Bài giảng Không gian Euclide chuẩn nhất

KHÔNG GIAN EUCLIDE Bài giảng điện tử

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TS. Lê Xuân Đại

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

1 / 56

TP. HCM — 2013.

Công của lực

−→ F

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

2 / 56

−→ F .−→s = F .s. cos α A =

−→a = (a1, a2), −→ b = (b1, b2).

(cid:113) < −→a , −→ b >= a1.b1 + a2.b2; ||−→a || =

1 + a2 a2 2

; d (−→a , −→ b ) = ||−→a − −→ b || cos α =

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

3 / 56

< −→a , ||−→a ||.|| −→ b > −→ b ||

Nội dung

1 Định nghĩa không gian Euclide, độ dài của

2 Sự trực giao, hệ trực giao, hệ trực chuẩn, cơ sở

véc-tơ, khoảng cách giữa 2 véc-tơ, góc giữa 2 véc-tơ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

4 / 56

trực giao, quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt, bù trực giao, hình chiếu vuông góc, khoảng cách từ 1 véc-tơ đến 1 không gian con

Không gian Euclide

Định nghĩa

Cho R−kgv E . Khi đó E được gọi là không gian Euclide (thực) nếu

< ·, · >: E × E → R

(x, y ) (cid:55)−→< x, y > − gọi là tích vô

1 < x, y >=< y , x >, ∀x, y ∈ E 2 < x + y , z >=< x, z > + < y , z >,

hướng của 2 véctơ. Tích vô hướng < x, y > thỏa mãn 4 tiên đề

3 < αx, y >= α < x, y >, ∀x, y ∈ E , ∀α ∈ R. 4 < x, x >> 0, x (cid:54)= 0 và < x, x >= 0 ⇔ x = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

5 / 56

∀x, y , z ∈ E

Không gian Euclide

Ví dụ

Ví dụ R−kgv R3 là không gian Euclide với tích vô hướng (x, y ) (cid:55)−→< x, y >= x1.y1 + x2.y2 + x3.y3 = x.y T với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3).

Ví dụ R−kgv Rn là không gian Euclide với tích vô hướng < ·, · >: Rn × Rn → R

(x, y ) (cid:55)−→< x, y >= xiyi = x.y T

n (cid:80) i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

6 / 56

với x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn).

Không gian Euclide

Ví dụ

Ví dụ Trong R−kgv R2 có thể xác định tích vô hướng khác (x, y ) (cid:55)−→< x, y >= x1.y1 + 2x2.y2 với x = (x1, x2), y = (y1, y2).

(cid:62) 0. Dấu "="

1 + 2x 2 2

< x, y >= x1.y1 + 2x2.y2 = y1.x1 + 2y2.x2 =< y , x > < x + y , z >= (x1 + y1)z1 + 2(x2 + y2)z2 = (x1z1 + 2x2z2) + (y1z1 + 2y2z2) =< x, z > + < y , z > < αx, y >= α.x1.y1 + 2α.x2.y2 = α(x1y1 + 2x2y2) = α. < x, y > < x, x >= x1.x1 + 2x2.x2 = x 2 ⇔ x1 = x2 = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

7 / 56

Không gian Euclide

Ví dụ

Ví dụ Trong R−kgv R2 hàm số sau không là một tích vô hướng (x, y ) (cid:55)−→< x, y >= x1.y1 − 3x2.y2 với x = (x1, x2), y = (y1, y2).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

8 / 56

Cho x = (1, 2). Khi đó < x, x >= 1.1 − 3.2.2 = −11 < 0. Không thỏa mãn tiên đề 4.

Không gian Euclide

Ví dụ

Ví dụ Không gian véctơ C[a,b] các hàm số liên tục trên đoạn [a, b] là không gian Euclide với tích vô hướng < ·, · >: C[a,b] × C[a,b] → R

b (cid:82)

f (x)g (x)dx (f , g ) (cid:55)−→< f , g >=

a

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

9 / 56

Không gian Euclide

Ví dụ

Chứng minh.

b (cid:82)

< f , g >= f (x)g (x)dx = g (x)f (x)dx =

a

a < g , f >, ∀f , g ∈ C[a,b]

b (cid:82)

< f + g , h >= (f (x) + g (x))h(x)dx =

a b (cid:82)

b (cid:82)

f (x)h(x)dx + g (x)h(x)dx =

a

a < f , h > + < g , h >, ∀f , g , h ∈ C[a,b]

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

10 / 56

Không gian Euclide

Ví dụ

b (cid:82)

< αf , g >= (αf (x))g (x)dx =

a

b (cid:82)

f (x)g (x)dx = α < f , g >,

a

α ∀f , g ∈ C[a,b], ∀α ∈ R. b (cid:82) < f , f >= (f (x))2dx > 0, f (x) (cid:54)= 0 và

a b (cid:82)

(f (x))2dx = 0 ⇔ f (x) ≡ 0 < f , f >=

a

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

11 / 56

Không gian Euclide

Ví dụ

Ví dụ Trong không gian P2(x) cho tích vô hướng

(cid:90) 1

< p, q >= p(x)q(x)dx,

0 ∀p(x) = a1x 2 + b1x + c1, q(x) = a2x 2 + b2x + c2. Tính tích vô hướng của p(x) = x 2 − 4x + 5, q(x) = x + 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

12 / 56

Không gian Euclide

Ví dụ

Tích vô hướng của p(x) và q(x) là

(cid:90) 1

< p, q >= p(x)q(x)dx =

0

(cid:90) 1

= (x 2 − 4x + 5)(x + 1)dx = 19 4

0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

13 / 56

Không gian Euclide

Độ dài véctơ (chuẩn của véctơ)

√ Định nghĩa Cho x ∈ E , trong đó E là không gian Euclide, ta gọi độ dài hay chuẩn của véctơ x là ||x|| = < x, x >

Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng

< x, y >= 3x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

14 / 56

với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, 2). Tìm độ dài của véctơ u.

Không gian Euclide

Ví dụ

√ Độ dài của véctơ u là ||u|| = < u, u >.

< u, u >= 3.1.1 + 1.2 + 2.1 + 2.2 = 11

√

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

15 / 56

11 ⇒ ||u|| =

Không gian Euclide

Khoảng cách giữa hai véctơ

Định nghĩa Trong không gian Euclide E , khoảng cách giữa 2 véctơ u, v là độ dài của véctơ u − v . Kí hiệu d (u, v ). Vậy d (u, v ) = ||u − v ||.

Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng

< x, y >= x1y1 − 2x1y2 − 2x2y1 + 5x2y2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

16 / 56

với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, −1), v = (0, 2). Tìm khoảng cách giữa 2 véctơ u, v .

Không gian Euclide

Ví dụ

√ < u − v , u − v >. Ta có Khoảng cách giữa 2 véctơ u, v là d (u, v ) = ||u − v || =

u − v = (1, −3) ⇒< u − v , u − v >=

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

17 / 56

= 1.1 − 2.1.(−3) − 2.(−3).1 + 5(−3)(−3) = 58. √ √ < u − v , u − v > = 58 Vậy d (u, v ) =

Không gian Euclide

Góc giữa 2 véctơ

Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski

Định lý Trong không gian Euclide E , ta có

| < x, y > | (cid:54) ||x||.||y ||, ∀x, y ∈ E .

Dấu ” = ” xảy ra ⇔ x và y là phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh. ∀x, y ∈ E , ∀λ ∈ R ta có

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

18 / 56

< x − λy , x − λy >(cid:62) 0

Không gian Euclide

Góc giữa 2 véctơ

⇔< x, x > −2λ < x, y > +λ2 < y , y >(cid:62) 0.

⇔ ||x||2 − 2λ < x, y > +λ2||y ||2 (cid:62) 0.

Bất đẳng thức đúng với mọi λ ∈ R nên ∆(cid:48) = (< x, y >)2 − ||x||2.||y ||2 (cid:54) 0

⇔ (< x, y >)2 (cid:54) ||x||2.||y ||2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

19 / 56

⇔ | < x, y > | (cid:54) ||x||.||y ||

Không gian Euclide

Góc giữa 2 véctơ

Nếu | < x, y > | = ||x||.||y || thì ∆(cid:48) = 0 khi đó

||x||2 − 2λ < x, y > +λ2||y ||2 = (λ − λ0)2.

(cid:113) (cid:113)

Do đó nếu λ = λ0 thì < x − λ0y , x − λ0y >= 0 hay x − λ0y = 0 ⇔ x = λ0y ⇒ x, y phụ thuộc tuyến tính. Bất đẳng thức BCS trong R2 |x1.y1 + x2.y2| (cid:54)

1 + x 2 x 2 2 .

1 + y 2 y 2 2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

20 / 56

Không gian Euclide

Góc giữa 2 véctơ

Định nghĩa Ta gọi góc giữa 2 véctơ x, y ∈ E là góc α sao cho

cos α = , (0 (cid:54) α (cid:54) π) < x, y > ||x||.||y ||

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

21 / 56

< x, y >= ||x||.||y ||. cos α.

Không gian Euclide

Ví dụ

Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng

< x, y >= x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 + 5x2y2

với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, 1), v = (1, 0). Tìm góc α giữa 2 véctơ u, v .

Ta có

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

22 / 56

cos α = < u, v > ||u||.||v ||

Không gian Euclide

Ví dụ

< u, v >= 1.1 + 2.1.0 + 2.1.1 + 5.1.0 = 3

√ √ < u, u > = ||u|| = 1.1 + 2.1.1 + 2.1.1 + 5.1.1 √

10 = √ √ ||v || = < v , v > = 1.1 + 2.1.0 + 2.0.1 + 5.0.0

= 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

23 / 56

Vậy cos α = ⇒ α = arccos 3 √ 10 3 √ 10

Sự trực giao

Định nghĩa

Sự trực giao

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

24 / 56

Sự trực giao

Định nghĩa

Sự trực giao

Định nghĩa Trong không gian Euclide E với tích vô hướng < ·, · > 1 Hai véctơ x, y ∈ E được gọi là trực giao

2 Véctơ x được gọi là trực giao với tập hợp

⇔< x, y >= 0. Kí hiệu x ⊥ y

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

25 / 56

M ⊂ E nếu nó trực giao với mọi véctơ của M. Kí hiệu x ⊥ M.

Sự trực giao

Ví dụ

Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng

< x, y >= 2x1y1 − x1y2 − x2y1 + x2y2

với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, −1), v = (2, m). Tìm m để u ⊥ v .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

26 / 56

Để u ⊥ v thì < u, v >= 0 ⇔ 2.1.2 − 1.m − (−1).2 + (−1).m = 6 − 2m = 0 ⇔ m = 3

Sự trực giao

Ví dụ

Ví dụ Trong R3 cho tích vô hướng chính tắc và M =< (1, 1, 1), (2, 1, 3) > . Khi đó u = (−2, 1, 1) ⊥ M.

Lấy v ∈ M bất kỳ. Khi đó v = α(1, 1, 1) + β(2, 1, 3) = (α + 2β, α + β, α + 3β), ∀α, β ∈ R. Ta có

< u, v >= −2.(α+2β)+1.(α+β)+1.(α+3β) = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

27 / 56

Vậy u ⊥ M.

Sự trực giao

Hệ trực giao, trực chuẩn

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

28 / 56

Sự trực giao

Hệ trực giao, trực chuẩn

Định nghĩa 1 Hệ véctơ {x1, x2, . . . , xn} được gọi là trực giao ⇔ chúng trực giao với nhau từng đôi một. 2 Hệ trực giao được gọi là hệ trực chuẩn nếu

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

29 / 56

||xk|| = 1, (k = 1, 2, . . . , n)

Sự trực giao

Ví dụ

Ví dụ Trong R2 với tích vô hướng chính tắc, M = {(1, −2), (2, 1)} là hệ trực giao. (cid:19)(cid:27) (cid:19)

, − , , N = là hệ trực (cid:26)(cid:18) 1 √ 5 2 √ 5 (cid:18) 2 √ 5 1 √ 5

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

30 / 56

chuẩn.

Sự trực giao

Ví dụ

(cid:19)(cid:29) (cid:19)

, − , , = 1 √ 5

. . + < (1, −2), (2, 1) >= 1.2 + (−2).1 = 0 ⇒ M là hệ trực giao. N là hệ trực chuẩn vì (cid:18) 2 (cid:28)(cid:18) 1 √ √ 5 5 2 √ 5 1 √ 5 = 0 (cid:115)

, − = 1 √ 4 √

2 +

2 = 1

2 √ 5 (−2) √ 5 (cid:19)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 5 5

(cid:115)

, = 4 √ 1 √

2 = 1

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2 √ 5 (cid:19)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 √ 5 1 √ 5 (cid:18) 1 √ 5 (cid:18) 2 √ 5

2 + 5

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

31 / 56

Sự trực giao

Cơ sở trực giao

Định lý Hệ véctơ trực giao không chứa véctơ 0 thì độc lập tuyến tính.

λixi = 0, λi ∈ K , i = 1, 2, . . . , p. Với Giả sử M = {x1, x2, . . . , xp} là 1 hệ véctơ trực giao, không chứa véctơ 0. Xét p (cid:80) i=1

λixi >= ∀xk ∈ M, k = 1, 2, . . . , p ta có < xk,

p (cid:80) i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

32 / 56

λk < xk, xk >= 0 ⇔ λk = 0, k = 1, 2, . . . , p. Vậy M độc lập tuyến tính.

Sự trực giao

Cơ sở trực giao

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

33 / 56

Hệ quả Trong không gian Euclide E n chiều, tập gồm n véctơ khác véc-tơ 0, trực giao từng đôi một tạo thành một cơ sở của E . Cơ sở này được gọi là cơ sở trực giao.

Sự trực giao

Ví dụ

Ví dụ Trong không gian Euclide R3 với tích vô hướng chính tắc, 3 véctơ x = (1, 1, 0), y = (−1, 1, 4), z = (2, −2, 1) tạo thành 1 cơ sở trực giao của R3.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

34 / 56

< x, y >= 1.(−1) + 1.1 + 0.4 = 0 < x, z >= 1.2 + 1.(−2) + 0.1 = 0 < y , z >= (−1).2 + 1.(−2) + 4.1 = 0

Sự trực giao

Sự trực giao hóa Gram-Schmidt

−→z2 = ||−→x2 ||.||−→y1 ||. cos α. .−→y1 < −→x2 , −→y1 > ||−→y1 ||2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

35 / 56

−→y1 ||y1||2 = −→y2 = −→x2 − −→z2

Sự trực giao

Sự trực giao hóa Gram-Schmidt

Ví dụ Trong R2, xây dựng cơ sở trực giao từ 2 véc tơ x1 = (1, 1), x2 = (0, 1).

y1 = x1 = (1, 1), y2 = x2 − .y1 =

(cid:19) (cid:18)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

36 / 56

− , = (0, 1) − .(1, 1) = 1 2 < x2, y1 > ||y1||2 1 1 2 2

Sự trực giao

Sự trực giao hóa Gram-Schmidt

. . . . . .

Cho không gian Euclide E và {x1, x2, . . . , xn} là cơ sở của E . Khi đó ta có thể chọn được các số λij ∈ R sao cho các véctơ    y1 = x1 y2 = λ21y1 + x2 y3 = λ31y1 + λ32y2 + x3 . . . yn = λn1y1 + λn2y2 + λn3y3 + λnn−1yn−1 + xn

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

37 / 56

tạo thành cơ sở trực giao của E , gồm toàn các véctơ khác không.

Sự trực giao

Sự trực giao hóa Gram-Schmidt

Do y1 ⊥ y2 nên < y1, y2 >=< y1, λ21y1 + x2 >= λ21 < y1, y1 > + < x2, y1 >= 0 ⇒ λ21 = − < x2, y1 > < y1, y1 >

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

38 / 56

Tương tự, y3 ⊥ y1, y2 nên < y3, y1 >=< λ31y1 + λ32y2 + x3, y1 > = λ31 < y1, y1 > +λ32 < y2, y1 > + < x3, y1 > = λ31 < y1, y1 > + < x3, y1 >= 0 < x3, y1 > ⇒ λ31 = − < y1, y1 >

Sự trực giao

Sự trực giao hóa Gram-Schmidt

< y3, y2 >=< λ31y1 + λ32y2 + x3, y2 > = λ31 < y1, y2 > +λ32 < y2, y2 > + < x3, y2 > = λ32 < y2, y2 > + < x3, y2 >= 0 < x3, y2 > ⇒ λ32 = − < y2, y2 >

, . . . , , λn2 = − Quá trình cứ thế tiếp diễn, ta thu được < xn, y2 > λn1 = − < y2, y2 > < xn, y1 > < y1, y1 >

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

39 / 56

. λnn−1 = − < xn, yn−1 > < yn−1, yn−1 >

Sự trực giao

Sự trực giao hóa Gram-Schmidt

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

40 / 56

Theo cách xây dựng trên, y1 = x1 ⇒ y1 (cid:54)= 0 vì x1 (cid:54)= 0 Tương tự, y2 là THTT của x1, x2 với hệ số của x2 bằng 1 ⇒ y2 (cid:54)= 0. Vì nếu y2 = 0 thì x2 sẽ biểu diễn tuyến tính qua x1 ⇒ {x1, x2} PTTT ⇒ x1, x2, . . . , xn PTTT (mâu thuẫn) Tương tự, yk là THTT của x1, x2, . . . , xk với hệ số của xk bằng 1 ⇒ yk (cid:54)= 0. Vì nếu yk = 0 thì x1, x2, . . . , xk PTTT ⇒ x1, x2, . . . , xn PTTT (mâu thuẫn) . Từ đó suy ra yk (cid:54)= 0, k = 1, 2, . . . , n

Sự trực giao

Ví dụ

Áp dụng quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt để xây dựng cơ sở trực giao từ cơ sở (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)

Hệ véctơ (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) là cơ sở của R3. Áp dụng tích vô hướng chính tắc, theo công thức trực giao hóa, ta có y1 = x1 = (1, 1, 1),

(1, 1, 1) + (0, 1, 1) y1 + x2 = − 2 3 y2 = − (cid:18) (cid:19)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

41 / 56

− , , = < x2, y1 > < y1, y1 > 1 2 3 3 1 3

Sự trực giao

Ví dụ

y2 + x3 y3 = −

y1 − (cid:18) (cid:19)

− , , (1, 1, 1) − + (0, 0, 1) < x3, y1 > < y1, y1 > 1 2 1 3 < x3, y2 > < y2, y2 > 1 2 3 3 1 3 = − (cid:18) (cid:19)

, = 0, − 1 2 1 2 (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)

− , , , , Vậy hệ (1, 1, 1), 0, − là hệ 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

42 / 56

trực giao.

Sự trực giao

Ví dụ

Hệ quả Trong không gian Euclide tồn tại cơ sở trực giao. Từ đó suy ra tồn tại cơ sở trực chuẩn.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

43 / 56

. , . . . , en = , e2 = Giả sử không gian Euclide n chiều có cơ sở x1, x2, . . . , xn. Theo quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt, ta thu được 1 cơ sở trực giao. Để có cơ sở trực chuẩn, ta có thể lấy yn y2 e1 = ||yn|| ||y2|| y1 ||y1||

Sự trực giao

Bù trực giao

Định lý Cho không gian Euclide E , dim(E ) = n, n ∈ N∗ và F là không gian véctơ con của E . Khi đó 1 Với ∀x ∈ E , x ⊥ F ⇔ x trực giao với một cơ

2 Tập F ⊥ gồm các véctơ của E trực giao với F là một không gian véctơ con của E . Tập F ⊥ được gọi là bù trực giao của F .

3 dim(F ) + dim(F ⊥) = n.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

44 / 56

sở của F

Sự trực giao

Ví dụ

Ví dụ Trong không gian R3 cho không gian con W = {(x1, x2, x3) : x1 + x2 + x3 = 0}. Tìm cơ sở và số chiều của W ⊥.

⇒ x1 = x3, x2 = x3 ⇒ Bước 1. Cơ sở của W (−1, 1, 0), (−1, 0, 1) Bước 2. x = (x1, x2, x3) ∈ W ⊥ nên x ⊥ (−1, 1, 0) và x ⊥ (−1, 0, 1). Do đó ta có (cid:26) −x1 + x2 = 0 −x1 + x3 = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

45 / 56

(x1, x2, x3) = x3(1, 1, 1). Vậy dim(W ⊥) = 1 và 1 cơ sở của nó là (1, 1, 1)

Sự trực giao

Hình chiếu vuông góc, khoảng cách

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

46 / 56

Sự trực giao

Hình chiếu vuông góc, khoảng cách

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

47 / 56

Trong không gian Euclide E cho không gian con F và 1 véctơ v tùy ý. Véctơ v có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng v = f + g , f ∈ F , g ∈ F ⊥. Véctơ f được gọi là hình chiếu vuông góc của v xuống F . Kí hiệu f = prF v . Khoảng cách từ v đến không gian F là d (v , F ) = ||g || = ||v − prF v ||.

Sự trực giao

Ví dụ

Ví dụ Trong R3 với tích vô hướng chính tắc, cho không gian con F =< (1, 1, 1), (0, 1, 1) > và véctơ x = (1, 1, 2). Tìm hình chiếu vuông góc prF x của x xuống F và khoảng cách từ x đến F .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

48 / 56

Bước 1. Cơ sở của F f1 = (1, 1, 1), f2 = (0, 1, 1) Bước 2. x = f + g = λ1.f1 + λ2.f2 + g = λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + g , vì f ∈ F , g ∈ F ⊥

Sự trực giao

Ví dụ

Bước 3.

< x, f1 > =< λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + g , (1, 1, 1) > = λ1(3) + λ2.2 =< (1, 1, 2), (1, 1, 1) >= 4 < x, f2 > =< λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + g , (0, 1, 1) > = λ1(2) + λ2.2 =< (1, 1, 2), (0, 1, 1) >= 3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

49 / 56

  ⇔ ⇒ (cid:26) 3λ1 + 2λ2 = 4 2λ1 + 2λ2 = 3 λ2 =  λ1 = 1 1 2

Sự trực giao

Ví dụ

Bước 4. Kết luận

Vậy hình chiếu vuông góc prF x của x xuống F (cid:18) (cid:19)

, là f = 1.(1, 1, 1) + (0, 1, 1) = 1, 1 2 3 2 3 2

Khoảng cách từ x đến F là d (x, F ) = ||g || = (cid:18)

, (1, 1, 2) − 1, 3 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:114) (cid:18)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TP. HCM — 2013.

50 / 56

, 0.0 + + = 0, − = 1 4 (cid:19)(cid:13) (cid:13) = (cid:13) (cid:13) (cid:114)1 2 3 2 1 4 1 2 1 2 ||x − prF x|| = (cid:19)(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

Thực hành MatLab