BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM
TP. HCM
LÊ HỮU KỲ SƠN
Bài tập
Toán cao cấp A2 - C2
MSSV: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Họ tên: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TP. HCM – Ngày 15 tháng 2 năm 2012
Mục lục
1 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3
1.1 Matrận ....................................... 3
1.2 Địnhthức ...................................... 5
1.3 Matrậnnghịchđảo................................. 6
1.4 Hạngcủamatrận.................................. 7
2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 8
3 KHÔNG GIAN VECTOR 9
3.1 Khônggianvector ................................. 9
3.2 KhônggianEuclide................................. 10
4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 11
4.1 Ánhxạtuyếntính ................................. 11
4.2 Giá trị riêng - vector riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 DẠNG TOÀN PHƯƠNG 14
Tài liệu tham khảo 15
2
Chương 1
MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1.1 Ma trận
1. Cho A=
1 2
−1 3
3 4
;B=
0 1
3 2
−2 3
;C=
2−3
1 2
4−1
.
Tính (A+B) + C;A+ (B+C); 3A−2B; (3A)t; (3A−2B)t.
2. Cho ma trận A=
1 2 1
0 1 2
3 1 1
;B=
231
−1 1 0
1 2 −1
;C=
2−3 0
124
4−1 0
.
Tính A.B.C và A.C +B.C.
3. Tính A=
a b c
c b a
1 1 1
1a c
1b b
1c a
.
4. Cho ma trận 1 0
2 1, hãy tìm ma trận A2012.
5. Cho ma trận 1 0
5 1, hãy tìm ma trận A2012.
6. Cho ma trận A=cos αsin α
sin α−cos α, hãy tìm ma trận A2012.
7. Cho ma trận A=0 1
1 0, hãy tìm ma trận A2012.
8. Cho ma trận A=0 0
1 0. Tính ma trận (I−A)2012.
9. Cho ma trận J=
0 0 1
1 0 0
0 1 0
. Tính ma trận J2012
10. Cho ma trận A=0 0
1 0. Hãy tính tổng sau
2012
X
n=0
2nAn=In+ 2A+ 4A2+ 8A3+ 16A4+··· + 22011A2011 + 22012A2012
3
11. Cho ma trận A=0 0
−1 0. Hãy tính tổng sau
2012
X
n=0
An=In+A+A2+A3+A4+··· +A2011 +A2012
12. Cho ma trận A=0−1
0 0 . Hãy tính tổng sau
2012
X
n=0
2nAn=In+ 2A+ 4A2+ 8A3+ 16A4+··· + 22011A2011 + 22012A2012
13. Cho ma trận A=0−1
0 0 . Hãy tính tổng sau
2012
X
n=0
An=In+A+A2+A3+A4+··· +A2011 +A2012
14. Cho ma trận A=
0 1 1
0 0 1
0 0 0
. Hãy tính tổng sau
2012
X
n=0
(−2)nAn=In−2A+ 4A2−8A3+ 16A4+··· + (−2)2011A2011 + (−2)2012A2012
15. Cho ma trận A=a b
c d, hãy tính A2−(a+d)A+ (ad −bc)I2.
16. Tìm f(A)nếu
a. f(x) = x2−5x+ 3 với A=2−1
−3 3 ;
b. f(x) = x2−x−1với A=
2 1 1
3 1 2
1−1 0.
.
17. Cho Alà ma trận vuông cấp 1000 mà phần tử ở dòng ilà i. Tìm phần tử ở dòng 1 cột
3 của ma trận A2.
18. Cho Alà ma trận vuông cấp 1000 mà phần tử ở dòng ilà (−1)ii. Tìm phần tử ở dòng
2 cột 3 của ma trận A2.
19. Cho Alà ma trận vuông cấp 1000 mà phần tử ở dòng icột jlà (−1)i+j. Tìm phần tử
ở dòng 1 cột 2 của ma trận A2.
20. Cho Alà ma trận vuông cấp 1000 mà phần tử ở dòng ilà 2i−1. Tìm phần tử ở dòng 2
cột 4 của ma trận A2.
4
21. Hãy tìm số nnguyên dương nhỏ nhất để ma trận An= 0 (ma trận-không), với
a. A=
0 1 0
0 0 1
0 0 0
b. A=
0−1−1
0 0 −1
0 0 0
c. A=
0 0 1
0 0 0
0 0 0
d. A=
0 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
e. A=
0 0 0
−100
−1−1 0
1.2 Định thức
1. Biết các số 204, 527, 255 chia hết cho 17. Không tính định thức, chứng minh rằng:
2 0 4
5 2 7
2 5 5
chia hết cho 17.
2. Tính các định thức sau
δ1=
5 3 2
−1 2 4
7 3 6
;δ2=
1 1 1
−101
−1−1 0
;δ3=
a a a
−aax
−a−a x
;δ4=
1 1 1
1 2 3
1 3 6
δ5=
0 1 1
1 0 1
1 1 0
;δ6=
a b c
b c a
c a b
;δ7=
0a0
b c d
0c0
;δ8=
a x x
x b x
x x c
;
δ9=
a+x x x
x b +x x
x x c +x
;δ10 =
sin acos a1
sin bcos b1
sin ccos c1
;δ11 =
1 1 1
x y z
x2y2z2
;δ12 =
x y x +y
x x +y x
x+y y y
3. Giải các phương trình và bất phương trình
a.
x x + 1 x+ 2
x+ 3 x+ 4 x+ 5
x+ 6 x+ 7 x+ 8
= 0;
b.
2x+ 2 −1
1 1 −2
5−3x
≥0;
4. Chứng minh rằng
a.
a1+b1x a1x+b1c1
a2+b2x a2x+b2c2
a3+b3x a3x+b3c3
= (1 −x2)
a1+b1c1
a2b2c2
a3b3c3
;
b.
1a a3
1b b3
1c c3
= (a+b+c)
1a a2
1b b2
1c c2
;
5. Hãy tính các định thức sau
∆1=
−4−5 2 6
2−2 1 3
6−3 3 9
4−1 5 6
;∆2=
3 9 −4−2
1−2 0 3
2 3 0 −1
2−1 2 1
;∆3=
1 1 1 1
1−1 2 2
1 1 −1 3
1 1 1 −1
5