§7. CAÙC TÍNH CHAÁT CUÛA DAÕY SOÁ HOÄI TUÏ
1) Giôùi haïn baûo toaøn caùc pheùp tính cuûa daõy:
Cho hai daõy soá hoäi tuï (xn) vaø (yn) vaø cho soá thöïc . Khi ñoù
(i)
lim( ) lim lim
n n n n
x y x y
(ii)
lim( ) lim vaø lim( ) lim . lim .
n n n n n n
x x x y x y
(iii) Neáu
0
lim 0 vaø 0,
nn
y y n n
(n0 laø soá töï nhieân naøo ñoù) thì
lim
lim .
lim
nn
nn
xx
yy
2) Giôùi haïn baûo toaøn thöù töï caùc daõy:
Cho hai daõy soá hoäi tuï (xn) vaø (yn)
(i) Neáu
0
,
nn
x y n n
(vôùi n0 naøo ñoù) thì
lim lim .
nn
xy
(ii) [tieâu chuaån “giôùi haïn keïp”] Neáu
lim lim
nn
x y a
vaø coù theâm
daõy soá (an) thoûa
0
,
n n n
x a y n n
thì
3) Tính chaát bò chaën cuûa daõy hoäi tuï: daõy soá naøo hoäi tuï thì daõy soá
ñoù bò chaën.
Nhö vaäy, daõy soá naøo khoâng bò chaën thì daõy soá ñoù phaân kyø.
4) Caùc giôùi haïn cô baûn:
(i) Vôùi r > 0, ta coù
1
lim 0,
r
nn
(ii) Vôùi r > 0, ta coù
lim 1,
n
nr
(iii)
lim 1,
n
nn
(iv) Vôùi r > 0 vaø , ta coù
lim 0,
(1 )n
n
n
r
(v) Vôùi
1x
, ta coù
lim 0.
n
nx
Chöùng minh.
(i) Vôùi
0
tuøy yù, choïn
1/
11.
r
p
Khi ñoù
11
,0
rr
np
np
Nhö vaäy giôùi haïn ñöôïc chöùng minh theo
ñònh nghóa.
Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung
2
(ii) Xeùt tröôøng hôïp r > 1 vaø xeùt daõy (xn) ñònh bôûi
1, .
n
n
x r n
Theo khai trieån cuûa nhò thöùc Newton thì
(1 )n
nn
r x nx
(do
0
n
x
) neân
,0 .
n
r
nx
n
Duøng tieâu chuaån giôùi haïn keïp thì
suy ra
lim 1.
nr
Tröôøng hôïp r = 1 thì hieån nhieân. Khi 0 < r < 1 thì
11sr
,
aùp duïng tröôøng hôïp tröôùc, ta coù
11
lim 1 lim .
lim
n
nn
s
rr
Vaäy
lim 1.
nr
(iii) Vì
, 1 0
n
n
n x n
neân
2 2 2
( 1)
2, (1 ) 2
n
n n n n
nn
n n x C x x
(khai trieån nhò thöùc
Newton). Töø ñoù ta suy ra
1/ 2
2
2,0 .
( 1)
n
nx
n
Duøng tieâu chuaån
giôùi haïn keïp vaø keát quaû (i) ta suy ra
0.
n
x
Vaäy
lim 1.
nn
(iv) Ñeå deã hình dung, ta xeùt thì
33
(1 ) , 3.
n
n
r C r n
(Tröôøng hôïp toång quaùt, choïn soá töï nhieân
[ ] 1k
thì ta coù
(1 ) ,
n k k
n
r C r n k
). Ta suy ra, vôùi moïi
3n
thì
2,7 2,7 2,7 3
3 3 3 3 3 0,3
3! 6 1
0.
( 1)( 2)
(1 ) ( 2)
n
n
n n n n
n n n
r C r r r n n
Duøng tieâu chuaån giôùi haïn keïp vaø keát quaû caâu (i), ta coù ñpcm.
(v) Khi x = 0 thì hieån nhieân. Neáu
01x
, choïn
10
x
rx
thì
ta coù
1
1
xp
vaø
1
00
(1 )
n
n
n
xx r
khi
.n
Baøi taäp
Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán
3
1. Vôùi taäp con A cuûa khaùc roãng bò chaën treân, haõy chöùng minh
raèng coù daõy soá
()
n
xA
sao cho
sup
n
xA
khi
.n
Phaùt
bieåu keát quaû töông töï khi A bò chaën döôùi.
2. Cho daõy soá (xn) bò chaën treân vaø coù tính chaát
1
,.
nn
n x x
Chöùng minh raèng (xn) laø daõy hoäi tuï.
3. Cho daõy soá (xn) bò chaën döôùi vaø coù tính chaát
1
,.
nn
n x x
Chöùng minh raèng (xn) laø daõy hoäi tuï.
4. Cho daõy soá (xn) hoäi tuï veà 0 vaø daõy soá (yn) bò chaën. C/m raèng daõy
soá (xnyn) hoäi tuï veà 0 (tích cuûa moät daõy hoäi tuï veà 0 vôùi moät daõy bò
chaën laø moät daõy hoäi tuï veà 0).
5. Cho (xn) laø daõy soá döông hoäi tuï veà x > 0. Chöùng minh raèng
lim 1.
nn
nx
Neáu x = 0 thì keát quaû coøn ñuùng khoâng?
6. Vôùi soá thöïc x tuøy yù, chöùng minh raèng coù moät daõy (qn) goàm caùc soá
höõu tæ vaø moät daõy (rn) goàm caùc soá voâ tæ sao cho
n
qx
vaø
n
rx
khi
n
.
7. Cho hai daõy soá (en) vaø (En) ñònh bôûi
1
1;
n
n
en
1
1
1
n
n
En
. Chöùng minh raèng
a)
1
,.
nn
n e e
Hdaãn:
1
1
2
11
1( 1)
n
n
n
en
en n
, duøng
baát ñaúng thöùc Bernouli.
b)
1
,.
nn
n E E
Hdaãn:
2
1
1
1.
1 ( 2)
n
n
n
En
E n n n
c) Chöùng minh toàn taïi caùc giôùi haïn sau
lim lim .
nn
eE
§8. DAÕY SOÁ ÑÔN ÑIEÄU VAØ DAÕY CON
Vieäc kieåm chöùng söï hoäi tuï cuûa daõy soá baèng ñònh nghóa ñoøi hoûi
ta phaûi bieát giôùi haïn cuûa noù. Nhöng ñoái vôùi daõy ñôn ñieäu thì khoâng
caàn nhö vaäy.
Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung
4
1. Ñònh nghóa: Daõy soá (xn) ñöôïc goïi laø ñôn ñieäu taêng (noùi vaén taét laø
daõy taêng) nghóa laø
1
,.
nn
n x x
Neáu chieàu baát ñaúng thöùc ngöôïc
laïi thì ta noùi daõy soá laø ñôn ñieäu giaûm.
Daõy taêng hoaëc giaûm ñöôïc goïi chung laø daõy ñôn ñieäu.
2. Ñònh lyù 7.1. Neáu (xn) laø daõy soá taêng vaø bò chaën treân thì noù hoäi tuï
veà
sup n
n
x
vôùi
sup sup .
nn
n
x x n
Neáu (xn) laø daõy soá giaûm vaø bò chaën döôùi thì noù hoäi tuï veà
inf n
nx
vôùi
inf inf .
nn
nx x n
Chöùng minh. sinh vieân laøm baøi taäp ôû baøi hoïc tröôùc.
3. Ñònh lyù 7.2. Daõy (en) ñònh bôûi
1
1
n
n
en
laø daõy soá taêng, bò
chaën treân. Do ñoù, daõy naøy coù giôùi haïn ñöôïc kyù hieäu laø
lim .
n
ee
Soá
e ñöôïc goïi laø soá Neùper.
Chöùng minh. sinh vieân laøm baøi taäp ôû baøi hoïc tröôùc.
4. Ñònh nghóa daõy con: Cho (nk) laø daõy taêng ngaët caùc soá töï nhieân,
nghóa laø
1
, vaø .
k k k
k n n n
ÖÙng vôùi moãi daõy soá (xn), ta ñaët
,
k
kn
y x k
, thì daõy soá môùi (yk) ñöôïc goïi laø daõy con cuûa daõy (xn),
vaø thay vì vieát (yk), ta vieát
()
k
nk
x
. Ta xeùt caùc ví duï ñaëc bieät sau ñaây:
Xeùt
,,
k
n k k
thì daõy con
()
k
n
x
cuõng chính laø daõy
()
n
x
.
Nhö vaäy moïi daõy ñeàu laø daõy con cuûa chính noù.
Xeùt
,,
k
n k p k
vôùi p laø soá töï nhieân coá ñònh, thì daõy
con
()
k
n
x
laø tònh tieán cuûa daõy (xn). Ví duï daõy
2
()
kk
x
laø tònh tieán
cuûa daõy (xn) sang phaûi hai ñôn vò.
5. Meänh ñeà 7.3. * Daõy soá (xn) hoäi tuï neáu vaø chæ neáu moïi daõy con cuûa
noù ñeàu laø daõy hoäi tuï vaø coù cuøng moät giôùi haïn.
* Vôùi moät daõy soá laø ñôn ñieäu, neáu noù coù moät daõy con hoäi tuï
thì noù cuõng hoäi tuï; neáu noù coù moät daõy con phaân kyø thì noù cuõng phaân
kyø.
Sinh vieân töï chöùng minh meänh ñeà treân.
Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán
5
6. Ñònh lyù Bolzano-Weierstrass. Moïi daõy soá thöïc bò chaën ñeàu coù ít
nhaát moät daõy con hoäi tuï.
Chöùng minh. Tröôùc heát ta chöùng minh “daõy soá thöïc (xn) baát kyø luoân
coù ít nhaát moät daõy con ñôn ñieäu”. Thaät vaäy, xeùt taäp hôïp
,.
mn
A n m n x x
Caùc chæ soá n thuoäc A ñöôïc goïi laø “ñænh” (ñænh cao). Coù hai tröôøng hôïp
xaûy ra:
(i) Neáu A coù voâ haïn ñænh, ta ñaët
1minnA
vaø
11
min \ , , , .
kk
n A n n k
thì (nk) laø daõy taêng ngaët caùc soá töï nhieân vaø
1,,
kk
nn
x x k
nghóa
laø
()
k
n
x
laø daõy con ñôn ñieäu giaûm.
(ii) Neáu A coù höõu haïn phaàn töû, hoaëc laø taäp roãng, khi ñoù ta ñaët
11 max ,nA
thì n1 khoâng thuoäc A, do ñoù coù n2 > n1 sao cho
21
.
nn
xx
Töông töï, n2 cuõng khoâng thuoäc taäp A, ta coù n3 > n2 sao cho
32
nn
xx
v.v.. Nghóa laø ta coù theå ñònh nghóa ñöôïc daõy con
()
k
n
x
ñôn
ñieäu giaûm.
Tieáp theo, ta giaû söû theâm daõy (xn) bò chaën. Töø boå ñeà ñaõ chöùng
minh treân, ta coù daõy con ñôn ñieäu bò chaën, do ñoù daõy con naøy hoäi tuï,
ta keát thuùc chöùng minh ñònh lyù.
7. Ñònh lyù (veà tính ñaày ñuû cuûa ). Moïi daõy soá trong hoäi tuï khi
vaø chæ khi noù laø daõy Cauchy.
Chöùng minh. Trong baøi taäp tröôùc, ta ñaõ chöùng minh neáu daõy soá (xn)
laø hoäi tuï thì noù laø daõy Cauchy. Ta xeùt vaán ñeà ngöôïc laïi, giaû söû (xn) laø
daõy Cauchy, khi ñoù daõy naøy bò chaën (baøi taäp trong baøi daõy soá hoäi tuï).
Theo ñònh lyù B-W thì coù daõy con
()
k
n
x
hoäi tuï veà x. Ta chöùng minh
(xn) cuõng hoäi tuï veà x. Thaät vaäy, cho tröôùc soá
0,
do tính chaát daõy