intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề Hàm số bậc hai

Chia sẻ: Trần Đình Hoàng | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:54

Thêm vào BST
Báo xấu
68
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề Hàm số bậc hai trình bày kiến thức cơ bản; các dạng bài tập cơ bản; bài tập vận dụng; đề minh họa thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho các em học sinh, hỗ trợ quá trình học tập, luyện thi vào lớp 10 gặt hái nhiều thành công.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Hàm số bậc hai

  1. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI MỤC LỤC  1
  2. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI Danh sách các kí hiệu sử dụng Ký hiệu     Max Min  Đọc là Khác Thuộc Tương đương Suy ra Giá trị lớn nhất Giá trị nhỏ nhất Danh sách các tài liệu tham khảo + Sách giáo khoa Toán 9 tập 2 ­ NXB GD + Nâng cao và phát triển Toán 9  ­  Vũ Hữu Bình + Bài tập và câu hỏi trắc nghiệm Toán 9 ­  Phan Lưu Biên + Bồi dưỡng năng lực tự học Toán 9 ­  PGS – TS Đặng Đức Trọng  2
  3. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI HÀM SỐ y = ax2  PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN A.  KIẾN THỨC CƠ BẢN:  A. Hàm số y = ax2 (a  0) a) Tính chất  Hàm số y = ax2 (a 0) được xác định vói mọi giá trị của   a > 0. Hàm số đồng biến khi x > 0; nghịch biến khi x 
  4. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI   + Dựa và bảng giá trị  vẽ (P). B. Phương trinh bâc hai môt ân: ̀ ̣ ̣ ̉ a) Đinh nghia ̣ ̃ : Phương trinh bâc hai môt ân la ph ̀ ̣ ̣ ̉ ̀ ương trinh co dang:  trong đo  la ân sô ; , ,  la  ̀ ́ ̣ ́ ̀ ̉ ́ ̀ cac sô cho tr ́ ́ ước goi la cac hê sô . ̣ ̀ ́ ̣ ́ b) Cách giai:  ̉ Công thưc nghiêm tông quat cua ph ́ ̣ ̉ ́ ̉ ương trinh bâc hai: . ̀ ̣      : Phương trinh co hai nghiêm phân biêt: ,. ̀ ́ ̣ ̣  : Phương trinh co nghiêm kep:  ̀ ́ ̣ ́ .  : Phương trinh vô nghiêm. ̀ ̣ Công thưc nghiêm thu gon cua ph ́ ̣ ̣ ̉ ương trinh bâc hai: . ̀ ̣  : Phương trinh co hai nghiêm phân biêt: ̀ ́ ̣ ̣ .  : Phương trinh co nghiêm kep:  ̀ ́ ̣ ́ .  : Phương trinh vô nghiêm. ̀ ̣ C. Hê th ̣ ưc Vi­et va  ́ ́ ̀ưng dung ́ ̣ : 1. Hệ thức Vi­ét: Nếu phương trình  có hai nghiệm x1 và x2 thì:  Hệ  thức Vi­ét thường được áp dụng để  tính nhẩm nghiệm, xét dấu nghiệm hay tìm hai số   khi biết tổng và tích của chúng dựa vào các kết quả sau đây: a. Kết quả 1: Cho phương trình   Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 =  Nếu a  b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 =1, x2 =  b. Kết quả 2: Cho phương trình   có  với  Điều kiện Dấu các nghiệm Mô tả P 
  5. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI D.  CÁC DẠNG  BÀI TẬP  CƠ  BẢN  Dạng 1.  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠  0) 1. Phương pháp chung:    Thực hiện theo các bước sau: a)  Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) xác định  x   R. b)  Tính biến thiên: phụ thuộc vào a > 0 (hoặc a  0) hoặc   điểm cao nhất (a  0 và nghich biến khi x  0 và nghịch biến khi x 0  nên hàm số: +  Đồng biến khi x > 0. 8            + Nghịch biến khi x 
  6. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI + Có đỉnh O là điểm thấp nhất. Ví dụ 2:   a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = ax 2, biết đồ thị của nó đi qua điểm A(2;   1). b) Các điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số vừa tìm được: M(–8 ; –16) và N(–6 ; 9) c) Xác định tọa độ các điểm R, Q thuộc đồ thị hàm số biết điểm R có hoành độ là , điểm Q có   tung độ bằng 3. Lời giải  a) Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = ax2.  A(2; 1)   (P): y = ax2    Vậy (P) là đồ thị của hàm số: .  Khảo sát sự biến thiên và vẽ (P):   Hàm số  xác định  x   R.  Tính biến thiên: Hàm số  có  nên hàm số: ­  Đồng biến khi x > 0. y ­  Nghịch biến khi x 
  7. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI Giả sử N(–6;9)   (P):       (đúng) Vậy N(–6;9)   (P). c) Xác định tọa độ các điểm R, Q thuộc đồ thị hàm số biết điểm R có hoành độ là , điểm Q có tung   độ bằng 3:   Vậy   hoặc  Vậy có 2 điểm Q thỏa đề bài:  Ví dụ 3: Hàm số y = x2 đồng biến khi x > 0 nếu: A. m   C. m >  D. m = 0     Đáp án: B Ví dụ 4: Trong mặt phẳng xOy, đồ thị hàm số nào nhận trục Oy làm trục đối xứng? A. y = 2x + 1 B. y = x C. y = 3 D. x = y2     Đáp án: C Dạng 2. Giải phương trình bậc hai một ẩn cơ bản 1) Phương pháp chung Công thưc nghiêm tông quat cua ph ́ ̣ ̉ ́ ̉ ương trinh bâc hai: . ̀ ̣      : Phương trinh co hai nghiêm phân biêt: ,. ̀ ́ ̣ ̣  : Phương trinh co nghiêm kep:  ̀ ́ ̣ ́ .  : Phương trinh vô nghiêm. ̀ ̣ Công thưc nghiêm thu gon cua ph ́ ̣ ̣ ̉ ương trinh bâc hai: . ̀ ̣  : Phương trinh co hai nghiêm phân biêt: ̀ ́ ̣ ̣ .  : Phương trinh co nghiêm kep:  ̀ ́ ̣ ́ .  : Phương trinh vô nghiêm. ̀ ̣ 2) Các ví dụ Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:  a) 4x2 – 8x + 3 = 0       b) x2 – 6x + 14 = 0  c) x2 – 4x + 4 = 0  Lời giải a) 4x2 – 8x + 3 = 0      7
  8. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI Ta có:  > 0  Phương trình có hai nghiệm phân biệt:     b) x2 – 6x + 14 = 0  Ta có:   Phương trình vô nghiệm c)  x2 – 4x + 4 = 0  Ta có:   Phương trình có nghiệm kép:  Ví dụ 2:  Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm a) 7x2 –  9x + 2 = 0        . b) 23x2 –  9x –  32 = 0      c) ()x2 + 2x –  (2 + ) = 0             Lời giải a) 7x2 –  9x + 2 = 0         Ta có: a + b + c = 7 + (– 9) + 2 = 0  phương trình có hai nghiệm:  x1 = 1 ; x2 =   b) 23x2 –  9x –  32 = 0      Ta có: a – b + c = 23 – (–9) + (–32) = 23 + 9 – 32 = 0   phương trình có hai nghiệm: x1 = phương trình có hai nghiệm: x1 = –1 ; x2 =   c) ()x2 + 2x –  (2 + ) = 0             Ta có: a + b + c =  + 2– (2 + ) =  + 2– 2 –  = 0  phương trình có hai nghiệm: x1 = –1 ; x2 =   Ví dụ 3:  Giá tị x nào sau đây là nghiệm của phương trình:  A. B.   B. D.     Đáp án: B Ví dụ 3:  x = 3 là nghiệm của phương trình nào say đây: A.  B.  C.  D.     Đáp án: A Dạng 3. Giải phương trình quy về phương trình bậc hai a.1) Phương pháp chung: a) Phương trình trùng phương :  Đặt t = x2() đưa về dạng :   8
  9. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI Thay gí tri vừa tìm được rồi suy ra x b) Phương trình chứa ẩn ở mẫu :  Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu. Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4. Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác   định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho. c) Phương trình tích. Đưa phương trình về dạng tích rồi áp dụng tính chất: A.B = 0  A = 0 hoặc B = 0 Giải hai phương trình A = 0 và B = 0 rồi suy ra nghiệm  a.2) Các ví dụ Ví dụ 1: Giải các phương trình sau a)  x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0      b)  5x4 + 2x2 – 16 = 10 – x2 Lời giải a) Giải phương trình   x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0  (1)   (1)   (x2 – 2)(x + 3) = 0   (x + )(x – )(x + 3) = 0         x = –; x = ; x = –3    Vậy phương trình (1) có nghiệm x = –; x = ; x = – 3 b) Giải phương trình 5x4 + 2x2 ­16 = 10 – x2  (3)       Ta có: (3)   5x4 – 3x2 – 26 = 0   Đặt x2 = t (t   0) thì (3)   5t2 – 3t – 26 = 0   Xét   = (–3)2 – 4.5.( –26) = 529.> 0   = 23    Nên:   t1 =(thoả mãn t   0) ;               t2 = (loại) Với t =   x2 =   x =       Vậy phương trình (3) có nghiệm x1 = ;   x2 =  Ví dụ 2: Giải các phương trình sau a)   b)  (x2+ x) – 2 (x2+ x) – 1 = 0 Lời giải a) Giải phương trình    (2)       Với ĐK: x ≠ – 1; x ≠ 4 thì   (2)   2x(x –`4) = x2 – x + 8    x2 – 7x – 8 = 0 (*)  Do a – b + c = 1– (–7) + (–8) = 0   phương trình (*) có nghiệm x1 = –1(không thoả mãn ĐK)     ; x2 = 8 (thoả mãn ĐK)  9
  10. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI   Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8 b)  Giải phương trình 3(x2 + x) – 2 (x2+ x) – 1 = 0  (4)      Đặt x2 + x = t . Khi đó  (4)    3t2 – 2t – 1 = 0             Do a + b + c = 3 + (– 2) + (– 1) = 0 . Nên t1 = 1; t2 =        t1 = 1  x2+x = 1  x2 + x – 1 =  0         1 = 1 – 4.1.( –1) = 5 > 0. Nên x1 = ;  x2 = 2        t2 =   x2+x =   3x2 + 3x + 1 = 0  (*)              2 = 32 – 4.3.1 = –3 
  11. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI a) x2 + y2 = 80  và xy =32 b) x  y = 10  và xy = 21 Lời giải  a) Ta có: x2 + y2 = 80     ­ Ứng với trường hợp x + y = – 4  và  xy =32. Ta có:      x; y là nghiệm của phương trình  (*)   Giải phương trình (*) ta được X1 = 4 ; X2 = – 8      Vậy x = 4 ; y = – 8 hoặc x = – 8 ; y = 4 ­ Ứng với trường hợp x + y =  4  và  xy =32. Ta có:      x; y là nghiệm của phương trình  (*)   Giải phương trình (*) ta được X1 = – 4 ; X2 =  8      Vậy x = – 4 ; y = 8 hoặc x = 8 ; y = – 4  Ví dụ 3 :    Phương trình nào sau đây có tổng hai nghiệm bằng 3 ? A. x2 – 3x + 10 = 0 B. 2x2 – 6x  + 1 = 0 C. –x2 + 3x – 5 = 0 D. x2 + 2x + 1 = 0        Đáp án: A, B, C  Ví dụ 4 :    Cho phương trình 0,1x2 – 0,6x – 0,8 = 0. Khi đó  x1 + x2 ; và x1x2 là : A. x1 + x2 = 0,6; x1.x2 = 8 B. x1 + x2 = 6; x1.x2 = – 8 C. x1 + x2 = 6; x1.x2 = 8 D. Kết quả khác            Đáp án: B Dạng 5.  Tìm điều kiện của tham số m để phương trình  có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm. a.1) Phương pháp chung: Xét trường hợp  a = 0, phương trình trở thành  (*) Nếu b = 0 và c = 0  Phương trình (*) có vô số nghiệm Nếu b = 0 và c  0  Phương trình (*) có vô nghiệm Nếu b  0  Phương trình (*) có một nghiệm nghiệm Xét trường hợp a  0, lập biệt thức   hoặc  ’ Phương trình có nghiệm (có hai nghiệm )       0 hoặc  ’   0  m Vô nghiệm      0  m Kết luận:  a.2) Các ví dụ Ví dụ 1:  Giải phương trình (giải và biện luận):   x2 – 2x + k = 0  (tham số k) Lời giải  11
  12. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI Ta có:  ’ = (–1)2 – 1.k = 1 – k       Nếu  ’ 0   1 –  k > 0    k  1 thì phương trình vô nghiệm       Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1     Nếu k 
  13. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI c) ba nghiệm phân biệt  d) một nghiệm e) vô nghiệm Giải: Đặt x2 = t ≥ 0, khi đó (1)   Ta có  a) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt  phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt b) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt   phương trình (2) có một nghiệm dương và một   nghiệm bằng 0 c) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc hai   nghiệm trái dấu.   hoặc P  0  m  Phương trình hai nghiệm trái dấu     > 0 và P  0  m  13
  14. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI  Phương trình hai nghiệm âm (nhỏ hơn 0)     0; S  0  m   Hai nghiệm đối nhau     0 và S = 0   Hai nghiệm nghịch đảo nhau     0 và P = 1  m a.2) Các ví dụ: Ví dụ 1:  Cho phương trình:  x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)   a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm Lời giải a) Ta có:  ’ = (m – 1)2 – (– 3 – m ) = (m – 1)2 + 3 + m =           Do  với mọi m;      > 0 với mọi m            Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt           Hay phương trình luôn có nghiệm (đpcm) b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu    a.c  – 3 c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm      Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m – 1) và P = x1.x2 = – (m + 3)      Khi đó phương trình có hai nghiệm âm   S  0             Vậy m 
  15. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI Ví dụ 3: Giá trị của m để phương trình  x2 + 3x + m = 0 có hai nghiệm cùng âm là: A.  B. m > 0 C. m > 0 và  D. m 
  16. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI     Thay  x1 + x2 =  ;      x1.x2 = 2 vào (*) ta được:  Ví dụ 3: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình x2 + x – 1 = 0. Khi đó biểu thức x12 + x22 có giá trị là: A. 1 B. 3 C. 1 D. 3    Đáp án: B Ví dụ 4: Cho phương trình x2 – 3x – 4 = 0 có hai nghiệm x1; x2. Tínhđược kết quả nào sau đây: A.   B.   C.  D.  3    Đáp án: D Dạng 8. Tìm m để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện (T) cho trước: c.1) Phương pháp chung: Bước 1­ Tìm điều kiện để  phương trình có nghiệm x1;x2 :  (*) Bước 2 ­ Áp dụng định lý Vi­ét ta được:  Bước 3 ­  Từ ĐK (T) đã cho và hệ thức Vi­ét tìm ra tham số m. Đối chiếu  m với điều kiện  (*) và kết luận. c.2) Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho phương trình:  x2 + 2x + m – 1= 0  ( m là tham số) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1 + 2x2 = 1 b) Lập phương trình ẩn y thoả mãn ;  với x1; x2 là nghiệm của phương trình ở trên Lời giải a) Ta có  ’ = 12 – (m – 1) = 2 – m       Phương trình có nghiệm       0   2 – m   0   m   2 (*)      Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = – 2  (1);  x1x2 = m – 1 (2)       Theo bài: 3x1 + 2x2 = 1 (3)    Từ (1) và (3) ta có:       Thế vào (2) ta có:   5(– 7) = m – 1   m = – 34 (thoả mãn (*))     Vậy m = – 34 là giá trị cần tìm b) Với m   2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm        Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = – 2  (1) ;    x1x2 = m – 1 (2)        Khi đó:  (m  ≠ 1)                          (m ≠ 1 )        y1; y2 là nghiệm của phương trình: y2 – .y +  = 0  (m ≠ 1)      Phương trình ẩn y cần lập là:  (m – 1)y2 + 2my + m2 = 0 Ví dụ 2: Cho phương trình:  (m là tham số)   (1)  16
  17. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức    đạt giá trị nhỏ nhất? Lời giải Phương trình: .    Có  = (2m+1)2  4 = 4m 1    Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi  > 0   4m 1 > 0  m >          Theo hệ thức Viét ta có      và   Ta có:   =  Vậy m đạt giá trị nhỏ nhất là  khi   m 1 = 0  m = 1 ( thỏa mãn điều kiện m >) Ví dụ 3: Cho phương trình  a)  Giải phương trình khi m = 0. b) Tìm m để  phương trình có 3 nghiệm phân biệt. c) Gọi x1, x2, x3  là ba nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị  lớn nhất của biểu   thức: Lời giải: a) Thay m = 0 và phương trình (1) ta được: Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 1 b) Thay x = 1 vào vế trái của phương trình (1) ta được:  nên (1) có nghiệm x = 1 Do đó (1)         x = 1 hoặc  (2) Để (1) có ba nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1 Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt      x = 1 không là nghiệm của (2)  2 + 2m + 2 + m2 + 4m + 3 0      m2 + 6m + 7  0      Vậy phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi  5 
  18. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI Với 5 
  19. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI a)  Ta có:  ’ = (m – 1)2 – (– 3 – m ) =             Do  với mọi m;      > 0 với mọi m          Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt            Theo định lí Viet ta có:     Tư (1)  m = thay vào (2) ta được   x1 + x2+2x1x2 = – 8       Vậy  x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m b)  Từ ý a) ta có: x1 + x2 + 2x1x2 = – 8   x1(1+2x2) = – ( 8 + x2)    Vậy      () Ví dụ 3:  Cho phương trình  có hai nghiệm x1 và x2. Hệ thức  liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc  vào m là:  A.   B.  B.  D.      Đáp án: A Ví dụ 4:  Cho phương trình . Công thức biểu thị x1 theo x2 là: A.   B.  C.  D.     Đáp án: C Dạng 10. Tìm giao điểm và xác định số giao điểm của hai đồ thị (P): y = ax (a0) và (D): y = ax +  2  b 1) Phương pháp chung: a) Tìm giao điểm của hai đồ thị (P): y = ax2 (a0) và (D): y = ax + b ̣  Lâp ph ương trinh hoanh đô giao điêm cua (P) va (D): cho 2 vê phai cua 2 ham ̀ ̀ ̣ ̉ ̉ ̀ ́ ̉ ̉ ̀   sô băng  nhau đ ́ ̀ ưa vê pt bâc hai dang ax ̀ ̣ ̣ 2  + bx  + c = 0. ̉ ̣  Giai pt hoanh đô giao điêm: ̀ ̉ ̣ ̣ ̣ ̉ + Nêu  > 0  pt co 2 nghiêm phân biêt (D) căt (P) tai 2 điêm phân biêt. ́ ́ ́ ̣ ́ ̣ + Nêu  = 0  pt co nghiêm kep  (D) va (P) tiêp xuc nhau. ́ ́ ̀ ́ ́ ́ ̣ + Nêu   0 giai bât pt  tim m. ́ ́ ̀ ̣ ̉ ̉ + (Dm) tiêp xuc (P) tai 1 điêm  = 0 giai  pt  tim m. ́ ́ ̀  19
  20. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI ̀ ̉ + (Dm) va (P) không giao nhau  khi    b) Phương trình của đường thẳng (d) vuông góc với (D) và (d) tiếp xúc với (P) có dạng :          (d)  (D) nên a.1 =  1  a = 1 . Ta có (d) : y =  x + b   Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là : x2 =  x + b  x2x + b = 0  (d) tiếp xúc với (P)  x2  x + b = 0 có nghiệm kép.          = 1 + 4b = 0  b = .  Phương trình  đường thẳng (d) cần tìm là : y = – x –            Ví dụ 3: Trªn mÆt ph¼ng täa ®é Oxy, ®å thÞ c¸c hµm sè y = x2 vµ y = 4x + m c¾t nhau t¹i hai ®iÓm   ph©n biÖt khi vµ chØ khi A. m > 1. B. m 
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.04: Bộ 290+ Đề Thi Vào Lớp 10 Năm 2020
290 tài liệu
507 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2