Tên:Nguyễn Vũ Trinh Nhân
MSSV:1101774
Email:nhan101774@student.ctu.edu.vn
I.BÀI TOÁN TÌM TỐC ĐỘ BIẾN THIÊN:
1.a.Tìm tốc độ biến thiên của cạnh hình vuông nếu diện tích của hình là 100m2 và đang
tăng ở tốc độ 2m2/phút?
b.Tìm tốc độ biến thiến của thể tích nh lập phương khi cạnh của nó đang giảm
với tốc đ2 cm/phút và thể tích của hình đang là 216 cm3? Với tốc độ biến thiên
như vậy,hình lập phương có biến mất sau 1 phút hay không?Hãy giải thích!
Giải:
a.-Gọi R(t) là cạnh hình vuông,S(t) là diện tích của hình vuông tại thời điểm t.
-Tại thời điểm đang xét t0,ta có:
S(t0) = 100m2=R2(t0)
Cạnh hình vuông: R(t0)= 100 =10m
S’(t0)= 2m2/phút
R’(t0)= ?
-Ta có:
S(t)=R2(t)
S’(t)=2.R(t).R’(t)
S’(t0)=2.R(t0).R’(t0)
2 =2.10 .R’(t0)
R’(t0)=1/10 (m2/phút)
-Vậy TĐBT của cạnh hình vuông là 0,1m2/phút.
b.-Gọi R(t) là cạnh hình lập phương,V(t) là thể tích của hình lập phương tại thời điểm t.
-Tại thời điểm đang xét t0,ta có:
R’(t0) = -2cm/phút
V(t0)= 216cm3=R3(t0)
Cạnh hình lập phương: R(t0)=3216 =6cm
V’(t0)= ?
-Ta có:
V(t)=R3(t)
V’(t)=3.R2(t).R’(t)
V’(t0)=3.R2(t0).R’(t0)
=3. 62 . (-2)
=-216cm3/phút
-Sau 1 phút kể từ thời điểm t0,ta có: V(t0 +1)=V(t0) + 1.V’(t0)=216 - 1. 216=0cm3
-Vậy hình lập phương biến mất sau 1 phút.
2. Bột grơi thành đống ở tốc độ ½ m3/phút. Nếu đống g có dạng hình nón tròn xoay
đứng với chiều cao bằng nửa đường kính đáy t độ cao của đống bột gỗ biến thiên như
thế nào khi độ cao của đống bột là 3m?
Giải:
-Đống bột gỗ dạng hình nón tròn xoay,tại thời điểm t:
+Gọi h(t) là chiều cao của đống bt gỗ.
+Gọi R(t) là bán kính đáy của đống bt gỗ.
+Gọi S(t) là diện tích đáy của đống bột gỗ.
+Gọi V(t) là thể tích của đống bột gỗ.
-Tại thời điểm đang xét t0,ta có:
h(t0) =R(t0) =3m
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Tên:Nguyễn Vũ Trinh Nhân
MSSV:1101774
Email:nhan101774@student.ctu.edu.vn
V’(t0)= 2m3/phút
h’(t0)= ?
-Ta có:
Diện tích đáy của đống bt gỗ: S(t0) =
.R2(t0) =
.32=9
(m)
V(t)= 3
1 .S(t).h(t)
V(t0)= 3
1.S(t0).h(t0)
= 3
1.
.R2(t0).h(t0)
= 3
1.
.h3(t0)
V’(t0)= 3
1.
.3h’(t0).h2(t0)
2
1 =
. h’(t0).32
h’(t0)=
18
1 (m/phút)
Vậy TĐBT của độ cao đống bột gỗ là
18
1 m/phút.
3.Chiều dài của hình chữ nhật đang tăng ở tốc độ 4m/s, chiều rộng đang giảm với tốc
độ 4m/s. Giả sử chiều dài của hình chữ nhật đang là 20m và chiều rộng là 12m.Hãy
tìm tốc độ biến thiên của:
a.Diện tích hình chữ nhật.
b.Chu vi hình chữ nhật.
Giải
-Gọi a(t),b(t),S(t),P(t) ln lượt là chiều dài,chiều rộng,diện tích,chu vi của hình chnhật
tại thời điểm t.
-Tại thi điểm đang xét t0,ta có:
a’(t0)=4
b’(t0)= -4
a(t0)=20
b(t0)=12
-Ta có:
a).
S(t)=a(t).b(t)
S(t0)=a(t0).b(t0)
S’(t0)=a’(t0).b(t0)+a(t0).b’(t0)
=4.12+20.(-4)
=-32 m2/s
Vậy TĐBT của din tích hcn là -32m2/s.
b).
P(t)=2[a(t)+b(t)]
P(t0)=2[a(t0)+b(t0)]
P’(t0)=2[a’(t0)+b’(t0)]
=2(4-4)
=0 m/s
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Tên:Nguyễn Vũ Trinh Nhân
MSSV:1101774
Email:nhan101774@student.ctu.edu.vn
Vậy TĐBT của chu vi hcn là 0m/s
4.Diện tích của hình chữ nhật đang tăng ở tốc độ 5m2/s, trong khi chiều dài đang tăng
ở tốc độ 10m/s .Nếu chiều dài đang là 20m và chiều rộng là 10m t chiều rộng đang
thay đổi như thế nào?
Giải
-Gọi a(t),b(t),S(t) ln lượt là chiều dài,chiều rộng,diện tích,chu vi của hình chữ nhật tại
thi điểm t.
-Tại thi điểm đang xét t0,ta có:
a(t0)=20m
a’(t0)=10m/s
b(t0)=10m
S’(t0)=5m2/s
b’(t0)=?
-Ta có:
S(t)=a(t).b(t)
S(t0)=a(t0).b(t0)
S’(t0)=a’(t0).b(t0)+a(t0).b’(t0)
5 = ( 10 .10 )+[20 .b’(t0)]
b’(t0)=
20
1005
=4
19
(m/s)
Vậy TĐBT của chiều rộng hcn là 4
19
m/s
5. Tính tốc đ biến thiên của din tích bmặt hình lập phương tại thời điểm t0,nếu tại
thi điểm này thể tích của hình lập phương là 64m3 và tăng ở tốc độ 2cm/s?
Giải
-Gọi a(t),S(t),V(t) ln lượt là cạnh,diện tích 1 mặt,thể tích của hình lập phương ti thời
điểm t.
-Tại thi điểm đang xét t0,ta có:
V(t0)=64m3=a3(t0)
a(t0)=364 =4m
V’(t0)=2cm/s=0,02m/s
6S’(t0)=?
-Ta có:
V(t)=a3(t)
V(t0)=a3(t0)
V’(t0)=3a’(t0).a2(t0)
0,02 =3a’(t0).16
a’(t0) = 2400
1
-Lại có:
S(t)=a2(t)
S(t0)=a2(t0)
S’(t0)=2. a’(t0) .a(t0)
=2. 2400
1.4
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Tên:Nguyễn Vũ Trinh Nhân
MSSV:1101774
Email:nhan101774@student.ctu.edu.vn
=300
1(m2/s)
Do hình lập phương có 6 mặt là 6 ô vuông bằng nhau,vậy TĐBT của diện tích bề mặt
hình lập phương là 6S’(t0)=0,02m2/s
6. Người ta bơmớc vào một hồ chứa hình trụ có bán kính đáy là 5m, độ sâu 2m với
tốc độ 5 m3/h. hồ chứa bị rn nước trong hchy ra ngoài. Hãy tính tốc độ nước
rò rỉ ra bên ngoài ti thời điểm độ sâu của nước trong hồ là 0,8m và đang tăng ở tốc độ
4cm/h. Nếu tốc đ này không thay đổi t sau thời điểm đó bao lâu hồ sẽ đầy nước?
Tốc độ nước rò r ra ngoài:5-
Thời gian hồ đầyớc: 30
04,0
8,02
(h)
7. Khi mt bản kim loại hình tròn bị đun nóng,bán kính của nó tăng với tc độ là
0,01cm/phút. Tính TĐBT của diện tích bản kim loi khi bán kính của nó đang
là 50 cm. Nếu tốc độ này không đổi t sau bao lâu bán kính của nó sẽ là 52 cm?
TĐBT của diện tích bản kim loi
cm/phút.
Thời gian:
01,0
5052 200 phút =3h +20ph
8. Hai chiếc xe X1, X2 cùng xuất phát tại mt đim G. Chiếc xe X1 chạy về hướng nam,
còn chiếc xe X2 thì chạy theo hướng đông. Khoảng cách giữa hai xe tăng theo tốc độ
nào tại thời điểm xe X1 cách điểm G một khoảng là 10km và đang chạy với tc độ
60km/h ;n xe X2 cách G mt khoảng 5km và đang chạy với tc độ 25km/h?
Giải:
Gọi X1(t),X2(t) ln lượt là quãng đường của xe X1,X2 sau t (giờ).
Gọi d(t) là khoảng cách giữa 2 xe X1,X2 sau t (giờ).
Tại thời điểm đang xét t0,ta có:
5km X2
10km
X1
hướng Bắc
G
ng Tây
hướng Nam
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Tên:Nguyễn Vũ Trinh Nhân
MSSV:1101774
Email:nhan101774@student.ctu.edu.vn
X1(t0)=10km
X2(t0)=5km
X’1(t0)=60km/h
X’2(t0)=25km/h
(Lưu ý: đạo hàm của quãng đường là vận tốc, của vận tốc là gia tốc)
Khoảng cách giữa 2 xe: d(t)= )()( 2
2
2
1tXtX
d’(t)= )()(2
'2'2
2
2
2
1
2211
tXtX
XXXX
d’(t0)= 529
25100
25.560.10
(km/h)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.