CHUYEÂN ÑEÀ 1
TOÏA ÑOÄ PHAÚNG
Trong caùc baøi toaùn veà toïa ñoä trong maët phaúng thöôøng gaëp caùc yeâu caàu nhö tìm toïa ñoä moät ñieåm, moät vectô, tính ñoä daøi moät ñoaïn thaúng, soá ño goùc giöõa hai vectô, quan heä cuøng phöông hoaëc vuoâng goùc giöõa hai vectô, 3 ñieåm thaúng haøng.
Ta vaän duïng caùc kieán thöùc cô baûn sau ñaây:
(cid:71) b
(cid:71) Cho a = (
, = ta coù:
)
)
a , a 1
( 1 b , b
2
2
1
(cid:71) a =
(cid:71) b
a = b 1 a = b
2
2
⎧ ⎨ ⎩
⇔
(cid:71) a +
1
2
2
= ( , ) a + b a + b 1
(cid:71) b (cid:71) b
1
2
2
(cid:71) a – (cid:71)
= ( , ) a - b a - b 1
∈ R)
2a
) (k k a = (k
(cid:71) α + a
α 1a
β 1b , α 2a + β 2b )
= ( + , k 1a (cid:71) β b
(cid:71) a .
(cid:71) b
1a 1b
2a
2b
= +
2
. Vôùi caùc quan heä veà ñoä daøi ta coù:
a + a
(cid:71) a
(cid:71) a = (
2 1
1a
2a
2
, ) = ⇒
A
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB
Bx
Ax
By
Ay
A x , y A = ( – , – ) ⇒
( (
) )
B
2
2
+
B x , y B ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
x - x
vaø AB =
(
)
)
B
A
( y - y B
A
. Vôùi quan heä cuøng phöông hoaëc vuoâng goùc ta coù:
(cid:71) a
(cid:71) ⊥ b
2b
2a
= 0 ⇔ 1a 1b
(cid:71) a
1a
2b
2a
1b
2
(cid:71) cuøng phöông – = 0 (cid:71) b ⇔ + (cid:71) sin( a, b) = 0 ⇔
1b
2b ≠ 0)
a b
a 1 b 1
= ( , ⇔
2 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ⇔ AB
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) cuøng phöông AC
A, B, C thaúng haøng
B
B
A
x - x y - y A x - x y - y A
C
C
A
= 0 ⇔
. Vôùi vieäc tìm goùc cuûa hai vectô ta coù:
(cid:71) - Goùc hình hoïc taïo bôûi hai vectô a
(cid:71) , b
ñöôïc suy töø coâng thöùc:
(cid:71) (cid:71) (cid:110) a, b
(1) ) = cos( a b + a b 1 1 22 (cid:71) (cid:71) a . b
(cid:71) - Soá ño goùc ñònh höôùng cuûa hai vectô a
(cid:71) , b
ngoaøi (1) coøn ñöôïc suy theâm töø moät trong
hai coâng thöùc:
2
a b - a b 1 2 1 (cid:71) (cid:71) a . b
(cid:71) (cid:71) sin( a, b) =
2
a b - a b 1 2 1 a b + a b 1 1 2
2
(cid:71) (cid:71) tg( a, b) =
Ngoaøi ra trong caùc baøi toaùn veà toïa ñoä phaúng ta coù theå aùp duïng caùc keát quaû sau ñaây:
Mx
My
A
B
. M( , ) laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB
A
B
x = M ⇔
y = M x + x 2 y + y 2 ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
Δ ABC
Gx
Gy
A
C
. G( , ) laø troïng taâm cuûa
C
A
x = G ⇔
y = G x + x + x B 3 y + y + y B 3 ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
Iy
Jx
Jy
Δ
Ix ABC thì:
. I( , ) vaø J( , ) laø chaân ñöôøng phaân giaùc trong vaø ngoaøi cuûa goùc A trong
AB AC
(cid:74)(cid:74)(cid:71) IB (cid:74)(cid:74)(cid:71) IC
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) JB = − (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) JC
= −
Ax
Ay
Bx
By
Cx
Cy
B
B
A
. Vôùi A( , ), B( , ), C( , ) thì dieän tích tam giaùc ABC laø:
Δ
Δ =
1 2
x - x y - y A x - x y - y A
C
C
A
S = vôùi
Ví duï 1:
Trong maët phaúng Oxy cho ba ñieåm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2).
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AM
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BM
a) Tìm toïa ñoä ñieåm D ñoái xöùng vôùi A qua B.
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) - 4 CM
(cid:71) = 0
b) Tìm toïa ñoä ñieåm M ñeå 2 + 3
c) Tìm toïa ñoä ñieåm E ñeå ABCE laø hình thang coù moät caïnh ñaùy laø AB vaø E naèm treân
Δ
Ox.
d) Tìm toïa ñoä tröïc taâm H, troïng taâm G vaø taâm I ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ABC.
e) Chöùng toû H, G, I thaúng haøng.
Giaûi
a) D laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua B
A
D
B laø trung ñieåm cuûa AD ⇔
A
D
x = B ⇔
y = B x + x 2 y + y 2 ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
D
B
A
x = 2x − − 2 = 2 − hay D(–2, 7) ⇔ y = 2y −
( ) x = 2 0 ( ) y = 2 3 + 1 = 7
D
A
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
B (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AM
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) + 3 BM – 4 CM
(cid:71) = 0
b) Ta coù: = ( 0, 0 ) 2
M
M
M
0 − − − − ⇔ − − −
( ( ) 2 + 3 x 2 x ( ) ( 2 y + 1 + 3 y
) ) 3
( 4 x ( 4 y
) 4 = 0 ) 2 = 0
M
M
M
x = 12
−
M
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
y = 1
−
M
⎧ ⎨ ⎩
hay M(–12, –1) ⇔
y = 0
E
c) ABCE laø hình thang coù ñaùy AB vaø E naèm treân Ox.
=
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ΑΒ
Ey = 0 ⎧⎪ (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ⎨ // CE ⎪⎩
x - 4 E 0 - 2
y - 2 E 3 + 1
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
y = 0
E
⇔ ⇔
x = 5
E
⎧ ⎨ ⎩
Δ
hay E(5, 0) ⇔
d) H laø tröïc taâm cuûa ABC
⊥ AH BC ⇔ ⇔ ⊥ BH AC (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AH.BC = 0 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BH.AC = 0 ⎧ ⎨ ⎩ ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
H
H
4 0 − − + + − = x 2 0 y ⇔ 4 2 0 − − + − + = x 0 y
)( )(
) )
( (
)( ) 3 1 2 ) )( 3 2 1
H
H
( ⎧⎪ ⎨ ( ⎪⎩
H
4
0
−
9 − =
x
y
H
= x
,
2
0
+
9 − =
18 7
x
H 3 y
9 7
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
H
H
⎧ ⎨ ⎩
hay H ⇔ ⇔
H
Δ
= y 18 7 9 7 ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
G laø troïng taâm ABC ta coù:
A
C
G
+ + 4 2 x x 2 = = = x
2 ,
4 3
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
A
C
G
hay G + + 2 y y = = = y x B 3 y B 3 0 + + 3 1 3 − + + 3 4 3 ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
2
2
=
IA
IB
+ I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp Δ ABC
2
2
=
IA
IC
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
2
2
2
2
2
1
0
3
−
=
−
+
−
x
y
x
y
I
I
I
I
IA = IB = IC ⇔ ⇔
2
2
2
2
2
1
4
2
−
=
−
+
−
x
y
x
y
) )
( + − − ( + − −
) )
( (
) )
( (
) )
I
I
I
I
⎧ ( ⎪ ⎨ ( ⎪⎩
8
0
4 −
+
4 − =
x
y
⇔
4
6
15
0
I +
I −
=
x
y
I
I
⎧ ⎨ ⎩
⇔
I
12 19 , 7 14
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
= = x 12 7 hay I ⇔
I
= y 24 14 19 14 ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) vaø HI
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) HG
4 1 , 7 21
6 1 , 7 14
⎛ −⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎛ −⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
= e) Ta coù : =
2 3
− = = ⇒
− 1 21 1 14
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) HI
cuøng phöông vôùi ⇒ 4 7 6 7 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) HG
H, I, G thaúng haøng. ⇒
Ví duï 2:
Trong maët phaúng Oxy cho A(2, 2 3 ), B(1, 3 3 ), C (-1, 3 ) . Tính
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) , AB
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) cos ( AO
) vaø dieän tích tam giaùc ABC.
Giaûi
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) = (–2, –2 3 ), AB
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AO
Ta coù: = (–1, 3 ) = ( a1;a2 )
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) , AB
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) cos( AO
1 − 2
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AC = (–3, – 3 ) = = ( b1; b2 )
2 ) = = + + 6 − 4 12 1 3 .
1
3
3
3
=
−
−
−
−
−
(
)(
)
(
) = 2 3
a b 1 2
a b = 2 1
ABCS
1 2
1 2
⇒
* * *
