Chuyên đề ôn thi đại học môn Toán số 5: Elip

Chia sẻ: T N | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

377
lượt xem 154
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề ôn thi đại học môn toán số 5: elip', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi đại học môn Toán số 5: Elip

CHUYEÂN ÑEÀ 5 ELIP Caùc baøi toaùn veà elip chuû yeáu qui veà vieäc vieát phöông trình chính taéc cuûa elip, xaùc ñònh caùc phaàn töû cuûa elip (taâm, ñænh, tieâu cöï, ñoä daøi truïc lôùn, truïc nhoû, tieâu ñieåm…), nhaát laø xaùc ñònh phöông trình cuûa tieáp tuyeán cuøng vôùi toïa ñoä tieáp ñieåm. Trong moïi tröôøng hôïp ta caàn naém vöõng kieán thöùc cô baûn sau ñaây : . Elip (E) coù tieâu ñieåm . Elip (E) coù tieâu ñieåm treân x′ x treân y′ y Phöông trình x2 y2 x2 y2 (E) : + 2 =1 (E) : + 2 =1 chính taéc a2 b a2 b a2 > b2 vaø a2 – b2 = c2 a2 < b2 vaø b2 – a2 = c2 Tieâu cöï 2c 2c Tieâu ñieåm F1(–c, 0), F2(c, 0) F1(0, –c), F2(0, c) Truïc lôùn Treân Ox, daøi 2a Treân Oy, daøi 2b Truïc nhoû Treân Oy, daøi 2b Treân Ox, daøi 2a Ñænh treân truïc lôùn A1(–a, 0), A2(a, 0) A1(0, –b), A2(0, b) Ñænh treân truïc nhoû B1(0, –b), B2(0, b) B1(–a, 0), B2(a, 0) c c Taâm sai e= e= a b Baùn kính qua tieâu ⎧r1 = F1M = a + ex M ⎧r1 = F1M = b + ey M Ñieåm cuûa M ∈ (E) ⎨ ⎨ ⎩r2 = F2 M = a − ex M ⎩r2 = F2 M = b − ey M Ñöôøng chuaån a b Δ1,2 : x = ± Δ1,2 : y = ± e e * Ghi chuù : 1
Tröôøng hôïp elip coù taâm I( α , β ) hai truïc cuøng phöông vôùi 2 truïc toïa ñoä thì phöông trình coù daïng (x − α) 2 ( y − β) 2 + =1 a2 b2 Ta dôøi heä truïc toïa ñoä xOy ñeán XIY baèng pheùp tònh tieán theo OI ñeå ñöôïc phöông trình daïng chính taéc cuûa elip laø X2 Y2 ⎧X = x − α + 2 = 1 vôùi ⎨ a2 b ⎩Y = y − β ñeå suy ra deã daøng toïa ñoä caùc ñænh vaø tieâu ñieåm. x2 y2 x x . Tieáp tuyeán vôùi elip (E) : + 2 = 1 taïi tieáp ñieåm M0(x0, y0) coù phöông trình 02 a 2 b a y0y + =1 b2 . Tröôøng hôïp khoâng bieát tieáp ñieåm ta aùp duïng tính chaát : (Δ) : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi elip x2 y2 (E) : + 2 =1 ⇔ a2A2 + b2B2 = C2 a2 b Thöôøng ta vieát phöông trình cuûa ( Δ ) theo heä soá goùc ôû daïng kx – y + c = 0 vaø löu yù tröôøng hôïp ( Δ ) ⊥ x′ x töùc (Δ) :x = ±a x2 y2 . Elip (E) : + 2 = 1 coù 2 tieáp tuyeán cuøng phöông vôùi Oy laø a2 b x = ± a. Ngoaøi 2 tieáp tuyeán x = ± a, moïi tieáp tuyeán khaùc vôùi ( E) ñeàu coù daïng y = kx + m hoaëc daïng y = k ( x –x0 ) + y0 neáu tieáp tuyeán ñi qua ( x0 , y0 ) laø ñieåm naèm ngoaøi elip. Ví duï1 : Cho elip (E) : x2 + 4y2 – 40 = 0 a) Xaùc ñònh tieâu ñieåm, hai ñænh treân truïc lôùn, 2 ñænh treân truïc nhoû vaø taâm sai cuûa (E). b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) taïi ñieåm M0(–2, 3). c) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi elip (E) bieát noù xuaát phaùt töø ñieåm M(8, 0). 2
d) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) bieát noù vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng (D) : 2x – 3y + 1 = 0, tính toïa ñoä tieáp ñieåm. Giaûi a) Tieâu ñieåm, caùc ñænh vaø taâm sai cuûa (E) (E) : x2 + 4y2 – 40 = 0 x2 y2 x2 y2 ⇔ + = 1 coù daïng 2 + 2 = 1 40 10 a b vôùi a2 = 40 > b2 = 10 ⇒ c2 = a2 – b2 = 30 ⇒ a = 2 10 , b = 10 , c= 30 Vaäy elip (E) coù truïc lôùn treân Ox, hai tieâu ñieåm naèm treân truïc lôùn laø F1(– 30 , 0) , F2( 30 , 0). Hai ñænh treân truïc lôùn laø A1(–2 10 , 0), A2(2 10 , 0) Truïc nhoû cuûa (E) naèm treân Oy vôùi 2 ñænh laø B1(0, – 10 ), B2(0, 10 ). c 30 3 Taâm sai cuûa elip (E) laø e = = = a 2 10 2 b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) taïi M0(–2, 3) 2 2 Ta coù x 02 + 4 y 02 – 40 = ( −2 ) + 4 ( 3) – 40 = 0 ⇒ M0(–2, 3) ∈ (E) : x2 + 4y2 – 40 = 0 ⇒ Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) taïi tieáp ñieåm M0(–2, 3) seõ laø: x0x + 4y0y – 40 = 0 ⇔ –2x + 12y – 40 = 0 ⇔ x - 6y + 20 = 0 c) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi elip phaùt xuaát töø M(8, 0). (E) coù hai tieáp tuyeán cuøng phöông vôùi 0y laø: x = ±2 10 .Hai tieáp tuyeán naøy khoâng ñi qua M(8,0). Vaäy pt tieáp tuyeán ( Δ ) qua M(8, 0) coù daïng: y= k(x – 8) ⇔ kx – y – 8k = 0 x2 y2 ( Δ ) tieáp xuùc vôùi elip (E) : + =1 40 10 ⇔ 40k2 + 10 = 64k2 3
10 5 5 15 ⇔ k2 = = ⇔ k= ± = ± 24 12 2 3 6 Vaäy coù 2 tieáp tuyeán vôùi (E) qua M(8, 0) laø : 15 5 x–y–8 =0 ⇔ 15 x – 6y – 8 5 = 0 6 6 15 5 hay – x–y+8 =0 ⇔ 15 x + 6y – 8 5 = 0 6 6 d) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) vaø vuoâng goùc vôùi (D) ( Δ′ ) ⊥ (D) vôùi (D) : 2x – 3y + 1 = 0 ⇒ ( Δ′) : 3x + 2y + C = 0 x2 y2 ( Δ′) tieáp xuùc (E) : + =1 40 10 ⇔ 40.9 + 10.4 = C2 ⇔ C2 = 400 ⇔ C = ± 20 Goïi M0(x0, y0) laø tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán ( Δ′ ) vôùi (E) thì ( Δ′ ) : x0 x y y + 0 =1 ⇔ x0x + 4y0y – 40 = 0 40 10 Vôùi C = 20 ⇒ ( Δ′ ) : 3x + 2y + 20 = 0 x0 4y 0 −40 ⇒ = = 3 2 20 ⎧ x 0 = −6 ⇔⎨ hay M0 (–6, –1) ⎩ y 0 = −1 Vôùi C = –20 ⇒ ( Δ′ ) : 3x + 2y – 20 = 0 x0 4y 0 −40 ⇒ = = 3 2 −20 ⎧ x0 = 6 ⇔ ⎨ hay M0(6, 1). ⎩y0 = 1 4
Ví duï2 :(ÑH KHOÁI D-2005) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho ñieåm C (2; 0) vaø elíp x2 y2 (E) : + = 1 . Tìm toïa ñoä caùc ñieåm A, B thuoäc (E), bieát raèng hai ñieåm A, B ñoái xöùng vôùi 4 1 nhau qua truïc hoaønh vaø tam giaùc ABC laø tam giaùc ñeàu Giaûi 4 − a2 4 − a2 Giaû söû A (a, ) ∈ (E) ⇒ B (a, − ) ∈ (E) 2 2 Vaø ñieàu kieän: –2 < a < 2. Do A,B ñoái xöùng qua Ox neân ta coù: ΔCAB ñeàu ⇔ CA2 = AB2 4 − a2 ⇔ (a – 2)2 + = 4 – a2 ⇔ 7a2 – 16a + 4 = 0 4 ⇔ a = 2 (loaïi) hay a = 2 7 . Neân toïa ñoä cuûa A vaø B laø: ⎛2 4 3⎞ ⎛2 4 3⎞ ⎛2 4 3⎞ ⎛2 4 3⎞ A⎜ , ⎟ vaø B ⎜ , − ⎜7 ⎟ hoaëc A ⎜ , − ⎜7 ⎟ vaø B ⎜ , ⎜7 7 ⎟ ⎜7 7 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎟ 7 ⎠ ⎝ 7 ⎟ ⎠ ⎝ ⎟ ⎠ Ví duï3 :(ÑH KHOÁI D-2002) : x2 y2 Cho (E) : + = 1. Cho M di chuyeån treân tia 0x, N di chuyeån treân tia 0y sao cho ñöôøng 16 9 thaúng MN luoân tieáp xuùc (E). Tìm toïa ñoä ñieåm M, N sao cho ñoä daøi ñoaïn MN ngaén nhaát. Tìm ñoä daøi ñoaïn ngaén nhaát ñoù. Giaûi M (m, 0) ∈ tia Ox; N (0, n) ∈ tia Oy ⇒ n, m > 0 x2 y2 (E) : + = 1. MN : nx + my – n.m = 0 16 9 16 9 (MN) tieáp xuùc (E) ⇔ 2 + 2 = 1 m n Ta coù : MN2 = m2 + n2 .Theo BÑT BCS ta coù 4 3 16 9 Ta coù : 7 = .m + .n ≤ + 2 m 2 + n 2 = MN m n m 2 n m n m2 n2 MN nhoû nhaát ⇒ = ⇔ = 4 3 4 3 m n ⇔ 3m2 = 4n2 vaø m2 + n2 = 49 ⇔ m2 = 28 vaø n2 = 21 Do ñoù : MN nhoû nhaát ⇔ m = 2 7 vaø n = 21 (vì m, n>0) ⇒ M ( 2 7 , 0); N (0, 21 ). Khi ñoù min MN = 7. Ví duï4 :(ÑH KHOÁI D-2005) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxy, cho elip (E): x2 y2 + = 1 vaø ñöôøng thaúng dm : mx – y – 1 = 0. 9 4 5
a) Chöùng minh raèng vôùi moïi giaù trò cuûa m, ñöôøng thaúng dm luoân caét elip (E) taïi hai ñieåm phaân bieät. b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (E), bieát raèng tieáp tuyeán ñoù ñi qua ñieåm N (1; −3). Giaûi x2 y 2 a) (E) : + =1⇔ 4x2 + 9y2 – 36 = 0 9 4 (dm) : mx – y – 1 = 0 ⇔ y = mx – 1 Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (dm) vôùi (E) : 4x2 + 9(mx – 1)2 – 36 = 0 ⇔ (4 + 9m2)x2 – 18mx – 25 = 0 coù Δ' = 81m2 + 25(4 + 9m2) > 0 ñuùng vôùi moïi m Vaäy (dm) luoân luoân caét (E) taïi 2 ñieåm phaân bieät. b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) qua N(1; −3) 2 tieáp tuyeán thaúng ñöùng cuûa (E) laø x = ± 3 ( khoâng qua N ) Goïi Δ laø tieáp tuyeán qua N(1; −3) thì phöông trình Δ coù daïng: y + 3 = k(x – 1) ⇔ kx – y – 3 – k = 0 (Δ) tieáp xuùc vôùi (E) ⇔ 9k2 + 4 = (−3 – k)2 = 9 + 6k + k2 ⎡ 1 ⎢ k1 = − 2 ⇔ 8k2 – 6k – 5 = 0 ⇔ ⎢ ⎢k = 5 ⎢ 2 4 ⎣ Δ1 : x + 2y + 5 = 0; Δ2 : 5x – 4y – 17 = 0. *** 6