Giáo trình Vi tích phân 1
Bộ môn Giải tích
(Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh)
Bản ngày 6 tháng 10 năm 2022
Mục lục
Giới thiệu 1
1 Số thực và Hàm số thực 4
1.1 Sốthực .................................. 4
1.1.1 Tập hợp và ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Vài quy tắc suy luận toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Tập hợp các số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4 Dãy số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Hàmsố .................................. 20
1.2.1 Đồ thị. Đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2 Hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Hàm số liên tục 28
2.1 Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.1 Tiếp tuyến. Vận tốc. Tỉ lệ thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.3 Một số tính chất căn bản của giới hạn . . . . . . . . . . . . 36
2.1.4 Các giới hạn mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1 Tính chất của hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.2 Định lý giá trị trung gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Phép tính vi phân 55
3.1 Đạo hàm và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.1 Định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.2 Tính chất của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 Các công thức cho đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.1 Đạo hàm của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.2 Đạo hàm của hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.3 Đạo hàm của hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.4 Đạo hàm của hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.5 Đạo hàm bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
ii
MỤC LỤC iii
4 Ứng dụng của đạo hàm 76
4.1 Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.1 Sự tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . 79
4.1.2 Các định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Đạo hàm và tính chất của hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.1 Tính tăng, giảm, và cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.2 Tính lồi, lõm, và điểm uốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.3 Xấp xỉ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2.4 Qui tắc l’Hôpital và ứng dụng trong tính giới hạn . . . . . . . 95
5 Phép tính tích phân 108
5.1 Định nghĩa và tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.1.1 Bài toán diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.1.2 Định nghĩa tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.1.3 Các tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 Định lý Cơ bản của phép tính vi tích phân . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2.1 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2.2 Công thức Newton-Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.3 Một số phương pháp biến đổi tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3.1 Phép đổi biến trong tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3.2 Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.3.3 Một số phương pháp tính tích phân cho các hàm đặc biệt . . 124
5.3.4 Sự tồn tại công thức cho tích phân . . . . . . . . . . . . . . 126
5.3.5 Tính tích phân bằng phương pháp số . . . . . . . . . . . . . 128
5.3.6 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.4 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.4.1 Diện tích, thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.4.2 Giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.4.3 Một số ứng dụng trong khoa học . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.4.4 Xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6 Chuỗi 148
6.1 Chuỗi số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.1.1 Sự hội tụ của chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.1.2 Chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.1.3 Chuỗi đổi dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.1.4 * Bổ sung về dãy số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.2 Chuỗihàm ................................ 165
6.2.1 Chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.2.2 Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.2.3 * Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Tài liệu tham khảo 178
iv MỤC LỤC
Chỉ mục 180
Giới thiệu
Đây là giáo trình cho các môn toán Vi tích phân 1 cho khối B và C (các ngành ngoài
toán) do Bộ môn Giải tích (Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự
nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh) chủ trì biên soạn.
❼
Tham gia biên soạn: Vũ Đỗ Huy Cường, Lý Kim Hà, Nguyễn Vũ Huy, Bùi Lê
Trọng Thanh, Nguyễn Thị Thu Vân, Huỳnh Quang Vũ
❼
Tham gia đánh máy LaTeX: Hồ Thị Kim Vân
❼
Tham gia vẽ hình: Nguyễn Hoàng Hải
❼
Người biên tập hiện nay: Huỳnh Quang Vũ. Liên hệ: hqvu@hcmus.edu.vn
Tài liệu này có trên trang web Đào tạo của Bộ môn Giải tích ở địa chỉ:
https://sites.google.com/view/math-hcmus-edu-vn-giaitich
Tài liệu đang được tiếp tục chỉnh sửa bổ sung. Các góp ý vui lòng gởi về cho
người biên tập.
Đối tượng của giáo trình
Sinh viên ngành khoa học dữ liệu, nhóm ngành máy tính và công nghệ thông tin,
điện tử - viễn thông, hải dương, khoa học vật liệu, vật lý, . . . (môn toán B), và địa
chất, hóa học, môi trường, sinh học, công nghệ sinh học, . . . (môn toán C). Sinh viên
ngành toán cũng có thể dùng giáo trình này làm tài liệu tham khảo.
Mục tiêu của giáo trình
Giáo trình nhằm dùng làm tài liệu giảng và học phép tính vi phân và phép tính tích
phân của hàm một biến, với trình độ tương đồng với một số giáo trình vi tích phân
phổ biến quốc tế như [
Ste16
], sát với chương trình đào tạo hiện hành của Trường Đại
học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. Mục tiêu chính
gồm: trang bị hiểu biết khoa học đại cương, rèn luyện khả năng tư duy chính xác và
tính toán định lượng, cung cấp công cụ toán học cho các ngành khoa học kỹ thuật.
1