13
BÀI TẬP PHẦN XÁC XUẤT
I. Xác suất cổ điển
1. Một lô hàng gồm 100 sản phẩm chứa 15 sản phẩm có lỗi. Chọn ngẫu nhiên 2 chiếc không lặp
lại. Hãy tính:
a) Xác suất chiếc thứ nhất có lỗi;
b) Xác suất chiếc thứ hai có lỗi, biết rằng chiếc thứ nhất có lỗi;
c) Xác suất cả hai chiếc đều có lỗi.
2. Một lô linh kiện do hai nhà máy cùng sản xuất. Nhà máy I sản xuất 1000 linh kiện, trong đó có
100 chiếc hỏng. Nhà máy II sản xuất 2000 linh kiện, trong đó có 150 chiếc hỏng. Chọn ngẫu nhiên
một linh kiện thì thấy nó bị hỏng. Tính xác suất để linh kiện đó do nhà máy I sản xuất.
3. Một hộp chứa 3 bi trắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh. Hộp hộp khác chứa 10 bi trắng, 6 bi đỏ và 9 bi
xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 viên bi. Tìm xác xuất để 2 viên bi cùng màu.
4. Trong một kỳ tham gia dự thầu, mỗi ứng viên được đánh giá trên 3 tiêu chí. Ứng viên nọ tự thấy
rằng năng lực của họ ở 3 tiêu chí này là như nhau và độc lập với nhau. Khả năng để ứng viên đạt
cả 3 tiêu chí đều được điểm 10 là 0,008. Ngoài ra khả năng mỗi tiêu chí được 8 điểm là 0,10 và bị
điểm dưới 8 là 0,4.
a) Tính xác suất để mỗi tiêu chí được 10 điểm
b) Tính xác suất để mỗi tiêu chí được 9 điểm
5. Đàn vịt có 9 con đực và 2 con cái. Đàn vịt kia có 1 con cái và 5 con đực. Từ mỗi đàn ta bắt ra
ngẫu nhiên một con. Các con còn lại được dồn vào một chuồng thứ ba. Từ chuồng thứ ba này lại
bắt ngẫu nhiên một con. Tính xác suất để ta bắt được con đực.
6. Một công ty có 3 máy tính làm việc độc lập. Xác xuất để trong một ngày các máy tính bị hỏng
tương ứng là 0,08 ; 0,09 và 0,1. Tìm xác suất để trong 1 ngày có đúng một máy hỏng.
7. Bắn 3 phát tên lửa vào một chiếc tàu thủy với xác suất trúng đích của phát thứ nhất, thứ hai, thứ
3 lần lượt là 0,5; 0,6; 0,8. Nếu trúng một phát thì khả năng tàu chìm là 0,2. Nếu trúng 2 phát thì khả
năng tàu chìm là 0,7; nếu trúng 3 phát thì khả năng chìm tàu là 0,9. Tính xác suất tàu chìm.
8. Một hộp có 10 quả bóng bàn, trong đó có 7 quả mới (nghĩa là chưa sử dụng lần nào). Hôm qua,
đội bóng lấy ngẫu nhiên 3 quả để tập, sau đó trả lại vào hộp.
Hôm nay, đội bóng lại lấy ngẫu nhiên ra 3 quả để tập.
Tìm xác suất để 3 quả bóng lấy ra hôm nay đều mới.
9. Có hai hộp linh kiện. Hộp (I) có 10 linh kiện tốt, 4 linh kiện hỏng. Hộp (II) có 2 linh kiện tốt và
8 linh kiện hỏng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp (II) một linh kiện chuyển vào hộp (I) và sau đó lấy ngẫu
nhiên một linh kiện từ hộp (I).
a) Tìm xác suất để linh kiện lấy ra lần sau là loại tốt.
b) Giả sử linh kiện lấy ra lần sau là loại tốt. Tính xác suất để linh kiện này là của hộp (I) cũ.
10. Người ta truyền đi 2 tín hiệu A, B theo tỷ lệ 2/3. Do có tạp âm nên xác suất nhận đúng tín hiệu
A là
4
5
và xác suất nhận đúng tín hiệu B là
2
3
.
a) Tính xác suất nhận được tín hiệu A.
b) Biết nhận được tín hiệu A. Tính xác suất truyền đi tín hiệu A.
11. Có 2 lô gạch. Lô I có 10 hộp gạch loại A và 2 hộp gạch loại B. Lô II có 16 hộp gạch loại A và
4 hộp gạch loại B. Từ mỗi lô ta lấy ngẫu nhiên ra 1 hộp gạch. Sau đó trong 2 hộp gạch lấy được, ta
lại lấy ngẫu nhiên ra 1 hộp. Tìm xác suất để hộp gạch lấy ra sau cùng là hộp gạch loại A.
12. Một hộp bi có 5 bi đỏ, 6 bi xanh và 4 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 4 viên bi. Gọi X là tổng số bi
xanh và bi đỏ trong số 4 viên lấy ra. Lập bảng phân bố xác suất của X.
14
13. Trong các xe ô tô của công ty, số xe bị hỏng về hệ thống phanh chiếm 5 %, số xe bị hỏng về
tay lái chiếm 7 %,còn số xe bị hỏng về cả hệ thống phanh lẫn tay lái là 3%. Chọn ngẫu nhiên 1
chiếc xe. Tính xác suất để xe đó không có hỏng hóc gì về cả hệ thống phanh lẫn tay lái.
14. Một bệnh nhân bị nghi mắc một trong hai bệnh A và B. Xác suất mắc bệnh A là 0.6 và xác
suất mắc bệnh B là 0.4. Người ta thực hiện xét nghiệm T để có cơ sở chuẩn đoán tốt hơn. Nếu người
đó mắc bệnh A thì xác suất xét nghiệm T cho kết quả dương tính là 0.8 còn nếu người đó mắc bệnh
B thì xác suất xét nghiệm T cho kết quả dương tính là 0.1. Khi tiến hành xét nghiệm T, người ta
thấy nó cho kết quả dương tính. Hỏi khi đó xác suất bệnh nhân mắc bệnh A là bao nhiêu?
15. Hai người bắn bia một cách độc lập, kết quả bắn ở các lần là độc lập. Người thứ nhất bắn 3
phát với xác suất trúng đích của mỗi phát là 0,6. Người thứ hai bắn 4 phát với xác suất trúng đích
của mỗi phát là 0,7. Tính xác suất:
a) Người thứ nhất bắn trúng đích b) Người thứ hai bắn trúng đích
c) Có ít nhất 1 người bắn trúng đích.
16. Mỗi chu kỳ một virus có thể sinh ra 0, 1, 2 virus cho thế hệ sau với xác suất tương ứng là
11
,
42
và
1
4
. Các virus sẽ chết ngay sau khi sinh. Ký hiệu Xi là số virút ở chu kỳ thứ i . Giả sử X0=1
a) Lập bảng xác suất của X1 b) Tính
2
( 0)PX
c) Tính
24PX
17. Một xạ thủ bắn bia. Xác suất để đạt điểm 10 là 0,2, đạt điểm 8 là 0,15 và dưới 8 là 0,4. Giả sử
xạ thủ bắn các viên độc lập. Tính xác suất để tổng số điểm của xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm.
18. Dây chuyền lắp ráp nhận các chi tiêt từ 2 máy sản xuất ra. Trung bình máy thứ nhất cung cấp
60% chi tiết, máy thứ hai 40% . Khoảng 90% chi tiết do máy I và khoảng 40% chi tiết do máy II
sản xuất ra đạt tiêu chuẩn. Lấy ngẫu nhiên 1 chi tiết từ dây chuyền thì thấy đạt yêu cầu.
Tìm xác suất để chi tiết đó từ máy I sản xuất ra.
19. Một phân xưởng có 10 máy. Trong đó xác suất để mỗi máy bị ngừng hoạt động trong ca là
0,1. Tìm xác suất để trong ca có ít nhất 3 máy bị ngừng hoạt động.
20. Một xí nghiệp có 3 ô tô hoạt động độc lập. Xác suất để trong ngày các ô tô này bị hỏng lần
lượt là 0,1; 0,2; 0,3. Tìm xác suất để trong ngày có:
a) Đúng 1 ô tô bị hỏng; b) Ít nhất 1 ô tô bị hỏng.
21. Một cửa hàng có 15 bóng đèn nê-ông, trong đó có 5 bóng loại I, 5 bóng loại II và 5 bóng loại
III. Một khách hàng mua ngẫu nhiên 1 bóng, sau đó một khách hàng thứ hai mua ngẫu nhiên 2
bóng.
a) Tìm xác suất để khách hàng thứ hai mua được 1 bóng loại I và 1 bóng loại II
b) Tìm xác suất để khách hàng thứ hai mua được 2 bóng loại II
22. Một xạ thủ bắn bia. Xác suất để : đạt điểm 10 là 0,2, đạt điểm 8 là 0,15 và dưới 8 là 0,4. Giả
sử xạ thủ bắn 3 viên độc lập. Tính xác suất để tổng số điểm của xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm.
23. Hai xạ thủ, mỗi người bắn hai viên đạn vào bia. Xác suất bắn trúng đích trong mỗi lần bắn của
các xạ thủ tương ứng là 0.3 và 0.4. Gọi X là tổng số viên đạn trúng đích của hai xạ thủ. Lập bảng
phân bố xác suất của X.
24. Có hai lô hàng, lô thứ nhất có 8 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm, lô thứ hai có 6 sản phẩm
trong đó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô thứ nhất 1 sản phẩm, từ lô thứ hai 2 sản phẩm. Gọi X
là số phế phẩm trong 3 sản phẩm lấy ra. Lập bảng phân bố xác suất của X.
25. Có ba hộp bi. Hộp thứ nhất gồm 3 bi vàng, 5 bi đỏ; hộp thứ hai gồm 2 bi vàng, 6 bi đỏ; hộp
thứ ba gồm 4 bi vàng, 2 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra một hộp, và từ hộp đó lấy ra một viên bi.
a) Tính xác suất để viên bi đó là bi vàng.
b) Khi lấy viên bi ra thấy đó là bi vàng. Tính xác suất để viên bi đó là của hộp thứ hai.
15
26. Có hai lô hàng, lô thứ nhất có 8 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm, lô thứ hai có 6 sản phẩm
trong đó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô thứ nhất 1 sản phẩm, từ lô thứ hai 2 sản phẩm. Gọi X
là số phế phẩm trong 3 sản phẩm lấy ra. Lập bảng phân bố xác suất của X.
II. Biến ngẫu nhiên
1. Thời gian ô tô chờ qua phà là biến ngẫu nhiên có phân bố mũ với hàm mật độ dạng:
với >0.
a) Tìm thời gian chờ trung bình (phút);
b) Cho = 0,05. Hãy tính xác suất để một ô tô phải chờ không quá 15 phút.
2. Thời gian để một tế bào phân chia (gọi là sự phân bào) là biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với
trung bình là 1 giờ và độ lệch chuẩn là 5 phút. Tính xác suất để:
a) Một tế bào phân chia mất ít hơn 50 phút;
b) Thời gian phân chia của một tế bào lớn hơn 65 phút.
3. Cho biến ngẫu nhiên X U[-1;3]. Hãy tính:
a) E(3X+3) b) P(X2 < 2)
4. Một lô hàng gồm 8 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên ra 4 sản phẩm để kiểm
tra. Tìm phân bố xác suất, giá trị trung bình của của số sản phẩm tốt trong 4 sản phẩm lấy ra.
5. Trọng lượng của một con vật là một BNN có phân bố chuẩn với kỳ vọng 260 và độ lệch tiêu
chuẩn là 40.
a) Tìm xác suất để một con vật chọn ngẫu nhiên trong đàn có trọng lượng nằm trong khoảng
từ 270 đến 280.
b) Một xe tai chở 8 con vật nói trên và 400 kg hàng hóa khác. Tìm độ lêch tiêu chuẩn của
trọng lượng hàng chở trên xe.
6. Lực phá hủy của những mẫu xi măng có thể được mô hình hóa bởi phân bố chuẩn với trung
bình 400 kg/cm và độ lệch chuẩn là 10 kg/cm.
a) Tìm xác suất để lực phá hủy của một mẫu thấp hơn 420 kg/cm .
b) Tính xác suất để lực phá hủy nằm giữa 390 và 415 kg/cm .
7. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ là:
. os2 khi [- , ]
44
()
0 khi [- , ]
44
k c x x
fx
x


a) Tìm hằng số k và hàm phân bố của X.
b) Tìm hàm mật độ của biến ngẫu nhiên
3YX
.
8. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ:
3 khi 1
() 0 khi 1
kx x
fx x
a) Tìm hằng số k và hàm phân bố của X.
b) Tìm hàm mật độ của biến ngẫu nhiên
1
3
YX
.
9. Cho biến ngẫu nhiên X liên tục, có hàm mật độ:
5 khi x 1
()
0 khi x<1
k
fx x
Tìm hằng số k và hàm phân bố F(x) .
16
10. Cho biến ngẫu nhiên X liên tục, có hàm mật độ:
(1 )( 2) khi [-2,1]
() 0 khi [-2,1]
k x x x
fx x
a) Tìm hằng số k, tính
( 4 0)PX
b) Tính kỳ vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên Y = - X + 3
11. Cho biến ngẫu nhiên X liên tục, có hàm mật độ:
22
(1 ) khi x [0,1]
() 0 khi x [0,1]
kx x
fx 
a) Tính hằng số k và
11
22
PX



;
b) Tính kỳ vọng EX.
12. Cho biến ngẫu nhiên X liên tục, có hàm mật độ:
3
20 (1 ) [0,1]
() 0 [0,1]
x x khi x
fx khi x

a) Tính kỳ vọng và phương sai của X;
b) Tính
{0,2 0,5}PX
.
13. Cho biến ngẫu nhiên X liên tục, có hàm mật độ:
. .e khi 0
() 0 khi 0
x
k x x
fx x
.
a) Tìm hằng số k và và mật độ của biến ngẫu nhiên X2;
b) Tính EX, E(X2) , VX và ModX.
c) Tính các xác suất
2
{ }, { 1}P X e P X
.
14. Một cầu thủ ném bóng vào rổ với xác suất trúng là 0.6; kết quả các lần ném độc lập, cuộc chơi
dừng lại khi anh ta ném được một quả bóng vào rổ.
a) Lập bảng phân bố xác suất số lần ném. Tính xác suất phải ném ít nhất 3 lần.
b) Tính kỳ vọng số lần ném.
15. Tuổi thọ X của một loại thiết bị điện tử là biến ngẫu nhiên có mật độ
/2
1e khi x>0
() 4
0 khi x 0
x
x
fx
a) Tính xác suất
{ 4}PX
;
b) Tính kỳ vọng và phương sai của X.
16. Trọng lượng một con bò xuất chuồng là biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với trung bình
bằng 450 kg và = 40kg. Một con bò bị coi là còi nếu trọng lượng nhỏ hơn 300 kg.
a) Tỷ lệ bò còi?
b) Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên ra 3 con thì có ít nhất 1 con bị coi là còi.
17. Một thiết bị sản xuất dây điện với chiều dài là biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với trung bình
167m và độ lệch chuẩn 3m.
a) Có bao nhiêu phần trăm số dây điện có chiều dài lớn hơn 167m
b) Có bao nhiêu phần trăm số dây điện có chiều dài nằm giữa 158m và 176m.
18. Tuổi thọ X của một loại thiết bị điện tử là biến ngẫu nhiên có phân bố với mật độ
2
1khi 0
4
0 khi 0.
x
xe x
fx
x
a) Tính
{ 4}PX
và
{ 4 | 2}P X X
b) Tính kỳ vọng và phương sai của X
17
Bảng 1. GiÁ TRỊ HÀM GAUSS
2
2
1
() 2
x
xe
