BẤT ĐẲNG THỨC SVACXƠ VÀ ỨNG DỤNG
Bất đẳng thức Svacxơ được phát biểu như sau: Cho hai dãy số thực và ( )
thì ta có:
Ta sẽ chứng minh BĐT (1) bằng BĐT Bunhiacôpxki: Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số
, và ta được BĐT (1).
Đẳng thức xảy ra khi
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho sự tiện lợi của BĐT Svacxơ trong việc chứng minh BĐT
(Ở đây chỉ là những hướng dẫn cơ bản để các bạn có thể chứng minh BĐT, còn phần đẳng thức xảy ra thì các ban có
thể dễ dàng tìm ra nên không trình bày )
Ví dụ 1:Chứng minh rằng với các số dương a,b,c ta đều có :
Lời giải: Ycbt (yêu cầu bài toán)
Áp dụng BĐT (1) được: suy ra ĐPCM
Ví dụ 2: chứng minh rằng với các số dương a,b,c thoả mãn ta có:
Lời giải: Áp dụng BĐT (1) được
Ta có BĐT quen thuộc , suy ra (vì (ĐPCM)
Ví dụ 3: chứng minh rằng với các số dương a,b,c thì
Lời giải : Áp dụng BĐT (1) ta suy ra
Mà ta có BĐT quen thuộc , thay vào bên trên ta suy ra
ĐPCM.
Ví dụ 4: Cho các số dương a,b,c thoả mãn abc = 1. CMR
Lời giải : Áp dụng BĐT Svacxơ được:
Theo BĐT côsi ta có
Từ đó suy ra
(ĐPCM)
Ví dụ 5:Cho a,b,c là các số dương và thoả mãn a+b+c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải: Ta có
Ta lại có
Từ đó suy ra , đạt được tại
Ví dụ 6:Cho a,b,c > 0 và thoả mãn a+b+c =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải: Áp dụng BĐT côsi có và
Từ đó
Áp dụng BĐT Svacxơ được
Mặt khác ta lại có
Vậy , suy ra minQ = 30, đạt được tại