Bài tập NMLT Ma trận tuần 13-17/4/2020:
Kỹ thuật chéo hóa ma trận
Trần Đức Anh, mail: ducanh@hnue.edu.vn
Ngày 15 tháng 4 năm 2020
A. Hai kết quả về tính chéo hóa được
Mệnh đề 1. Cho Alà ma trận vuông cấp n. Nếu Acó ngiá trị riêng phân biệt, thì Achéo
hóa được.
Mệnh đề 2. Nếu Alà ma trận đối xứng thực, tức là A=ATvà Acó hệ số thực, thì Aluôn
chéo hóa được.
Đối với các bạn sinh viên năm 1, khi mới học, thì chỉ cần lưu ý hai kết quả này thôi. Và
từ đây, trong tờ bài tập này, ta sẽ giới hạn chỉ nghiên cứu cách chéo hóa đối với ma trận Acó
tất cả các giá trị riêng phân biệt. Trường hợp Acó giá trị riêng bội không xét ở đây!
B. Quy trình đầy đủ về chéo hóa ma trận
Ta giả sử Alà ma trận vuông cấp ncó ngiá trị riêng phân biệt. Khi đó ta cần tìm ma trận
Ckhả nghịch sao cho C−1AC có dạng đường chéo (và ta biết đường chéo đó gồm các giá trị
riêng của A). Về bản chất, ma trận Cgồm ncột, mỗi cột là một vector riêng của Aứng với
một giá trị riêng của A. Ta tóm tắt các bước làm như sau:
Các bước chéo hóa ma trận, trong trường hợp các giá trị riêng phân biệt
•Bước 1: Xác định tất cả các giá trị riêng của A. Để làm điều đó, ta cần tính đa thức
PA(x) = det(A−xI)trong đó Ilà ma trận đơn vị cùng cấp. Tập các giá trị riêng của
Alà toàn bộ nghiệm của PA(x)(đa thức PA(x)được gọi là đa thức đặc trưng của A).
•Bước 2: Với mỗi giá trị riêng của A(giả sử Acó các giá trị riêng là λ1, λ2, . . . , λn,) ví dụ
λi,ta giải hệ phương trình tuyến tính tương ứng: (A−λiI)X= 0 trong đó X=
x1
x2
.
.
.
xn
là ma trận cột các ẩn cần tìm. Giải hệ phương trình này, và lấy ra 1 nghiệm khác
(0,0,...,0).Ký hiệu nghiệm đó là Ci,viết dưới dạng ma trận cột n×1.
•Bước 3: Cấu tạo ma trận C= [C1|C2|···|Cn]là ma trận vuông cấp n, mà cột thứ i
chính là Citìm được ở bước 2.
1
