Chuyên đề I:
Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo
hàm và đồ thị của hàm số.
1. Chiều biến thiên của hàm số.
Lý thuyết: Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
y f x
1. Tìm tập xác định
2. Tính đạo hàm
y f x
. Giải phương trình
0
f x
để tìm các nghiệm
1,2...,
i
x i n
.
3. Sắp xếp các nghiệm
i
x
theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải và lập bảng
biến thiên của hàm số.
4. Kết luận (hàm số đồng biến trên khoảng mà
0
f x
và ngược lại).
Ví dụ: Xét chiều biến thiên của hàm số
2
4
y x
Gợi ý giải:
Đ/k xác định: 2
4 0
x
2
4 2 2
x x
Tập xác định của hàm số
2;2
D .
Đạo hàm:
2
2 2
4
2 4 4
x
x
y
x x
0 0
y x
thuộc
2;2
Dấu của
y
cùng dấu với biểu thức
x
.
Ta có bảng biến thiên
x
2
0
2
y
+ 0
y
0
2
0
Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng
2;0
và
nghịch biến rtreen khoảng
0;2
Một lưu ý quan trọng đó là nếu tập xác định là khoảng
;
a b
hoặc hàm số
gián đoạn tại
0
x
thì ta cần tính các giới hạn
lim
x a
y
,
lim
x b
y
và
0
lim
x x
y
,
0
lim
x x
y
để điền vào bảng biến thiên.
Bài tập:
Câu 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
1) 5 3
1 4
3 1
5 3
y x x x
;
2)
4
1
y x
x
;
3) Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) tan sin , 0
2
x x x
b)
1 1 , 0
2
x
x x
.
Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHTN): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm
số 4 2
8 2
y x x
.
Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHXH): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm
số 3
3 1
y x x
.
Đáp số: Câu 2: H/số đồng biến trên các khoảng
2;0 , 2;
H/số nghịch biến trên các khoảng
; 2 , 0;2
Câu 3: H/số đồng biến trên các khoảng
1;1
2. Cực trị của hàm số.
Lý thuyết:
- Định lý 1, định lý 2 SGK Giải tích 12.
Dạng 1: Tìm m để hàm số
,
y f x m
đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại
0
x x
.
Cách giải:
Tính
,
y f x m
Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại
0
x x
là
0 0
, 0
y x f x m
.
Giải phương trình này tìm được m.
Thử lại (Điều kiện đủ)
Với giá trị của m tìm được, ta tính
0
y x
.
- Nếu
0
0
y x
thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x x
- Nếu
0
0
y x
thì hàm số đạt cực đại tại
0
x x
.
Căn cứ vào yêu cầu đề để chọn giá trị của m thỏa mãn.
Kết luận.
Còn có cách khác để thử lại đó là lập bảng biến thiên để kiểm tra xem hàm số
đạt cực đại hay cực tiểu tại
0
x x
.
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số 2
1
x mx
y
x m
đạt cực đại tại
2
x
.
Gợi ý giải:
Để dễ tính đạo hàm ta chia tử cho mẫu được
1
y x
x m
Đ/k xác định
0
x m x m
Đạo hàm
2
1 1
1y x x m
x m
2
1
2 1
2
y
m
Đ/k cần để hàm số đạt cực đại tại
2
x
là
2 0
y
2
2
1
1 0 2 1
2
m
m
2 1 1
2 1 3
m m
m m
Thử lại (đ/k đủ)
Ta có
2 3
1 2
1 0y
x m x m
3
2
x m
- Với
1
m
, ta có
3
2
2 2 0
2 1
y
nên trường hợp này hàm số đạt cực tiểu
tại
2
x
(không thỏa đề bài).
- Với
3
m
ta có
3
2
2 2 0
2 3
y
nên trường hợp này hàm số đạt cực đại
tại
2
x
(thỏa đề bài)
Kết luận: Giá trị của m phải tìm là
3
m
.
Dạng 2: Chứng minh hàm số
,
y f x m
luôn có cực trị với mọi giá trị của tham
số m.
Cách giải:
Chứng tỏ
, 0
fy x m
luôn có nghiệm và đổi dấu khi x chạy qua các nghiệm
đó.
- Với hàm số bậc ba, chứng tỏ
y
có delta dương;
- Với hàm số bậc bốn (trùng phương) cần theo yêu cầu đề để tìm m để
y
có 1
nghiệm, hoặc 3 nghiệm.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm số 3
2 1
y x mx x
luôn có một điểm cực đại
và một điểm cực tiểu với mọi giá trị của m.
Gợi ý giải:
Tập xác định của hàm số:
D
Đạo hàm 2
3 2 2
y x mx
là tam thức bậc hai có
22
2 4.3. 2 4 24
m m
0,
m
.
Suy ra
0
y
có hai nghiệm phân biệt và
y
đổi dấu (có thể lập bảng xét dấu với
hai nghiệm
1 2
,
x x
) khi x đi qua hai nghiệm đó.
Vậy hàm số luôn có một cực đại, một cực tiểu với mọi m.
Bài tập:
Câu 1 (Đề TN 2006, KPB): Cho hàm số 3 2
6 9
y x x x
có đồ thị (C). Với giá trị
nào của tham số m, đường thẳng 2
y x m m
đi qua trung điểm của đoạn
thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C).
Câu 2: Tìm m để hàm số 3 2 2
5
3
y x mx m x
có cực trị tại
1
x
. Khi đó
hàm số đạt cực đại hay cực tiểu ? Tính cực trị tương ứng ?
Câu 3: (TN BTTH 2006)
Chứng minh hàm số
3 2
1
2 3 9
3
y x mx m x
luôn có cực trị với mọi giá trị
của tham số m ?
Gợi ý – đáp số:
Câu 1: Tìm tọa độ hai cực trị của hàm số
3;0
A,
1;4
B
Trung điểm hai cực trị
2;2
M. Cho
2;2
M thuộc đường thẳng 2
y x m m
, ta có 2
2 2
m m
. Giải tìm m.
