Chương 5: Động lực học chất lỏng thực

Chia sẻ: Nguyễn Minh Nhựt | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

146
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình Navier - Stokes, phương trình Bernoulli, phương pháp đồng dạng, tiêu chuẩn đồng dạng thủy động học là những nội dung chính trong tài liệu chương 5 "Động lực học chất lỏng thực". Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 5: Động lực học chất lỏng thực

Chương V. ðỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG THỰC 1. PHƯƠNG TRÌNH NAVIER – STOKES Chất lưu thực chuyển ñộng luôn có ma sát, tức là luôn tính ñến ảnh hưởng của nhớt. Khi ñó, lực mặt tác dụng lên phần tử chất lưu gồm áp lực và lực nhớt theo phương tiếp tuyến (lực ma sát). Ứng suất tiếp của chất lỏng xác ñịnh qua công thức Newton I du τ =µ (a) dn Dạng vertor của phương trình chuyển ñộng – Phương trình Navier - Stokes du 1 ν = F − grad p + grad ( div u ) + ν∆u (5.1) dt ρ 3 trong ñó µ ν= – Hệ số nhớt ñộng học của chất lỏng ρ ∂2 ∂2 ∂2 ∆ ≡ ∇ = 2 + 2 + 2 – Toán tử Laplace. 2 ∂x ∂y ∂z Dạng hình chiếu của phương trình Navier – Stokes. 1 ∂p ν ∂ ( div u ) du x = Fx − + + ν∆u x dt ρ ∂x 3 ∂x du y 1 ∂p ν ∂ ( div u ) = Fy − + + ν∆u y (5.2a) dt ρ ∂y 3 ∂y 1 ∂p ν ∂ ( div u ) du z = Fz − + + ν∆u z dt ρ ∂z 3 ∂z hay du x 1 ∂p ν ∂  ∂u x ∂u y ∂u z   ∂ 2u x ∂ 2u x ∂ 2u x  = Fx − + + + + ν  + +  dt ρ ∂x 3 ∂x  ∂x ∂y ∂z   ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2  du y 1 ∂p ν ∂  ∂u x ∂u y ∂u z   ∂ 2u y ∂ 2u y ∂ 2u y  = Fy − +  + +  + ν  2 + 2 + 2  (5.2b) dt ρ ∂y 3 ∂y  ∂x ∂y ∂z   ∂x ∂y ∂z  du z 1 ∂p ν ∂  ∂u x ∂u y ∂u z   ∂ 2u z ∂ 2 u z ∂ 2 u z  = Fz − + + + +ν  + +  dt ρ ∂z 3 ∂z  ∂x ∂y ∂z   ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2  ðối với chất lưu không nén ñược div u = 0 , phương trình chuyển ñộng trở thành 1
du 1 = F − grad p + ν∆u (5.3) dt ρ 2. PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI 2.1 ðối với ñường dòng của chất lỏng thực Trường hợp chất lỏng không nén ñược, chuyển ñộng dừng dưới tác dụng của lực khối có thế là trọng lực. Chất lỏng thực có tính nhớt và khi nó chuyển ñộng sinh ra ma sát trong làm cản trở chuyển ñộng do ñó có sự tổn thất một phần năng lượng. Vì vậy, u2 p + + z ≠ const , mà giảm dọc theo chiều dòng chảy, nghĩa là: 2g γ u12 p1 u 2 2 p2 + + z1 > + + z2 2g γ 2g γ Ký hiệu h12 là tổn hao năng lượng của 1 ñơn vị trọng lượng chất lỏng trên một ñơn vị ñường dòng từ vị trí “1” ñến vị trí “2”, thì phương trình Bernulli trên một ñường dòng bất kỳ của chất lỏng thực chuyển ñộng dừng dưới tác dụng của trọng lực: u12 p1 u 2 2 p2 + + z1 = + + z2 + h12 (5.4) 2g γ 2g γ 2.2 Ý nghĩa thủy lực của phương trình Bernulli - Z là ñộ cao trọng tâm mặt cắt ướt nguyên tố ñối với mặt chuẩn ñược gọi là ñộ cao hình học hoặc cột nước vị trí p - cột nước áp suất γ u2 - cột nước lưu tốc 2g α v2 p - + + z cột nước tổng – ñường năng 2g γ 2.3 ðộ dốc thủy lực và ñộ dốc ño áp của dòng nguyên tố ðộ dốc thủy lực là tỉ số hạ thấp của ñường tổng cột nước, tức ñường năng, ñối với ñộ dài của ñoạn dòng nguyên tố trên ñó thực hiện dộ hạ thấp, ký hiệu J’:  α v2 p  d + + z J =− ' dH =− 2g γ  dH12= dl dl dl ðộ dốc ño áp là tỷ số hạ thấp xuống hoặc lên cao của ñường ño áp ñối với ñộ dài của dòng nguyên tố trên ñó thực hiện sự hạ thấp hoặc lên cao. p  d  + z γ J p' = ±   dl 2
2.4 Phương trình Bernulli cho toàn dòng chất lỏng thực chảy ổn ñịnh Dòng chảy ñổi dần là dòng chảy ổn ñịnh, các ñường dòng gần là ñường thẳng song song. Mặt cắt ướt của dòng ñổi dần ñược coi là mặt phẳng. Dòng ñổi dần lực quán tính không ñáng kể, lực tác dụng chỉ là trọng lực, do ñó áp suất thủy ñộng không có thành phần tiếp tuyến trên các mặt cắt ướt, sự phân bố áp suất thủy ñộng hoàn toàn giống sự phân bố áp suất thủy tĩnh. Do ñó: p z + = const trên cùng một mặt cắt ướt (5.5) γ Giả thiết toàn dòng chảy thực là dòng chảy ổn ñịnh gồm vô số dòng nguyên tố. Trên toàn dòng chảy tại hai mặt cắt 1-1 và 2-2 có diện tích ω1 và ω2 . Ta lấy một dòng nguyên tố tùy ý, viết phương trình Bernulli của dòng nguyên tố chất lỏng thực. u12 p1 u 2 2 p2 + + z1 = + + z2 + h12 2g γ 2g γ 3
Gọi dQ – lưu lượng dòng nguyên tố. γ dQ - trọng lượng tương ứng. Nhân các số hạng của phương trình trên với γ dQ , sau ñó tích phân trên toàn mặt cắt ω1 và ω2 :  p1  u12  p2  u22 ∫ω  1 γ  + γ + ∫ω 2 g γ = ∫ω  2 γ  + γ + ∫ω 2 g γ dQ + ω∫ hwγ dQ ' z dQ dQ z dQ 1 1 2 2 2  p u2 Ta lần lượt giải quyết ba số hạng tích phân sau: ∫  z +  γ dQ; ∫ γ dQ; ∫ hw' γ dQ  γ  2gω ω ω  p  p  p - Tích phân thứ nhất: ∫  z +  γ .dQ = γ  z +  ∫ dQ = γ Q  z +  ω γ  γ ω  γ u2 - Tích phân thứ hai: ∫ γ .dQ ω 2g Gọi v là lưu tốc trung bình. Khi ñó vận tốc tại mỗi phần tử lưu chất: u = v ± ∆u . Có dQ = ud ω ( v ± ∆u ) 3 u2 γ ⇒ ∫ω 2 g γ .dQ = γ ω∫ 2 g dω = 2 g ω∫ v ± 3v ( ∆u ) ± ( ∆u )  dω 3 2 3 Có ( ∆u ) là vô cùng nhỏ bậc cao, nên: ∫  ± ( ∆u )  d ω = 0 3 3   ω  3 ( ∆u ) 2 d ω  u 2 γ 3  ∫  Cuối cùng ta ñược: ∫ω 2 g γ dQ = 2g v ω 1 + ω vω 2      3∫ ( ∆u ) d ω 2 u2 γ α v2 ðặt α = 1 + ω ∫ γ = α ω = γ 3 . Ta có: .dQ v Q v 2ω ω 2g 2g 2g α gọi là hệ số sửa chữa ñộng năng, còn gọi là hệ số Coriolit. Thường α lấy khoảng 1,05 ñến 1,10. - Tích phân thứ ba: Gọi hw là tổn thất năng lượng trung bình: ∫ hw' γ .dQ = γ Qhw Căn cứ vào kết qủa của ba tích phân trên, ta ñược  p  α v2  p  α v2 γ Q  z1 + 1  + γ Q 1 1 = γ Q  z2 + 1  + γ Q 2 2 + γ Qhw  γ  2g  γ  2g α1v12 p1 α 2 v22 p2 ⇒ + + z1 = + +z +h (5.6) γ 2g 2g γ 2 w Phương trình Bernulli của toàn dòng chảy ổn ñịnh của chất lỏng thực. 4
3. PHƯƠNG PHÁP ðỒNG DẠNG – TIÊU CHUẨN ðỒNG DẠNG THỦY ðỘNG HỌC. 1. Khái niệm Hai hiện tượng vật lý ñược gọi là ñồng dạng với nhau nếu chúng ñược mô tả bởi một phương trình hiện tượng (nếu có). Khi xác ñịnh một ñại lượng trong hiện tượng này thì có thể xác ñịnh ñại lượng tương ứng trong hiện tượng kia theo một quy luật xác ñịnh. Hay nói cách khác, các hiện tượng cùng bản chất vật lý gọi là ñồng dạng với nhau nếu như tất cả các ñại lượng ñặc trưng của chúng ñồng dạng, tức là: tạ các ñiểm tương ứng, trong các thời ñiểm tương ứng, tất cả các ñại lượng có hướng phải ñồng dạng hình học, tất cả các ñại lượng vô hướng phải tỷ lệ với nhau. 2. Phương pháp ñồng dạng Quá trình và hiện tượng vật lý có thể mô tả bằng những phương trình toán học. Gọi: - a là một ñại lượng ñặc trưng cho tính chất cơ học nào ñó của chất lỏng tại ñiểm khảo sát. - at là ñại lượng a cho dòng thực tế. - am là ñại lượng a cho dòng mô hình. am - a= là tỷ số ñồng dạng của ñại lượng a. at Trong cơ học chất lỏng (chất lưu nói chung), khái niệm ñồng dạng bao gồm 3 nội dung: a. ðồng dạng về hình học Hai hệ thống chất lỏng gọi là ñồng dạng hình học với nhau nếu các kích thước tương ứng của chúng tỷ lệ với nhau. x y z - Tỷ số ñồng dạng ñộ dài: λ= m= m = m xt yt zt S - Tỷ số ñồng dạng diện tích: S = m St b. ðồng dạng ñộng học - ðồng dạng ñộng học nếu quỹ ñạo chuyển ñộng của các phần tử chất lỏng tương ứng của chúng ñồng dạng hình học với nhau. - Giá trị vận tốc và gia tốc tại các ñiểm tương ứng tại các thời ñiểm tương ứng tỷ lệ với nhau: Tỷ số ñồng dạng vận tốc u u u u u = m = x m = ym = zm ut u xt u yt u zt Tỷ số ñồng dạng thời gian tm t = tt 5
Nói cách khác, ñồng dạng ñộng học là ñồng dạng hình học của tam giác tạo bởi các vector vận tốc (gia tốc) tại các ñiểm tương ứng. c. ðồng dạng ñộng lực học Hai hệ thống chất lưu gọi là ñồng dạng ñộng lực học với nhau nếu: - tại các ñiểm tương ứng có những lực cùng loại tác dụng - tỷ lệ giá trị của các lực cùng loại tác dụng tại các ñiểm tương ứng là như nhau trong toàn bộ thể tích hệ thống, - lực tác dụng lên hệ thống thực ñịnh hướng thế nào thì tương ứng ở mô hình cũng phải ñịnh dướng như vậy. Một số tỷ số ñồng dạng - Tỷ số ñồng dạng áp suất pm p= pt - Tỷ số ñồng dạng lực khối F F * = m Ft - Tỷ số ñồng dạng khối lượng riêng ρm ρ= ρt - Tỷ số ñồng dạng nhớt ñộng lực νm ν = νt 3. Các tiêu chuẩn ñồng dạng ñộng lực học u2 • Số Froude Fr = - tỷ số lực quán tính và trọng lực (khi chỉ có trọng gL lượng tác dụng). uL • Reynolds Re = - tỷ lệ giữa lực quán tính và lực ma sát (khi chỉ có lực ν ma sát tác dụng). p • Euler Eu = - tỷ lệ giữa áp lực và lực quán tính. ρu 2 L • Strukhan Str = - tỷ lệ lực quán tính cục bộ, trong ñó L ñại lượng ñặc uT trưng cho ñộ dài của dòng. ρ Lu 2 • Số Weber W = với σ là hệ số lực căng mặt ngoài. σ u p • Số Mach M = , với a = K là vận tốc âm, K là chỉ số ñoản nhiệt. a ρ 6
ðiều kiện cần cho hai dòng chất lỏng không nén ñược thực tế và mô hình ñồng dạng thủy lực là số Struhan, Froude, Euler, Reynolds… bằng nhau tương ứng. ðối với chất lỏng nén ñược thì hệ số Euler của chất lỏng là p 1 a2 1 1 Eu = = = ρV 2 K V 2 K M 2 Trong ñó: p a= K - vận tốc âm ρ Cp K= - là chỉ số ñoản nhiệt CV V M = - số Mach a ðiều kiện cần cho hai dòng chất lỏng nén ñược thực tế và mô hình ñồng dạng thủy lực là số Struhan, Froude, Euler, Reynolds, Mach bằng nhau tương ứng. Khi có tính ñến lực căng mặt ngoài thì tính ñến hệ số Weber. Ví dụ 1. Dòng nước (ν=0,01cm2/s) chảy trong ống ñược nghiên cứu bằng mô hình tỷ lệ 1/10. Mô hình dùng không khí ở nhiệt ñộ và áp suất bình thường (ν=0,15cm2/s). Tìm tỷ số vận tốc. (HD: có hệ số nhớt ν - ma sát – dùng tiêu chuẩn Reynolds) Ví dụ 2. Máy thủy lực ñược ñặc trưng bởi: ñường kính bánh xe công tắc D. cột áp H, tốc ñộ quay n, lưu lượng Q…Tìm tỷ số của tốc ñộ quay, lưu lượng của hai máy thủy lực ñồng dạng ñộng lực học. Biết hai máy ñều hoạt ñộng trong môi trường trọng lực như nhau. (HD: lực tác dụng chỉ là trọng lực – dùng tiêu chuẩn Froude) 7