Giả sử ở thời điểm t, dân số của một quần thể (người, động vật, vi khuẩn v.v..) là P.t/. Tốc độ tăng dân số được đo bởi đại lượng P 0 .t/, là tốc độ biến thiên dân số theo thời gian. Nếu ta nghĩ tốc độ tăng dân số tương tự như năng suất lao động, nghĩa là công nhân càng đông thì năng suất lao động của xưởng càng lớn, thì đại lượng P 0 .t/ tỉ lệ thuận với P.t/. Do đó dP P 0 .t/ D kP.t/ hay D kP (5.1) dt trong đó k là hằng số. Nếu k > 0 thì dân số tăng theo thời gian, nếu k < 0 thì dân số giảm theo thời gian. Mô hình (5.1) được gọi là luật tăng trưởng tự nhiên. Nếu tính đến yếu tố di trú, giả sử tốc độ di trú là một hằng số m, thì mô hình trên được hiệu chỉnh thành dP D kP m dt GIẢI TÍCH B2 361/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 5.1. Lập mô hình toán học với phương trình vi phân Thực tế, nguồn tài nguyên môi trường sống có hạn, nghĩa là giả sử môi trường sống chỉ đủ khả năng nuôi dưỡng được một quần thể có số dân tối đa là K , gọi là số bão hòa (carrying capacity). Khi dân số P.t/ rất ít, nguồn tài nguyên dư sức phát triển dân số thì ta xem tốc độ tăng dân P 0 .t/ gần như tỉ lệ với P.t/. Khi P.t/ càng gần tới K thì tốc độ tăng trưởng giảm dần, và khi P.t/ vượt qua K thì tốc độ P 0 .t/ sẽ âm, dân số giảm. Theo đó, người ta lập mô hình sau dP PÁ D kP 1 (5.2) dt K Phương trình (5.2) được gọi là phương trình vi phân logistic, hay mô hình logistic. GIẢI TÍCH B2 362/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 5.1. Lập mô hình toán học với phương trình vi phân Nếu xét thêm yếu tố di trú, hoặc bị đánh bắt (ví dụ như cá) với tốc độ hằng c thì mô hình logistic được hiệu chỉnh thành dP PÁ D kP 1 c dt K Đối với một số loài, có một mức dân tối thiểu m để duy trì nòi giống. Nếu tụt xuống mức này thì giống loài đó sẽ đến bờ diệt chủng, vì các cá thể trưởng thành không tìm được bạn phối giống phù hợp. Do đó ta có mô hình sau dP PÁ mÁ D kP 1 1 dt K P GIẢI TÍCH B2 363/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 5.1. Lập mô hình toán học với phương trình vi phân MÔ HÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA LÒ XO Xét một lò xo treo đứng, một đầu buộc cố định, đầu kia treo một vật khối lượng m, và đang ở vị trí cân bằng. Với giả thiết không có lực cản nào (của không khí hay lực ma sát), nếu ta kéo xuống hay nâng vật làm cho lò xo bị giãn hay nén vào một khoảng dịch chuyển x đơn vị, x > 0 hoặc x Ä 0, so với vị trí cân bằng, thì theo định luật Hook, vật m chịu một lực đàn hồi có cường độ tỉ lệ với x, bằng kx, với k > 0 là hằng số đàn hồi. GIẢI TÍCH B2 364/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 5.1. Lập mô hình toán học với phương trình vi phân Theo định luật Newton II, ta có phương trình d 2x d 2x k m D kx hay D x (5.3) dt 2 dt 2 m PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TỔNG QUÁT Cho F là hàm số n C 2 biến. Giả sử y là hàm số theo biến x, chưa biết, có đạo hàm đến bậc n và thỏa phương trình F .x; y ; y 0 ; y 00 ; : : : ; y .n/ / D k (hằng số) (5.4) thì (5.4) được gọi là phương trình vi phân cấp n. Hai phương trình (5.1) và (5.2) là phương trình vi phân cấp 1. Phương trình (5.3) là phương trình vi phân cấp 2. GIẢI TÍCH B2 365/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 5.1. Lập mô hình toán học với phương trình vi phân Ghi chú 1. Không có phương pháp tổng quát để giải một phương trình vi phân. Thay vào đó, người ta chỉ nghiên cứu cách giải một phương trình vi phân là mô hình cho một hiện tượng thực tiễn nào đó đang được quan tâm. Các mục còn lại của chương sẽ bàn đến phương trình vi phân cấp 1 và cấp 2 tuyến tính. Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng sau y .n/ .x/ C a1 .x/y .n 1/ .x/ C C an 1 .x/y 0 .x/ C an y .x/ D f .x/ (5.5) Ghi chú 2. Khi tìm hàm số y thỏa phương trình vi phân, người ta xét đến điều kiện y .t0 / D y0 (đối với phương trình vi phân cấp 1), hoặc có thêm điều kiện y 0 .t0 / D y1 (đối với phương trình vi phân cấp 2). Các bài toán này được gọi là bài toán điều kiện đầu (the initial-value problem). GIẢI TÍCH B2 366/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 5.2. Phương trình vi phân cấp 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẠNG TÁCH BIẾN Phương trình vi phân dạng tách biến (seperable equation) là phương trình vi phân cấp 1 có hình thức như sau y 0 D g .x/f .y / (y là hàm số chưa biết, ẩn x) Sở dĩ gọi là tách biến vì phương trình trên có thể đưa về dạng có x và y ở từng vế riêng biệt, rồi lấy nguyên hàm hai vế y0 D g .x/ (giả sử f .y / ¤ 0) f .y / Z Z dy suy ra D g .x/dx f .y / Từ đó ta có phương trình để có thể tính y theo x một cách tường minh (explicit function); hoặc phương trình xác định một ẩn hàm (implicit function) y theo x. GIẢI TÍCH B2 367/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 5.2. Phương trình vi phân cấp 1 Ví dụ: giải mô hình tăng trưởng dân số tự nhiên Tìm hàm P.t/ là nghiệm của bài toán giá trị đầu: P 0 .t/ D kP.t/ và P.0/ D P0 Giải. Ta có phương trình dạng tách biến như sau P0 P .t/ Z 0 Z 0 P D kP ) Dk ) dt D k dt P P.t/ Z dP D kt C C (C là hằng số độc lập với t) P ln jPj D kt C C ) jPj D Ae kt D P (A D e C là hằng số) Do điều kiện đầu P.0/ D P0 nên A D P0 . Vậy với dân số ban đầu là P0 , thì dân số ở thời điểm t > 0 là P.t/ D P0 e kt . GIẢI TÍCH B2 368/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 5.2. Phương trình vi phân cấp 1 Ví dụ: mô hình logistic Tìm dân số P.t/, là nghiệm của bài toán giá trị đầu theo mô hình logistic: P 0 D kP.1 P=K / và P.0/ D P0 , trong đó K là dân số bão hòa. Giải. Ta cũng có phương trình dạng tách biến KP 0 Z Z 0 PÁ K P D kP 1 ) Dk ) dP D k dt K P.P K / P.P K / 1 1Á Z ˇP K ˇ dP D kt C C ) ln ˇ ˇ D kt C C (lưu ý P < K ) ˇ ˇ P K P P K P K ) D Ae kt ) P D P 1 C Ae kt Từ điều kiện đầu P.0/ D P0 , ta suy ra A D .K P0 /=P0 . Vậy K K P0 P.t/ D kt với A D 1 C Ae P0 GIẢI TÍCH B2 369/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 5.2. Phương trình vi phân cấp 1 BIẾN THỂ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẠNG TÁCH BIẾN Sau đây là phương trình vi phân cấp 1, có thể đưa về dạng tách biến được yÁ y0 D f (f là hàm số một biến) (5.6) x Cách giải phương trình (5.6): Đặt u D y =x thì y D xu và y 0 D u C xu 0 , thay vào (5.6), ta được f .u/ u u0 D (5.7) x GIẢI TÍCH B2 370/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 5.2. Phương trình vi phân cấp 1 Nếu f .u/ Á u, nghĩa là phương trình (5.6) có dạng y 0 D y =x, là dạng tách biến. Nếu phương trình f .a/ a D 0 có nghiệm thực a0 thì hàm số y D a0 x là một nghiệm riêng của (5.6). Nếu ngoài hai trường hợp trên, thì (5.7) được đưa về dạng tách biến u0 1 Z Z du dx D ) D f .u/ u x f .u/ u x Sinh viên tự giải bài toán sau Ví dụ Tìm họ nghiệm của phương trình x 2 y 0 D y 2 xy C x 2 . x Đáp số: y D x hay y D x , với C là hằng số. C C ln jxj GIẢI TÍCH B2 371/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 5.2. Phương trình vi phân cấp 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng y 0 C q.x/y D p.x/ (5.8) trong đó p.x/ và q.x/ là hai hàm số cho trước. Cách giải phương trình (5.8) Z 1 Tìm một nguyên hàm của q.x/ là Q.x/ D q.x/ dx. 2 Nhân cả hai vế của (5.8) với e Q.x/ , đưa về dạng d y 0 e Q.x/ C Q 0 .x/e Q.x/ y D p.x/Q.x/ , ye Q.x/ D p.x/Q.x/ dx Z suy ra ye Q.x/ D p.x/Q.x/ dx. Từ đó tìm được y . GIẢI TÍCH B2 372/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 5.2. Phương trình vi phân cấp 1 Ví dụ Giải bài toán giá trị đầu: x 2 y 0 C xy D 1, với x > 0 và y .1/ D 2. Giải. Phương trình được đưa về dạng y0 C x 1 y Dx 2 (*) 1 Nguyên hàm của q.x/ D x là ln x. Nhân cả hai vế của (*) với e ln x D x, ta được 1 1 ln x C C Z 0 dx xy 0 C y D ) xy D ) xy D D ln x C C ) y D x x x x 2 C ln x Do y .1/ D 2 nên C D 2. Vậy nghiệm bài toán là y D . x GIẢI TÍCH B2 373/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 5.2. Phương trình vi phân cấp 1 ỨNG DỤNG TRONG MẠCH ĐIỆN Xét mạch điện đơn giản như hình bên. Suất điện động sinh bởi một nguồn là E .t/ volts (V) và sinh ra dòng điện I .t/ ampères (A) tại thời điểm t. Mạch có chứa một điện trở có trở kháng R ohms ( ) và một cuộn cảm có độ tự cảm L henries (H). Định luật Ohm cho biết hiệu điện thế do điện trở tạo ra là RI . Hiệu điện thế do cuộn cảm tạo ra là L.d I =dt/. Một trong các định luật Kirchhoff cho chúng ta phương trình dI L C RI .t/ D E .t/ (5.9) dt GIẢI TÍCH B2 374/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 5.2. Phương trình vi phân cấp 1 Ví dụ Giả sử R D 12 , L D 4 H, máy phát điện xoay chiều sinh ra suất điện động biến thiên theo qui luật E .t/ D 60 sin 30t. Thời điểm đóng mạch là t D 0, do đó I .0/ D 0. Hãy tìm I .t/. Giải. Dựa vào phương trình (5.9), ta có 4I 0 .t/ C 12I .t/ D 60 sin 30t hay là I 0 .t/ C 3I .t/ D 15 sin 30t với điều kiện đầu I .0/ D 0. Ở trên là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, nếu giải theo phương pháp đã nói trên thì ta được 5 50 3t I .t/ D .sin 30t 10 cos 30t/ C e 101 101 Đồ thị cường độ dòng điện biến đổi theo thời gian. GIẢI TÍCH B2 375/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 5.2. Phương trình vi phân cấp 1 Ví dụ Với bài toán trong ví dụ trước, nếu thay máy phát xoay chiều bởi ắc-qui có E .t/ D 60 V, không đổi. Tìm I .t/ và giới hạn cường độ dòng điện. Giải. Trường hợp này là bài toán tìm I .t/ thỏa I 0 .t/ C 3I .t/ D 60 và I .0/ D 0. Theo cách giải bài toán giá trị đầu đã biết thì ta được I .t/ D 5.1 e 3t /. Giới hạn cường độ dòng điện là lim I .t/ D lim 5.1 e 3t / D 5A t!1 t!1 GIẢI TÍCH B2 376/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 5.2. Phương trình vi phân cấp 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BERNOULI Phương trình vi phân Bernouli có dạng y 0 C q.x/y D p.x/y n , với n ¤ 0 và ¤ 1 (5.10) trong đó p.x/ và q.x/ là hai hàm số cho trước. Cách giải (5.10) Đặt u D y 1 n , thay vào (5.10), ta đưa về phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 u 0 C .1 n/q.x/u D .1 n/p.x/ GIẢI TÍCH B2 377/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 5.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng có dạng ay 00 C by 0 C cy D G .x/ (A) trong đó a; b; c là các hằng số, a ¤ 0, G .x/ là hàm số cho trước. Phương trình (A) được gọi là phương trình (vi phân tuyến cấp 2, hệ số hằng) không thuần nhất (nonhomogeneous equation). Phương trình đặc trưng (characteristic equation) của (A) là ar 2 C br C c D 0 (B) Phương trình thuần nhất (complementary equation) tương ứng với (A) là ay 00 C by 0 C cy D 0 (C) Nếu không xét điều kiện đầu (initial condition) thì cả phương trình (A) và (C) có một họ (vô số) nghiệm có dạng tổng quát (general solution) lần lượt được ký hiệu là y và yc (chỉ số c ám chỉ chữ complementary). GIẢI TÍCH B2 378/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 5.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng Cách giải phương trình thuần nhất (C) 1 Nếu phương trình đặt trưng (B) có nghiệm kép r0 thì phương trình thuần nhất (C) có nghiệm tổng quát là yc D .c1 C c2 x/e r0 x với c1 ; c2 là hằng số tùy ý 2 Nếu (B) có hai nghiệm thực phân biệt là r1 và r2 thì nghiệm tổng quát của (C) là yc D c1 e r1 x C c2 e r2 x 3 Nếu (B) có hai nghiệm phức liên hợp là r1 D ˛ C iˇ và r2 D ˛ iˇ thì nghiệm tổng quát của (C) là yc D .c1 cos ˇx C c2 sin ˇx/e ˛x GIẢI TÍCH B2 379/??