intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chương 1 - Bài 2 (Dạng 3): Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

Chia sẻ: Nhan Tai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST
Báo xấu
554
lượt xem 149
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chương 1 - bài 2 (dạng 3): tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 1 - Bài 2 (Dạng 3): Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

  1. Nguy n Phú Khánh – à L t D ng 3 : Tìm i u ki n các i m c c tr c a hàm s th a mãn i u ki n cho trư c. Phương pháp: • Trư c h t ta tìm i u ki n hàm s có c c tr , • Bi u di n i u ki n c a bài toán thông qua t a các i m c c tr c a th hàm s t ó ta tìm ư c i u ki n c a tham s . Chú ý: * N u ta g p bi u th c i x ng c a hoành các i m c c tr và hoành các i m c c tr là nghi m c a m t tam th c b c hai thì ta s d ng nh lí Viét. * Khi tính giá tr c c tr c a hàm s qua i m c c tr ta thư ng dùng các k t qu sau: ( ) ( nh lí 1: Cho hàm a th c y = P x , gi s y = ax + b P’ x + h x khi ó ) ( ) ( ) n u x 0 là i m c c tr c a hàm s thì giá tr c c tr c a hàm s là: ( ) ( ) ( ) y x 0 = h x 0 và y = h x g i là phương trình qu tích c a các i m c c tr . Ch ng minh: Gi s x 0 là i m c c tr c a hàm s , vì P (x ) là hàm a th c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( pcm) . nên P ' x 0 = 0 ⇒ y x 0 = (ax 0 + b)P ' x 0 + h x 0 = h x 0 u (x ) nh lí 2: Cho hàm phân th c h u t y = khi ó n u x là i m c c v (x ) 0 u ' (x ) 0 tr c a hàm s thì giá tr c c tr c a hàm s : y(x 0 ) = . v ' (x ) 0 u ' (x ) Và y = là phương trình qu tích c a các i m c c tr . v ' (x ) u ' ( x ) v ( x ) − v ' (x ) u ( x ) Ch ng minh: Ta có y ' = 2 v (x ) ⇒ y ' = 0 ⇔ u ' ( x ) v ( x ) − v ' ( x ) u ( x ) = 0 (*). Gi s x là i m c c tr c a 0 u ' (x ) u (x ) = y (x ) . 0 0 hàm s thì x là nghi m c a phương trình (*) ⇒ = v ' (x ) v (x ) 0 0 0 0 1 3 Ví d 1 : Tìm m th c a hàm s y = 3 ( x − mx 2 + 2m − 1 x + 2 có 2 ) i m c c tr dương. Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . 65
  2. Nguy n Phú Khánh – à L t * Ta có y ' = x 2 − 2mx + 2m − 1 y ' = 0 ⇔ x 2 − 2mx + 2m − 1 = 0 (*) * Hàm s có hai i m c c tr dương ⇔ (*) có hai nghi m dương phân bi t ∆ ' = m 2 − 2m + 1 > 0   1  m > ⇔ S = 2m > 0 ⇔ 2. P = 2m − 1 > 0 m ≠ 1     1 m > V y 2 là nh ng giá tr c n tìm. m ≠ 1  Bài t p tương t : 1. Tìm m ( ) th c a hàm s y = x 3 − mx 2 + m + 6 x + 5 có 2 i m c c tr dương. 2x 2 − mx + m − 2 2. Tìm m th c a hàm s y = có 2 i m c c tr âm. mx + 1 mx 2 + 3mx + 2m + 1 Ví d 2 : Tìm m th c a hàm s y = có c c i, x −1 c c ti u và 2 i m ó n m v hai phía v i tr c Ox . Gi i : * Hàm s ã cho xác {} nh và liên t c trên » \ 1 . mx 2 − 2mx − 5m − 1 * Ta có y ' = (x − 1)2 y ' = 0 ⇔ mx 2 − 2mx − 5m − 1 = 0 ( x ≠ 1) ( * ) () Hàm s có hai i m c c tr ⇔ * có 2 nghi m phân bi t x 1, x 2 ≠ 1 m ≠ 0  1  m < − . ⇔ m(6m + 1) > 0 ⇔ 6  −6m − 1 ≠ 0 m>0   Hai i m c c tr c a th hàm s n m v hai phía tr c Ox ( ) ( ) ⇔ y x 1 .y x 2 < 0 . Áp d ng k t qu ( ) ( ) ( ) ( nh lí 2 ta có: y x 1 = 2m x 1 − 1 , y x 2 = 2m x 2 − 1 ) ⇒ y x 1 .y x 2 = 4m 2 x 1x 2 − x 1 + x 2 ( ) ( ) ( ) + 1 = 4m ( −2m − 1) .   66
  3. Nguy n Phú Khánh – à L t  1 m < − . ( ) ( ) y x 1 .y x 2 < 0 ⇔ 4m(−2m − 1) < 0 ⇔  2 m>0   1 m 0  Bài t p tương t : m 1 1. Tìm m ( ) th c a hàm s y = x 3 − x 2 + m − 1 x + 3 có c c i, c c 3 2 ti u và 2 i m ó n m v hai phía v i tr c Ox . 2. Tìm m th c a hàm s y = − ( m +1 3 ) x − mx 2 + 3m − 1 có c c i, 3 c c ti u và 2 i m ó n m v hai phía v i tr c Oy . mx 2 + 3mx + 2m + 1 1 3. Cho hàm s y = , m ≠ . Tìm m hàm s có c c i, x −1 6 c c ti u và hai i m c c tr ó n m v hai phía c a tr c hoành. Ví d 3 : Tìm m th c a hàm s (C m ) : y = 2x 3 + mx 2 − 12x − 13 có i mc c i, c c ti u và các i m này cách u tr c Oy . Gi i: * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » * Ta có y ' = 2(3x 2 + mx − 6) ⇒ y ' = 0 ⇔ 3x 2 + mx − 6 = 0 (2) Vì (2) luôn có hai nghi m phân bi t nên th hàm s luôn có hai c c tr . G i x 1, x 2 là hoành hai c c tr , hai i m c c tr cách u tr c tung ⇔ x 1 = x 2 ⇔ x 1 = −x 2 ⇔ x 1 + x 2 = 0 (vì x 1 ≠ x 2 ) −b −m ⇔S = = = 0 ⇔ m = 0. a 3 V y m = 0 là giá tr c n tìm. Bài t p tương t : 1 1. Tìm m ( ) th c a hàm s (C m ) : y = − x 3 + 2m − 3 x 2 − 2m − 3 x 3 ( ) có i m c c i, c c ti u và các i m này cách u tr c Oy . 2. Tìm m th c a hàm s (C m ) : y = ( ) x2 − m − 1 x + m + 1 có i m c c x −1 i, c c ti u và các i m này cách u tr c Ox . Ví d 4 : Tìm m th c a hàm s 67
  4. Nguy n Phú Khánh – à L t ( ) ( y = x 3 − 2m + 1 x 2 + m 2 − 3m + 2 x + 4 có hai i m c c) i và c c ti u n m v hai phía tr c tung . Gi i : * Hàm s cho xác nh và liên t c trên » ( * Ta có : y ' = 3x 2 − 2 2m + 1 x + m 2 − 3m + 2) Hàm s có hai i m c c i và c c ti u n m v hai phía tr c tung khi và ch khi phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 tho mãn x 1 < 0 < x 2 () ⇔ 3.y ' 0 < 0 ⇔ m 2 − 3m + 2 < 0 ⇔ 1 < m < 2 V y giá tr c n tìm là 1 < m < 2 . Bài t p tương t : 1. Tìm m ( th c a hàm s y = x 3 − mx 2 + 2m 2 + 7m − 9 x − 1 có hai ) i m c c i và c c ti u n m v hai phía tr c tung . 2. Tìm m ( ) th c a hàm s y = −x 3 + 4m − 3 x 2 + m 2 + 7m + 10 x + 3 ( ) có hai i m c c i và c c ti u n m v hai phía tr c hoành . x 2 + m 2x + 2m 2 − 5m + 3 Ví d 5 : Tìm tham s m > 0 hàm s y = t x c c ti u t i x ∈ 0;2m . ( ) Gi i : * Hàm s ã cho xác ( nh và liên t c trên kho ng 0;2m ) x 2 − 2m 2 + 5m − 3 g x ( ) * Ta có : y ' = x 2 = 2 , x ≠ 0 , g x = x 2 − 2m 2 + 5m − 3 x ( ) Hàm s ( ) ( ) t c c ti u t i x ∈ 0;2m ⇔ g x = 0 có hai nghi m phân bi t m > 0   ( x 1, x 2 x 1 < x 2 ) tho x 1 < 0 < x 2 < 2m ⇔ 1.g 0 < 0 () 1.g 2m > 0   ( ) 68
  5. Nguy n Phú Khánh – à L t    m > 0 m > 0  m < 1 1    3 2m 2 + 5m − 3 > 0    2   2  m < −3  1  m >  2 1 3 V y giá tr m c n tìm là < m < 1 ∨ m > . 2 2 Bài t p tương t : 1. Tìm tham s m hàm s y = x 3 − m 2x 2 − 2x + 3 t c c ti u t i ( x ∈ m;2m . ) 2. Tìm tham s m ( ) hàm s y = x 4 − m − 1 x 2 − 1 tc c i t i ( x ∈ 1; m + 1 . ) Ví d 6 : Tìm tham s th c m th c a hàm s : 1 ( ) y = mx 3 + 3mx 2 + 3m + 1 x − 2 có c c i t i x ∈ −3; 0 . 3 ( ) Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . * Ta có y ' = mx 2 + 6mx + 3m + 1 + N u m = 0 thì y ' = 1 > 0, ∀x ∈ » ⇒ hàm s luôn tăng ∀x ∈ » , do ó hàm s không có c c tr . ( + N u m ≠ 0 , ta có ∆ ' = m 6m − 1 . ) * B ng xét d u m −∞ 1 +∞ 0 6 ∆' + 0 − 0 + 1 i N u 0
  6. Nguy n Phú Khánh – à L t 1 i V i m < 0 ho c m > , khi ó tam th c y ' có hai nghi m phân bi t 6 ∆' x 1,2 = −3 ± m ( x1 < x 2 . ) + m < 0 . Ta có b ng xét d u x −∞ x1 x2 +∞ y' − 0 + 0 − D a vào b ng xét d u, suy ra x 2 là hoành c c i c a hàm s . ∆' Theo bài toán, ta có −3 < x 2 < 0 ⇔ −3 < −3 − < 0 ⇔ ∆ ' < −3m m 1 ( ) ⇔ m 6m − 1 < 9m 2 ⇔ 3m 2 + m > 0 ⇔ m < − do m < 0 3 ( ) 1 + m > , tương t . 6 Bài t p t luy n: mx 2 + x 1. Tìm tham s th c m th c a hàm s : y = có c c i t i −x + 1 ( ) x ∈ 0;1 và có c c ti u x ngoài kho ng ó. 2. Tìm tham s th c m th c a hàm s : y = x2 + m x + 1 ( ) có c c it i x +2 x ∈ 0;1 và có c c ti u x   ngoài o n ó. 3. Tìm tham s th c m ( ) th c a hàm s : y = m + 1 x 3 + mx 2 − x có m t ( c c tr t i x ∈ −1;1 . ) Ví d 7 : Cho hàm s y = ( x2 + m x + 1 ) , hãy tìm tham s m hàm s t x +2 c c i , c c ti u t i các i m có hoành x 1, x 2 th a mãn h th c :  1 1  x 1 + x 2 = −6  2 2 + . x x2   1  Gi i : * Hàm s ã cho xác ( ) ( nh và liên t c trên −∞; −2 ∪ −2; +∞ . ) x 2 + 4x + m * Ta có y ' = 2 , x ≠ −2 (x + 2 ) 70
  7. Nguy n Phú Khánh – à L t * hàm s tc c i , c c ti u t i các i m có hoành x 1, x 2 thì phương ( ) trình g x = x 2 + 4x + m = 0 có hai nghi m phân bi t khác −2 khi ó ∆ = 4 − m > 0   2 ⇔ m < 4. ( ) ( ) g −2 = −2 + 4. −2 + m ≠ 0  ( ) x + x 2 = 12  Theo nh lý Vi-ét , ta có :  1 . x 1.x 2 = m   1 1  2 x + x2 x 1 + x 2 = −6  2 2 +  ⇔ x + x − 2.x .x = −6 1 ( ) x  1 2 1 2 x 1.x 2  1 x2   24  m = 2 16 − 2m = m 2 − 8m + 12 = 0   ⇔ m ⇔ ⇔  m = 6  ⇔ m = 2. 0 ≠ m < 4  0≠m
  8. Nguy n Phú Khánh – à L t 5. Tìm m ∈ » + th c a hàm s : 2 ( ) ( y = 2x 3 − 3 2m + 1 x 2 + 6m m + 1 x + m + 1 có c c ) ( ) ( ) i A x 1, y1 , c c ti u ( ) B x 2 , y2 th a mãn h th c : (y 1 − y2 )( 6 − 5m ) > m (x − x ) . 2 2 1 Ví d 8 : Tìm tham s m hàm s y = ( x − m ) ( x − 3x − m − 1) có c 2 c i và c c ti u th a xC .xCT = 1 . Gi i: * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . ( * Ta có y ' = 3x − 2 m + 3 x + 2m − 1 2 ) ( ) y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 2 m + 3 x + 2m − 1 = 0 (1) Hàm s có hai i m c c tr th a mãn xC .xCT = 1 ⇔ (1) có hai nghi m x 1, x 2 ∆ ' = m 2 + 7 > 0  m = 2 th a mãn: x 1 .x 2 = 1 ⇔  c 2m − 1 ⇔  . P = = =1 m = −1   a 3 V y m = 2 ho c m = −1 là giá tr c n tìm. Bài t p tương t : 1. Tìm tham s m hàm s y = 3x 4 − mx 2 − 2 có c c ( i A 0; −2 và c c) m 2 + 4m − 4 ti u B,C sao cho xC .x B < . 6 2. Tìm tham s m hàm s y = x 4 − 4mx 2 + 1 có c c ( ) i A 0;1 và c c ti u B,C sao cho xC .x B > 2 m 2 + 8m + 10 . ( ) Ví d 9 : Tìm tham s m hàm s 1 1 ( ) y = mx 3 − m − 1 x 2 + 3 m − 2 x + 3 3 ( ) có c c i , c c ti u ng th i hoành c c i c c ti u x 1, x 2 th a x 1 + 2x 2 = 1 . Gi i: * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . ( * Ta có y ' = mx 2 − 2 m − 1 x + 3 m − 2 ) ( ) Hàm s có c c i , c c ti u khi y ' i d u hai l n qua nghi m x , t c là ( ) ( phương trình mx 2 − 2 m − 1 x + 3 m − 2 = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 ) 72
  9. Nguy n Phú Khánh – à L t m ≠ 0   m ≠ 0  2 ⇔ 2 ( ) ( ∆ ' = m − 1 − 3m m − 2 > 0  ) −2m + 4m + 1 > 0  m ≠ 0  ⇔ 2 − 6 2+ 6  2 2m − m 2 . ) 2x 2 + 3x + m − 2 Ví d 10: Tìm tham s m hàm s y= có i m c c i x +2 và c c ti u t i các i m có hoành ( ) x 1, x 2 th a mãn y x 2 − y x 1 = 8( ) Gi i : 2 2x + 3x + m − 2 m y= = 2x − 1 + x +2 x +2 * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » \ −2 { } 73
  10. Nguy n Phú Khánh – à L t * V i x ≠ −2, m ≠ 0 , ta có m 2(x + 2)2 − m g (x ) y' = 2− 2 = 2 = 2 , g (x ) = 2(x + 2)2 − m (x + 2) (x + 2) (x + 2) th hàm s có c c i , c c ti u khi y ' = 0 có 2 nghi m phân bi t và y ' i d u khi x qua các nghi m ó , khi ó phương trình g x = 0 có hai nghi m ( ) 2(x + 2)2 = m > 0  phân bi t khác −2 ⇔  ⇔m >0 2(−2 + 2)2 − m ≠ 0  Khi ó ta có y x = 4x + 3  ( )  1 ( ) 1 ( ) ( ) ⇒ y x 2 − y x 1 = (4x 2 + 3) − (4x 1 + 3) = 4 x 2 − x 1 y x 2 = 4x 2 + 3  y ( x ) − y ( x ) = 8 ⇔ 4 x − x = 8 ⇔ (x 2 1 2 1 1 + x 2 )2 − 4x 1x 2 = 4 1() x 1 + x 2 = −4  Mà  8−m (2) x 1x 2 =  2 8−m T (1) và (2 ) suy ra (−4) 2 − 4 −4 =0⇔m =2 2   Bài t p tương t : 1 3 1. Tìm tham s m hàm s y=) 3 ( x + m − 2 x 2 − 2 có i m c c i và c c ti u t i các i m có hoành x , x th a mãn y ( x ) − y ( x ) < 2 . 1 2 2 1 2. Tìm tham s m hàm s y = (m + 1) x − 2 (m − 1) x có 2 i m c c ti u 4 2 khác O ( 0; 0 ) và hoành x , x c a c c ti u th a mãn y ( x ) + y ( x ) > 1 . 1 2 2 1 x + ( m + 1) x + m + 1 2 Ví d 11 : Cho hàm s y = . G i A, B là hai i m x +1 c c tr , nh m di n tích tam giác OAB b ng 2 . V i giá tr m v a tìm ư c , tính kho ng cách t O n ư ng th ng AB . Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên ( −∞; −1) ∪ ( −1; +∞ ) . x 2 + 2x * Ta có y ' = 2 , x ≠ −1 ( x +1 ) 74
  11. Nguy n Phú Khánh – à L t i V i ∀m ∈ » hàm s ã cho có i m c c ( i A −2; m − 3 và i m c c ti u) ( B 0; m + 1 . ) i Ta có : ( ) OA −2; m − 3 ⇒ OA = m 2 − 6m + 13,OB 0; m + 1 ⇒ OB = m + 1 và ( ) . OAOB ( )( ) ( OAOB = −2.0 + m − 3 m + 1 = m − 3 m + 1 . cos AOB = . )( ) . OAOB 2 ⇒ sin AOB = 1 − cos2 AOB = ( . OAOB ) 2 ( . − OAOB ) . OAOB 2 1 1 i Di n tích dt( ∆OAB ) = OAOB. sin AOB = 2 . 2 (OAOB ) . 2 ( . − OAOB ) m = −3 dt( ∆OAB ) = ... = m + 1 ⇒ dt( ∆OAB ) = 2 ⇔ m + 1 = 2 ⇔  m = 1  i G i d là kho ng cách t O n ư ng th ng AB khi ó AB = 2 5 và 1 m +1 dt( ∆OAB ) = d .AB ⇒ d = . 2 5 2 5 + m = −3 ⇒ d = . 5 2 5 + m =1⇒d = . 5 Bài t p t luy n: 1 1. nh m th c a hàm s y = − mx 3 + 3m − 1 x 2 − 4x − 2 có c c tr 3 ( ) A, B sao cho tam giác MAB di n tích b ng 1 , bi t M 0;1 . ( ) 2. nh m th c a hàm s y = x 4 − 2m 2x 2 + 1 có c c tr A, B,C sao cho tam giác ABC di n tích b ng 4 . Ví d 12 : Tìm tham s m hàm s y = x 4 − 2m 2x 2 + 1 có 3 i m c c tr là 3 nh c a m t tam giác vuông cân. Gi i: * Hàm s ã cho xác nh và liên t c » . * Ta có y ' = 4x 3 − 4m 2x = 4x (x 2 − m 2 ) . V i m ≠ 0 hàm s có ba c c tr .Khi ó t a các i m c c tr c a th hàm s là: A(0;1), B(m;1 − m ), C (−m;1 − m ) . 4 4 75
  12. Nguy n Phú Khánh – à L t D th y AB = AC nên tam giác ABC vuông cân ⇔ AB 2 + AC 2 = BC 2 ⇔ 2(m 2 + m 8 ) = 4m 2 ⇔ m = ±1 V y m = ±1 là nh ng giá tr c n tìm. Bài t p t luy n: 1 1. Tìm tham s m ( ) hàm s y = x 3 − x 2 + m − 1 x + m có 2 i m c c tr 3 A, B sao cho ABO m t tam giác vuông cân , v i O là g c t a . 1 4 1 2. Tìm tham s m hàm s y = 4 ( ) x − m − 1 x 2 + m − 2 có 3 i m c c tr 2 là 3 nh c a m t tam giác vuông. Ví d 13: Tìm m th c a hàm s y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 có c c i, c c ti u ng th i các i m c c tr l p thành tam giác u. Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c » . ( * Ta có y ' = 4x 3 − 4mx = 4x x 2 − m ) x = 0 y' = 0 ⇔  2 x = m *  () th hàm s có c c i , c c ti u khi y ' = 0 có 3 nghi m phân bi t và y ' i () d u khi x qua các nghi m ó , khi ó phương trình * có hai nghi m phân bi t khác 0 ⇔ m > 0 x = 0 ⇒ A 0; m 4 + 2m ( )  B − m ; m 4 − m 2 + 2m Khi ó : y ' = 0 ⇔  x = ± m ⇒  ( ) C m ; m 4 − m 2 + 2m      ( ) Hàm s có 3 c c tr A, B,C l p thành tam giác u AB = AC  ⇔ ⇔ AB 2 = BC 2 ⇔ m + m 4 = 4m AB = BC  ( ) ⇔ m m3 − 3 = 0 ⇔ m = 3 3 m > 0 ( ) V y m = 3 3 là giá tr c n tìm . Bài t p t luy n: 1 4 1 1. Tìm m th c a hàm s y = 4 ( ) x − m − 1 x 2 + m − m 2 có c c 2 i, c c ti u ng th i các i m c c tr l p thành tam giác u. 76
  13. Nguy n Phú Khánh – à L t 3 2 2 2. Tìm m th c a hàm s y = −x 3 + m x có c c i A , c c ti u B 2 ng th i các i m ABC c c tr l p thành tam giác u, bi t C −2; 3 . ( ) Ví d 14: Tìm a th c a hàm s y = x 3 − 3x 2 + 2 (C ) có i mc c i và i m c c ti u c a th (C ) v hai phía khác nhau c a ư ng tròn (phía ( ) trong và phía ngoài): C a : x 2 + y 2 − 2ax − 4ay + 5a 2 − 1 = 0 . Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c » . * Ta có : y ' = 3x 2 − 6x x = 0 ⇒ y = 2 y' = 0 ⇔  x = 2 ⇒ y = −2  Cách 1: ( ) ( th hàm s có hai i m c c tr A 0;2 , B 2; −2 . Hai i m ) ( ) ( A 0;2 , B 2; −2 ) v hai phía c a hai ư ng tròn (C ) khi a ( )( ⇔ PA/(C ) .PB /(C ) < 0 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 5a 2 + 4a + 7 < 0 a a ) 3 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 < 0 ⇔
  14. Nguy n Phú Khánh – à L t 2. Tìm m th c a hàm s y = x 3 + mx 2 + 2m − 1 (C ) có m i mc c i và i m c c ti u c a th (C ) m v hai phía khác nhau c a ư ng tròn (phía ( ) trong và phía ngoài): C : x 2 + y 2 = 4 . Ví d 15 : Tìm m th c a hàm s : y = x 4 − 2mx 2 + m − 1 có ba c c tr . ng th i các i m c c tr A, B, C c a th t o thành m t tam giác có bán kính ư ng tròn ngo i ti p b ng 1 . Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . ( * Ta có : y ' = 4x 3 − 4mx = 4x x 2 − m ) x = 0 y' = 0 ⇔  2 x = m  V i m > 0 : y ' = 0 có ba nghi m phân bi t và y ' i d u khi x i qua các nghi m ó. * Khi ó ba i m c c tr c a ( th hàm s là: A 0; m − 1 , ) ( ) ( B − m ; −m 2 + m − 1 , C m ; −m 2 + m − 1 . ) 1 AB = AC = m 4 + m , BC = 2 m và S ABC = yB − yA . xC − x B = m 2 m 2 R= AB.AC .BC =1⇔ ( m4 + m 2 m ) = 1 ⇔ m 3 − 2m + 1 = 0 4S ABC 2 4m m m = 1 ⇔  m = 5 − 1   2 Bài t p tương t : 1 4 1 Tìm m th c a hàm s : y = x − mx 2 + m + 1 có ba c c tr A, B, C 4 2 sao cho tam giác n i ti p ư c trong ư ng tròn có bán kính R = 1 . Ví d 16: Tìm m th c a hàm s y = x 3 − 3x 2 + m 2x + m có c c i, c c ti u và các i m c c i, c c ti u c a th hàm s i x ng nhau qua 1 5 ư ng th ng : d : y = x − . 2 2 Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . Cách 1 : 78
  15. Nguy n Phú Khánh – à L t * Ta có y ' = 3x 2 − 6x + m 2 ⇒ y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6x + m 2 = 0 (1) . hàm s có c c tr ⇔ (1) có 2 nghi m phân bi t x1, x 2 ⇔ ∆ ' = 3(3 − m 2 ) > 0 ⇔ − 3 < m < 3 . phương trình ư ng th ng d ' i qua các i m c c tr là : 2 1 y = ( m 2 − 2)x + m 2 + m ⇒ các i m c c tr là : 3 3 2 1 2 1 A(x 1;( m 2 − 2)x 1 + m 2 + 3m ), B(x 2 ;( m 2 − 2)x 2 + m 2 + 3m ) . 3 3 3 3 G i I là giao i m c a hai ư ng th ng d và d ' 2m 2 + 6m + 15 11m 2 + 3m − 30 ⇒ I( ; ). 15 − 4m 2 15 − 4m 2 2 2 A và B i x ng qua d thì trư c h t d ⊥ d ' ⇔ m − 2 = −2 ⇔ m = 0 khi 3 ( ) ( ) ó I 1; −2 và A x 1; −2x 1 ; B x 2 ; −2x 2 ( ) ⇒ I là trung i m c a AB ⇒ A và B i x ng nhau qua d . V y m = 0 là giá tr c n tìm. Cách 2 : * Hàm s ã cho xác nh trên » và có o hàm y ' = 3x 2 − 6x + m 2 . Hàm s có c c i , c c ti u khi phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 ⇔ ∆ ' = 9 − 3m 2 > 0 ⇔ − 3 < m < 3 . m2 Vi-ét, ta có x 1 + x 2 = 2 , . x 1.x 2 = 3 ( ) ( G i A x 1 ; y1 , B x 2 ; y 2 ) là các i m c c tr c a th hàm s và I là trung i m c a o n AB . ư ng th ng AB có h s góc kAB = 3 3 2 2 2 ( y 2 − y1 x 2 − x 1 − 3 x 2 − x 1 + m x 2 − x 1 = ) ( ) x 2 − x1 x 2 − x1 2 ( kAB = x 1 + x 2 ) ( − x 1x 2 − 3 x 1 + x 2 + m 2 ) m2 2 2m 2 − 6 kAB = 4 − −6+m = 3 3 1 5 1 ư ng th ng y = x − ∆ có h s góc k = 2 2 ( ) 2 ( Hai i m A x1; y1 , B x 2 ; y2 ) ( ) i x ng nhau qua ư ng th ng ∆ ( ) 79
  16. Nguy n Phú Khánh – à L t AB ⊥ ∆  khi và ch khi  I ∈ ∆  1  2m 2 − 6  i AB ⊥ ∆ ⇔ kAB .k = −1 ⇔ .   = −1 ⇔ m = 0 2  3  i m = 0 ⇒ y ' = 3x 2 − 6x x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ A 0; 0 ( ) y' = 0 ⇔  1  1 x 2 = 2 ⇒ y2 = −4 ⇒ B 2; −4 ⇒ I 1; −2 ( ) ( )  ( ) D th y I 1; −2 ∈ ∆ V y m = 0 tho mãn yêu c u bài toán . Bài t p tương t : Tìm m ( ) ( ) th c a hàm s y = x 3 + m − 4 x 2 − 4 m − 1 x + 4m + 1 có c c i, c c ti u và các i m c c i, c c ti u c a th hàm s i x ng nhau qua ư ng th ng : d : y = x . x 2 + mx Ví d 17: Tìm m th c a hàm s y = có c c tr và kho ng 1−x cách gi a hai i m c c tr b ng 10 . Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » \ 1 .{} −x 2 + 2x + m * Ta có y ' = (1 − x )2 y ' = 0 ⇔ x 2 − 2x − m = 0 (1) (x ≠ 1) ∆ ' = 1 + m > 0  th hàm s có c c tr ⇔  ⇔ m > −1 . 1 − 2 − m ≠ 0  ư ng th ng i qua các i m c c tr có phương trình y = −2x − m ⇒ các i m c c tr là: A(x 1; −2x 1 − m ), B(x 2 ; −2x 2 − m ) ⇒ AB 2 = 5(x 1 − x 2 )2 = 100 ⇔ (x 1 + x 2 )2 − 4x 1x 2 − 20 = 0 ⇔ 4 + 4m − 20 = 0 ⇔ m = 4 . V y m = 4 là giá tr c n tìm. Bài t p tương t : mx 2 + x − m + 1 1. Tìm m th c a hàm s y = có c c tr và kho ng cách x −1 gi a hai i m c c tr b ng 3. 80
  17. Nguy n Phú Khánh – à L t 2. Tìm m th c a hàm s y = x 3 − mx 2 + x − 5m + 1 có c c tr và kho ng cách gi a hai i m c c tr bé hơn 2. x 2 + 2mx + 2 Ví d 18: Tìm giá tr c a m x +1 có th hàm s y = f x = ( ) i m c c i, i m c c ti u và kho ng cách t hai i m ó n ư ng th ng ∆ : x + y + 2 = 0 b ng nhau. Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » \ −1 { } x 2 + 2x + 2m − 2 * Ta có y ' = 2 , x ≠ −1 ( x +1 ) Hàm s có c c i , c c ti u khi f ' x ( ) i d u hai l n qua nghi m x hay ( ) phương trình g x = x 2 + 2x + 2m − 2 = 0 có hai nghi m phân bi t khác −1 ∆ ' > 0   3 − 2m > 0 3 ⇔ ⇔ ⇔m<  ( ) g −1 ≠ 0 2m − 3 ≠ 0  2 G i A (x ; y 1 1 ) ( = 2x 1 + 2m , B x 2 ; y2 = 2x 2 + 2m là các i m c c tr c a ) th hàm s thì x 1, x 2 là nghi m c a phương trình g x = 0, x ≠ 1 . Theo ( ) nh lý Vi ét x 1 + x 2 = −2, x 1 .x 2 = −2m x 1 + y1 + 2 x 2 + y2 + 2 Theo yêu c u bài toán d A, ∆ = d B, ∆ ⇔ ( ) ( ) = 2 2 2 2 ⇔ 3x 1 + 2m + 2 = 3x 2 + 2m + 2 ⇔ 3x 1 + 2m + 2 ( ) = ( 3x 2 + 2m + 2 ) 2 2 ( ⇔ 3x 1 + 2m + 2 ) − ( 3x + 2m + 2 ) = 0 2 ⇔ (x 1 − x2 ) 3 (x + x ) + 4m + 4  = 0  1 2  1 ( ) ⇔ 3 x 1 + x 2 + 4m + 4 = 0 (x 1 ≠ x2 ) ( ) ⇔ 3 −2 + 4m + 4 = 0 ⇔ m = 2 1 So v i i u ki n, v y m = là giá tr c n tìm . 2 Bài t p tương t : x 2 + 2mx − 3m + 1 1. Tìm giá tr c a m th hàm s y = có i m c c i, x −2 i m c c ti u và kho ng cách t hai i m ó n ư ng th ng ∆ : 2x − y = 0 b ng nhau. 81
  18. Nguy n Phú Khánh – à L t 2. Tìm giá tr c a m ( ) th hàm s y = x 3 − 3m + 1 x 2 − 2m + 3 có i m c c i, i m c c ti u và kho ng cách t c c i n ư ng th ng (d ) : 2x − 3y = 0 nh hơn 11 . x 2 + mx + 2 Ví d 19: Tìm giá tr c a m th hàm s y = có i m c c x −1 ( ) ti u n m trên Parabol P : y = x 2 + x − 4 Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » \ 1 {} x 2 − 2x − m − 2 * Ta có y ' = 2 ,x ≠ 1 . ( ) t g x = x 2 − 2x − m − 2 . ( x − 1) Hàm s có c c ( ) i , c c ti u khi phương trình g x = 0 có hai nghi m ∆ ' = 1 − −m − 2 > 0  (  ) m + 3 > 0 phân bi t khác 1 ⇔  ⇔ ⇔ m > −3   () g 1 = −m − 3 ≠ 0 m ≠ −3  x = 1 − m + 3 ⇒ y = m + 2 − 2 m + 3 Khi ó : y ' = 0 ⇔  1 1 x 2 = 1 + m + 3 ⇒ y2 = m + 2 + 2 m + 3  B ng xét d u : x −∞ x1 1 x2 +∞ y' + 0 − − 0 + ( D a vào b ng xét d u suy ra A 1 + m + 3; m + 2 + 2 m + 3 là ) i m c c ti u c a th hàm s . 2 ( ) A∈ P ⇔ m +2 +2 m + 3 = 1+ m + 3 ( ) +1+ m + 3 −4 ⇔ m + 3 = 1 ⇔ m = −2 So v i i u ki n bài toán, ta có m = −2 là giá tr c n tìm. Bài t p tương t : 1 1 1. Tìm giá tr c a m th hàm s y = x 3 − mx 2 + 2 m − 2 x có i m 3 2 ( ) 5 () c c ti u n m trên ư ng th ng d : y = x . 6 82
  19. Nguy n Phú Khánh – à L t 2. Tìm giá tr c a m ( ) th hàm s y = x 3 − 3 m + 1 x 2 + 3m − 2 có i m c c ti u n m trên Parabol P : y = x 2 . ( ) Ví d 20: Tìm giá tr c a m th hàm s ( ) ( y = −x + 3 m + 1 x − 3m + 7m − 1 x + m 2 − 1 có i m c c ti u t i m t 3 2 2 ) i m có hoành nh hơn 1. Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » . ( * Ta có y ' = −3x 2 + 6 m + 1 x − 3m 2 + 7m − 1 . ) ( ) Hàm s t c c ti u t i m t i m có hoành nh hơn 1 2 ( ) ( ⇔ y ' = −3x + 6 m + 1 x − 3m + 7m − 1 = 0 có hai nghi m x 1, x 2 tho 2 ) mãn i u ki n :  1 ⇔ −3.y ' 1 < 0 () ()    x < 1 < x () 1  ∆ ' > 0  1 2 ⇔  x 1 < x 2 ≤ 1  () 2  () 2 ⇔ −3.y ' 1 ≥ 0 ()  S   0 ( ) (  3 ) ⇔  ⇔  −3m + 12 > 0   2 (  3 3m + m − 4 ≥ 0 )  3m 2 + m − 4 ≥ 0   m + 1 < 1  m < 0    4 − < m < 1  3  4  m < 4 − < m < 1 ⇔   4 ⇔  3 ⇔m
  20. Nguy n Phú Khánh – à L t Ví d 21: Tìm giá tr c a m th hàm s y= 2 ( 2 ) x − m + 1 x − m + 4m − 2 . có c c tr ng th i tích các giá tr c c x −1 i và c c ti u t giá tr nh nh t. Gi i : * Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » \ 1 . {} * Ta có y ' = x 2 − 2x + m 2 − 3m + 3 = g x( ) ,x ≠ 1 2 2 ( x − 1) ( x − 1) ( ) g x = x 2 − 2x + m 2 − 3m + 3 Hàm s có c c i , c c ti u khi phương trình g (x ) = 0, x ≠ 1 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 khác 1 .  ∆ ' > 0  2 −m + 3m − 2 > 0 ⇔ ⇔ 2 ⇔1
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2