Bài giảng Trị riêng - Véctơ riêng - TS. Lê Xuân Đại

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG Bài giảng điện tử

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TS. Lê Xuân Đại

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

1 / 75

TP. HCM — 2013.

Bài toán thực tế

Lĩnh vực đồ họa hoạt hình trên máy tính

(cid:52)PQR → (cid:52)P (cid:48)Q (cid:48)R (cid:48)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

2 / 75

bằng cách lấy đối xứng qua trục Ox.

Bài toán thực tế

(cid:19) (cid:18) 1 A = là ma trận của phép biến đổi. 0 0 −1

Như vậy, với một điểm bất kỳ trong mặt phẳng có tọa độ (x1, x2) qua phép biến đổi này ta sẽ thu được một điểm mới có tọa độ (y1, y2)

(cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:18) 1 . = = 0 0 −1 (cid:18) y1 y2 (cid:18) x1 x2 (cid:18) x1 −x2

tiếp đối với điểm (x1, x2) có nghĩa là Ak. Câu hỏi: Nếu thực hiện phép biến đổi này liên (cid:19) (cid:18) x1 x2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

3 / 75

thì tọa độ của điểm mới được tính như thế nào?

Bài toán thực tế

Nội dung

1 Trị riêng, véc-tơ riêng của ma trận 2 Chéo hóa ma trận, chéo hóa trực giao ma trận

3 Trị riêng, véc-tơ riêng của ánh xạ tuyến tính 4 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

4 / 75

đối xứng thực

Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận

(cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:18) 1 . A = , u = , v = (cid:18) 0 1 0 0 −1

(cid:19) (cid:19)

= và (cid:18) −1 −1 (cid:18) −1 1

(cid:19) (cid:19) (cid:19)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

5 / 75

A = = −1. Ta thấy A (cid:18) 0 1 (cid:18) −1 −1 (cid:18) 0 −1 (cid:18) 0 1

Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Định nghĩa Cho ma trận vuông A ∈ Mn×n(K ). Nếu tồn tại X ∈ K n, X (cid:54)= 0 sao cho AX = λ.X , λ ∈ K thì λ được gọi là trị riêng của ma trận A và X được gọi là véctơ riêng của ma trận A ứng với trị riêng λ.

Ví dụ Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận (cid:19)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

6 / 75

A = (cid:18) 1 4 2 3

Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận

(cid:18) λx1 λx2 (cid:19) (cid:19)

. Hệ phương = Biểu thức AX = λX có dạng (cid:19) (cid:19) (cid:18) 1 4 2 3 (cid:18) 1 − λ 2 (cid:19) (cid:18) x1 x2 4 3 − λ ⇔ (cid:18) 0 0 = (cid:19) (cid:18) x1 x2

trình thuần nhất này phải có nghiệm X (cid:54)= 0 nên

= 0 ⇔ λ2 − 4λ − 5 = 0 1 − λ 2 4 3 − λ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

7 / 75

⇔ λ1 = −1, λ2 = 5.

Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận

⇔ x1 = −2α, x2 = α. Ứng với λ1 = −1. Ta có (cid:26) 2x1 + 4x2 = 0 2x1 + 4x2 = 0

⇔ x1 = β, x2 = β. Vậy véctơ riêng có dạng α(−2, 1), α (cid:54)= 0. Ứng với λ2 = 5. Ta có (cid:26) −4x1 + 4x2 = 0 2x1 − 2x2 = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

8 / 75

Vậy véctơ riêng có dạng β(1, 1), β (cid:54)= 0.

Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

9 / 75

Ví dụ Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận (cid:19) (cid:18) 1 A = 2 −2 1

Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận

(cid:19) (cid:19)

(cid:19) (cid:18) x1 x2 Biểu thức AX = λX có dạng (cid:18) λx1 (cid:18) 1 λx2 (cid:19) (cid:19)

. Hệ phương = 2 −2 1 (cid:18) 1 − λ −2 2 1 − λ ⇔ (cid:18) 0 0 = (cid:19) (cid:18) x1 x2

trình thuần nhất này phải có nghiệm X (cid:54)= 0 nên

= 0 ⇔ (1 − λ)2 + 4 = 0 1 − λ −2 2 1 − λ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

10 / 75

⇔ λ1,2 = 1 ± 2i.

Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận

⇔ x1 = α, x2 = αi. Ứng với λ1 = 1 + 2i. Ta có (cid:26) −2ix1 + 2x2 = 0 −2x1 − 2ix2 = 0

⇔ x1 = β, x2 = −βi. Vậy véctơ riêng có dạng α(1, i), α (cid:54)= 0. Ứng với λ2 = 1 − 2i. Ta có (cid:26) 2ix1 + 2x2 = 0 −2x1 + 2ix2 = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

11 / 75

Vậy véctơ riêng có dạng β(1, −i), β (cid:54)= 0.

Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Đa thức đặc trưng

Giả sử λ là trị riêng của ma trận vuông A ⇔ ∃X (cid:54)= 0 : AX = λ.X ⇔ AX − λX = 0 ⇔ (A − λI ).X = 0. Hệ thuần nhất này có nghiệm không tầm thường X (cid:54)= 0 ⇒ det(A − λI ) = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

12 / 75

Định nghĩa Cho A ∈ Mn×n(K ), I là ma trận đơn vị cấp n. Khi đó χA(λ) = det(A − λI ) được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A.Phương trình det(A − λI ) = 0 được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A.

Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Đa thức đặc trưng

Tìm trị riêng-véc tơ riêng của ma trận vuông

Bước 1. Lập phương trình đặc trưng det(A − λI ) = 0.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

13 / 75

Bước 2. Giải phương trình đặc trưng tìm trị riêng. Bước 3. Với mỗi trị riêng λi, giải hệ (A − λiI )X = 0: Tìm véc tơ riêng X ứng với trị riêng λi.

Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Đa thức đặc trưng

Định lý

 

Cho A =   ∈ M3(K ), khi đó

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

(cid:19)

− + + λ + det(A) a22 a23 a32 a33 a11 a13 a31 a33 a11 a12 a21 a22 χA(λ) = |A − λI | = −λ3 + tr (A)λ2− (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:18)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

14 / 75

ở đây tr (A) = a11 + a22 + a33−vết của ma trận A.

Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Tính chất của véctơ riêng

Định nghĩa Các véctơ riêng ứng với trị riêng λ cùng với véctơ 0 tạo thành 1 không gian con được gọi là không gian con riêng ứng với λ. Kí hiệu Eλ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

15 / 75

Định nghĩa Số chiều của không gian con riêng ứng với trị riêng λ được gọi là bội hình học của trị riêng λ. Còn bội đại số của λ là bội của nghiệm của phương trình đặc trưng χA(λ) = 0.

Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Tính chất của véctơ riêng

Ví dụ

 

Cho A =  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

16 / 75

3 1 1 2 4 2 1 1 3 1 Lập đa thức đặc trưng của A 2 Tính det(A − 2013.I ) 3 Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Tính chất của véctơ riêng

1. Đa thức đặc trưng của ma trận A

= χA(λ) = |A − λI | =

3 − λ 2 1 1 4 − λ 1 1 2 3 − λ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

= 0 χA(λ) = |A − λI | =

= −(λ − 2)2(λ − 6) 2. det(A − 2013.I ) = −(2013 − 2)2(2013 − 6) 3. Phương trình đặc trưng của A 1 4 − λ 1 3 − λ 2 1 1 2 3 − λ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

17 / 75

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ⇔ −(λ − 2)2(λ − 6) = 0 ⇔ λ1 = 2, λ2 = 6.

Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Tính chất của véctơ riêng

Ứng với λ1 = 2 ta xét hệ  



  

⇒ X1 = α   + β    , α2 + β2 (cid:54)= 0.

x1 + x2 + x3 = 0 2x1 + 2x2 + 2x3 = 0 x1 + x2 + x3 = 0 −1 1 0 −1 0 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

18 / 75

Bội đại số của λ1 = 2 là 2. Bội hình học của λ1 = 2 cũng là 2.

Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Tính chất của véctơ riêng



 

⇒ X2 = γ   , γ (cid:54)= 0. Bội đại số của λ2 = 6

Ứng với λ2 = 6 ta xét hệ  −3x1 + x2 + x3 = 0  2x1 − 2x2 + 2x3 = 0 x1 + x2 − 3x3 = 0 1 2 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

19 / 75

là 1. Bội hình học của λ2 = 6 cũng là 1.

Chéo hóa ma trận

Định nghĩa chéo hóa

Chéo hóa ma trận

Định nghĩa Cho A ∈ Mn(K ). Ta nói A chéo hóa được nếu nó đồng dạng với một ma trận chéo D, tức là ∃S ∈ Mn(K ) không suy biến sao cho S −1AS = D. Khi đó S được gọi là ma trận làm chéo hóa.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

20 / 75

Chú ý. Không phải ma trận vuông nào cũng chéo hóa được. Chéo hóa ma trận A là đi tìm ma trận không suy biến S và ma trận chéo D.

Chéo hóa ma trận Ma trận làm chéo hóa

Ta có S −1AS = D = dig (λ1, λ2, . . . , λn). Từ đó suy ra AS = SD









0

A =

, D =

  

  

  

  

λ1 0 0 λ2 . . . . . . 0 0

a11 a12 a21 a22 . . . . . . an1 an2

. . . a1n . . . a2n . . . . . . . . . ann

. . . . . . . . . . . . . . . λn





(cid:1)

S =

= (cid:0) S∗1 S∗2

. . . S∗n

  

  

s12 s11 s22 s21 . . . . . . sn1 sn2

. . . s1n . . . s2n . . . . . . . . . snn

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

21 / 75

Chéo hóa ma trận Ma trận làm chéo hóa









.

AS =

  

  

  

  

. . . s1n . . . s2n . . . . . . . . . snn

a11 a12 a21 a22 . . . . . . an1 an2

. . . a1n . . . a2n . . . . . . . . . ann

(cid:1)

= A (cid:0) S∗1 S∗2

. . . S∗n

s12 s11 s22 s21 . . . . . . sn1 sn2 (cid:1) = (cid:0) AS∗1 AS∗2

. . . AS∗n









0

SD =

  

  

  

  

0 λ1 0 λ2 . . . . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . λn

(cid:1)

s12 s11 . . . s1n s22 s21 . . . s2n . . . . . . . . . . . . sn1 sn2 . . . snn = (cid:0) λ1S∗1 λ2S∗2

. . . λnS∗n

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

22 / 75

Chéo hóa ma trận Ma trận làm chéo hóa

Vậy (AS)∗i = AS∗i = (SD)∗i = λiS∗i, (i = 1, 2, . . . , n). Vậy S∗i là véctơ riêng ứng với trị riêng λi(i = 1, 2, . . . , n) của ma trận A.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

23 / 75

Ma trận làm chéo hóa S có cấu trúc là: các cột của nó chính là các véctơ riêng của ma trận A.

Chéo hóa ma trận

Ví dụ

Ví dụ

 

Cho ma trận A =   . Hãy chéo

15 −18 −16 9 −12 −8 4 −4 −6

hóa ma trận A.

= 0

χA(λ) = |A − λI | =

Bước 1. Tìm trị riêng, véctơ riêng của A. 15 − λ 9 4

−18 −12 − λ −4

−16 −8 −6 − λ

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

⇔ −(λ + 3)(λ + 2)(λ − 2) = 0 ⇔ λ1 = −3, λ2 = −2, λ3 = 2.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

24 / 75

Chéo hóa ma trận

Ví dụ



Ứng với λ1 = −3 ta xét hệ  18x1 − 18x2 − 16x3 = 0  9x1 − 9x2 − 8x3 = 0 4x1 − 4x2 − 3x3 = 0  

⇒ X1 = α   , α (cid:54)= 0.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

25 / 75

1 1 0

Chéo hóa ma trận

Ví dụ



Ứng với λ2 = −2 ta xét hệ  17x1 − 18x2 − 16x3 = 0  9x1 − 10x2 − 8x3 = 0 4x1 − 4x2 − 4x3 = 0  

⇒ X2 = β   , β (cid:54)= 0.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

26 / 75

2 1 1

Chéo hóa ma trận

Ví dụ



Ứng với λ3 = 2 ta xét hệ  13x1 − 18x2 − 16x3 = 0  9x1 − 14x2 − 8x3 = 0 4x1 − 4x2 − 8x3 = 0  

⇒ X3 = γ   , γ (cid:54)= 0.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

27 / 75

4 2 1

Chéo hóa ma trận

Ví dụ

Bước 2. Xác định ma trận làm chéo hóa  

S =  

1 2 4 1 1 2 0 1 1

 

Khi đó S −1AS = D =  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

28 / 75

−3 0 0 0 −2 0 2 0 0

Chéo hóa ma trận

Ứng dụng chéo hóa tính lũy thừa của ma trận vuông

Ứng dụng chéo hóa tính lũy thừa của ma trận vuông

 

S −1 Ak = S

       

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

29 / 75

Giả sử A chéo hóa được, tức là S −1AS = D = dig (λ1, λ2, . . . , λn). Khi đó (S −1AS)k = D k, k ∈ N ⇒ S −1A(S.S −1)AS. . . . .S −1AS = S −1AkS = D k ⇒ Ak = SD kS −1. Vậy λk 0 . . . 0 1 0 λk . . . 0 2 . . . . . . . . . . . . 0 . . . λk 0 n

Chéo hóa ma trận

Ví dụ

Ví dụ



Cho ma trận A =    . Tính Ak,

0 −8 6 −1 −8 7 1 −14 11

k ∈ N.

Xét

= 0 χA(λ) = |A − λI | =

−λ −8 −1 −8 − λ 1 −14 6 7 11 − λ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

30 / 75

⇔ −(λ − 2)(λ + 2)(λ − 3) = 0 ⇔ λ1 = −2, λ2 = 2, λ3 = 3.

Chéo hóa ma trận

Ví dụ



 

⇒ X1 = α  , α (cid:54)= 0. 

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

31 / 75

Ứng với λ1 = −2 ta xét hệ  2x1 − 8x2 + 6x3 = 0  −x1 − 6x2 + 7x3 = 0 x1 − 14x2 + 13x3 = 0 1 1 1

Chéo hóa ma trận

Ví dụ



 

⇒ X2 = β  , β (cid:54)= 0. 

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

32 / 75

Ứng với λ2 = 2 ta xét hệ  −2x1 − 8x2 + 6x3 = 0  −x1 − 10x2 + 7x3 = 0 x1 − 14x2 + 9x3 = 0 1 2 3

Chéo hóa ma trận

Ví dụ



 

⇒ X3 = γ  , γ (cid:54)= 0. 

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

33 / 75

Ứng với λ3 = 3 ta xét hệ  −3x1 − 8x2 + 6x3 = 0  −x1 − 11x2 + 7x3 = 0 x1 − 14x2 + 8x3 = 0 2 3 5

Chéo hóa ma trận

Ví dụ

 

Vậy ta có ma trận làm chéo hóa S =  

   

⇒ S −1 =   D =   .

1 −2 1 −2 1 −1 3 −1 1 1 1 2 1 2 3 1 3 5 −2 0 0 2 0 0 0 3 0

Do đó Ak = SD kS −1 =       (−2)k 0

     

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

34 / 75

1 1 2 1 2 3 1 3 5 0 0 0 2k 0 0 3k 1 −2 1 −2 1 −1 3 −1 1

Chéo hóa ma trận

Ví dụ



Ak = 





(−2)k − 2.2k + 2.3k (−2)k − 4.2k + 3.3k (−2)k − 6.2k + 5.3k

−(−2)k − 2k + 2.3k (−2)k + 3.2k − 4.3k (−2)k + 6.2k − 6.3k −(−2)k − 2.2k + 3.3k (−2)k + 9.2k − 10.3k −(−2)k − 3.2k + 5.3k

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

35 / 75

Chéo hóa ma trận

Điều kiện chéo hóa

Định lý Cho A ∈ Mn(K ). A chéo hóa được khi và chỉ khi bội đại số của trị riêng bất kỳ bằng bội hình học của nó.

Ví dụ

 

Cho ma trận A =  . Hãy chéo hóa 

1 0 2 1 1 1 −2 0 −1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

36 / 75

A nếu A chéo hóa được.

Chéo hóa ma trận

Điều kiện chéo hóa

= 0

χA(λ) = |A − λI | =

Bước 1. Tìm trị riêng, véctơ riêng của A. 2 − λ 1 −2

1 1 −1 − λ

0 1 − λ 0

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ⇔ −λ(λ − 1)2 = 0 ⇔ λ1 = 0, λ2 = 1 (bội 2).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

37 / 75

Chéo hóa ma trận

Điều kiện chéo hóa

Ứng với λ1 = 0 (đơn) ta xét hệ  



2x1 + x3 = 0 x1 + x2 + x3 = 0 −2x1 − x3 = 0  

⇒ X1 = α   , α (cid:54)= 0.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

38 / 75

1 1 −2

Chéo hóa ma trận

Điều kiện chéo hóa

 

⇒ X2 =   =  Ứng với λ2 = 1 (bội 2) ta xét hệ  α  β −α

 

α  + β     , α2 + β2 (cid:54)= 0.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

39 / 75

x1 + x3 = 0 x1 + x3 = 0 −2x1 − 2x3 = 0  0 1 0 1 0 −1

Chéo hóa ma trận

Điều kiện chéo hóa

 Bước 2. Xác định ma trận làm chéo hóa 

S =  

1 0 1 1 0 1 −2 0 −1

 

Khi đó S −1 =  



D = S −1AS =  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

40 / 75

−1 0 −1 1 1 1 1 2 0  0 0 0 0 1 0 0 0 1

Chéo hóa ma trận

Điều kiện chéo hóa

Ví dụ

 

Cho ma trận A =  . Hãy chéo hóa A 

2 0 0 0 4 0 1 0 2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

41 / 75

nếu A chéo hóa được.

Chéo hóa ma trận

Điều kiện chéo hóa

= 0

χA(λ) = |A − λI | =

0 4 − λ 0

0 0 2 − λ

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

42 / 75

Bước 1. Tìm trị riêng, véctơ riêng của A. 2 − λ 0 1 ⇔ −(λ − 4)(λ − 2)2 = 0 ⇔ λ1 = 4, λ2 = 2 (bội 2).

Chéo hóa ma trận

Điều kiện chéo hóa

 

⇒ X1 = α   , α (cid:54)= 0.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

43 / 75

Ứng với λ1 = 4 (đơn) ta xét hệ 0 (cid:26) −2x1 = 0 1 x1 − 2x3 = 0 0

Chéo hóa ma trận

Điều kiện chéo hóa

Ứng với λ2 = 2 (bội 2) ta xét hệ (cid:26) 2x2 = 0 x1 = 0

 

⇒ X2 = β  , β (cid:54)= 0. 

0 0 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

44 / 75

Ta có bội đại số=2>bội hình học=1 nên A không chéo hóa được.

Chéo hóa ma trận

Chéo hóa ma trận đối xứng thực bằng ma trận trực giao

Định nghĩa Cho A ∈ Mn(R). A được gọi là ma trận đối xứng thực nếu A = AT hay nếu A = (aij)n thì aij = aji, ∀i, j = 1, 2, . . . , n.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

45 / 75

Định lý Cho A ∈ Mn(R) và A đối xứng thực. Khi đó nếu λ là trị riêng của A thì λ ∈ R.

Chéo hóa ma trận

Chéo hóa ma trận đối xứng thực bằng ma trận trực giao

Định nghĩa Cho P ∈ Mn(K ). Ma trận P được gọi là ma trận trực giao nếu và chỉ nếu P không suy biến và thỏa điều kiện P T = P −1, tức là P có ma trận nghịch đảo bằng ma trận chuyển vị.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

46 / 75

Định lý Với mỗi ma trận đối xứng thực A, tồn tại ma trận trực giao P sao cho P T AP là ma trận chéo.

Chéo hóa ma trận

Chéo hóa ma trận đối xứng thực bằng ma trận trực giao

Các bước chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

47 / 75

Bước 1. Lập phương trình đặc trưng. Tìm trị riêng. Bước 2. Tìm cơ sở của không gian con riêng ứng với từng trị riêng. Bước 3. Từ cơ sở này tìm cơ sở trực chuẩn. Bước 4. Ma trận trực giao P có các cột là cơ sở trực chuẩn của những không gian con riêng. Các phần tử nằm trên đường chéo chính của D là các trị riêng tương ứng.

Chéo hóa ma trận

Ví dụ

Ví dụ Hãy chéo hóa ma trận đối xứng thực  

A =   bằng ma trận trực giao.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

48 / 75

2 −1 −1 2 −1 −1 −1 −1 2

Chéo hóa ma trận

Ví dụ

Bước 1. Tìm trị riêng, véctơ riêng của A.

2 − λ −1

−1 2 − λ −1

= 0

χA(λ) = |A − λI | =

−1 −1

−1

2 − λ

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

⇔ −λ(λ − 3)2 = 0 ⇔ λ1 = 0, λ2 = 3 (bội 2).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

49 / 75

Chéo hóa ma trận

Ví dụ

Bước 2, 3. Ứng với λ1 = 0 (đơn) ta xét hệ  



 

⇒ X1 = α  , α (cid:54)= 0. Từ đó ta có 

2x1 − x2 − x3 = 0 −x1 + 2x2 − x3 = 0 −x1 − x2 + 2x3 = 0 1 1 1

 

= P∗1 =     X1 ||X1||

1√ 3 1√ 3 1√ 3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

50 / 75

Chéo hóa ma trận

Ví dụ

Ứng với λ2 = 3 (bội 2) ta xét hệ  



−x1 − x2 − x3 = 0 −x1 − x2 − x3 = 0 −x1 − x2 − x3 = 0  

⇒ X2 =   =

−α − β α β   

α   + β    , α2 + β2 (cid:54)= 0.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

51 / 75

−1 1 0 −1 0 1

Chéo hóa ma trận

Ví dụ

Dùng quá trình Gram-Shmidt, tìm cơ sở trực giao F = {f1, f2}.  

f1 = X1 =   ,

−1 1 0

 

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

52 / 75

f1 = f2 = X2 −   < X2, f1 > < f1, f1 > −1/2 −1/2 1

Chéo hóa ma trận

Ví dụ

 

= P∗2 =   và   f1 ||f1||

 

= P∗3 =     f2 ||f2||

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

53 / 75

Trực chuẩn hóa cơ sở trực giao ta được − 1√ 2 1√ 2 0 − 1√ 6 − 1√ 6 2√ 6

Chéo hóa ma trận

Ví dụ

 

hóa P =     − 1√ 2 1√ 2 0

1√ 3 1√ 3 1√ 3



Khi đó D = P T AP =  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

54 / 75

Bước 4. Xác định ma trận trực giao làm chéo − 1√ 6 − 1√ 6 2√ 6  0 0 0 0 3 0 0 0 3

Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa

Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa Cho E là một K − kgv, ánh xạ tuyến tính f : E → E . Nếu ∃x ∈ E , x (cid:54)= 0 sao cho

f (x) = λ.x, λ ∈ K

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

55 / 75

thì λ được gọi là trị riêng của f và x được gọi là véc-tơ riêng của f ứng với trị riêng λ.

Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa

Cho E là K −kgv, B là một cơ sở của E . Cho ánh xạ tuyến tính f : E → E . A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B. Giả sử λ0 là trị riêng của ánh xạ tuyến tính f

⇔ ∃x0 (cid:54)= 0, x0 ∈ E : f (x0) = λ0.x0

⇔ [f (x0)]B = [λ0x0]B ⇔ A[x0]B = λ0[x0]B

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

56 / 75

⇒ λ0 là trị riêng của ma trận A và [x0]B là véctơ riêng của ma trận A ứng với trị riêng λ0

Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa

Kết luận 1 Trị riêng của ma trận là trị riêng của ánh xạ

2 Nếu véctơ x0 là véctơ riêng của ma trận A ứng với trị riêng λ0 thì véctơ x sao cho [x]B = x0 là véctơ riêng của f ứng với trị riêng λ0.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

57 / 75

tuyến tính và ngược lại

Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính

Các bước tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính

Các bước tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính

Bước 1. Chọn một cơ sở tùy ý B của kgv E . Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B Bước 2. Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận A Bước 3. Kết luận 1 Trị riêng của ma trận là trị riêng của ánh xạ

2 Nếu véctơ x0 là véctơ riêng của ma trận A ứng với trị riêng λ0 thì véctơ x sao cho [x]B = x0 là véctơ riêng của f ứng với trị riêng λ0.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

58 / 75

tuyến tính và ngược lại

Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3, biết f (x) = f (x1, x2, x3) = (5x1−10x2−5x3, 2x1+14x2+2x3, −4x1−8x2+6x3). Tìm trị riêng, véc-tơ riêng của ánh xạ tuyến tính f

Bước 1. Chọn cơ sở chính tắc của R3 là B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B là  

A =  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

59 / 75

5 −10 −5 2 2 14 −4 −8 6

Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

Bước 2. Tìm trị riêng, véc-tơ riêng của ma trận A Phương trình đặc trưng −λ3 + 25λ2 − 200λ + 500 = 0 ⇔ −(λ − 5)(λ − 10)2 = 0 ⇔ λ1 = 5, λ2 = 10 (kép) Với λ1 = 5 giải hệ phương trình

   

(A−λ1I )X = 0 ⇔  = 0   

x1 x2 x3

0 −10 −5 2 9 2 −4 −8 1  

⇔ X = α  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

60 / 75

5 −2 4

Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

Bước 3. Kết luận: Véc-tơ riêng của A ứng với λ1 là X1 sao cho

 

[X1]B =  , α (cid:54)= 0 

5α −2α 4α

⇒ X1 = (5α, −2α, 4α)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

61 / 75

vì B là cơ sở chính tắc.

Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

Bước 2. Với λ2 = 10 giải hệ phương trình    

(A−λ2I )X = 0 ⇔     = 0

−5 −10 −5 2 4 2 −4 −8 −4 x1 x2 x3



⇔ X =    , (α2 + β2 (cid:54)= 0).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

62 / 75

−2α − β α β

Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

Bước 3. Kết luận: Véc-tơ riêng của A ứng với λ2 là X2 sao cho



[X2]B =    , (α2 + β2 (cid:54)= 0)

−2α − β α β

⇒ X2 = (−2α − β, α, β)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

63 / 75

vì B là cơ sở chính tắc.

Chéo hóa ánh xạ tuyến tính

Đặt vấn đề

Chéo hóa ánh xạ tuyến tính

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

64 / 75

Bài toán Tìm 1 cơ sở B (cid:48) (nếu có) của kgv E sao cho ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B (cid:48) là ma trận chéo.

Chéo hóa ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa

Định nghĩa

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

65 / 75

Ánh xạ tuyến tính f : E → E được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại cơ sở B (cid:48) của kgv E , sao cho ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở đó là ma trận chéo D.

Chéo hóa ánh xạ tuyến tính

Các bước chéo hóa ánh xạ tuyến tính

Các bước chéo hóa ánh xạ tuyến tính

Bước 1. Chọn 1 cơ sở B của kgv E . Tìm ma trận A của f trong cơ sở B Bước 2. Chéo hóa ma trận A (nếu được) Bước 3. Kết luận 1 Nếu A chéo hóa được thì f chéo hóa được 2 Nếu A không chéo hóa được thì f không chéo

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

66 / 75

hóa được

Chéo hóa ánh xạ tuyến tính

Các bước chéo hóa ánh xạ tuyến tính

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

67 / 75

Kết luận Giả sử A chéo hóa được bởi ma trận S và ma trận chéo D. Khi đó cơ sở B (cid:48) cần tìm có tọa độ mỗi véctơ của B (cid:48) trong cơ sở B là mỗi cột của ma trận S ⇒ ma trận của f trong cơ sở B (cid:48) cần tìm là ma trận chéo D.

Chéo hóa ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3, biết f (1, 1, 1) = (1, −7, 9); f (1, 0, 1) = (−7, 4, −15); f (1, 1, 0) = (−7, 1, −12). Tìm một cơ sở B (cid:48) (nếu có) của R3 sao cho ma trận của f trong B (cid:48) là ma trận chéo D. Tìm ma trận D

Bước 1. Tìm ma trận của f trong B = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)}  

A =  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

68 / 75

1 −4 −4 8 −11 −8 −8 5 8

Chéo hóa ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

Bước 2. Chéo hóa ma trận A (nếu được) Phương trình đặc trưng −λ3 − 5λ2 − 3λ + 9 = 0 ⇔ −(λ − 1)(λ + 3)2 = 0 Với λ1 = 1 giải hệ phương trình

   

(A−λ1I )X = 0 ⇔   = 0  

0 −4 −4 8 −12 −8 −8 4 8 x1 x2 x3

 

⇔ X = α  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

69 / 75

1 2 −2

Chéo hóa ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

Véc-tơ riêng của A ứng với λ1 là X1 sao cho  

[X1]B =   , α (cid:54)= 0

α 2α −2α

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

70 / 75

⇒ X1 = α(1, 1, 1) + 2α(1, 0, 1) − 2α(1, 1, 0) = (α, −α, 3α). Chọn 1 véc-tơ riêng của ánh xạ tuyến tính f ứng với λ1 = 1 là (1, −1, 3)

Chéo hóa ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

Với λ2 = −3 giải hệ phương trình

   

(A−λ2I )X = 0 ⇔     = 0

4 −4 −4 8 −8 −8 −8 8 8 x1 x2 x3



⇔ X =    , (α2 + β2 (cid:54)= 0).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

71 / 75

α + β α β

Chéo hóa ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

Véc-tơ riêng của A ứng với λ2 là X2 sao cho



[X2]B =    , (α2 + β2 (cid:54)= 0)

α + β α β

⇒ X2 = (α + β)(1, 1, 1) + α(1, 0, 1) + β(1, 1, 0) =

= (2α+2β, α+2β, 2α+β) = α(2, 1, 2)+β(2, 2, 1)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

72 / 75

Chọn 2 véc-tơ riêng độc lập tuyến tính của f ứng với trị riêng λ2 = −3 là (2, 1, 2), (2, 2, 1)

Chéo hóa ánh xạ tuyến tính

Ví dụ

Bước 3. Vậy cơ sở cần tìm là B (cid:48) = {(1, −1, 3), (2, 1, 2), (2, 2, 1)}. Ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B (cid:48) là  

D =  

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

73 / 75

0 1 0 −3 0 0 0 0 −3

Thực hành MatLab

Thực hành MatLab

1 Tìm đa thức đặc trưng của ma trận A:

2 Tìm nghiệm của đa thức đặc trưng:

p = poly (A)

3 Tìm trị riêng và véctơ riêng tương ứng:

roots(p)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

74 / 75

[V , D] = eig (A)

Kết thúc

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2013.

75 / 75

THANK YOU FOR ATTENTION