KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON

TS. Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP. HCM — 2013.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 1 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Nội dung

1 Không gian véc-tơ con: bao tuyến tính, không

gian nghiệm của hệ thuần nhất

2 Tổng và giao của các không gian véc-tơ con

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 2 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n.

1 tập ĐLTT thì số véctơ (cid:54) n

∀ tập có số véctơ lớn hơn n đều PTTT

1 tập là tập sinh của E thì số véctơ (cid:62) n.

∀ tập có số véctơ nhỏ hơn n đều không là tập sinh của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 3 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E .

1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E .

M = {x1, x2, . . . , xk} (k < n) ĐLTT, x không là THTT của k véctơ của M khi đó M ∪ {x} ĐLTT

Nếu M = {x1, x2, . . . , xm} (m > n) là tập sinh của E , xi là THTT của những véctơ còn lại của M thì khi bỏ xi ta được M (cid:48) = M\{xi } là tập sinh của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 4 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Định nghĩa không gian véctơ con

Định nghĩa Giả sử E là một K −kgv, F ⊂ E . Ta nói F là một không gian véctơ con của E khi và chỉ khi 1 F (cid:54)= ∅ 2 ∀x, y ∈ F , x + y ∈ F 3 ∀λ ∈ K , ∀x ∈ F , λx ∈ F . Ký hiệu F là một K -kgvc của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 5 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Định nghĩa không gian véctơ con

Định lý Giả sử E là một K -kgv, F ⊂ E . Nếu F là một K -kgvc của E thì F là một K −kgv với luật 1 + : F × F → F (x, y ) (cid:55)−→ x + y 2 • : K × F → F (λ, x) (cid:55)−→ λ.x

cảm sinh bởi các luật của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 6 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ

Ví dụ F = R × {0} = {(x1, x2) : x1 ∈ R, x2 = 0} là 1 không gian véctơ con của R−kgv R2. Ta có F ⊂ R2, (0, 0) ∈ F ⇒ F (cid:54)= ∅. Với mọi x = (x1, 0), y = (y1, 0) ∈ F thì x+y = (x1+y1, 0) ∈ F , ∀λ ∈ R, λx = (λx1, 0) ∈ F . Vậy F là không gian véctơ con của R2.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 7 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ

Ví dụ F = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : 2x1 − 2x2 + x3 = 0} là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3. Ta có F ⊂ R3, (0, 0, 0) ∈ F ⇒ F (cid:54)= ∅. ∀x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F ⇒ 2x1 − 2x2 + x3 = 0 và 2y1 − 2y2 + y3 = 0. Từ đó, suy ra x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3), 2(x1 + y1) − 2(x2 + y2) + (x3 + y3) = (2x1−2x2+x3)+(2y1−2y2+y3) = 0 ⇒ x +y ∈ F ,

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 8 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ

∀λ ∈ R, λx = (λx1, λx2, λx3), khi đó 2λx1 − 2λx2 + λx3 = λ(2x1 − 2x2 + x3) = 0 ⇒ λx ∈ F . Vậy F là không gian véctơ con của R3.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 9 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ

Ví dụ F = {(x1, x2, x3) : x1, x2, x3 ∈ R, x1+2x2+x3 = 1} không là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3.

Thật vậy, với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F thì x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) và (x1 + y1) + 2(x2 + y2) + (x3 + y3) = (x1 + 2x2 + x3) + (y1 + 2y2 + y3) = 1 + 1 = 2. Do đó x + y /∈ F .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 10 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Bao tuyến tính

Bao tuyến tính

λixi, ∀λi ∈ K , i = 1, 2, . . . , n} là một không

Định lý Cho S = {x1, x2, . . . , xn} ⊂ E , E − là một K -kgv. Khi đó W =< x1, x2, . . . , xn >= {x ∈ E , x = n (cid:80) i=1 gian véctơ con của E . Ta gọi W là một bao tuyến tính của tập {x1, x2, . . . , xn}. Kí hiệu W = span(S)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 11 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Bao tuyến tính

Chứng minh 1 0 = 0.x1 + 0.x2 + . . . + 0.xn ⇒ 0 ∈ W

⇒ W (cid:54)= ∅.

2 ∀x, y ∈ W ⇒ x + y =

λixi +

γixi =

n (cid:80) i=1

n (cid:80) i=1

(λi + γi)xi ⇒ x + y ∈ W .

n (cid:80) i=1

3 ∀λ ∈ K , ∀x ∈ W ⇒ λx = λ

λixi =

n (cid:80) i=1

(λ.λi)xi ⇒ λx ∈ W .

n (cid:80) i=1

Vậy W là một không gian véctơ con của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 12 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ

Ví dụ Trong R − kgv R3 cho M = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}. Xác định < M > .

Giải. < M >= {x ∈ R3, x = λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + λ3(0, 0, 1), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3} = {x ∈ R3, x = (λ1, λ1 + λ2, λ1 + λ2 + λ3), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3}

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 13 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ

Ví dụ Trong R − kgv P2(x) cho M = {(x − 2), (x − 2)2}. Xác định < M > .

Giải. < M >= {λ1(x −2)+λ2(x −2)2, ∀λ1, λ2 ∈ R} = {λ2x 2 + (λ1 − 4λ2)x + (−2λ1 + 4λ2), ∀λ1, λ2 ∈ R}

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 14 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Hệ quả Cho E là một K -kgv, dim(E ) = n, F là không gian véctơ con của E thì dim(F ) (cid:54) n.

Chứng minh.

Do F ⊂ E nên mọi tập con độc lập tuyến tính của F đều có số phần tử (cid:54) n. Gọi B = {x1, x2, . . . , xk}(k (cid:54) n) là 1 tập con độc lập tuyến tính của F có số phần tử lớn nhất. Để chứng minh B là cơ sở của F ta chỉ cần chứng minh B là tập sinh của F .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 15 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Chứng minh B là tập sinh của F .

Phản chứng. Với mọi ∀x ∈ F

B = {x1, x2, . . . , xk} (k < n) ĐLTT, x không là THTT của k véctơ của B khi đó B ∪ {x} ĐLTT

Vậy, B ∪ {x} ⊂ F độc lập tuyến tính và số phần tử của nó là k + 1 > k. (trái với giả thiết k lớn nhất). Do đó, ∀x ∈ F đều là tổ hợp tuyến tính của những véctơ của B ⇒ B là tập sinh của F (cid:4)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 16 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ

Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho không gian con F = {p(x) ∈ P2(x) : p(1) = 0, p(−1) = 0}. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con F .

∀p(x) = ax 2 + bx + c ∈ F , ta có p(1) = a + b + c = 0 và p(−1) = a − b + c = 0. Giải hệ phương trình

⇔

(cid:26) a + b + c = 0 a − b + c = 0

(cid:26) a = −c b = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 17 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ

Vậy p(x) = c(−x 2 + 1). Do đó {−x 2 + 1} là tập sinh của F .

−x 2 + 1 (cid:54)= 0 nên luôn độc lập tuyến tính. Như vậy, −x 2 + 1 là 1 cơ sở của F và số chiều dim(F ) = 1.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 18 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ

Ví dụ Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con W của R3 cho bởi

W = {(x1, x2, x3) : x1 + x2 + x3 = 0}

Để tìm cơ sở của W ta giải phương trình x1 + x2 + x3 = 0 ⇔ x1 = −x2 − x3. Nghiệm cơ sở là (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1). Ta sẽ chứng minh (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) là cơ sở của W .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 19 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ

Hai véctơ (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) độc lập tuyến tính. Ta chứng minh (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) sinh ra W . Thật vậy, ∀x = (x1, x2, x3) ∈ W thì x = x2(−1, 1, 0) + x3(−1, 0, 1).

Như vậy, (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) là 1 cơ sở của W và số chiều dim(W ) = 2.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 20 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Không gian nghiệm của hệ thuần nhất

Định lý Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất gồm m phương trình và n ẩn Am×nXn×1 = 0m×1. Khi đó các nghiệm của hệ phương trình này tạo thành không gian véctơ con của không gian K n.

Định lý Không gian véctơ nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tổng quát có số chiều bằng n − r trong đó r = rank(A) và n là số ẩn.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 21 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ

Ví dụ Giải hệ tìm nghiệm của không gian nghiệm  x1 + 2x2 − x3 + x4 = 0  2x1 + 4x2 − 3x3 = 0 x1 + 2x2 + x3 + 5x4 = 0

h2→h2−2h1 h3→h3−h1 −−−−−−→

1 2 −1 1 2 4 −3 0 5 1 2

1

1 2 −1 1 0 0 −1 −2 4 2 0 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 22 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ

h3→h3+2h2 −−−−−−→

 ⇒ x1, x3 là biến cơ

1 2 −1 1 0 0 −1 −2 0 0 0 0 sở, x2, x4 là biến tự do. Đặt x2 = α, x4 = β  

=

= α

+ β

  

  

  

  

  

  

  

  

−2α − 3β α −2β β

−2 1 0 0

−3 0 −2 1

x1 x2 x3 x4

Vậy X1 = (−2, 1, 0, 0)T và X2 = (−3, 0, −2, 1)T là cơ sở của không gian nghiệm. Số chiều của không gian nghiệm

của hệ này là 2.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 23 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính

Số chiều của bao tuyến tính < M > và hạng của hệ véctơ

Định lý Giả sử M = {x1, x2, . . . , xp} ⊂ E có hạng r và W =< M > là không gian véctơ con sinh bởi M. Khi đó dim(W ) = r .

Chứng minh.

Giả sử Mr = {xi1, xi2, . . . xir } là 1 tập con độc lập tuyến tính tối đại của M. Chứng minh Mr sinh ra W .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 24 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính

Vì Mr độc lập tuyến tính tối đại nên mỗi véctơ thuộc M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của Mr ⇒ mọi véctơ của W là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của M thì cũng là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của Mr . Có nghĩa là W =< M >⇒ W =< Mr > . Mr độc lập tuyến tính. Mr là tập sinh của W .

⇒ Mr là cơ sở của W ⇒ dim(W ) = r = rank(M).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 25 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính

Tìm cơ sở và số chiều của không gian con M của kgv E sinh bởi m véctơ x1, x2, . . . , xm : M =< x1, x2, . . . , xm >

1 Lấy một cơ sở B = {e1, e2, . . . , en} bất kỳ của

E . Tìm [x1]B, [x2]B, . . . , [xm]B 2 Xét không gian hàng của ma trận A = ([x1]B, [x2]B, . . . , [xm]B)T

3 Biến đổi A về dạng bậc thang từ đó xác định r (A) và cơ sở của M, số chiều của M bằng r (A).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 26 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ

Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho p1(x) = x 2 + 2x + 1, p2(x) = 2x 2 + x − 1, p3(x) = 4x + 4. Tìm cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi 3 véctơ trên.

Xét cơ sở chính tắc x 2, x, 1 của P2(x), vậy ma 

trận các cột A là A =

1 2 1 2 1 −1 4 0 4

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 27 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ

h2→h2−2h1 −−−−−−→

h3→h3−4/3h2 −−−−−−−→

A

1 1 2 0 −3 −3 4 4 0

 = B. Ma trận B có hàng 1 và

1 2 1 0 −3 −3 0 0 0

hàng 2 độc lập tuyến tính và là cơ sở của không gian con sinh bởi 3 véctơ p1(x), p2(x), p3(x). Vậy p1(x), p2(x) là cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi 3 véctơ trên là 2.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 28 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Hạng của ma trận phụ hợp

Hạng của ma trận phụ hợp

Định lý Cho A ∈ Mn(K ). Khi đó 1 Nếu r (A) = n thì r (PA) = n 2 Nếu r (A) = n − 1 thì r (PA) = 1 3 Nếu r (A) < n − 1 thì r (PA) = 0.

1. r (A) = n ⇒ det(A) (cid:54)= 0. det(PA) = (det(A))n−1 ⇒ det(PA) (cid:54)= 0 ⇒ r (PA) = n. 3. r (A) < n − 1 ⇒ mọi định thức con cấp n − 1 đều bằng 0 ⇒ PA = 0 ⇒ r (PA) = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 29 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Hạng của ma trận phụ hợp

2. Ta có A.PA = det(A). Nếu r (A) = n − 1 thì det(A) = 0. Do đó A.PA = 0, từ đó suy ra các véc tơ cột của ma trận PA là nghiệm của hệ phương trình AX = 0. Suy ra rank(PA) = hạng các véc tơ cột của ma trận PA nhỏ hơn hoặc bằng số chiều của không gian nghiệm của hệ thuần nhất AX = 0 ⇒ r (PA) (cid:54) n − r (A) = 1. Mặt khác, do r (A) = n − 1 nên A có ít nhất 1 định thức con cấp n − 1 khác không hay PA (cid:54)= 0. Suy ra r (PA) (cid:62) 1. Vậy r (PA) = 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 30 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Tổng và giao các không gian con Định nghĩa

Fi là

Định lý Giả sử E là một K -kgv; (Fi)i∈I là một họ các không gian véctơ con của E , thế thì giao (cid:84) i∈I

Fi

một không gian véctơ con của E . Chứng minh. Đặt F = (cid:84) i∈I

1 F (cid:54)= ∅ vì ∀i ∈ I , 0 ∈ Fi ⇒ 0 ∈ F . 2 ∀x, y ∈ F ⇒ ∀i ∈ I , x, y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ Fi

⇒ x + y ∈ F

3 ∀i ∈ I , x ∈ Fi ⇒ ∀λ ∈ K , λx ∈ Fi ⇒ λx ∈ F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 31 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Tổng và giao các không gian con Định nghĩa

Định nghĩa Giả sử E là một K −kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E . Ta ký hiệu F = F1 + F2 = = {x ∈ E , ∃(x1, x2) ∈ F1 × F2, x = x1 + x2} được gọi là tổng của F1 và F2.

Định lý Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 32 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Tổng và giao các không gian con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con

(cid:84) F2 = {0}. Khi đó ta ký

Định nghĩa Giả sử E là một K -kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E . Ta nói rằng, F1, F2 có tổng trực tiếp khi và chỉ khi F1 hiệu F1 ⊕ F2 là tổng trực tiếp của F1, F2.

Ví dụ K = R, E = R3, các không gian véctơ con F1 = R × {0} × {0}, F2 = {0} × R × {0} có (cid:84) F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R × R × {0} F1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 33 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Tổng và giao các không gian con Phần bù của không gian con

Định nghĩa Hai không gian véctơ con F1, F2 của K -kgv E được gọi là bù nhau trong E

⇔

⇔ F1 ⊕ F2 = E .

(cid:26) F1 + F2 = E (cid:84) F2 = {0}

F1

(cid:84) F2 = {0}

Ví dụ K = R, E = R2, các không gian véctơ con F1 = R × {0}, F2 = {0} × R có F1 và F1 ⊕ F2 = R × R = R2 = E

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 34 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Tổng và giao các không gian con Phần bù của không gian con

Số chiều của phần bù của không gian con

Định lý Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, dim(E ) = n, F là một không gian véctơ con của E , dim(F ) = p(p (cid:54) n). Khi đó 1 F có ít nhất một phần bù trong E 2 Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là

n − p.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 35 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Tổng và giao các không gian con Phần bù của không gian con

Hệ quả Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là 2 không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp. Khi đó dim(F ⊕ G ) = dim(F ) + dim(G ).

Ta có F và G là 2 không gian véctơ con của E nên H = F ⊕ G cũng là không gian véctơ con của E ⇒ dim(H) = p (cid:54) n. Mặt khác H = F ⊕ G nên G là phần bù của F trong H ⇒ dim(G ) = p − dim(F ), ⇒ dim(F ) + dim(G ) = p = dim(F ⊕ G ).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 36 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Tổng và giao các không gian con Phần bù của không gian con

Hệ quả Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F1, F2, . . . , Fm là những không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp. Khi đó

m (cid:88)

dim(F1 ⊕ F2 ⊕ . . . ⊕ Fm) =

dim(Fi).

i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 37 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Tổng và giao các không gian con Phần bù của không gian con

Hệ quả Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là 2 không gian véctơ con của E . Nếu

(cid:26)

⇒ F = G .

F ⊂ G dim(F ) = dim(G )

Vì F ⊂ G nên F có ít nhất 1 phần bù H trong G và dim(H) = dim(G ) − dim(F ) ⇒ dim(H) = 0 ⇒ H = {0}. Vậy G = F + H = F .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 38 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Tổng và giao các không gian con Cơ sở và số chiều của tổng các không gian con

Mối liên hệ giữa số chiều của tổng và giao của các không gian con

Định lý Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là những không gian véctơ con của E . Khi đó

dim(F + G ) = dim(F ) + dim(G ) − dim(F ∩ G )

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 39 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Tổng và giao các không gian con Ví dụ

Ví dụ Trong R−kgv R4 cho các véctơ u1 = (1, 2, 1, 1), u2 = (3, 6, 5, 7), u3 = (4, 8, 6, 8), u4 = (8, 16, 12, 16) và v1 = (1, 3, 3, 3), v2 = (2, 5, 5, 6), v3 = (3, 8, 8, 9), v4 = (6, 16, 16, 18). Đặt U =< u1, u2, u3, u4 > và V =< v1, v2, v3, v4 > . Tìm cơ sở và chiều của không gian U + V và U ∩ V .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 40 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Tổng và giao các không gian con Ví dụ

→

1 5 6

   

   

   

   

Tìm cơ sở của U 1 1 2 7 3 6 4 8 8 8 16 12 16

1 2 1 1 0 0 2 4 0 0 0 0 0 0 0 0

Vậy dim(U) = 2 và 1 cơ sở của U là {(1, 2, 1, 1), (0, 0, 2, 4)}

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 41 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Tổng và giao các không gian con Ví dụ

3

3

→

3 8 8

   

   

   

   

Tìm cơ sở của V  3 1 3 6 2 5 3 8 9 6 16 16 18

1 3 0 −1 −1 0 0 0 0 0

0 0

0 0

Vậy dim(V ) = 2 và 1 cơ sở của V là {(1, 3, 3, 3), (0, −1, −1, 0)}

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 42 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Tổng và giao các không gian con Ví dụ

Không gian U + V là không gian sinh bởi các véctơ {(1, 2, 1, 1), (0, 0, 2, 4), (1, 3, 3, 3), (0, −1, −1, 0)}. Tìm cơ sở của U + V 

→

A =

1 2 3

2 0 3

   

   

   

   

1 1 4 0 1 3 0 −1 −1 0

1 2 1 1 0 1 2 2 0 0 2 4 0 0 0 0

⇒ r (A) = 3. Vậy dim(U + V ) = 3 và 1 cơ sở của U + V là {(1, 2, 1, 1), (0, 1, 2, 2), (0, 0, 2, 4)}.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 43 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Tổng và giao các không gian con Ví dụ

Tìm cơ sở và số chiều của U ∩ V . u ∈ U ∩ V ⇔ (cid:26)

⇔ u =

u = α1(1, 2, 1, 1) + α2(0, 0, 2, 4) u = α3(1, 3, 3, 3) + α4(0, −1, −1, 0)

α1(1, 2, 1, 1) + α2(0, 0, 2, 4), và α1(1, 2, 1, 1) + α2(0, 0, 2, 4) = α3(1, 3, 3, 3)+α4(0, −1, −1, 0) ⇔ (cid:26) u = α1(1, 2, 1, 1) + α2(0, 0, 2, 4) α1 = α3 = α4 = 2α2 ⇒ u = α2(2, 4, 4, 6). Vậy dim(U ∩ V ) = 1 và 1 cơ sở của U ∩ V là (2, 4, 4, 6)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 44 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Tổng và giao các không gian con Ví dụ

Ví dụ Trong R−kgv R4 cho U = {(x1, x2, x3, x4) : x1 + x2 − 2x3 = 0 ∧ x1 − x2 − 2x4 = 0} và V = {(x1, x2, x3, x4) : x1 = x2 = x3}. Tìm cơ sở và chiều của không gian U + V và U ∩ V .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 45 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Tổng và giao các không gian con Ví dụ

(cid:19)

(cid:19)

Tìm cơ sở của U (cid:18) 1

1 −2

(cid:18) 1

1 −2

→

1 −1

0 0 −2

0 2 −2

0 −2

Vậy dim(U) = 2 và 1 cơ sở của U là {(1, 1, 1, 0), (1, −1, 0, 1)} Tìm cơ sở của V . Với ∀v ∈ V ⇒ v = α(1, 1, 1, 0) + β(0, 0, 0, 1)

Vậy dim(V ) = 2 và 1 cơ sở của V là {(1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 46 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Tổng và giao các không gian con Ví dụ

Không gian U + V là không gian sinh bởi các véctơ {(1, 1, 1, 0), (1, −1, 0, 1), (0, 0, 0, 1)}. Tìm cơ sở của U + V 

1

1

1

A =

 →

1 1 0 1 −1 0 1 0 1 0

0

1 0 0 −2 −1 1 1 0

0

0

⇒ r (A) = 3. Vậy dim(U + V ) = 3 và 1 cơ sở của U + V là {(1, 1, 1, 0), (0, −2, −1, 1), (0, 0, 0, 1)}.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 47 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Tổng và giao các không gian con Ví dụ

Tìm cơ sở và số chiều của U ∩ V . x ∈ U ∩ V ⇔  

⇔

(cid:26) x1 = x2 = x3 = α x4 = 0

x1 + x2 − 2x3 = 0 x1 − x2 − 2x4 = 0 x1 = x2 = x3

 ⇒ x = α(1, 1, 1, 0). Vậy dim(U ∩ V ) = 1 và 1 cơ sở của U ∩ V là (1, 1, 1, 0)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 48 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.

Tổng và giao các không gian con Ví dụ

THANK YOU FOR ATTENTION

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 49 / 53 KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TP. HCM — 2013.