CHUYÊN ĐỀ: TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 1
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) 2x2 + 3x + 1. b) x2 – 2x + 5. c) 4x2 – 4x – 3. d) x2 – 5x + 1. e) 5x2 + 7x + 9.
HD: Sử dụng phương pháp đề xuất bình phương đủ
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) 6 – x2 – 6x. b) 1 – x2 – 6x2. c) 4 – x2 + 2x. d) 4x – x2. e) 7 – 3x – x2.
HD: Sử dụng phương pháp đề xuất bình phương đủ.
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y = 2
1
x2x6
++
.
C1: Vì x2 + 2x + 6 = (x + 1)2 + 5 ≥ 5. Nên: y ≤
1
5
. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1.
C2: y = 2
1
x2x6
++
⇔ yx2 + 2yx + 6y – 1 = 0 có nghiệm ⇔ Δ’ = y – 5y2 ≥ 0 ⇔ 0 < y ≤
1
5
.
Dấu “=” xảy ra ⇔ x2 + 2x + 1 = 0 ⇔ x = –1( Thực chất là thay y =
1
5
vào phương trình theo x).
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y = 2
2
2x5
2x1
+
+
HD: Làm tương tự bài 3. y = 2
22
2x1444
115
1
2x12x1
++
=+£+=
++
. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0.
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2
2
x2x1
y
x4x5
-+
=
++
.
HD: 2
2
(x1)
y0
(x2)5
-
=³
++
. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = −1.
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
1
A
6x59x
=
--
.
HD: Biến đổi biểu thức trở thành: 2
21
A
2
4(3x1)
=³
--
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2
1
P
4x4x3
=
−+
. (Đề thi chuyên Nguyễn Tất Thành)
HD: Làm tương tự bài 6.
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 2
2
x2
x2
-
+
.
HD: Biến đổi biểu thức trở thành: 2
4
B11
x2
=-³
+
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4
2
x1
C
x
+
=
HD: Ta có: 2
2
1
Cx2
x
=+³
Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: y = 2
2
x2x2
xx1
--
++
.
C1: 222
22
3x2(xx1)3x
y2
xx1xx1
-++
==-
++++
⇒ 2
33
224
3
13
x4
24
-£-£=
æö
÷
ç
++
÷
ç÷
ç
èø
C2: Sử dụng phương trình bậc hai. Bạn đọc tự giải.
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2
2
xx1
A
x2x1
++
=
++
( x ≠ −1).
CHUYÊN ĐỀ: TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 2
HD: Đặt y = x + 1 ⇒ x = y – 1 ⇒
A
=
2
22
yy111
1y
yy
-+
=-+ .
Đặt z =
1
y
⇒ A = z2 – z + 1 = 2
133
z
244
æö
÷
ç
-+³
÷
ç÷
ç
èø
. Dấu “=” xảy ra: 1
zy2x1
2
=Û=Û=
.
Bài 12: Với x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
(x2)(x8)
A
x
++
=
HD: 2
x10x1616
Ax10
xx
æö
++
÷
ç
==++
÷
ç÷
ç
èø
. Vì: x .
16
x
= 16 = const ⇒
16
x
x
æö
÷
ç+
÷
ç
÷
ç
èø
nhỏ nhất ⇔ x2 = 16.
Tức là x = 4 (vì x > 0). Vậy: min A = 18.
Bài 13: Với x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
(x100)
A
x
+
=
HD: min B = 400 khi x = 100.
Bài 14: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
x
B
(x100)
=
+
C1: Đặt x + 100 = y ⇒ x = 100 − y.
22
y1001100
By
yy
-
==- . Đặt 1
z
y
=
.
⇒ B = z – 100z2 = 2
111
100z
400200400
æö
÷
ç
--£
÷
ç÷
ç
èø
. Dấu “=” xảy ra ⇔ z =
1
200
⇔y = 200⇔x = 100.
C2: Áp dụng bất đẳng thức: (a + b)2 ≥ 4ab: 2
xx1
B
400x400
(x100)
=£=
+
⇔ x = 100.
Bài 15: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
22
(xy)
A
xy
+
=
+
HD: 2
22
(xy)
A0
xy
+
=³
+
. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = −y ≠ 0.
A = 22
2xy2xy
11112
2xy
xy
+£+=+=
+
(vì x2 + y2 ≥ 2xy). Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y ≠ 0.
Bài 16: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2
2
2x4x1
B
x1
+-
=
+
.
HD: 222
22
3x3(x4x4)(x2)
B33
x1x1
+--+-
==-£
++
. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2.
222
22
4x4x12x2(2x1)
B22
x1x1
++--+
==-³-
++
. Dấu “=” xảy ra ⇔ x =
1
2
-
.
Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
22
22
4x2xy4y
Cxy
-+
=
+
HD: 2
22
(xy)
C33
xy
-
=+³
+
. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y ≠ 0.
2
22
(xy)
C55
xy
+
=-£
+
. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = −y ≠ 0.
Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2
x1
D
xx1
+
=
++
HD: 222
222
3x3x4x4xx1(x2)11
D
33
3(xx1)3(xx1)3(x11)
+++---+
===-³-
++++++
⇔ x = −2.
CHUYÊN ĐỀ: TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 3
222
22
xx1xx
D11
xx1xx1
++-
==-£
++++
⇔ x = 0.
Bài 19: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (3x − 1)2 – 4.| 3x − 1| + 5.
HD: Đặt |3x – 1|=y⇒A = y2 – 4y + 5 = (y – 2)2 + 1 ≥ 1⇔y = 2⇔| 3x – 1| = 2⇔x = 1 hoặc x =
1
3
-
.
Bài 20: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = | x − 3| + | x – 7 |
HD: Áp dụng | x + y | ≤ | x | + | y | . Dấu “=” xảy ra ⇔ xy ≥ 0. Với chú ý | A | = | −A |.
Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = | x2 + x + 3 | + | x2 + x − 6 |
HD: Tương tự bài 19.
Bài 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 22
x2x1x6x9
-++-+
HD: y = | x – 1 | + | x – 3 |. Giải tương tự bài 19.
Bài 23: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y =
22
(x1990)(x1991)
-+-
HD: Áp dụng tương tự bài 22.
Bài 24: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = x(x + 1)(x + 2)(x +3)
HD: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.
Bài 25: Cho y = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4). Tìm giá trị nhỏ nhất của y.
HD: làm tương tự bài 24.
Bài 26: Cho biểu thức M = x2 + y2 + 2z2 + t2. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị nguyên
không âm tương ứng của x, y, z, t cho biết chúng thỏa mãn đồng thời: 222
222
xyt21(1)
(2)
x3y4z21
ì
ï
-+=
ï
í
ï
++=
ï
î
.
HD: Cộng (1) và (2): 2(x2 + y2 + 2z2 + t2) – t2 = 122 ⇔ 2M = 122 + t2 ≥ 122. Suy ra: min M = 61.
Khi đó (x, y, z, t) = (5, 2, 4, 0). (Thi HSG quốc gia 1985 – 1986 bảng A)
Bài 27: Với những giá trị nào của x, y, z thì biểu thức: D = 2x + 3y – 4z đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm
giá trị nhỏ nhất đó biết x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:
2xy3z6(1)
3x4y3z4(2)
++=
+−=
(x, y, z > 0).
HD: Cộng (1) và (2): y = 2 – x thế vào (1) ⇒
4x
z
33
=-
. Thay x, z vào P: P =
x22
333
+³
(vì x ≥ 0)
Vậy: min P =
2
3
⇔ x = 0, y = 2 và z =
4
z
3
=
. (Thi chuyên Nguyễn Tất Thành)
Bài 28: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2. Biết rằng x, y là các số thực thỏa
mãn: x2 + y2 – xy – 4 = 0 (1).
HD: (1) ⇔ (x2 + y2) + (x2 – 2xy + y) = 8 ⇒ A = 8 – (x – y)2 ≤ 8.
(1) ⇔ 3A = 8 + (x + y)2 ≥ 8 ⇒ A ≥
8
3
.
Bài 29: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2. Biết rằng x, y là các số thực thỏa
mãn: 5x2 + 8xy + 5y2 = 36 (1).
HD: (1)⇔S + 4(x + y)2 = 36⇔S = 36 – 4(x + y)2 ≤ 36 ⇔ (x, y)=
(
)
(
)
32 ; 32 32 ; 32
-Ú-
(2) ⇔ 9S = 36 + 4(x – y)2 ≥ 36 ⇔ S ≥ 4 ⇔ x = y = ±
2
.
Bài 30: Cho (x, y) là nghiệm của phương trình x2 + 3y2 + 2xy – 10x – 14y + 18 = 0. Tìm các cặp số
(x, y) sao cho biểu thức S = x + y đạt giá trị lớn nhất? đạt giá trị nhỏ nhất?
HD: Đưa về dạng (x + y – 5)2 = 9 – 2(y – 1)2 ≤ 9 ⇔ |x + y – 5| ≤ 3 ⇔ 2 ≤ x + y ≤ 8
⇔
max S= 8(7 ; 1)
Û
.
min S= 2(1 ; 1)
Û
.
Bài 31: Cho 1 ≤ m ≤ 2 và 1 ≤ n ≤ 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A = 33
2
n
m
)nm(
+
+
Đề thi HSG cấp tỉnh năm 2006 - 2007
CHUYÊN ĐỀ: TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 4
HD: A = )nmnm)(nm(
)nm(
22
2
+−+
+=mn)nm(
nm
2+−
+
≤
mn
nm
+
=
n
1
m
1+ ≤ 1 + 1 = 2 ⇔ m = n = 1.
Bài 32: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức: A = x + y.
HD: (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) = 2 ⇒ A2 ≤ 2 ⇔
2A2
-££
.
Bài 33: Cho a + b = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) A = a2 + b2 b) B = a4 + b4 c) C = a8 + b8.
HD: a) Làm tương tự bài 32. b) a4 + b4 ≥ 2a2b2. Cộng vào hai vế a4 + b4. c) Tương tự.
Bài 34: Cho 2x + y = 6.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x2 + y2
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = xy
HD: Thay y = 6 – 2x vào biểu thức ⇒ sử dụng phương pháp bình phương đúng.
Bài 34: Cho x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + y2 + z2.
HD: Đặt x = 1 + a, y = 1 + b, z = 1 + c ⇒ a + b + c = 0 ⇒ A = 3 + a2 + b2 + c2 ≥ 3 ⇔ x = y = z = 1.
Bài 35: Cho x + 3y = 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + y2.
HD: Thay x = 10 – 3y vào A ⇒ kết quả: A = 10(y – 3)2 + 10 ≥ 10 ⇔ x = 1, y = 3.
Bài 36: Cho x + 2y = 8. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = xy.
HD: Tương tự bài 35
Bài 37: Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x3 + y3 + 2xy.
HD: x2 + y2 = 2 – 2xy ⇒ A = 2(x2 + y2) ≥ (x + y)2 = 4 ⇔ x = y = 1.
Bài 38: Cho hai số dương x, y có x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của B =
22
11
11
xy
æö
æö
÷
ç
÷
ç
÷
--
ç
÷
ç
÷
֍
ç
÷
ç
èø
èø
.
HD: Biến đổi B = 1 +
2
xy
. Ta có: 1 = (x + y)2 ≥ 4xy ⇒ 2
8
xy
³
⇒ B ≥ 9 ⇔ x = y =
1
2
.
Bài 39: Tìm giá trị của x để biểu thức y = x
x1993
--
đạt giá trị nhỏ nhất.
HD: TXĐ: { x ∈ R, x ≥ 1993 }. y =
2
113
x199319931992
244
æö
÷
ç--+-³
÷
ç÷
ç
èø
⇔
1
x1993
2
-=
.
Bài 40: Tìm giá trị nhỏ nhất của: y = (x – ay)2 + 6(x – ay) + x2 + 16y2 – 8xy + 2x – 8y + 10 (x, y, a
là các số nguyên).
HD: Biến đổi y = (x – ay + 3)2 + (x – 4y + 1)2 ≥ 0. Dấu “=” xảy ra ⇔
xay30(1)
x4y10(2)
ì
-+=
ï
ï
í
ï
-+=
ï
î
. Từ (1)
và (2) ⇒ (a – 4)y = 2 với x, y, a nguyên ⇒ (x, y, a) = (3, 1, 6), (7, 2, 5), (−5, −1, 2), (−9, −2, 3).
Bài 41: Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: M = x + 2y.
HD: Áp dụng Bunhiaxcốpki: (x + 2y)2 ≤ (x2 + 4y2)(12 + 12) = 50.
Bài 42: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y = xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x + y.
HD: x + y ≥ 2
2xyxy2xy(xy)4xy4xy4
Þ³Þ³Þ³Þ+³
⇔ x = y = 2.
Bài 43:
a) Trong tập hợp các hình chữ nhật có cùng chu vi, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
b) Trong tập hợp các hình chữ nhật có cùng diện tích, hãy tìm hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
HD: a) p = a + b = const. ⇒ 4S = p2 – (a – b)2 ≤ p2 ⇔ a = b
b) S = ab = const ⇒ p = a + b ≥ 2
ab
= 2
S
⇔ a = b.
Bài 44: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) y =
x24x
-+-
. b) y =
3tt1
-+-
HD: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiaxcốpki. Xét y2 .
Bài 45: Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = a3 + b3 + ab.
HD: Biến đổi, đồng thời thay a + b = 1 và a = 1 – b. ta được: Q = 2a2 – 2a + 1 ⇒ kết quả.
