Chuyên đề I: Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số

Chuyên đề I:

Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo

hàm và đồ thị của hàm số.

1. Chiều biến thiên của hàm số.

Lý thuyết: Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số





y f x



1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo hàm





y f x

 

. Giải phương trình





f x





để tìm các nghiệm





1,2...,

x i n

.

3. Sắp xếp các nghiệm

theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải và lập bảng

biến thiên của hàm số.

4. Kết luận (hàm số đồng biến trên khoảng mà





f x





và ngược lại).

Ví dụ: Xét chiều biến thiên của hàm số

y x

 

Gợi ý giải:

 Đ/k xác định: 2

4 0

 

4 2 2

x x

     

Tập xác định của hàm số





2;2

D  .

 Đạo hàm:

 

2 2

2 4 4

x x





 

 

0 0

y x



  

thuộc





2;2



Dấu của



cùng dấu với biểu thức



 Ta có bảng biến thiên





+ 0



 Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng





2;0

 và

nghịch biến rtreen khoảng





0;2

Một lưu ý quan trọng đó là nếu tập xác định là khoảng





;

a b

hoặc hàm số

gián đoạn tại

thì ta cần tính các giới hạn

lim

x a



,

lim

x b



 và

lim

x x



,

lim

x x





để điền vào bảng biến thiên.

Bài tập:

Câu 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

1) 5 3

1 4

3 1

5 3

y x x x

   

;

y x

 



;

3) Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tan sin , 0

x x x



  

1 1 , 0

x x

    

Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHTN): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm

số 4 2

8 2

y x x

  

Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHXH): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm

số 3

3 1

y x x

  

Đáp số: Câu 2: H/số đồng biến trên các khoảng









2;0 , 2;

 

H/số nghịch biến trên các khoảng









; 2 , 0;2

 

Câu 3: H/số đồng biến trên các khoảng





1;1



2. Cực trị của hàm số.

Lý thuyết:

- Định lý 1, định lý 2 SGK Giải tích 12.

Dạng 1: Tìm m để hàm số





y f x m

đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại

x x



Cách giải:

 Tính





y f x m

 



 Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại

x x



là









0 0

, 0

y x f x m

 

 

Giải phương trình này tìm được m.

 Thử lại (Điều kiện đủ)

Với giá trị của m tìm được, ta tính





y x

 .

- Nếu





y x





thì hàm số đạt cực tiểu tại

x x



- Nếu





y x





thì hàm số đạt cực đại tại

x x



Căn cứ vào yêu cầu đề để chọn giá trị của m thỏa mãn.

 Kết luận.

Còn có cách khác để thử lại đó là lập bảng biến thiên để kiểm tra xem hàm số

đạt cực đại hay cực tiểu tại

x x



Ví dụ 1: Tìm m để hàm số 2

x mx

x m

 

 đạt cực đại tại



Gợi ý giải:

Để dễ tính đạo hàm ta chia tử cho mẫu được

y x

x m

 



 Đ/k xác định

x m x m

    

 Đạo hàm

 

1 1

1y x x m

x m



 

   

 



  

   

2 1

  

 Đ/k cần để hàm số đạt cực đại tại



là





2 0





   

1 0 2 1

     



2 1 1

2 1 3

m m

   

 

 

 

    

 

 Thử lại (đ/k đủ)

Ta có

   

2 3

1 2

1 0y

x m x m



 

  

   

 

 

 

 

x m



- Với

 

, ta có

   

2 2 0

2 1

y

  

 nên trường hợp này hàm số đạt cực tiểu

tại



(không thỏa đề bài).

- Với

 

ta có

   

2 2 0

2 3

y

   

 nên trường hợp này hàm số đạt cực đại

tại



(thỏa đề bài)

 Kết luận: Giá trị của m phải tìm là

 

Dạng 2: Chứng minh hàm số





y f x m

 luôn có cực trị với mọi giá trị của tham

số m.

Cách giải:

Chứng tỏ





, 0

fy x m



luôn có nghiệm và đổi dấu khi x chạy qua các nghiệm

đó.

- Với hàm số bậc ba, chứng tỏ



có delta dương;

- Với hàm số bậc bốn (trùng phương) cần theo yêu cầu đề để tìm m để



có 1

nghiệm, hoặc 3 nghiệm.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm số 3

2 1

y x mx x

   

luôn có một điểm cực đại

và một điểm cực tiểu với mọi giá trị của m.

Gợi ý giải:

 Tập xác định của hàm số:



฀

 Đạo hàm 2

3 2 2

y x mx



  

là tam thức bậc hai có

   

2 4.3. 2 4 24

m m

     

  

฀

Suy ra





có hai nghiệm phân biệt và



đổi dấu (có thể lập bảng xét dấu với

hai nghiệm

1 2

x x

) khi x đi qua hai nghiệm đó.

 Vậy hàm số luôn có một cực đại, một cực tiểu với mọi m.

Bài tập:

Câu 1 (Đề TN 2006, KPB): Cho hàm số 3 2

6 9

y x x x

  

có đồ thị (C). Với giá trị

nào của tham số m, đường thẳng 2

y x m m

  

đi qua trung điểm của đoạn

thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C).

Câu 2: Tìm m để hàm số 3 2 2

y x mx m x

 

    

 

  có cực trị tại



. Khi đó

hàm số đạt cực đại hay cực tiểu ? Tính cực trị tương ứng ?

Câu 3: (TN BTTH 2006)

Chứng minh hàm số

 

3 2

2 3 9

y x mx m x

    

luôn có cực trị với mọi giá trị

của tham số m ?

Gợi ý – đáp số:

Câu 1: Tìm tọa độ hai cực trị của hàm số





3;0





1;4

Trung điểm hai cực trị





2;2

M. Cho





2;2

M thuộc đường thẳng 2

y x m m

  

, ta có 2

2 2

m m

  

. Giải tìm m.

Chuyên đề I: Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số

Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số. 1. Chiều biến thiên của hàm số. Lý thuyết: Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y  f  x 

Chủ đề:

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi