Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Phương pháp giải bài toán cực trị Đại số cho học sinh THCS

Chia sẻ: Convetxao | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài nhằm đưa ra các phương pháp giải bài toán cực trị Đại số cho học sinh THCS. Trong mỗi phương pháp đó tôi đưa ra 3 nội dung là phần lý thuyết cơ bản, bài tập áp dụng và bài tập tự luyện nhằm khắc sâu kiến thức cho các em.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Phương pháp giải bài toán cực trị Đại số cho học sinh THCS

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Sáng kiến kinh nghiệm: "MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH THCS". Lệ Thủy, tháng 5 năm 2014. 1
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Sáng kiến kinh nghiệm: "MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH THCS". Họ và tên: Phan Thúc Bảy Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Sơn Thủy Lệ Thủy, tháng 5 năm 2014. 2
1. PHẦN MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài. Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản, mang tính trừu tượng nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng. Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo, mà quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng Toán từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kỹ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách. Trong Toán học, cực trị là một khái niệm rất hẹp nhưng kiến thức liên quan đến nó thì vô cùng rộng rãi. Trong chương trình Toán THCS những bài toán cực trị có mặt rải rác và hầu khắp các phân môn Số học, Đại số và Hình học. Học sinh từ lớp 6 đến lớp 9 đều đã gặp những bài toán cực trị với những yêu cầu như: “Tìm số x lớn nhất sao cho...” , “Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức...". Nhưng khi giải có thể giáo viên không dạy phương pháp tổng quát hoặc có dạy nhưng học sinh không được tiếp thu theo hệ thống dạng toán. Trong những năm thực tế giảng dạy học sinh từ lớp 6 đến lớp 9, dạy học sinh ôn tập, luyện thi HSG và ôn thi tuyển sinh THPT tôi nhận thấy: khi gặp toán cực trị thì đa phần học sinh THCS còn e ngại và lúng túng trong cách giải dạng toán này. Do vậy, tôi nghĩ rằng cần phải hình thành một cách có hệ thống các dạng bài toán cực trị đại số và phương pháp giải để dạy học sinh. Giúp học sinh nắm được phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số thường gặp trong trường THCS, nâng cao dần kỹ năng, kỹ xảo giải các dạng toán trên. Từ đó phục vụ tốt cho việc giảng dạy của giáo viên và gạt bỏ tư tưởng e ngại của học sinh khi giải toán cực trị đại số. Tôi đã dành nhiều thời gian nghiên cứu tài liệu, học hỏi đồng nghiệp, tìm tòi thử nghiệm với các đối tượng học sinh đại trà và ôn thi. Được sự khuyến khích, giúp đỡ nhiệt tình của bạn bè đồng nghiệp trong trường, ở trường bạn vậy nên tôi đã mạnh dạn nghiên cứu bước đầu đề tài: “Phương pháp giải bài toán cực trị Đại số cho học sinh THCS”. 1.2. Điểm mới của đề tài. Trong những năm gần đây bản thân tôi được nhà trường phân công dạy bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán 7, giải toán qua mạng lớp 9, luyện thi môn toán 9. Trong việc xây dựng kế hoạch dạy bồi dưỡng ngay từ đầu năm học bản 3
thân tôi luôn đưa vào chương trình dạy chuyên đề về cực trị đại số song hiệu quả dạy học chuyên đề này vẫn chưa cao. Chính vì vậy điểm mới trong đề tài này là đưa ra các phương pháp giải bài toán cực trị Đại số cho học sinh THCS. Trong mỗi phương pháp đó tôi đưa ra 3 nội dung là phần lý thuyết cơ bản, bài tập áp dụng và bài tập tự luyện nhằm khắc sâu kiến thức cho các em. 1. 3. Phạm vi áp dụng đề tài. Vì đề tài đang ở bước đầu nghiên cứu nên tôi chỉ xây dựng phương pháp cho một số dạng toán cực trị đại số thường gặp và cũng giới hạn trong đối tượng học sinh tại một trường THCS ở huyện Lệ Thủy – Quảng Bình. 4
2. PHẦN NỘI DUNG. 2.1. Thực trạng. Trong những năm qua, thực tế giảng dạy môn Toán học sinh từ lớp 6 đến lớp 9, dạy học sinh ôn tập, luyện thi HSG và ôn thi tuyển sinh THPT tôi nhận thấy: khi gặp toán cực trị thì đa phần học sinh THCS còn e ngại và lúng túng trong cách giải. Học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào vì thế số đông học sinh thường bỏ qua, một số ít học sinh thì có làm nhưng thiên về biến đổi, đơn giản biểu thức nên không đi đến kết quả hoặc cho kết quả sai. Nguyên nhân của vấn đề trên là do toán cực trị không phải là dạng toán thường gặp, muốn giải được nó thì cần phải tổng hợp được nhiều kiến thức, trong đó có những kiến thức nâng cao, ít được đề cập đến trong chương trình, sách giáo khoa bậc THCS. Do vậy học sinh không nắm được các dạng toán cực trị và phương pháp giải tổng quát cho từng dạng toán, dẫn đến kết quả là bài kiểm tra thường bị điểm thấp. Qua khảo sát năng lực học sinh đối với việc giải toán cực trị đại số trước khi áp dụng đề tài cho thấy kết quả như sau: Kết quả điểm kiểm tra Giỏi Khá Trung Yếu Kém Năm học Áp dụng đề tài bình 20011 -2012 Chưa áp dụng 3% 9% 30% 52% 6% 2.2. Các giải pháp: Sau một thời gian dài nghiên cứu tôi đã tổng hợp và xây dựng được những vấn đề về lí thuyết như sau : * Đại cương về cực trị. Bài toán cực trị là tên gọi chung cho những bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN). Trong chương trình THCS chỉ xét giới hạn trong trường số thực R đối với phân môn Đại số. Theo lí thuyết Giải tích, xét tập hợp số thực x  E  R, khi đó nếu E không rỗng và bị chặn thì tồn tại cận trên đúng M của E ( M = supE ) hoặc cận dưới đúng m của E ( m = infE ) hoặc cả hai. Tuy nhiên có thể cả M và m đều không thuộc E. 5
Khi M  E (hoặc m  E) ta viết M = maxE (hoặc m = minE) đây là cách viết tắt theo chữ Latin (max = maximum, min = minimum ) mà trong trường phổ thông ta thường gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN). Theo quan điểm trên việc tìm maxE = M hoặc minE = m phải bao gồm đồng thời cả hai điều kiện : i) M = E hoặc m = E. ii)  x  E để M = E hoặc m = E. Sau đây là những dạng bài tập và phương pháp cụ thể xét theo quan điểm trên. * Một số phương pháp tìm cực trị đại số. 2.2.1 Phương pháp tìm cực trị theo tính chất của luỹ thừa bậc hai. A. Lí thuyết cơ bản. Ta đã biết A2  0 ( -A2  0) với mọi giá trị của biến trên tập xác định E của A. Như vậy nếu biểu thức M (nguyên hoặc phân) đưa được về dạng M=A2 + k ( hoặc M=m-A2) thì rõ ràng supM= m ( infM=k). Nếu tồn tại giá trị của biến để M = k (hoặc M=m) thì maxM = m (min M = k). B. Bài tập áp dụng. Bài số 1. Tìm max ( min) của các biểu thức sau : a) A = 2x2 - 8x+1. b) B = -5x2 - 4x +1. Giải: a) Ta có : A = 2x2 - 8x+1 = 2( x2 - 4x +4) -7 = 2(x-4)2 - 7  -7. Dấu = xảy ra khi x=4. Vậy minA=-7 khi x=4. 4 4 9 2 9 9 b) Ta có : B = -5x2 - 4x +1 =  5( x 2  x  )   5( x  ) 2   . Dấu = xảy ra 5 25 5 5 5 5 2 9 2 khi x=- . Do đó maxB = khi x=- . 5 5 5 Lưu ý : Khi chuyển biểu thức cần tìm max, min có thể học sinh mắc sai lầm. Ví dụ : A = ( x-1)2 + (x-3)2 – 9  - 9 vì (x-1)2  0 và (x-3)2  0  minA = -9 nhưng không tồn tại x thoả mãn điều đó. Ta cần làm như Bài 1a). 6
Bài số 2. Tìm min của C = x  x  2006 . Giải : Để C tồn tại thì ta phải có : x  2006 (*). Ta có : 1 8023 C = x  x  2006 = x - 2006 - x  2006 + + = 4 4 1 8023 8023 ( x  2006  ) 2   2 4 4 8023 1 8027 Vậy min C =  x  2006   x . ( thoả (*)). 4 2 4 Bài số 3. Tìm min của D = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4). Giải : Tập xác định của D là IR. Ta có : D = ( x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) = ( x2 + 5x + 5)2 – 1  - 1. 5 5 Dấu = xảy ra khi : ( x 2 + 5x + 5)2 = 0  ( x2 + 5x + 5) = 0  x  2 5 5 5 5 5 5 hoặc x  . Vậy minD = - 1  x  hoặc. x  2 2 2 Bài số 4. Tìm min của E = x2 +2y2 -2xy - 4y + 5. Giải : Tập xác định của E là IR2. Ta có : E = x 2 +2y2 -2xy - 4y + 5 = ( x-y)2 + (y-2)2 + 1. Vì ( x-y)2  0  x,y và (y-2)2  0  y nên E  1  x,y. x  y  0 x  y Dấu = xảy ra khi    x  y  2. y  2  0 y  2 Vậy minE = 1 khi x=y=2. Bài số 5. Tìm min của F = x 2 + 2y2 + 3z2 -2xy + 2xz -2x -2y – 8z + 2012. 7
Giải : Tập xác định của F là IR3. Ta có : F = ( x-y+z-1)2 + ( x+z-2)2 + ( z-1)2 + 2006. Vì : ( x-y+z-1)2  0  x,y,z, ( x+z-2)2  0  x,z và ( z-1)2  0  z nên F  2006  x,y,z. x  y  z  1  0 x  1 Dấu = xảy ra khi  x  z  2  0    y  1. z  1  0 z  1   Vậy min F = 2006  x=y=z=1. Bài số 6. 2 Tìm min của G = . 6 x  5  9x 2 Giải : 2 2 2 Ta có : G = 2  2  2 . Do (3x-1)2  0  x 6 x  5  9x 9 x  6 x  5 (3x  1)  4 2 1 1 2  2 1 1  ( 3x-1) +4  4  x  2   2   G  . (3x  1)  4 4 (3x  1)  4 4 2 2 1 1 min G =  3x – 1 = 0  x = . 2 3 Bài số 7. 3x 2  8 x  6 Tìm min của H = . x2  2x  1 Giải : Tập xác định của H là R\ {1}. (2 x 2  4 x  2)  ( x 2  4 x  4) ( x  2) 2 Ta có : H =  2   2  min H = 2  x= 2. x 2  2x  1 ( x  1) 2 Bài số 8. 3  4x Tìm max, min của I = . x2 1 Giải : * Tìm min I. 8
x 2  4 x  4  x 2  1 ( x  2) 2 Ta có : I =  2  1  1 . Min I = -1  x=2. x2 1 x 1 * Tìm max I. 4x 2  4  4x 2  4x  1 (2 x  1) 2 1 Ta có : I = 2  4  2  4 .Max I = 4  x   . x 1 x 1 2 Bài số 9. Tìm min của K = x3 + y3 + xy biết rằng x+y=1. Giải : Ta có : K = (x+y)(x2-xy+y2) + xy = x2 –xy + y2 + xy = x2 + y2. Có nhiều cách giải ở đây, ví dụ : 1 1 1 1 1 1 K = x2 + (1-x)2 = 2( x  ) 2   . Min K = khi x   y  . 2 2 2 2 2 2 Bài số 10. Tìm min của L = x2 + y2 + z2 biết rằng x + y + z = 3. Giải: Ta có : x + y + z = 3  ( x+ y + z)2  9  x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx ) = 9  L + 2(xy + yz + zx ) = 9 (*). Ta luôn có : x2 + y2 + z2  xy + yz + zx  x,y,z, dấu = khi x=y=z nên từ (*) suy ra : 3L  9  L  3  min L = 3 khi x=y=z = 1. C. Bài tập tự luyện. Bài số 1. Tìm max ( min ) của mỗi biểu thức sau : a) A = x2 -5x + 1. b) B = 1 – x2 + 3x. Bài số 2. Tìm min của mỗi biểu thức sau : a) C = ( x-1)(x- 3)(x2 - 4x + 5). b) D = x2 – 2xy + 2y2 + 2x -10y + 17. 9
Bài số 3. Tìm max của biểu thức sau : E = xy + yz + xz biết x+y+z=12. Bài số 4. Tìm max ( min ) của mỗi biểu thức sau : 3x 2  6 x  17 27  12 x 8x  3 a) F = 2 ; b) G = 2 ; c) H = 2 . x  2x  5 x 9 4x  1 2.2.2- Phương pháp tìm cực trị theo tính chất giá trị tuyệt đối. A. Lí thuyết cơ bản. Ta biết rằng : với A, B là những biểu thức đại số thì : i) A  B  A  B Dấu bằng xảy ra khi A.B  0 . ii) A  B  A  B Dấu bằng xảy ra khi A  B  0 hoặc A  B  0 . B. Bài tập áp dụng. Bài số 1. Tìm min của A = x  2  x  8 . Giải : Ta có : A = x  2  x  8 = 2  x  x  8  2  x  x  8  10 . Suy ra minA = 10 khi (2-x)(x+8)  0   8  x  2 . Bài số 2. Tìm max của B = x  2(1  x  1)  x  2(1  x  1) . Giải : Tập xác định của B là x  -1 (*). Ta có : B = 2 ( x  1  1)  ( x  1  1) 2  x 1 1  x 1 1  x 1 1 x 1 1  2 Suy ra max B = 2 khi ( ( x  1  1)( x  1  1)  0  x  0 (thoả(*)). 10
C. Bài tập tự luyện. Bài số 1. Tìm max của biểu thức : a) C = a  3  4 a  1  a  3  4 a  1 b) D = x 2  4012x  20062  x 2  4014x  2007 2 Bài số 2. Tìm min của biểu thức : a) E = x 2  64  16 x  x 2 1 b) F = x 2  4x  4  x2  x  . 4 2.2.3 Phương pháp tìm cực trị dựa vào điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai ( phương pháp miền giá trị hàm số ). A. Lí thuyết cơ bản. Ta đã biết : phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm nếu   b 2  4ac  0 . f ( x) Nếu biểu thức A = xác định trên miền D có thể qui về dạng : g ( x) f(A)x2 + g(A)x + k = 0 (1) ( k là một số thực ) thì rõ ràng với mỗi x thuộc tập nguồn D thoả (1) sẽ cho một ảnh h(A) của tập đích E của A. Vì vậy bằng cách gián tiếp dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình (1) ta sẽ xác định được tập đích E và do đó chỉ ra giới hạn miền giá trị của A hay chỉ ra maxA, minA. B. Bài tập vận dụng. Bài số 1. x2  x 1 Tìm max, min của A = . x2  x 1 Giải : Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm : x2  x 1 a= (1). x2  x 1 11
2 2  (a-1)x + (a+1)x + (a-1) = 0 ( Do x +x +1 > 0  x ). (2) * Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0. * Nếu a  1 thì để (2) có nghiệm ta cần có 1   0  (a  1) 2  4(a  1) 2  0  (3a  1)( a  3)  0   a  3(a  1) . 3 1  (a  1) a 1 Với a  hoặc a=3 thì nghiệm (2) là : x   . 3 2(a  1) 2(1  a) 1 Với a  thì x = 1, với a=3 thì x = -1. 3 1 Kết hợp hai trường hợp trên ta có : min A =  x  1 ; maxA = 3  x=-1. 3 Bài số 2. x 2  3x  5 Tìm max, min của B = . x2  x Giải : Điều kiện để B có nghĩa là x  0; x  1 (*). x 2  3x  5 B nhận giá trị m  phương trình m = (1) có nghiệm. x2  x (1)  (m-1)x2 – (m-3)x – 5 = 0 (2). *Nếu m=1  x = 2,5. *Nếu m  1 thì để (2) có nghiệm ta cần có :   0  (m  3) 2  20(m  1)  m 2  14m  11  0  m  7  2 15 hoặc m  7  2 15 . 5  15 5  15 Với m =  7  2 15 thì x= ; với m =  7  2 15 thì x= . 2 2 Kết hợp hai trường hợp trên và điều kiện (*) ta có : 5  15 maxB = 1 khi x = 2,5 ; min B =  7  2 15 khi x= . 2 C. Bài tập tự luyện. Tìm max, min của những biểu thức sau : 2 x 2  16 x  41 4 x 2  6x  1 x a) C = 2 ; b) D = 2 ; c) E = . x  8 x  22 (2 x  1) ( x  10) 2 12
2.2.4 Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Cô- si ( Cauchy). A. Lí thuyết cơ bản. Cho n số không âm : a1, a2, a3,..., an thì ta luôn có : a1  a 2  a3  ...  a n n Dạng 1 :  a1a 2 a3 ..a n . n Dạng 2 : a1  a 2  a3  ....  an  nn a1a 2 a3 ....a n a1  a 2  a3  ..  a n n Dạng 3 : ( )  a1 a 2 a 3 ...a n . n Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 =...= an. Từ đây ta dễ dàng suy ra : i) Nếu a1. a2. a3.... an = A không đổi thì a1  a2  a3  ...  a n  nn A và do đó : min a1  a2  a3  ...  a n  nn A khi a1 = a2 = a3 =...= an. B ii) Nếu a1 + a2 + a3 +...+ an = B không đổi thì n a1a 2 a3 ...an  và do đó : n B max n a1a 2 a3 ...a n  khi a1 = a2 = a3 =...= an. n B. Bài tập áp dụng. Bài số 1. Cho a.b.c = 1. Tìm min của A = (a2+b2)(b2+c2)(c2+a2). Giải : Theo BĐT Cô- si ta có : a 2  b 2  2 ab  0  2 2 b  c  2 bc  0 dấu bằng xảy ra khi a=b=c.  2 2 c  a  2 ca  0 Suy ra A = (a2+b2)(b2+c2)(c2+a2)  8 a 2 b 2 c 2  8 Vậy min A = 8  a=b=c=1. Bài số 2.  a, b, c , d  0 Cho  1 1 1 1 tìm max a.b.c.d ?    1  a 1  b 1  c 1  d  3 Giải : 13
Từ giả thiết và theo BĐT Cô-si ta có : 1 1 1 1 b c d bcd (1 ) (1 ) (1 )     33 1a 1b 1c 1d 1b 1c 1d (1  b)(1  c)(1  d ) 1 acd 1 abd Tương tự :  33 0 ;  33 0 1 b (1  c)(1  d )(1  a ) 1 c (1  b)(1  d )(1  a ) 1 abc  33  0 . Nhân vế với vế 4 BĐT trên ta được : 1 d (1  a )(1  b)(1  c) 1 81 1   abcd  . (1  a)(1  b)(1  c)(1  d ) (1  a)(1  b)(1  c)(1  d ) 81 1 Vậy maxabcd = khi a=c=b=d. 81 Bài số 3. 4 Với  a>b  0, tìm min của B = a  . (a  b)(b  1) 2 Giải : 4 b 1 b 1 4 Ta có : B = a  2  ( a  b)    1  (a  b)(b  1) 2 2 (a  b)(b  1) 2 b 1 b 1 4 4 4 (a  b ) 1  4 1  3 . 2 2 (a  b)(b  1) 2 Vậy minB = 3 khi a = 2; b = 1. Bài số 4. a  3 ab c  2  bc a  3  ca b  4 Cho b  4 . Tìm max C = . c  2 2 2  Giải : Ta có : ab ab (c  2)  2 abc ab c  2  (c  2)2   2 2 2 2 2 bc bc (a  3)  3 abc bc a  3  (a  3)3   2 3 2 2 3 14
ca ca (b  4)  4 abc ca b  4  (b  4)4   4 4 2 2 4 1 1 1 Từ các BĐT trên suy ra : C    . 2 2 2 3 2 4 c  2  2 c  4 1 1 1 Dấu bằng khi a  3  3   a  6 . Vậy max C =   . b  4  4 b  8 2 2 2 3 4   Bài số 5. a b c Cho a,b,c là 3 số dương bất kỳ. Tìm min của D =   bc ca ab Giải : a b c abc abc abc Ta có : D + 3 = (1  )  (1  )  (1  )   bc ca ab bc ca ab  2D + 6 = 1 1 1  1 1 1  2(a  b  c)(   )  (b  c)  (c  a)  (a  b)   bc ca ab  b  c c  a a  b  3 3  9 ( theo Cô-si)  2D + 6  9  D  . Vậy min D = khi a=b=c. 2 2 C. Bài tập tự luyện. Bài số 1. Cho a,b là những số không âm và a.b = 1. Tìm min của A= (1+a+b)(a+b+ab). Bài số 2. a2  2 Cho a là số thực bất kỳ. Tìm min của B = . a2 1 Bài số 3. Cho a,b là những số không âm và a+b = 1. Tìm max của C = 16ab(a-b)2. 2.2.5 Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacôpxki . A. Lí thuyết cơ bản. Cho a1, a2, a3,..., an và b1,b2,b3,...., bn là 2n số thực tuỳ ý. Khi đó ta có : 15
Dạng 1 : (a12+a22+a32+....+an2)(b12+b22+b32+...+bn2)  ( a1b1+ a2b2+a3b3+...+anbn)2 (1) Dạng 2 : (a12  a2 2  ..  an 2 )(b12  b2 2  ...  bn 2 )  a1b1  a2b2  ....anbn (2) a1 a2 a Dấu bằng xảy ra ở (1) và (2) khi   ...  n . b1 b2 bn Hệ quả : C2 i) Nếu a1x 1+a2x2+.....+anxn= C = const thì min ( x12+x22+...+xn2) = 2 2 2 a1  a 2  ...  a n x1 x 2 x Dấu bằng khi   ...  n . a1 a 2 an ii) Nếu x12+x22+...+xn2 = C2 thì max (a1x1+a2x2+.....+anx n) = C a12  a2 2  ...  an 2 . Dấu bằng khi x1 x 2 x   ...  n  0 . a1 a2 an min (a1x1+a2x2+.....+anx n) = - C a1 2  a 2 2  ...  an 2 . Dấu bằng khi x1 x 2 x   ...  n  0 . a1 a2 an B. Bài tập vận dụng. Bài số 1. Cho xy + yz + xz = 4. Tìm min A = x4+y4+z4. Giải : Ta có : 1 1 1 A= ( 12+12+12)( x4+y4+z4)  (x2+y2+z2)2 = ( x2+y2+z2)(y2+z2+x2)  3 3 3 1 16 (xy+yz+xz)2 = . 3 3 16 2 Suy ra minA = đạt được khi x=y=z=  . 3 3 Bài số 2. Cho a2 + b2 + c2 = 1. Tìm max B = a + 3b + 5c. Giải : 16
Ta có : B = a + 3b + 5c  (11  3 2  5 2 )(a 2  b 2  c 2 )  35 . 1 3 5 Từ đó ta được minB = 35 khi a   ;b   ;c   . 35 35 35 Bài số 3. Tìm min C = (x-2y+1)2 + ( 2x+ay+5)2. Giải : Ta có : 1 1 C= [(-2)2 + 12 ][(x-2y+1)2 + (2x+ay+5)2]  [(-2)(x-2y+1) + 1.(2x+ay+5)]2 5 5 1 9 = [(a+4)y +3 ]2  0 nếu a  - 4 hoặc  nếu a =- 4. 5 5 9 Vậy : nếu a  - 4 thì min C = 0 ; nếu a = - 4 thì max C = . 5 Bài số 4. 1 2 3   1 Cho  a b c . Tìm min D = a2+b2+c2. a, b, c  0 Giải : Theo BĐT B-C-S ta có : 2 1 1 1 2 3  1 a 2  b 2  c 2  (a  b  c ) 2  (a  b  c)(   )  (1  2  3 ) 4 . 3 3 a b c  3 1 Vậy minD = (1  2  3 ) 4 khi a=b=c=6. 3 C. Bài tập tự luyện.  a, b  0 Cho  4 9 . Tìm min A = a  b  a 2  b 2 .  a  b  1 Bài số 2.  x 2  y 2  16  Cho u 2  v 2  25 . Tìm max (x+y).  xu  yv  20  17
Bài số 3. Cho x2+4y2 =1. Tìm max x  y . Bài số 4. Cho 3x-4y=7. Tìm min của 3x2+4y2. Bài số 5. Cho 36x2 + 16y2 = 9. Tìm max, min của y-2x. Bài số 6.  xy  0 Cho  2 2 . Tìm max, min của x 1  y  y 1  x . x  y  1 18
3. KẾT LUẬN Đề tài “ Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số cho học sinh THCS” theo cá nhân tôi là rất khó, nghiên cứu tổng hợp dạng toán đã là một vấn đề nhưng dạy học sinh nắm được dạng toán và giải chúng là vấn đề không đơn giản. Quá trình nghiên cứu đề tài này đã giúp tôi đã gặt hái được những thành quả như sau: 3.1.1. Đối với học sinh. -Lúc chưa áp dụng đề tài, học sinh còn rất bở ngỡ vì không biết phải xuất phát từ đâu khi gặp một số bài mà tôi đã trình bày ở trên. Nguyên nhân chính ở đây là các em chưa nắm phương pháp giải hoặc có biết một vài phương pháp thì cũng chỉ mơ hồ, không biết cách vận dụng chúng như thế nào để giải bài tập dạng nêu trên. Chính vì vậy phần lớn các em bỏ trống không làm hoặc làm nhưng không ra đến kết quả cuối cùng. - Sau khi áp dụng đề tài tại trường THCS đang công tác, tôi đã giúp các em học sinh hiểu được bản chất vấn đề của dạng toán cực trị và các em đã bước đầu biết giải các dạng toán cực trị đơn giản và quan trọng là đã gây được hứng thú học toán nhất là toán cực trị cho các em, rèn luyện được tư duy logic sáng tạo cho các em trong quá trình tự học. Nhờ vậy tỉ lệ các em hiểu bài, làm được bài tăng lên rõ rệt. Sau đây là bảng thống kê kết quả bài kiểm tra dạng toán cực trị ở học sinh sau khi đó áp dụng đề tài vào giảng dạy : Kết quả điểm kiểm tra Năm học Áp dụng đề tài Giỏi Khá Trung Yếu Kém b́ nh 2012-2013 Đã áp dụng 15% 20% 45% 17% 3% 2013 -2014 Đã áp dụng 20% 30% 40% 10% 0% 3.1.2. Đối với bản thân : Qua việc áp dụng đề tài tôi nhận thấy giáo viên đỡ vất vả rất nhiều trong khâu phải giải thích dạng toán và hướng dẫn làm bài tập cho học sinh (phần lớn các em giải không được) mà kết quả đem lại không được nhiều, giáo viên phải làm 19
việc nhiều hơn học sinh, học sinh chỉ biết thụ động tiếp thu kiến thức. Sau khi sử dụng đề tài này tôi thấy học sinh có ý thức học tập hơn, biết tự mình phát hiện ra dạng toán và biết áp dụng kiến thức, đúng với tinh thần lấy học sinh làm trung tâm, phù hợp với việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay. Trước nhu cầu chính đáng muốn vươn lên học tốt của học sinh và hòa vào không khí thi đua dổi mới phương pháp dạy học hiện nay, tôi xin góp một số kinh nghiệm của ḿnh để trao đổi với các đồng nghiệp, mục đích là nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường. Bài viết chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong được sự giúp đỡ và góp ý của đồng nghiệp để đề tài được áp dụng rộng rãi trong học sinh. Xin chân thành cảm ơn ! 20