zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị đại số

Chia sẻ: Khánh Thành | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:25

Báo xấu

39
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm “Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị đại số” để nghiên cứu nhằm tìm ra những sai lầm cơ bản, tìm hiểu nguyên nhân và hướng khắc phục, giúp học sinh tự tin hơn, chính xác hơn khi giải dạng toán này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị đại số

Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị Đại số PHẦN MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài: Toán học là một môn khoa học tự nhiên, nó ra đời và phát triển gắn liền với sự phát triển của xã hội loài người. Từ xa xưa con người đã biết đến Toán học và khoa học đã khẳng định rằng Toán học là nền tảng của nhiều môn khoa học khác, các ứng dụng của toán học đưa lại hiệu quả to lớn trong đời sống xã hội và là nền tảng tư duy tri thức rèn luyện kỹ năng, kỷ xảo, phát triển trí tuệ, phẩm chất đạo đức cho mỗi con người. Do đó việc dạy và học bộ môn Toán không chỉ dừng lại ở việc học thuộc bài toán mà phải phát huy năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh, trang bị cho học sinh các kỹ năng cần thiết để học sinh có thể vận dụng một cách linh hoạt vào thực tiễn cuộc sống. Hơn nữa việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông phải hướng đến đào tạo nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài đáp ứng yêu cầu của xã hội trong thời kỳ hội nhập quốc tế. Nó đòi hỏi mỗi người giáo viên phải chú trọng đến việc thiết kế và hướng dẫn học sinh thực hiện các dạng bài tập phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng, động viên khuyến khích, tạo cơ hội và điều kiện cho học sinh tham gia một cách tích cực, chủ động, sáng tạo vào quá trình khám phá và lĩnh hội nội dung bài học, chú ý khai thác vốn kiến thức, kinh nghiệm và kĩ năng đã có của học sinh, bồi dưỡng hứng thú, nhu cầu hành động và thái độ tự tin trong học tập của học sinh, góp phần phát triển tối đa tiềm năng của bản thân. Toán học mang tính chính xác rất cao, một bài toán có thể có nhiều cách giải song nó chỉ có một đáp số duy nhất. Do đó trong quá trình dạy học toán, giáo viên cần phân tích, tìm tòi và giúp học sinh phát hiện bài tập đã cho thuộc dạng toán nào để vận dụng phương pháp giải cho phù hợp. Trong quá trình giải toán, học sinh thường mắc phải những sai lầm mà chính học sinh cũng không phát hiện được nên vẫn cứ nghĩ rằng cách giải của mình là đúng. Trong nhiều năm tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi môn Toán, bản thân tôi nhận thấy dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (gọi là bài toán cực trị đại số) thì học sinh thường mắc phải nhiều sai lầm. Từ lý do đó nên tôi chọn sáng kiến kinh nghiệm “Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị đại số” để nghiên cứu nhằm tìm ra những sai lầm cơ bản, tìm hiểu nguyên nhân và hướng khắc phục, giúp học sinh tự tin hơn, chính xác hơn khi giải dạng toán này. Đổi mới phương pháp dạy học đã và đang diễn ra một cách mạnh mẽ ở tất cả các trường và với mỗi một người giáo viên. Đã có nhiều nhà khoa học, nhiều nhà quản lý giáo dục và nhiều giáo viên nghiên cứu, đưa ra những sáng kiến hay trong việc đổi mới phương pháp dạy học để nâng cao hiệu quả giáo dục. Điểm mới của đề tài này tôi muốn đề cập đến đó là nghiên cứu tìm ra những sai lầm cơ bản trong việc trình bày bài giải của một bài toán cực trị, 1
Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị Đại số từ đó tìm ra nguyên nhân và phương pháp khắc phục cụ thể cho từng sai lầm. Giúp học sinh nắm chắc hơn và tự sửa chữa cho mình trong quá trình giải toán, nhằm gây hứng thú học tập, tạo ra niềm say mê môn học trong mỗi một học sinh. Đồng thời giúp tất cả các đối tượng học sinh nắm được phương pháp học tập để nắm thật chắc chắn kiến thức môn học, đặc biệt là bồi dưỡng, đào tạo nên những học sinh giỏi thực sự, tạo nguồn nhân lực tương lai cho đất nước. II. Phạm vi áp dụng: Sáng kiến này được áp dụng trong việc dạy học phân môn Đại số cấp THCS, trong việc ôn luyện cho học sinh dự thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT. Đặc biệt áp dụng trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao chất lượng đội tuyển dự thi học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh. PHẦN NỘI DUNG I. Thực trạng nội dung cần nghiên cứu: Thực tế cho thấy Toán học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là chiếc chìa khoá vạn năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho mọi ngành khoa học, kinh tế, quân sự ... trong cuộc sống. Chính vì vậy việc dạy và học bộ môn toán trong nhà trường đóng vai trò vô cùng quan trọng. Dạy toán chiếm vị trí số một trong các môn học của nhà trường, đối với giáo viên, dạy toán là niềm tự hào song đó cũng là thử thách vô cùng lớn. Để dạy toán và học toán tốt thì thầy và trò không ngừng rèn luyện và đầu tư trí và lực vào nghiên cứu học hỏi. Học và dạy toán với chương trình cơ bản đã rất khó, xong dạy và học toán trong đào tạo mũi nhọn lại vô cùng gian truân, việc học và dạy không dừng ở việc người học và người dạy phải có trí tuệ nhất định mà cả thầy và trò phải dày công đầu tư vào nghiên cứu các dạng toán, thuật toán vận dụng hợp lý các tính chất toán học do các nhà toán học đã nghiên cứu vào giải toán, ngoài ra người dạy và học toán phải tự rèn luyện và nghiên cứu để có những công trình toán của riêng mình cùng góp sức để đưa bộ môn toán ngày càng phát triển. Qua quá trình giảng dạy nhiều năm bản thân tôi thấy việc hình thành cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho bài toán hoặc mỗi dạng toán nào đó là công việc rất khó. Đứng trước một bài toán nếu người thầy chưa hiểu, chưa có hướng giải thì ta hướng dẫn học sinh như thế nào, thật khó trong những tình huống như thế người thầy sẽ mất vai trò chủ đạo trong việc dạy học sinh, còn học sinh đã không giải được toán nhưng lại mất niềm tin ở 2
Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị Đại số thầy và cảm thấy việc học toán là cực hình, là khó vô cùng không thể học được. Toán học là bộ môn khoa học của nhân loại, một bộ môn khoa học đa dạng về thể loại. Không phải cứ dạy toán và học toán là biết hết, là đã đến đỉnh cao của trí tuệ nhân loại. Khi trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi tôi tự thấy kiến thức toán của bản thân còn rất hạn chế, nhất là những bài toán về cực trị trong đại số. Đây là dạng toán lớn, có nhiều cách thức để giải thường hay xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT. Tuy nhiên, nhiều học sinh không biết giải như thế nào? Có những phương pháp nào? Trong khi các tài liệu viết về vấn đề này rất hạn chế hoặc chưa hệ thống thành các phương pháp nhất định, gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, dẫn đến học sinh dễ mắc phải các sai lầm. Vì vậy việc nghiên cứu các sai lầm của học sinh khi giải các bài toán cực trị đại số là rất thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, đặc biệt là chất lượng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trường THCS. Tôi đã tiến hành khảo sát về chất lượng làm bài thi của các em thuộc đội tuyển bồi dưỡng HSG lớp 9 cấp tỉnh, kết quả thu được như sau: Bảng 1: Kết quả học sinh làm bài tập về cực trị đại số trong đề thi HSG cấp tỉnh Chưa Đã làm Làm được Số HS làm nhưng định Làm được Năm học nhưng tham gia được hướng cách cả bài chưa xong giải sai 20142015 20 05 06 05 04 20152016 20 06 06 04 03 Bước vào đầu năm học tôi tiến hành khảo sát trên 20 học sinh đang tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi mà tôi đang trực tiếp giảng dạy, với bài toán có kiến thức trên mức độ đề tuyển sinh nhưng chưa đến mức độ đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thang điểm 1,5. Kết quả thu được như sau: Bảng 2: Kết quả khảo sát 20 học sinh đang tham gia bồi dưỡng Chưa làm Đã làm nhưng định Làm được nhưng Làm được cả được hướng cách giải sai chưa xong bài SL % SL % SL % SL % 10 50,0% 03 15,0% 5 25,0% 2 10,0% 3
Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị Đại số Qua công tác chấm chữa và tìm hiểu học sinh tôi nhận thấy có một số nguyên nhân như sau: Học sinh chưa có đường lối rõ ràng khi giải bài toán tìm cực trị Đại số. Học sinh chưa nắm chắc các tính chất của bất đẳng thức vì bài toán cực trị liên quan rất chặt chẽ với bài toán chứng minh bất đẳng thức. Chưa hệ thống, phân loại được các dạng bài tập và phương pháp giải. Không đọc kĩ đầu bài, chưa hiểu rõ bài toán đã đã vội đi ngay vào giải toán. Không biết đề cập bài toán theo nhiều cách giải khác nhau, không chịu nghiên cứu kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết trong từng bài toán, không sử dụng hết giả thiết bài toán, không biết linh hoạt vận dụng kiến thức đã có. Không tự tư duy lại bài toán mình làm sau khi đã giải xong xem đã đúng chưa. Qua đó tôi rút ra được một số vấn đề cần được khắc phục trong việc đổi mới phương pháp dạy học như sau: Phải trang bị cho học sinh nắm chắc chắn các kiến thức cơ bản về bài toán tìm cực trị Đại số và các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Phải phân loại được các dạng toán và xây dựng phương pháp giải phù hợp cho từng dạng toán cực trị Tìm ra các sai lầm cơ bản và hướng khắc phục cho từng sai lầm đó Yêu cầu học sinh thực hành tư duy tìm hướng giải và trình bày bài giải Với đặc trưng của công tác bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy có nhiều thuận lợi để triển khai nghiên cứu, áp dụng sáng kiến: “Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị đại số” . Sau đây tôi xin đưa ra một số giải pháp: II. Các giải pháp: 1, Giải pháp 1: Trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản về cực trị Đại số cũng như các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức: 1.1, Kiến thức cơ bản về cực trị đại số: 1.1.1, Định nghĩa. a, Định nghĩa GTNN (Min): Cho biểu thức một biến A(x) được xác định trên tập D. Nếu mọi giá trị của x D mà A(x) m (với m R) (1), dấu đẳng thức xảy ra tại x = x0 và x0 D (2) ta nói A(x) có giá trị nhỏ nhất là k, tại x = x0 4
Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị Đại số Ký hiệu: Min A(x) = m, tại x = x0 b, Định nghĩa GTLN (Max): Cho biểu thức một biến A(x) được xác định trên tập D. Nếu mọi giá trị của x D mà A(x) ≤ n ( với n R) (1), dấu đẳng thức xảy ra tại x = x 0 và x0 D (2) ta nói A(x) có giá trị lớn nhất là n, tại x = x0 Ký hiệu: MaxA(x) = n, tại x = x0 c, Chú ý: Hai định nghĩa trên vẫn đúng với biểu thức hai biến A(x; y) trở lên Để tồn tại cực trị thì điều kiện (1) và (2) đồng thời thỏa mãn Ví dụ minh họa: Ta xét biểu thức A = (x 1) 2 + (x 3)2. Rõ ràng A 0, dấu �x 1 = 0 �x = 1 bằng xảy ra khi: � � (điều này vô lý). �x 3 = 0 �x = 3 Nên ta không thể kết luận MinA = 0 được. * Cách giải đúng: A = (x 1)2 + (x 3)2 = 2x2 8x + 10 = 2(x 2)2 + 2 2 Dấu bằng xảy ra khi x = 2. Vậy MinA = 2, khi x = 2. 1.1.2, Một số tính chất của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: Tính chất 1: Giả sử A B khi đó ta có: a, Max x A f ( x) max f ( x) x B b, Min x A f ( x) min f ( x) x B Tính chất 2: Nếu f ( x, y ) 0 với mọi x thuộc D , ta có: a, Max f ( x) max f 2 ( x) b, Min f ( x) min f 2 ( x) x D x D x D x D Tính chất 3: a, Max x�D ( f ( x) + g ( x) ) Max x�D f ( x ) + Max f ( x ) (1) x�D 1 2 b, Min x�D ( f ( x) + g ( x) ) Min x�D f ( x) + Min f ( x) (2) x�D 1 2 Dấu bằng trong (1) xẩy ra khi có ít nhất một điểm x0 mà tại đó f (x) và g (x) cùng đạt giá trị lớn nhất. Tương tự nếu tồn tại x0 thuộc D mà tại đó f , g cùng đạt giá trị nhỏ nhất thì (2) có dấu bằng. Tính chất 4: Max x D f(x) = min (f(x)) x D 1 Tính chất 5: Nếu đặt M Max f (x) , m x D min f ( x) thì Max f ( x) x D x D Max M , m . x D Tính chất 6: Giả sử D1 x D; f ( x) 0 và D2 x D; f ( x) 0 thì Min x D f ( x) Min max f ( x); min f ( x) x D1 x D2 5
Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị Đại số Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một hàm số, bao giờ cũng phải tìm TXĐ. Cùng một hàm số f (x) nhưng xét trên hai TXĐ khác nhau thì nói chung giá trị lớn nhất tương ứng khác nhau. Để cho phù hợp với chương trình các lớp phổ thông cơ sở, ta giả thiết là các bài toán đang xét đều tồn tại giá trị cực trị trên một tập hợp nào đó. 1.2, Kiến thức cơ bản về bất đẳng thức: 1.2.1, Định nghĩa: Hệ thức có dạng a > b (hoặc a b b > a Tính chất bắc cầu: a > b và b > c a > c Cộng hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số: a > b a + c > b + c Nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số: + Nếu a > b và c > 0 thì a.c > b.c + Nếu a > b và c d a + c > b + d Chú ý: Không được trừ vế theo vế của hai bất đẳng thức cùng chiều Trừ vế theo vế của hai bất đẳng thức ngược chiều ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ: a > b và c b – d Nhân vế theo vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm a > b ≥ 0 và c > d ≥ 0 a.c > b.d Nâng lên lũy thừa bậc n nguyên dương hai vế của bất đẳng thức a > b > 0 an > bn (n N) a > b an > bn với mọi n lẻ; a > b an > bn với n chẵn So sánh hai lũy thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương Nếu m > n > 0 thì: a > 1 am > an a = 1 am = an 0
Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị Đại số Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu: 1 1 a > b và ab > 0
Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị Đại số Bất đẳng thức Trêbưsép ta có: a1 a2 ..... a n a1 +a 2 +...+a n b1 +b 2 +....+b n a1b1 +a 2 b 2 +....+a n b n a, Nếu thì . . b1 b2 ..... b n n n n a1 = a 2 = .... = a n Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi b1 = b 2 = .... = b n a1 a2 ..... a n a1 +a 2 +...+a n b1 +b 2 +....+b n a1b1 +a 2 b 2 +....+a n b n b, Nếu thì . b1 b2 ..... b n n n n a1 = a 2 = .... = a n Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi b1 = b 2 = .... = b n 2. Giải pháp 2: Phân tích những sai lầm và nêu hướng khắc phục 2.1, Sai lầm trong chứng minh điều kiện (1): 3 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 2 4x 4x + 5 Lời giải sai: Phân thức A có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. 3 3 3 1 Ta có: 4x 2 4x + 5 = (2x 1) 2 + 4 4, ∀x ∀2 , x � MaxA = � x = 4x 4x + 5 4 4 2 Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhưng khi khẳng định “A có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà chưa đưa ra nhận xét tử mẫu là các số dương. Ta đưa ra một ví dụ: Xét biểu thức 1 B = 2 x 4 Với lập luận “phân thức B có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi 1 mẫu nhỏ nhất” do mẫu nhỏ nhất bằng 4 khi x = 0, ta s ẽ đi đến: Max B = 4 1 1 không phải là giá trị lớn nhất của B, chẳng hạn với x = 3 thì B = . 5 4 Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức: Đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh 2 phân số có tử số và mẫu số là số tự nhiên sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên. Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: 4x 2 4x + 5 = (2x 1)2 + 4 4 nên tử và mẫu của A là các số dương. Hoặc từ nhận xét trên suy ra A > 0, do đó A lớn 1 nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất 4x 2 4x + 5 nhỏ nhất. A Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x 2 + y 2 biết x + y = 4 8
Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị Đại số Lời giải sai: Ta có: A = x 2 + y 2 2xy Do đó A nhỏ nhất x2 + y2 = 2xy x = y = 2 Khi đó Min A = 22 + 22 = 8 Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhưng lập luận mắc sai lầm. Ta mới chứng minh được f(x, y) g(x, y) , chứ chưa chứng minh được f(x, y) m với m là hằng số. Ta đưa ra một ví dụ: Với lập luận như trên, từ bất đẳng thức đúng x 2 ≥ 4x 4 sẽ suy ra: x2 nhỏ nhất � x 2 = 4x 4 � (x 2) 2 = 0 � x = 2 Minx 2 = 4 x = 2 Dễ thấy kết quả đúng phải là: Minx 2 = 0 x = 0 Ta có: ( x + y ) = 42 2 Lời giải đúng: x 2 + 2xy + y 2 = 16 (1) ( x y ) 2 Ta lại có: �۳ 0 x 2 2xy + y 2 0 (2) Từ (1) và (2) : 2 ( x + y ) �۳ 2 16 x 2 + y 2 8 . Vậy Min A = 8 x = y = 2 2.2, Sai lầm trong chứng minh điều kiện (2): Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x + x 2 1� 1 � 1� 1 1 Lời giải sai: A = x + x = � �x + x + � = � x + � . Vậy Min A = � 4� 4 � 2� 4 4 1 Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh A chưa chỉ ra trường hợp xẩy ra 4 1 dấu đẳng thức. Nếu xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi x = vô lý. 2 Lời giải đúng: Để tồn tại x phải có x ≥ 0, Do đó A = x + x 0 , Min A = 0 x = 0 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của: A = xyz ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) với x, y, z ≥ 0 và x + y + z = 1 ( x + y ) ta có 2 Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: ab 4 ( x + y ) z ( x + y + z ) = 1 2 4 ( y + z ) x ( x + y + z ) = 1 2 4 ( z + x ) y ( x + y + z ) = 1 2 1 Nhân từng vế ta có 64xyz ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) 1 Max A = 64 Phân tích sai l ầm: Sai lầm cũng ở chỗ chưa chỉ ra được trường hợp xẩy ra x + y = z dấu đẳng thứy + z = x c. Điều kiện để là: z + x = y 9 x + y + z = 1 x, y, z 0
Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị Đại số x = y = z = 0 x + y + z = 1 mâu thuẩn x, y, z 0 Lời giải đúng: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: 1 = x + y + z 3 3 xyz (1) 2 = ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + x ) 3 3 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) (2) Nhân từng vế (1) với (2) (do 2 vế đều không âm) 3 �2 � 9 xyz ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) 2 �۳ 3 2 9 A 3 A �� 9 � 3 2� 1 Vậy MaxA = � �� x = y = z = �9 � 3 2.3, Sai lầm khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khác nhau: Ví dụ 5: Cho x, y là các số dương thỏa mãn: x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất 1 4 của biểu thức: A = + ? x y Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có 1 4 1 4 4 1 4 A = + 2 . = , Dấu "=" xảy ra = y = 4x x y x y xy x y x + y 1 1 Mặt khác xy �2 = 2 2 , Dấu "=" xảy ra x = y xy 4 1 nên A 4. 4.2 = 8 . Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 8. xy xy Phân tích sai lầm: Ta thấy khi áp dụng hai bất đẳng thức trên, dấu "=" không đồng thời xảy ra Lời giải đúng: 1 4 �1 4� y 4x Vì x + y = 1 nên ta có A = + = ( x + y ) � + � = 5 + + x y �x y� x y Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có y 4x y 4x y 4x + 2 . = 4 , Dấu "=" xảy ra = y = 2x x y x y x y y 4x Do đó A = 5 + + 5 + 4 = 9 x y 10
Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị Đại số 1 2 Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 9 khi y = 2x và x + y = 1 x = ; y = 3 3 Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác nhau trong 1 bài toán thì ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời xảy ra dấu bằng không. Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng. 2.4, Sai lầm khi không sử dụng hết điều kiện của bài toán: Ví dụ 6: Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất 2 2 1� � 1� của biểu thức: B = � �x + � + �y + �? � x� � y� Lời giải sai: 1 1 1 Áp dụng bđt côsi cho hai số không âm x, Ta có: x + 2 x. = 2 (1) x x x 1 1 1 Áp dụng bđ t côsi cho hai số không âm y, Ta có: y + 2 y. = 2 (2) y y y Từ (1) và (2) =>A 8 => Min A = 8 1 Phân tích sai lầm: Đẳng thức xảy ra ở (1) khi = x x 2 = 1 x 1 Đẳng thức sảy ra ở (2) khi = y y 2 = 1 . y Từ đó đẳng thức xảy ra thì x = y = 1 không thỏa mãn vì x + y = 1 Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có: x + y 1 1 � xy xy xy 2 2 4 2 2 1 � �1 � Ta có : A = 4 + x +y + � 2 2 � �+ � �. �x � �y � 1 1 1 1 1 2 Khi đó: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy 1 = (1); 2 + 2 2 2 2 = 8 (2). 2 2 x y x .y xy 1 25 25 1 Từ (1) và (2) =>A 8 + +4 = =>Min A = khi x=y = 2 2 2 2 Lưu ý: Khi giải bài toán mà không sử dụng hết điều kiện của đầu bài thì cần kiểm tra lại giả thiết. Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng. 2.5, Sai lầm khi sử dụng bất đẳng thức với các biểu thức bị hạn chế: Ví dụ 7: Cho x, y là các số thực thỏa mãn x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức C = 1 + x 2 + y ? 11
Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị Đại số Lời giải sai: Với hai số thực a, b bất kỳ ta có: ( ) 2 a 2 + b 2 = ( a + b ) + ( a b ) 2 2 ( a + b ) 2 ( ) 2 Áp dụng với a = 1 + x 2 ; b = y ta có C2 = 1 + x 2 + y 2 ( ) 2 1 + x 2 + y 2 = 4 Do đó C2 = 4 � 2 C 2 . Vậy MinC = 2 và MaxC = 2 Phân tích sai lầm: Ta thấy 1 + x 2 0 nên C = 4 khi và chỉ khi 1 + x = y 2 2 1 + x 2 = y 2 với y ≥ 0 Mà theo giả thiết x2 + y2 = 1 nên x = 0, y = 1, khi đó C = 2, do đó MinC = 2 là không thỏa mãn. Vậy sai lầm xảy ra ở đâu? Ta thấy trong bất đẳng thức ( a + b ) 2 ( 2 a 2 + b 2 �� ) ( 2 a 2 + b 2 ) ( a + b ) 2 ( 2 a 2 + b 2 ) thì dấu bằng thứ nhất xảy ra khi và chỉ khi a = b ≤ 0; còn dấu “=” thứ hai xảy ra khi và chỉ khi a = b ≥ 0. Nếu a, b có giá trị bị hạn chế thì dấu bằng trong các bất đẳng thức trên có thể không xảy ra. Lời giải đúng: Vì x2 + y2 = 1 nên y ≥ 1, mặt khác 1 + x 2 1 nên C = 1 + x + y 0 2 Do đó MinC = 0 khi x = 1 và y = 1 2.6, Sai lầm khi sử dụng tính chất của dấu giá trị tuyệt đối: Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ? Lời giải sai: Áp dụng a + b a + b . Dấu ‘‘=’’ xảy ra ab ≥ 0 ta có x 1 + x 2 = x 1 + 2 x x 1 + 2 x = 1 , Dấu “=” xảy ra 1 x 2 x 3 + x 4 = x 3 + 4 x x 3 + 4 x = 1 , Dấu “=” xảy ra 3 x 4 Do đó D = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 1 + 1 = 2 Phân tích sai lầm: Ta thấy không có giá trị của x để MinD = 2 Lưu ý rằng: Nếu a ≤ b thì x a + x b b a , Dấu “=” xảy ra a x b Lời giải đúng: Áp dụng a + b a + b . Dấu ‘‘=’’ xảy ra ab ≥ 0 ta có x 1 + x 4 = x 1 + 4 x x 1 + 4 x = 3 , Dấu “=” xảy ra 1 x 4 x 2 + x 3 = x 2 + 3 x x 2 + 3 x = 1 , Dấu “=” xảy ra 2 x 3 12
Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị Đại số Do đó D = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 3 + 1 = 4 , Dấu “=” xảy ra 2 x 3 2.7, Sai lầm khi sử dụng các bất đẳng thức ngược chiều nhau: Ví dụ 9: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 1. x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = + ? 1 x 1 y Lời giải sai: Từ giả thiết ta suy ra 0
Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị Đại số Lời giải sai: Điều kiện 1 ≤ x ≤ 3 Đặt t = x + 1 + 3 x ta có t 2 = 4 + 2 ( x + 1) ( 3 x ) t 2 4 ( x + 1) ( 3 x ) = 2 ( t 1) 5 2 Ta có F = ( x + 1) ( 3 x ) ( ) x + 1 + 3 x = t 2 4 t = t 2 2t 4 = 5 2 2 2 2 5 Vậy MinF = . Dấu “=” xảy ra ra khi t = 1 2 Phân tích sai lầm: Ta thấy t 2 = 4 + 2 ( x + 1) ( 3 x ) 4 mà t ≥ 0 nên t ≥ 2. Do đó không thể có dấu “=” xảy ra khi t = 1 Lời giải đúng: Ta xét (x + 1)(3 – x) = x2 + 2x + 3 = 4 – (x – 1)2 Vì 1 ≤ x ≤ 3 nên 2 ≤ x 1≤ 2 (x – 1)2 ≤ 4 hay (x + 1)(3 – x) ≤ 4 Do đó t 2 = 4 + 2 ( x + 1) ( 3 x ) � 4 + 2 � 4 = 4 2 t 2 2 Vậy F = ( x + 1) ( 3 x ) ( x + 1 + 3 x ) = t 2 4 t 2 2t 4 t = −2 2 2 Dâu “=” xảy ra khi và chỉ khi t = 2 x = 1 hoặc x = 3 2.9, Sai lầm khi sử dụng bất đẳng thức Côsi và khắc phục bằng kỹ thuật tách số: 1 Ví dụ 11: Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2x + ? x2 Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có: 1 1 2 1 1 1 P = 2x + 2 2x. = 2 , dấu “=” xảy ra � 2x = 2 � x 3 = � x = 3 x2 x 2 x x 2 2 2 1 Vậy MinP = 2 = 2 6 16 đạt được khi và chỉ khi x = 3 x 2 Phân tích sai lầm: Ta thấy trong cách giải trên đã áp dụng bất đẳng thức Côsi nhưng vế phải vẫn còn biến x chưa phải là hằng số nên không thể kết luận giá trị nhỏ nhất của P được Lời giải đúng: Để giải được bài toán trên ta phải sử dụng đến kỹ thuật tách số rồi áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương 1 1 1 Ta có P = x + x + 3 3 x.x = 3 . dấu “=” xảy ra � x = 2 � x = 1 x2 x 2 x Vậy MinP = 3 khi và chỉ khi x = 1 Ví dụ 12: Cho x > 0, y > 0 và x + y ≤ 1. 14
Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị Đại số 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = xy + ? xy Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có: 9 9 Q = xy + 2 xy. = 2.3 = 6 xy xy 9 � ( xy ) = 32 � xy = 3 ( x > 0, y > 0 ) 2 Dấu “=” xảy ra � xy = xy Phân tích sai lầm: Trong lời giải trên đã không sử dụng giả thiết x + y ≤ 1 nên để dấu “=” xảy ra thì xy = 3 và x + y ≤ 1. Ta thấy với x > 0, y > 0 thì không có giá trị nào của x, y để thỏa mãn xy = 3 và x + y ≤ 1 1 1 1 Lời giải đúng: Ta có 1 �� x + y 2 xy 0 0, y > 0 và x + y ≤ . 3 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y + + ? x y Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có: 1 1 � 1� � 1� 1 1 M = x + y + + = �x + � + �y + � 2 x. + 2 y. = 4 x y � x� � y� x y Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1 Phân tích sai lầm: Ta thấy trong lời giải trên dấu “=” xảy ra x = y = 1 4 khi đó x + y = 2 không thỏa mãn điều kiện x + y ≤ 3 1 4 5 1 4 5 Lời giải đúng: Sử dụng kỹ thuật tách số = + ; = + ta có: x 9x 9x y 9x 9x � 4 � � 4 � 5 �1 1� 4 4 5 4 M = �x + �+ �y + � + � + � 2 x. + 2 y. + � 9x � � 9y � 9 �x y� 9x 9y 9 x + y 1 1 4 4 1 3 4 12 (áp dụng bất đẳng thức + và x + y � = 3 ) x y x + y 3 x + y 4 x + y 4 15
Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị Đại số 4 4 5 4 4 4 5 13 Do đó M 2 x. + 2 y. + + + .3 = 9x 9y 9 x + y 3 3 9 3 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = 3 Ví dụ 14: Cho x, y là các số thực dương. ( x + y + 1) 2 xy + x + y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N = + ? ( x + y + 1) 2 xy + x + y ( x + y + 1) 2 1 xy + x + y Lời giải sai: Đặt t = = ( x + y + 1) 2 xy + x + y t 1 1 1 Do đó N = t + 2 t. = 2 . Dấu “=” xảy ra � t = � t = 1 ( t > 0 ) t t t ( x + y + 1) 2 Phân tích sai lầm: Ta thấy khi t = 1 thì = 1 xy + x + y ( x + y + 1) 2 = 1 � x 2 + y2 + 1 + 2xy + 2x + 2y = xy + x + y � x 2 + y 2 + 1 + xy + x + y = 0 xy + x + y Coi phương trình ẩn x, tham số y ta có: x 2 + ( y + 1) x + y 2 + y + 1 = 0 ( 1) 2 1� 8 Ta có ∆ = ( y + 1) 4 ( y + y + 1) = 3y 2y 3 = 3 � 2 �y + � < 0 2 2 � 3� 3 Nên phương trình (1) vô nghiệm nên không thể tồn tại giá trị của x, y để N đạt giá trị nhỏ nhất ( x + y + 1) ta sẽ chứng minh t ≥ 3 2 Lời giải đúng: Đặt t = xy + x + y Thậy vậy với t ≥ 3 thì ( x + y + 1) 2 ( x + y + 1) 3 ( xy + x + y ) 2 ( x + y + 1) 6 ( xy + x + y ) 2 2 �۳۳ 3 xy + x + y ( x y ) + ( x 1) + ( y 1) 2 2 2 2x 2 + 2y 2 + 2 + 4xy + 4x + 4y �۳ 6xy + 6x + 6y 0 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1 8t + t 1 8t �t 1 � 8.3 t 1 10 Do đó N = + = + � + � + 2 . = 9 t 9 �9 t � 9 9 t 3 10 Vậy giá trị nhỏ nhất của N bằng khi và chỉ khi x = y = 1 3 16
Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị Đại số Ví dụ 15: Cho x > 0, y > 0 và x + y ≥ 6. 6 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 3x + 2y + + ? x y � � 6 � 8� 6 8 Lời giải sai: Ta có S = �3x + � + �2y + � 2 3x. + 2 2y. = 6 2 + 8 � x� � y� x y � 6 � 6 �3x + = 0 3x = � � x � x �x = 2 Dấu “= xảy ra khi và chỉ khi � �� 2y + 8 = 0 �2y = 8 y = 2 � y � y Phân tích sai lầm: Ta thấy ở cách giải trên dấu đẳng thức xảy ra khi x = 2; y = 2 nên x + y
Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị Đại số 1 2 2 4 2 ( Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b + c ) = a 2 . 2 2 b 2 + c 2 = 2a 2 a b + c Phân tích sai lầm: Ta thấy trong lời giải trên dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b 2 + c2 = 2a 2 , điều này mâu thuẫn với giải thiết là b2 + c2 ≤ a2 1 1 4 1 1 4 Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức + � 2 + 2 x y x + y b c b + c 2 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b2 = c2 1 2 2 �1 1� 1 4 2 ( Ta có T = b + c ) + a 2 � 2 + 2 � 2 ( b 2 + c 2 ) + a 2 . 2 2 a �b c � a b + c 4 4a 2 a2 3a 2 Áp dụng kỹ thuật tách số: a 2 . = = + b 2 + c2 b 2 + c 2 b 2 + c 2 b 2 + c 2 1 2 2 4 �b 2 + c 2 a 2 � 3a 2 Khi đó T a2 ( b + c ) + a 2 . b 2 + c 2 = � 2 a + b 2 + c 2 � + 2 2 � � b + c b 2 + c 2 a2 a2 T 2 . 2 2 + 3. 2 2 = 2 + 3 = 5 a2 b + c b + c b 2 + c 2 a2 = a2 b 2 + c2 2 2 2 �2 2 2 �b + c = a a Dấu “=” xảy ra �b + c = a � �2 2 � b = c = b = c 2 b 2 = c 2 2.10, Một số sai lầm khác: Ví dụ 17: Cho phương trình bậc hai với tham m: x 2 + 2 ( m 2 ) x – ( 2m 7 ) = 0 (1) có nghiệm x1, x2. Tìm GTNN của biểu thức A = x12 + x 22 Lời giải sai: Vì x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) x1 + x 2 = 2 ( m 2 ) Theo định lý Viet tacó: x1.x 2 = 2m + 7 Ta có A = x12 + x 22 = ( x1 + x 2 ) – 2x1x 2 = ( 2m 3) 7 7 2 2 3 Vậy MinA = 7 khi m = 2 Phân tích sai lầm: 18
Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị Đại số Sai lầm ở chỗ là không tồn tại x1 , x2 để biểu thức đạt GTNN là 7 3 Thật vậy: Min x12 + x 22 = 7 khi m = thì phương trình (1) vô 2 nghiệm. Lời giải đúng: Ta có: Δ = m2 2m 3 m 1 Để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thì Δ 0 m 3 x1 + x 2 = 2 ( m 2 ) Theo định lý Viet tacó: x1.x 2 = 2m + 7 Ta có A = x12 + x 22 = ( x1 + x 2 ) – 2x1x 2 = ( 2m 3) 7 2 2 ( 2.3 − 3) 2 Với m 3 thì A −7 = 2 2 �( ) 2. −1 − 3� Với m −1 thì A � � − 7 = 18 Do đó MinA = 2 với m = 3 Ví dụ 18: Cho hai số thực x, y thoả mãn x > y và xy = 1. x 2 + y 2 Tìm GTNN của biểu thức B = ? x y x 2 + y 2 ( x y ) + 2xy 2 Lời giải sai: Ta có B = = . Do x > y và xy = 1 x y x y ( x y ) 2 2xy 2 x y x y 2 x y nên B = + = x y + = + + 2 + x y x y x y 2 2 x y 2 x y 2 Vậy A có GTNN khi = 2 x y Giải phương trình được x – y = 2 mà xy = 1 nên (x; y) là ( 1 + 2; −1 + 2 ) và (1 − 2; −1 − 2) x y Do đó MinA = + 2 = 3 2 x y Phân tích sai lầm: Sai lầm của bài toán trên là biến đổi đến (*) thì 2 + 2 không phải là hằng số mà còn phụ thuộc vào biến x, y Lời giải đúng: 19
Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị Đại số 2 �x y 2 � B = x y + = 2 � � 2 + �2 2 x y � x y � � �2+ 6 − 2+ 6� �2− 6 − 2− 6� Vậy MinA = 2 2 khi (x, y) = � � 2 ; � và � � � ; � � � 2 � � 2 2 � Ví dụ 19: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D = 5x 2 2xy 2y 2 + 14x + 10y 1. Lời giải sai: Ta có D = 5x 2 2xy 2y 2 + 14x + 10y 1 ( ) ( ) ( D = x 2 + 2xy + y2 4x 2 14x y 2 10y 1) 2 � 7� 145 = ( x + y ) �2x � ( y 5) + 2 2 � 2� 4 x + y = 0 x = y 145 � 7 � 7 Suy ra D . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi �2x = 0 �x = 4 � 2 � 4 �y 5 = 0 �y = 5 Phân tích sai lầm: Hệ trên vô nghiệm nên D không tồn tại giá trị lớn nhất. 145 Từ biến đổi mới chỉ suy ra D , còn việc kết luận giá trị lớn nhất của D 4 không tồn tại là chưa chính xác, không có căn cứ xác đáng. Lời giải đúng: Cách 1: Ta có ( ) ( ) ( ) D = x 2 + y 2 6x 6y + 2xy + 9 4x 2 8x + 4 y2 4y + 4 + 16 = ( x + y 3) 4 ( x 1) ( y 2 ) + 16 2 2 2 x + y 3 = 0 x = 1 Suy ra D 16 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi �x 1 = 0 � �y 2 = 0 �y = 2 Vậy Max D = 16, giá trị này đạt được khi và chỉ khi x = 1 và y = 2. Lời giải trên tuy đúng song có vẻ thiếu “tự nhiên”, cách 2 sau đây sẽ mang tính thuyết phục hơn. Cách 2: Ta có D = 5x 2 2xy 2y 2 + 14x + 10y 1 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.