BÀI TẬP CHƯƠNG III VÀ CHƯƠNG IV
1. Một phân xưởng có ba máy hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để trong thời gian t các
máy bị hỏng lần lượt là 0,2; 0,1; 0,3.
a)
Tìm quy luật phân phối xác suất của số máy bị hỏng trong thời gian t.
b)
Tìm kỳ vọng và phương sai của X.
2. Cho hàm f(x):
∉
∈−
=]1,0[,0
]1,0[),1(
2
x
xxx
x
λ
a)
Xác định hằng số
λ
để f(x) là hàm mật độ xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên X
nào đó.
b)
Với giá trị
λ
ở trên, hãy tìm kỳ vọng M(x) và phương sai D(x).
3. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm phân bố xác suất như sau:
X 0 1 4 6
p 1/6 2/6 1/6 2/6
a)
Tính kỳ vọng và phương sai của X.
b)
Tính P (1 ≤ X ≤ 3).
4. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm phân bố xác suất như sau:
F(x) = a + b.arctgx
a)
Tìm a, b.
b)
Tìm xác suất P (0 ≤ X ≤ 1).
c)
Tìm hàm mật độ của X.
5. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ:
)(
1
)(
2
+∞<<−∞
+
=x
x
a
xf
a)
Tìm a
b)
Tìm xác suất p (0 < X < 1)
c)
Tìm F(x)
6. Một xạ thủ có n viên đạn bắn vào mục tiêu cho đến khi trúng mục tiêu hay hết đạn mới
thôi. Xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên đạn như nhau và bằng p. Hãy lập bảng phân
phối xác suất của số đạn (X) mà xạ thủ đó bắn.
7. Cho hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y có bảng phân bố xác suất như sau:
X 1 2 3
p
i
0,1 0,3 0,6
a)
Tìm kỳ vọng và phương sai của chúng.
b)
Lập bảng phân phối xác suất của X + Y và X.Y
8. Một xạ thủ bắn 100 viên đạn vào mục tiêu. Xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên đạn là
0,8. Tìm xác suất để:
a)
Xạ thủ đó bắn trúng không ít hơn 75 lần và không nhiều hơn 90 lần.
b)
Không ít hơn 75 lần bắn trúng.
9. Một xạ thủ bắn 5 viên đạn vào một mục tiêu, xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên là 0,6.
a)
Tìm quy luật phân phối xác suất của số viên đạn trúng mục tiêu (X).
b)
Tìm kỳ vọng M(X) và phương sai D(X).
10. Đại lượng ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất:
>
≤≤
≤
=
1,1
10,
0,0
)(
2
x
xx
x
xF
Tìm các xác suất sau:
a)
p(0,25 ≤ X ≤ 0,75)
b)
p(X > 1)
11. Cho hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y có bảng phân phối xác suất như sau:
X 1 2 3
p
i
0,3 0,4 0,3
Hãy lập bảng phân phối xác suất của X
2
và X + Y.
12. Cho hai đại lượng ngẫu nhiên X
1
và X
2
có quy luật phân phối xác suất như sau:
X
1
0 1 2 3
p
i
0,2 0,4 0,3 0,1
Và X
2
∈
B (2;0;3)
a)
Tìm quy luật phân phối xác suất của Y = X
1
+ X
2
b)
Tìm M(Y), D(Y)
13. Một cầu thủ ném bóng rỗ 400 lần. Xác suất ném trúng rỗ của mỗi lần đều bằng nhau và
bằng 0,8. Tìm xác suất để cầu thủ đó ném trúng 300 lần.
Y -2 -1 0
p
i
0,6 0,3 0,1
Y -1 1
p
i
0,4 0,6
14. Người ta tiện một loạt chi tiết có độ dài quy định a = 20 cm. Giả sử độ dài chi tiết tuân
theo quy luật phân phối chuNn với
cmcm 2,0;20
=
=
σ
µ
. Tính xác suất để độ dài của chi
tiết sản xuất ra lệch khỏi quy định không quá
cm3,0
=
(dung sai).
15. Một nữ công nhân đứng máy xe sợi gồm 800 ống sợi, xác suất đứt sợi của mỗi ống
trong vòng một giờ là 0,005. Tìm xác suất để trong vòng một giờ có 4 ống sợi bị đứt.
16. Tìm xác suất để cho đại lượng X có phân phối chuNn với tham số
4;1
2
==
σµ
nằm
trong khoảng (-5,4).
17. Véctơ ngẫu nhiên (X,Y) có mật độ:
( )( )
222
2516
),( yx
A
yxf ++
=
π
a)
Xác định A.
b)
Tìm hàm phân phối F(X,Y).
18. Véctơ ngẫu nhiên (X,Y) có mật độ:
2222 .1
),( yxyx
a
yxf +++
=
a)
Xác định hằng số a.
b)
Chứng minh X độc lập với Y.
19. Véctơ ngẫu nhiên (X,Y) có mật độ:
(
)
>+
≤++
=
222
22222
,0
,
),( ryx
ryxyxa
yxf
Tìm hệ số a.
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG III, IV
1. a)
X
0 1 2 3
p
i
0,504
0,398
0,092
0,006
b) M(X) = 0,6 ; D(X) = 0,46
2. a)
12
=
λ
b) M(X) = 3/5; D(X) = 1/25
3. a) M(X) = 3; p(X) = 5/3 b) p(1≤ X ≤ 3) = 1/3
4. a) a = 1/2, b=1/π c)
( )
2
1
1
x+
π
5. a) a=1/π b) p(0 < x <1) = 1/4 c) F(x) = 1/2 + 1/π.arctgx
8. a) 0,8882 b) 0,8943
11.
X
2
0 1 4
p
i
0,3 0,4 0,3
X+Y -1 0 1 2 3
p
i
0,12
0,16 0,30 0,24 0,18
12. a)
Y 0 1 2 3 4 5
p
i
0,098
0,280
0,333
0,211
0,069
0,009
b) M(Y) = 1,9; D(Y) = 1,23
13. 0,0023 14. 0,8644 15. 0,1954 16. 0,0372
17. A = 20, F(x,y) = (1/π.arctgx/4+1/2)( 1/πarctgy/4+1/2)
18. a) a = 1/π
2
b)
( ) ( )
22
1
1
1
1
),( yx
yxf ++
=
ππ
. Vậy độc lập.
19.
42
2
r
a
π
=