intTypePromotion=1
ADSENSE

Bài giảng Phương pháp tính 2: Vi phân và tích phân - Vũ Đỗ Huy Cường

Chia sẻ: Nguyen Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

54
lượt xem
2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Phương pháp tính 2: Vi phân và tích phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân hình thang, tích phân Simpson, tích phân Newton-Cotes, tích phân Gauss, phương pháp lặp, phương pháp Euler,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp tính 2: Vi phân và tích phân - Vũ Đỗ Huy Cường

  1. Tích phân số Phương trình vi phân PHƯƠNG PHÁP TÍNH 2: VI PHÂN và TÍCH PHÂN Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Khoa Toán-Tin học Đại học Khoa học Tự nhiên vdhuycuong@gmail.com hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình và Hàm số 1 / 48
  2. Tích phân số Phương trình vi phân Giới thiệu môn học Phương pháp tính là bộ môn toán học có nhiệm vụ giải đến kết quả bằng số cho các bài toán, nó cung cấp các phương pháp giải cho những bài toán trong thực tế mà không có lời giải chính xác. Môn học này là cầu nối giữa toán học lý thuyết và các ứng dụng của nó trong thực tế. Nội dung môn học - Tính xấp xỉ giá trị tích phân. - Giải gần đúng phương trình vi phân. Tài liệu môn học - Giáo trình Phương pháp tính. - Giáo trình Giải tích số. hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình và Hàm số 2 / 48
  3. Tích phân số Phương trình vi phân Mục lục 1 Tích phân số Tích phân hình thang Tích phân Simpson Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss 2 Phương trình vi phân Phương pháp lặp Phương pháp Euler Phương pháp Euler cải tiến Phương pháp Runge-Kutta hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình và Hàm số 3 / 48
  4. Tích phân hình thang Tích phân số Tích phân Simpson Phương trình vi phân Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss Chương 1 Tích phân số hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình và Hàm số 4 / 48
  5. Tích phân hình thang Tích phân số Tích phân Simpson Phương trình vi phân Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss Tích phân số hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình và Hàm số 5 / 48
  6. Tích phân hình thang Tích phân số Tích phân Simpson Phương trình vi phân Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss Tích phân số hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình và Hàm số 6 / 48
  7. Tích phân hình thang Tích phân số Tích phân Simpson Phương trình vi phân Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss Tích phân số Rất nhiều vấn đề về khoa học, kĩ thuật dẫn đến việc tính tích phân Z b f (x)dx với f (x) là một hàm phức tạp (hàm mà nguyên hàm của nó a không thể biểu diễn qua các hàm đơn giản đã biết) hoặc hàm chỉ được cho bằng bảng. Vì thế vấn đề tính gần đúng tích phân f (x) được đặt ra là tự nhiên. Một phương pháp đơn giản là sử dụng đa thức để xấp xỉ hàm số đang khảo sát, sau đó tích phân đa thức này và xem đây là giá trị gần đúng của bài toán đang giải. Phương pháp này được nhiều người sử dụng và rất phổ biến trong các bài toán thực tế. Một phương pháp khác, cũng dùng đa thức để xấp xỉ hàm số đang khảo sát, nhưng yêu cầu bậc đa thức cao hơn. Điều này khiến thuật giải trở nên phức tạp hơn và chỉ thường được sử dụng trong toán học. hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình và Hàm số 7 / 48
  8. Tích phân hình thang Tích phân số Tích phân Simpson Phương trình vi phân Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss 1.1. Tích phân hình thang Công thức tích phân hình thang Z xc xc − xd f (x)dx ' (yd + ys ) (1) xd 2 xn n Z xi n xi − xi−1 Z X X f (x)dx = f (x)dx ' (yi−1 + yi ) (2) x0 xi−1 2 i=1 i=1 hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình và Hàm số 8 / 48
  9. Tích phân hình thang Tích phân số Tích phân Simpson Phương trình vi phân Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss 1.1. Tích phân hình thang Z 9 Ví dụ 1.1. Tính f (x)dx biết giá trị của f (x) tại một số vị trí sau 0 x 0 1 2 2.5 4 6 7.3 8.6 9 f 6.142 6.967 7.391 7.386 6.702 6.090 6.870 8.196 8.568 Giải Z 9 Z 1 Z 2 Z 2.5 Z 4 f (x)dx ' f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx 0 0 1 2 2.5 Z 6 Z 7.3 Z 8.6 Z 9 + f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx 4 6 7.3 8.6 ' 6.554 + 7.179 + 3.694 + 10.566 + 12.792 + 8.424 + 9.793 + 3.353 ' 62.355 hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình và Hàm số 9 / 48
  10. Tích phân hình thang Tích phân số Tích phân Simpson Phương trình vi phân Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss 1.2. Tích phân Simpson Công thức tích phân Simpson 1/3 Z xc xc − xd f (x)dx ' (yd + 4yg + ys ) (3) xd 6 Z xn n X xi − xi−1 f (x)dx ' (yi−1 + 4yi−1/2 + yi ) (4) x0 6 i=1 hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình và Hàm số 10 / 48
  11. Tích phân hình thang Tích phân số Tích phân Simpson Phương trình vi phân Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss 1.2. Tích phân Simpson Z 9 Ví dụ 1.2. Tính f (x)dx biết giá trị của f (x) tại một số vị trí sau 0 x 0 1 2 2.5 3 5 7 8 9 f 6.142 6.967 7.391 7.386 7.245 6.178 6.612 7.575 8.568 Giải Z 9 Z 2 Z 3 Z 7 Z 9 f (x)dx ' f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx 0 0 2 3 7 1 0.5 ' (6.142 + 4 · 6.967 + 7.391) + (7.391 + 4 · 7.386 + 7.245) 3 3 2 1 = (7.245 + 4 · 6.178 + 6.612) + (6.612 + 4 · 7.575 + 8.568) 3 3 ' 13.800 + 7.363 + 25.712 + 15.159 ' 62.035 hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình và Hàm số 11 / 48
  12. Tích phân hình thang Tích phân số Tích phân Simpson Phương trình vi phân Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss 1.2. Tích phân Simpson Công thức tích phân Simpson 3/8 Z xc (xc − xd ) f (x)dx ' (yd + 3yt + 3yp + ys ) (5) xd 8 Z xn n X (xi − xi−1 ) f (x)dx ' (yi−1 + 3yi−2/3 + 3yi−1/3 + yi ) (6) x0 8 i=1 hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình và Hàm số 12 / 48
  13. Tích phân hình thang Tích phân số Tích phân Simpson Phương trình vi phân Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss 1.2. Tích phân Simpson Z 9 Ví dụ 1.3. Tính f (x)dx biết giá trị của f (x) tại một số vị trí sau 0 x 0 1 2 3 5 7 9 f 6.142 6.967 7.391 7.245 6.178 6.612 8.568 Giải Z 9 Z 3 Z 6 f (x)dx ' f (x)dx + f (x)dx 0 0 3 3·1 ' (6.142 + 3 · 6.967 + 3 · 7.391 + 7.245) 8 3·2 + (7.245 + 3 · 6.178 + 3 · 6.612 + 8.568) 8 ' 21.173 + 40.636 ' 61.809 hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình và Hàm số 13 / 48
  14. Tích phân hình thang Tích phân số Tích phân Simpson Phương trình vi phân Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss 1.2. Tích phân Simpson Bài tập: Tính tích phân hàm số cho bởi bảng dữ liệu sau và tính sai số của nó biết tích phân chính xác I = 2.7266. x 0 1 2 3 f(x) 1 0.9689 0.8776 0.7317 1.1. Dùng công thức hình thang. 1.2. Dùng công thức Simpson 1/3. 1.3. Dùng công thức Simpson 3/8. Bài tập: Tính tích phân hàm số cho bởi bảng dữ liệu sau và tính sai số của nó biết tích phân chính xác I = 402.4288 x 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 1 1.2183 5.3891 18.5855 54.5982 150.9132 409.4288 1.4. Dùng công thức hình thang. 1.5. Dùng công thức Simpson 1/3. hanCong.com 1.6. Dùng công thức Simpson 3/8. https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình và Hàm số 14 / 48
  15. Tích phân hình thang Tích phân số Tích phân Simpson Phương trình vi phân Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss 1.3. Tích phân Newton-Cotes Công thức tích phân Newton-Cotes Z xc n X f (x)dx ' (xc − xd ) Hk,n yk (7) xd k=0 n (−1)n−k Cnk t(t − 1)...(t − n) Z trong đó Hk,n = dt n · n! 0 t −k Công thức trên xuất phát từ việc sử dụng đa thức nội suy Lagrange và thực hiện việc đổi biến x = x0 + th. Với t là biến mới và h là độ dài khoảng chia trong phân hoạch [x0 , xn ]. Như vậy ta phải có phân hoạch đều hi = h với mọi i. hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình và Hàm số 15 / 48
  16. Tích phân hình thang Tích phân số Tích phân Simpson Phương trình vi phân Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss 1.3. Tích phân Newton-Cotes Ví dụ 1.4. : Tính các Hk trong công thức Newton-Cotes với n = 3. Giải: (−1)3−0 C30 3 t(t − 1)(t − 2)(t − 3) (−1) · 1 (−9) Z 1 H0,3 = dt = = . 3 · 3! t −0 3·6 4 8 Z0 3 (−1)3−1 C31 t(t − 1)(t − 2)(t − 3) 1·39 3 H1,3 = dt = = . 3 · 3! t −1 3·64 8 Z0 3 (−1)3−2 C32 t(t − 1)(t − 2)(t − 3) (−1) · 3 (−9) 3 H2,3 = dt = = . 3 · 3! t −2 3·6 4 8 Z0 3 (−1)3−3 C33 t(t − 1)(t − 2)(t − 3) 1·39 1 H3,3 = dt = = . 3 · 3! 0 t −3 3·64 8 hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình và Hàm số 16 / 48
  17. Tích phân hình thang Tích phân số Tích phân Simpson Phương trình vi phân Tích phân Newton-Cotes Tích phân Gauss 1.3. Tích phân Newton-Cotes n+1 Cho hàm số f (x) ∈ C[a,b] . Đặt M = max |f (n+1) (x)|, ta có x∈[a,b] M M |f (x) − Ln (x)| ≤ |φ(x)| = |(x − x0 )(x − x1 )...(x − xn )| (n + 1)! (n + 1)! Lấy tích phân hai vế ta được Z b Z b M |f (x) − Ln (x)|dx ≤ |(x − x0 )(x − x1 )...(x − xn )|dx Za b aZ (n + 1)!
  18. b
  19. Mà |f (x) − Ln (x)|dx ≥
  20. f (x) − Ln (x)dx
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2