Dao động dầm FGM liên tục có vết nứt: Luận án Tiến sĩ Cơ kỹ thuật

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

ĐỖ NAM

DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM LIÊN TỤC CÓ VẾT NỨT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội - 2021

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

ĐỖ NAM

DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM LIÊN TỤC CÓ VẾT NỨT

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

Mã số: 9520101.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

NGƯỜINGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. GS.TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm

2. PGS.TS. Phạm Mạnh Thắng:

1. GSSKH. Nguyễn Tiến Khiêm

Hà Nội - 2021

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả luận án xin cam đoan rằng luận án bao gồm các kết quả nghiên cứu

của nghiên cứu sinh dưới sự hướng dẫn của các thầy hướng dẫn và giúp đỡ của

các đồng nghiệp, mọi kết quả của người khác đã được trích dẫn đầy đủ.

Hà Nội, ngày 09 tháng 12 năm 2021

Tác giả luận án

Đỗ NamGS.TSK

chỉ bảo và hỗ trợ trong việc nghiên cứu và hoàn thành luận án này.

Tác giả cũng cảm ơn các đồng nghiệp trong Trường Đại học Công nghệ,

Viện Cơ học, Khoa Cơ học Kỹ thuật và Tự động hóa đã nhiệt tình giúp đỡ trong

quá trình làm nghiên cứu sinh tại Khoa.

LỜI CẢM ƠN

Tác giả chân thành cảm ơn Trường Đại học Công nghệ, Khoa Cơ học Kỹ

thuật và Tự động hóa đã tạo điều kiện cho nghiên cứu sinh hoàn thành luận án

của mình. Đồng thời nghiên cứu sinh cũng đặc biệt cảm ơn các thầy hướng dẫn,

GS.TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm, PGS.TS. Phạm Mạnh Thắng đã tận tình

động viên, chỉ bảo và hỗ trợ trong việc nghiên cứu và hoàn thành luận án này.

Tác giả cũng cảm ơn các đồng nghiệp trong Trường Đại học Công nghệ,

Viện Cơ học, Khoa Cơ học Kỹ thuật và Tự động hóa đã nhiệt tình giúp đỡ trong

quá trình làm nghiên cứu sinh tại Khoa.

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ............................................. i

DANH MỤC BẢNG ............................................................................................ iii

DANH MỤC HÌNH VẼ ........................................................................................iv

MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VÀ ĐẶT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU........................ 4

1.1. Vật liệu FGM và ứng dụng ............................................................................. 4

1.2. Dao động của dầm liên tục (dầm có gối trung gian) ....................................... 6

1.3. Dao động của dầm có vết nứt .......................................................................... 7

1.3.1. Dầm đồng nhất có vết nứt ............................................................................ 7

1.3.2. Dầm FGM có vết nứt ................................................................................... 9

1.4. Đặt vấn đề nghiên cứu ................................................................................... 10

Kết luận chương 1 ................................................................................................ 12

CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN TRUYỀN ...................................... 13

2.1. Cơ sở phương pháp ma trận truyền ............................................................... 13

2.2. Phương pháp ma trận truyền cổ điển ............................................................ 14

2.3. Phương pháp ma trận truyền cải biên ............................................................ 19

2.4. Ảnh hưởng của gối trung gian đến tần số riêng của dầm liên tục ................. 23

Kết luận chương 2 ................................................................................................ 27

CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐỒNG NHẤT LIÊN TỤC CÓ VẾT NỨT .. 28

3.1. Mô hình dầm có vết nứt ................................................................................ 28

3.2. Hàm dạng dao động tổng quát của dầm đồng nhất có vết nứt ...................... 32

3.3. Áp dụng phương pháp ma trận truyền cải biên cho dầm liên tục có vết nứt 36

3.4. Ảnh hưởng vết nứt đến tần số riêng của dầm liên tục .................................. 39

3.4.1. Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng của dầm liên tục hai nhịp ........... 40

3.4.2. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt và gối trung gian trong dầm liên tục hai nhịp ..... 44

3.4.3. Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng của dầm liên tục ba nhịp ............ 49

Kết luận chương 3 ................................................ Error! Bookmark not defined.

CHƯƠNG 4. DAO ĐỘNG CỦA DẦM TIMOSHENKO FGM LIÊN TỤC CÓ

VẾT NỨT ............................................................................................................. 55

4.1. Mô hình dầm FGM có vết nứt ....................................................................... 55

4.1.1. Phương trình dao động của dầm FGM ....................................................... 55

4.1.2. Mô hình vết nứt trong dầm FGM ............................................................... 58

4.2. Hàm dạng dao động tổng quát của dầm FGM có vết nứt ............................. 59

4.3. Phương pháp ma trận truyền mở cho dầm FGM liên tục có vết nứt ............ 61

4.3.1. Ma trận truyền cho phần tử dầm FGM gối cứng hai đầu ........................... 61

4.3.2. Áp dụng phương pháp ma trận truyền cải biên cho dầm FGM liên tục .... 62

4.4. Kết quả tính toán số ....................................................................................... 65

4.4.1. Kiểm chứng phương pháp, thuật toán và chương trình ............................. 65

4.4.2. Một số đặc tính dao động của dầm đơn FGM ............................................ 69

4.4.3. Ảnh hưởng của gối trung gian đến tần số riêng của dầm FGM liên tục .... 82

4.4.4. Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng của dầm FGM liên tục ............... 84

Kết luận chương 4 ................................................................................................ 92

KẾT LUẬN CHUNG ........................................................................................... 93

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ LIÊN

QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN ........................................................................ 94

TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 95

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

Ký hiệu

Nguyên nghĩa

𝐼̄12

Hệ số tương tác dao động trong dầm FGM

2ℎ0 ℎ(𝑛 + 1)

𝑛(𝑅𝜌 − 1) (𝑛 + 2)(𝑛 + 1)(𝑅𝜌 + 𝑛)

𝑁̅(𝑥, 𝜔), 𝑀̅(𝑥, 𝜔), 𝑄̅(𝑥, 𝜔) Biên độ phức của nội lực

𝛾1 = 𝐸𝐴 𝑇⁄ , 𝛾2 = 𝐸𝐼 𝑅⁄ Độ lớn vết nứt được tính từ độ sâu vết nứt 𝛾10 = 𝐸0𝐴 𝑇⁄ , 𝛾20 = 𝐸0𝐼 𝑅⁄ Độ lớn vết nứt của dầm đồng chất

Ký hiệu ma trận truyền

[𝐓(𝑥1, 𝑥2)]

Hệ số Poisson



Hệ số điều chỉnh biến dạng trượt



𝜃(𝑥, 𝑡)

, t, b, 0 = (t + b)/2

Góc xoay của tiết diện ngang Mật độ khối của các pha vật liệu, (t – mặt trên, b – mặt dưới)

𝜔𝑗, 𝜔̄ 𝑗 = 𝜔𝑗/𝜔𝑗0

Tần số riêng và tần số riêng chuẩn hóa (tỷ số giữa tần số của dầm bị nứt và tần số riêng của dầm nguyên vẹn).

CC-beam (CCB)

Ký hiệu dầm ngàm hai đầu

CF-beam (CFB)

Ký hiệu dầm công xôn

DSM

Phương pháp độ cứng động lực (Dynamic Stiffness Method)

e, a

Vị trí và độ sâu vết nứt. Mô đun đàn hồi của các pha vật liệu, (t – mặt trên, b – mặt dưới).

𝐸, 𝐸𝑏, 𝐸𝑡 𝐸0 = (𝐸𝑏 + 𝐸𝑡) 2⁄

E-FGM

Vật liệu cơ tính biến thiên theo quy luật hàm số mũ

FEM

Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method).

FGM

Vật liệu cơ tính biến thiên nói chung (Functionally Graded Material).

𝐸

𝐺 =

, 𝐺, 𝐺𝑏, 𝐺𝑡 Mô đun trượt tính từ mô đun đàn hồi của các pha vật

2(1+𝑣)

liệu Vị trí trục trung hòa tính từ trục giữa của dầm

0 =

ℎ0 ℎ

𝑛(𝑅1−1) 2(𝑛+2)(𝑛+𝑅1)

Số sóng

ℎ0, ℎ̄ 𝑘𝑖

L, b, h

Chiều dài, chiều rộng, và chiều cao của dầm

Ký hiệu

Nguyên nghĩa

Chỉ số phân bố vật liệu (số mũ trong quy luật hàm lũy thừa)

𝑁(𝑥, 𝑡), 𝑀(𝑥, 𝑡), 𝑄(𝑥, 𝑡)

Lực dọc trục, mô men uốn và lực cắt của mặt cắt tại vị trí x

Vật liệu cơ tính biến thiên theo quy luật hàm lũy thừa Hệ số tỷ lệ của vật liệu

P-FGM 𝑟 = 𝑅𝑒 𝑅𝜌⁄

Tỷ số mật độ khối của các pha vật liệu (trên/dưới)

𝑅𝜌 = 𝜌𝑡 𝜌𝑏⁄

Tỷ số mô đun đàn hồi của các pha vật liệu (trên/dưới)

𝑅𝑒 = 𝐸𝑡 𝐸𝑏⁄ S-FGM

Vật liệu cơ tính biến thiên theo quy luật hàm Sigmoid

SS-beam (SSB)

Ký hiệu dầm tựa đơn hai đầu

T, R

Là độ cứng lò xo dọc trục và lò xo xoắn mô tả vết nứt

TMM

Phương pháp ma trận truyền (Transfer Matrix Method)

𝑈(𝑥, 𝜔), 𝑊(𝑥, 𝜔), Θ(𝑥, )

Biến đổi Fourrie (biên độ phức) của chuyển vị dọc trục, độ võng và góc xoay

Chuyển vị của điểm nằm trên mặt trung hòa

𝑢(𝑥, 𝑡), 𝑤(𝑥, 𝑡)

Nghiệm của phương trình đặc trưng

𝜆𝑗

DANH MỤC BẢNG

Bảng 2.1. Tần số của dầm hai nhịp (01 gối cứng trung gian) khi vị trí gối cứng

thay đổi ................................................................................................................. 24

Bảng 2.2. Tần số của dầm ba nhịp khi vị trí gối cứng thay đổi ........................... 25

Bảng 4.1. So sánh tần số tính bằng phương pháp ma trận truyền (TMM) và

phương pháp độ cứng động (DSM) trong các trường hợp ℓ/h =5;10 và các giá trị

khác nhau của chỉ số n. ........................................................................................ 66

Bảng 4.2. Tần số riêng của dầm FGM một, hai và ba nhịp phụ thuộc vào chỉ số

phân bố vật liệu n ................................................................................................. 82

Bảng 4.3. Ảnh hưởng của số lượng và phân bố vết nứt đến tần số riêng của dầm

iii

ba nhịp. ................................................................................................................. 91

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1. Sơ đồ hình học một tấm vật liệu FGM đặc trưng thay đổi theo chiều

dày .......................................................................................................................... 5

Hình 2.1. Ảnh hưởng của vị trí gối trung gian đến tần số riêng của dầm hai nhịp

trong hai trường hợp điều kiện biên (a) SS-beam and (b) CF-beam. .................. 26

Hình 3.1. Mô hình vết cưa.................................................................................... 29

Hình 3.2. Mô hình vết nứt .................................................................................... 29

Hình 3.3. Mô hình vết nứt cạnh ........................................................................... 30

Hình 3.4. Mô hình dầm có nhiều vết nứt ............................................................. 32

Hình 3.5. Mô hình dầm liên tục có vết nứt .......................................................... 36

Hình 3.6. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số đầu tiên ..................................... 41

của dầm đồng nhất hai nhịp tựa đơn hai đầu ....................................................... 41

Hình 3.7. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số đầu tiên ..................................... 42

của dầm đồng nhất hai nhịp ngàm hai đầu ........................................................... 42

Hình 3.8. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số đầu tiên ..................................... 43

của dầm công xôn đồng nhất hai nhịp .................................................................. 43

Hình 3.9. Ảnh hưởng của vị trí gối trung gian và vết nứt đến ba tần số đầu tiên 45

của dầm hai nhịp tựa đơn hai đầu ........................................................................ 45

Hình 3.10. Ảnh hưởng của vết nứt và vị trí gối trung gian .................................. 47

của dầm hai nhịp ngàm hai đầu ............................................................................ 47

Hình 3.11. Ảnh hưởng của vết nứt và vị trí gối trung gian .................................. 48

của dầm công xôn hai nhịp ................................................................................... 48

Hình 3.12. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số riêng đầu tiên .......................... 51

của dầm ba nhịp tựa đơn hai đầu .......................................................................... 51

Hình 3.13. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số riêng đầu tiên .......................... 52

của dầm ba nhịp ngàm hai đầu ............................................................................. 52

Hình 3.14. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số riêng đầu tiên .......................... 54

của dầm công xôn ba nhịp .................................................................................... 54

Hình 4.1. Mô hình của dầm FGM liên tục nhiều nhịp có vết nứt ........................ 55

Hình 4.2. Mô hình vết nứt trong dầm FGM ......................................................... 58

Hình 4.3. So sánh tần số cơ bản của dầm FGM có vết nứt tính được bằng các

phương pháp TMM, DSM và p-FEM; a – dầm tựa đơn hai đầu; b – dầm ngàm

hai đầu .................................................................................................................. 68

Hình 4.4. Vị trí trục trung hoà phụ thuộc vào số mũ n với các giá trị ................. 70

tỷ số mô đun đàn hồi khác nhau. .......................................................................... 70

Hình 4.5 Vị trí trục trung hòa (tính từ trục giữa dầm) phụ thuộc vào tỷ số ......... 71

đàn hồi với các giá trị khác nhau của chỉ số n. a) Re<1; b) Re>1. ...................... 71

Hình 4.6. Hệ số tương tác giữa dao động dọc trục và dao động uốn, 𝐼12, phụ

thuộc vào tỷ số mô đun đàn hồi và hệ số tỷ lệ thể tích n, Ro=1, a) Re<1; b) Re >1

.............................................................................................................................. 73

Hình 4.7. Ảnh hưởng của trục trung hòa đến tần số riêng của dầm FGM ........... 74

Hình 4.8. Ảnh hưởng của hệ số tương tác dao động đến tần số riêng của dầm

FGM ..................................................................................................................... 74

Hình 4.9. Ảnh hưởng của tỷ số mô đun đàn hồi đến tần số riêng của dầm FGM 75

Hình 4.10. Ảnh hưởng của tỷ số mật độ khối đến tần số riêng của dầm FGM ... 75

Hình 4.11. Ảnh hưởng của độ mảnh đến trật tự sắp xếp các dạng dao động ...... 77

Hình 4.12. Ảnh hưởng độ sâu vết nứt a/h (a), chỉ số phân bố vật liệu n (b) và tỷ

số mô đun đàn hồi r (c) đến tần số thứ nhất của dầm FGM tựa đơn hai đầu ....... 79

Hình 4.13. Ảnh hưởng độ sâu vết nứt a/h (a), chỉ số phân bố vật liệu n (b) và tỷ

số mô đun đàn hồi r (c) đến tần số thứ hai của dầm FGM tựa đơn hai đầu ......... 80

Hình 4.14. Ảnh hưởng độ sâu vết nứt a/h (a), chỉ số phân bố vật liệu n (b) ........ 81

và tỷ số mô đun đàn hồi r (c) đến tần số thứ ba của dầm FGM tựa đơn hai đầu. 81

Hình 4.15. Tần số cơ bản (uốn) của dầm FGM hai nhịp (a – SSB, b – CCB) ..... 85

phụ thuộc vào vị trí vết nứt và tương ứng với các giá trị khác nhau ................... 85

của độ sâu vết nứt (a/h) ........................................................................................ 85

Hình 4.16. Tần số cơ bản (uốn) của dầm FGM hai nhịp (a – SSB, b – CCB) ..... 86

phụ thuộc vào vị trí vết nứt và tương ứng với các giá trị khác nhau ................... 86

về chỉ số phân bố vật liệu (n). .............................................................................. 86

Hình 4.17. Tần số cơ bản (uốn) của dầm FGM ba nhịp (a – SSB, b – CCB) ...... 88

phụ thuộc vào vị trí vết nứt và tương ứng với các giá trị khác nhau ................... 88

của độ sâu vết nứt (a/h) ........................................................................................ 88

Hình 4.18. Tần số cơ bản (uốn) của dầm FGM ba nhịp (a – SSB, b – CCB) ...... 89

phụ thuộc vào vị trí vết nứt và tương ứng với các giá trị khác nhau ................... 89

của chỉ số phân bố vật liệu (n). ............................................................................ 89

Hình 4.19. Tần số dao động dọc trục của dầm FGM liên tục ba nhịp phụ thuộc

vào độ sâu vết nứt (a) và chỉ số phân bố vật liệu n (b). ....................................... 90

MỞ ĐẦU

Đầu những năm 80 thế kỷ trước, trong khi nghiên cứu vật liệu composite

lớp (laminated composite) một nhà khoa học Nhật Bản đã sáng chế ra một loại

vật liệu composite mới gọi là vật liệu cơ lý tính biến thiên theo quy luật hàm số

liên tục (Functionally Graded Material - FGM). Vật liệu mới này đã đem lại

nhiều ưu thế nổi trội. Cụ thể là do sự biến đổi các tính chất một cách liên tục nên

tránh được sự tập trung ứng suất và sự bong tách giữa các lớp vật liệu khác nhau.

Đặc biệt sự pha trộn liên tục các vật liệu khác nhau cho phép ta phát huy các ưu

điểm của từng loại vật liệu. Ví dụ, sự pha trộn giữa thép và gốm tạo nên một vật

liệu dai như thép nhưng lại cứng và chịu nhiệt tốt như gốm, v.v… Sự ra đời của

loại vật liệu FGM đã đặt ra nhiều bài toán cho các nhà cơ học, ví dụ, các bài toán

dao động của kết cấu dầm, tấm hay vỏ làm bằng FGM. Cơ sở để mô hình hóa vật

liệu và kết cấu FGM đã được trình bày bởi Birman và Byrd [11] và các bài toán

dao động của dầm FGM được nghiên cứu trong nhiều công trình, ví dụ như [14,

19, 33, 37, 57, 58]. Ở đây những vấn đề cơ bản của dao động riêng, dao động

cưỡng bức, thậm chí là dao động phi tuyến của dầm FGM đã được giải quyết khá

trọn vẹn. Gần đây, mô hình vết nứt trong dầm FGM và dao động của các dầm

FGM chứa các vết nứt đã được quan tâm nghiên cứu cả lý thuyết lẫn ứng dụng

[8]. Các phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp Rayleigh-Ritz hay phương

pháp độ cứng động đều đã được phát triển để nghiên cứu kết cấu dầm FGM.

Nhưng bài toán dao động của dầm FGM liên tục nhiều nhịp chứa vết nứt vẫn

chưa được quan tâm nghiên cứu, mặc dù bài toán dao động của dầm đồng nhất

liên tục nhiều nhịp đã được nghiên cứu khá chi tiết. Vì vậy, vấn đề đặt ra là

nghiên cứu dao động của dầm FGM liên tục nhiều nhịp có vết nứt.

Mục tiêu của luận án là phát triển phương pháp ma trận truyền để nghiên

cứu dao động của dầm liên tục (đồng nhất và FGM) có vết nứt làm cơ sở để chẩn

đoán vết nứt trong dầm bằng phương pháp rung động.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu là dầm Timoshenko có nhiều gối cứng

và chứa các vết nứt. Dầm được giả thiết là có tiết diện đều, làm từ vật liệu FGM

với quy luật biến đổi theo hàm lũy thừa. Vết nứt được giả thiết là luôn mở (vết

nứt cạnh), không phát triển và có thể mô tả bằng hai lò xo dọc trục và xoắn với

độ cứng tính được từ độ sâu của vết nứt theo lý thuyết cơ học phá hủy.

Phương pháp nghiên cứu là phương pháp ma trận truyền (giải tích) được

minh họa bằng các kết quả số nhận được nhờ Matlab.

Nội dung và bố cục của luận án bao gồm:

Chương 1 tổng quan về vật liệu FGM, dao động của dầm liên tục đồng nhất

có gối cứng; dầm đồng nhất có vết nứt; mô hình dầm FGM và dao động của dầm

đơn FGM có vết nứt để từ đó rút ra vấn đề nghiên cứu cho luận án.

Chương 2 trình bày về cơ sở phương pháp ma trận truyền. Phương pháp ma

trận truyền cổ điển và cải biên. Ảnh hưởng của gối trung gian đến tần số dao

động riêng của dầm liên tục đồng nhất.

Chương 3 trình bày mô hình dầm liên tục đồng nhất có vết nứt; sự phát triển

phương pháp ma trận truyền cho dầm liên tục đồng nhất có vết nứt và nghiên cứu

ảnh hưởng của gối cứng và vết nứt đến tần số riêng của dầm đồng nhất liên tục.

Chương 4 trình bày mô hình dầm FGM có vết nứt; thiết lập các phương

trình cơ bản của dầm FGM, lời giải tổng quát bài toán dao động của dầm FGM

có vết nứt trong miền tần số. Áp dụng phương pháp ma trận truyền để nghiên

cứu ảnh hưởng của gối cứng trung gian đến tần số của dầm FGM có vết nứt.

Kết luận trình bày các kết quả chính của luận án như sau: (a) Đã phát triển

phương pháp ma trận truyền để nghiên cứu dao động của FGM liên tục, nhiều

nhịp có vết nứt tránh được thuật toán xác định phản lực tại các gối trung gian

như trong phương pháp ma trận truyền cổ điển; (b) Đã nghiên cứu ảnh hưởng

của gối trung gian đến tần số riêng của dầm đồng nhất có vết nứt và phát hiện ra

rằng gối cứng trung gian làm xuất hiện một số tần số không phụ thuộc vào điều

kiện biên, được gọi là tần số gối; (c) Đã nghiên cứu ảnh hưởng của gối trung

gian, vị trí và độ sâu vết nứt, các tham số vật liệu FGM đến tần số riêng của dầm

FGM liên tục có vết nứt.

Tài liệu tham khảo bao gồm 70 tài liệu đã được trích dẫn trong luận án.

Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 5 công trình nghiên cứu,

trong đó 01 trên tạp chí ISI, 01 bài trên Tạp chí Cơ học; 01 bài trong tuyển tập Hội

nghị khoa học quốc tế và 02 bài trong Tuyển tập Hội nghị khoa học quốc gia.

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VÀ ĐẶT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1.1. Vật liệu FGM và ứng dụng

Vật liệu Composite hiện đang được ứng dụng rất rộng rãi trong các ngành

công nghiệp tiên tiến trên thế giới như: hàng không, vũ trụ; đóng tàu; ô tô, cơ

khí, xây dựng, đồ gia dụng... do có nhiều ưu điểm nổi trội so với kim loại: nhẹ,

độ bền, mô đun đàn hồi cao, khả năng cách nhiệt, cách âm tốt. Vật liệu

Composite là loại vật liệu được tổ hợp từ hai hay nhiều pha vật liệu khác nhau,

có tính chất rất khác nhau. Vật liệu composite lớp là loại được sử dụng phổ biến,

những lớp vật liệu đàn hồi đồng nhất gắn kết với nhau nhằm nâng cao đặc tính

cơ học. Tuy nhiên, sự thay đổi đột ngột đặc tính vật liệu tại mặt tiếp giáp giữa

các lớp dễ phát sinh ứng suất tiếp xúc lớn tại mặt này gây tách lớp. Một trong

những giải pháp khắc phục nhược điểm này của vật liệu composite lớp là sử

dụng vật liệu có cơ tính biến thiên - Functionally Graded Materials (FGMs).

Vật liệu FGM - là một loại composite mà các đặc tính vật liệu biến đổi liên

tục từ mặt này sang mặt khác do đó làm giảm ứng suất tập trung thường gặp

trong các loại composite lớp. Sự thay đổi dần dần đặc tính của vật liệu sẽ làm

giảm ứng suất nhiệt, ứng suất tập trung và ứng suất dư; Vật liệu FGM là một tổ

hợp các thành phần vật liệu khác nhau gọi là các Maxel (thép, Mg2Si, gốm, Ni,

Cr, Co, Al…) phân bố trong môi trường vật liệu theo một trật tự nhất định.

Đặc biệt, trong một số trường hợp bề mặt chịu nhiệt độ cao như bề mặt của

tàu không gian – máy bay ước tính có thể đạt tới 2100 K. Do đó, vật liệu ở bề

mặt phải chịu được nhiệt độ cao tới 2100 K và sự chênh lệch nhiệt độ có thể lên

tới 1600 K, trong trường hợp này thường sử dụng các vật liệu gốm chịu nhiệt ở

bề mặt nhiệt độ cao và các loại thép có độ bền cao với độ dẫn nhiệt cao ở bề mặt

có nhiệt độ thấp tạo ra sự biến thiên dần dần từ gốm tới kim loại. Do đó FGMs là

loại vật liệu được bố trí các thành phần hợp thành theo một hướng thống nhất,

các thành phần này là các vật liệu ở thể không đồng nhất cực nhỏ và được làm từ

các thành tố đẳng hướng như kim loại, gốm nên vật liệu FGMs dễ tạo ra các kết

cấu tấm, vỏ được ứng dụng ở những nơi có sự thay đổi nhiệt độ lớn, đảm bảo ổn

định hình dạng, chịu va chạm, mài mòn hay rung động.

Tuỳ thuộc vào quy luật phân bố các maxel trong không gian khối vật liệu, ta

chế tạo được các loại vật liệu FGM khác nhau. Mỗi loại vật liệu FGM này có chỉ

tiêu cơ-lý đặc trưng bởi một hàm thuộc tính vật liệu (hàm đặc trưng) xác định,

giá trị của hàm thay đổi theo chiều dày. Sử dụng quy luật toán học của hàm

thuộc tính vật liệu dùng để phân loại vật liệu. Xét một tấm hình chữ nhật làm

Vật liệu FGM E = E(z), G = G(z),  = (z)

h/2

bằng vật liệu FGM như hình vẽ.

Hình 1.1. Sơ đồ hình học một tấm vật liệu FGM đặc trưng thay đổi theo chiều dày

(1.1)

𝑉(𝑧) = 𝑉𝑏 + (𝑉𝑡 − 𝑉𝑏)𝑔(𝑧)

Hàm đặc trưng cho các đặc trưng vật liệu của tấm được biểu diễn như sau [11]:

Trong đó 𝑉(𝑧) biểu diễn các đại lượng E, G,  và các chỉ số dưới b và t ký

hiệu các pha vật liệu khác nhau (b – vật liệu ở mặt dưới và t – vật liệu ở mặt

trên). Hàm 𝑔(𝑧) mô tả tỷ lệ thể tích của các pha vật liệu khác nhau được sử dụng

để phân loại các vật liệu FGM như sau. Hiện tại người ta phân biệt 3 loại cơ bản

sau đây:

a) Loại P-FGM

ℎ 2⁄ +𝑧

(1.2)

Hàm tỷ lệ thể tích được giả thiết tuân theo quy luật hàm luỹ thừa:

𝑛 )

ℎ

𝑔(𝑧) = (

trong đó: n là chỉ số phân bố vật liệu, không âm:

z là toạ độ điểm nghiên cứu: −ℎ 2⁄ ≤ 𝑧 ≤ ℎ 2⁄

b) Loại S-FGM

Hàm tỷ lệ thể tích được giả thiết tuân theo quy luật hàm Sigmoid (sử dụng 2

quy luật hàm mũ cho 2 miền):

𝑛 )

ℎ 2⁄ −𝑧 ℎ 2⁄

với 0 ≤ 𝑧 ≤ ℎ 2⁄ (1.3) ( 𝑔1(𝑧) = 1 −

𝑛 )

ℎ 2⁄ +𝑧 ( ℎ 2⁄

(1.4) với −ℎ 2⁄ ≤ 𝑧 ≤ 0 𝑔2(𝑧) =

c) Loại E-FGM

Mô đun đàn hồi của loại vật liệu FGM này được giả thiết tuân theo quy luật

hàm số mũ [42] (hàm e mũ):

𝐸𝑡 𝐸𝑏

ln (1.5) 𝐸 (𝑧) = 𝐸𝑡𝑒−𝛿(1−2𝑧 ℎ⁄ ), 𝛿 =

Vật liệu FGM có thể được ứng dụng đối với hầu hết các lĩnh vực vật liệu.

Ví dụ như các hệ thống giao thông, các hệ thống biến đổi năng lượng, dụng cụ

cắt, bộ phận máy móc, chất bán dẫn, quang học và các hệ thống sinh học. Các

ứng dụng trong ngành hàng không vũ trụ, năng lượng hạt nhân yêu cầu độ tin

cậy cao trong khi đó trong các ứng dụng khác như các dụng cụ cắt, các trục cán

nhiệt độ cao và các chi tiết máy lại yêu cầu về độ mài mòn, nhiệt, va chạm, và độ

ăn mòn.

1.2. Dao động của dầm liên tục (dầm có gối trung gian)

Dầm liên tục nhiều nhịp là một mô hình kết cấu được sử dụng nhiều trong

kỹ thuật cầu và cơ khí chế tạo. Phân tích động lực học kết cấu dạng này là rất

quan trọng và đã được quan tâm nghiên cứu từ rất lâu. Bài toán cơ bản của động

lực học dầm liên tục nhiều nhịp là bài toán tính toán tần số và dạng dao động

riêng. Việc nghiên cứu ảnh hưởng của vị trí và số lượng gối trung gian đến tần

số dao động riêng của dầm liên tục nhiều nhịp đóng vai trò quan trọng trong việc

thiết kế tối ưu kết cấu dầm liên tục nhiều nhịp. Hơn nữa chính tần số riêng và

dạng dao động riêng là cơ sở để giải bài toán dao động cưỡng bức dưới tác dụng

của các tải trọng khác nhau. Vấn đề quan trọng trong việc nghiên cứu dầm liên

tục nhiều nhịp là mô phỏng xử lý các gối cứng trung gian. Lúc đầu, người ta coi

đó là các gối đàn hồi với độ cứng rất lớn [41-42]. Sau đó, bài toán dao động của

dầm liên trục với gối cứng trung gian được giải quyết bằng phương pháp

Rayleigh-Ritz [70] sử dụng các hàm thử là đường cong biến dạng tĩnh. Saeedi và

Bhat [52] lại giải quyết bài toán bằng cách giải phóng gối cứng và thay bằng một

lực tập trung tại các gối, lúc này ta được bài toán dao động của dầm với các lực

tập trung tại các gối. Các lực tập trung (thực chất là phản lực của gối) được tính

từ điều kiện chuyển vị triệt tiêu tại các gối. Zheng [68] lại có cách tiếp cận riêng:

ông ta tìm dạng dao động của dầm liên tục có gối cứng trung gian bằng tổng của

dạng dao động riêng của dầm tự do (không có gối trung gian) với một đa thức

bậc 3 (biến dạng tĩnh) với các hệ số được tính từ điều kiện chuyển vị bằng 0 tại

các gối. Đây hiển nhiên là dạng riêng gần đúng được tác giả sử dụng để nghiên

cứu dao động của dầm liên tục nhiều nhịp chịu tác dụng của lực di động.

Ichikawa và cộng sự [26] đã xây dựng được dạng riêng chính xác cho dầm liên

tục nhiều nhịp gối tựa hai đầu và đã sử dụng để nghiên cứu đáp ứng của dầm liên

tục nhiều nhịp dưới tác dụng của khối lượng di động. Các tác giả của các công

bố [60, 64, 65] đã nghiên cứu dầm Timoshenko liên tục nhiều nhịp với nhiều hệ

lò xo – khối lượng tập trung. Henchi và cộng sự [25] và Azizi [9] đã phát triển

phương pháp độ cứng động hay còn gọi là phương pháp phần tử phổ để nghiên

cứu dầm liên tục nhiều nhịp chịu tác dụng của tải trọng di động. Gần đây, Liu và

cộng sự [43] đã nghiên cứu dao động của dầm liên tục nhiều nhịp có vết nứt dựa

trên phương pháp ma trận truyền có kể đến chuyển vị bằng 0 tại các gối trung

gian. Tuy nhiên, ở công trình cuối tác giả vẫn sử dụng ma trận truyền qua cả gối

và vết nứt, do đó ma trận truyền sẽ rất phức tạp đòi hỏi khối lượng tính toán

nhiều nếu trong một nhịp có nhiều vết nứt. Hơn nữa các tác giả cuối chưa nghiên

cứu chi tiết ảnh hưởng của vị trí vết nứt đến các tần số riêng và ảnh hưởng của vị

trí gối trung gian đến tần số của dầm liên tục có vết nứt.

1.3. Dao động của dầm có vết nứt

1.3.1. Dầm đồng nhất có vết nứt

Hư hỏng của kết cấu được hiểu là sự thay đổi các tính chất vật lý (vật liệu,

liên kết, …) và hình học (kích thước, hình dáng, …) của kết cấu so với trạng thái

ban đầu được gọi là kết cấu nguyên vẹn. Hư hỏng kết cấu nói chung được mô tả

bởi hai tham số: vị trí và mức độ hư hỏng. Ví dụ, vết nứt là dạng hư hỏng điển

hình của kết cấu, được đặc trưng bởi hai tham số là vị trí và kích thước của nó.

Bài toán cơ bản đầu tiên về vấn đề này được nghiên cứu bởi Adams và các

cộng sự [6], ở đó ông đã nghiên cứu trường hợp một thanh đàn hồi có khuyết tật

(suy giảm độ cứng cục bộ) được mô tả bằng một lò xo dọc trục và xây dựng

được phương trình để xác định vị trí hư hỏng từ số liệu đo tần số riêng. Liang

cùng với cộng sự [38] đã phỏng đoán dạng tổng quát của phương trình tần số cho

dầm đàn hồi có vết nứt được mô tả bằng một lò xo xoắn với độ cứng tính được

từ độ sâu vết nứt. Morassi [45] thiết lập được phương trình nhiễu cho tần số

riêng của dầm có một vết nứt có độ cứng thay đổi. Narkis [46] tìm được nghiệm

giải tích đối với vị trí vết nứt từ số liệu đo hai tần số riêng trong trường hợp điều

kiện biên gối tựa đơn. Nguyễn Tiến Khiêm và Đào Như Mai [47] đã nghiên cứu

chi tiết sự thay đổi của tần số phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt trong các

trường hợp điều kiện biên khác nhau. Nói chung trong trường hợp dầm có một

vết nứt, việc chẩn đoán vết nứt được tiến hành chủ yếu sử dụng số liệu đo của

tần số riêng và bài toán đã được nghiên cứu giải quyết trên nhiều phương diện

khác nhau.

Vấn đề trở nên phức tạp hơn khi số lượng vết nứt tăng lên, đặc biệt với số

lượng vết nứt chưa biết. Bằng phương pháp cổ điển Ostachowicz và Krawczuk

[50] thiết lập được phương trình tần số của dầm có hai vết nứt ở dạng định thức

cấp 12×12 và sử dụng để nghiên cứu ảnh hưởng của các vết nứt khác nhau đến

tần số của dầm. Nếu vẫn sử dụng phương pháp truyền thống nêu trên, phương

trình tần số của dầm có n vết nứt đòi hỏi phải tính định thức cấp 4(n+1), một

công việc tốn rất nhiều thời gian và tích lũy sai số tính toán lớn. Shifrin và

Ruotolo [55], biểu diễn vết nứt như sự thay đổi cục bộ độ cứng của dầm được

mô tả bằng hàm Delta Dirac và nhận được phương trình tần số của dầm có n vết

nứt ở dạng định thức cấp (n+4) (nghĩa là nếu dầm có 2 vết nứt thì chỉ cần tính

định thức cấp 6×6). Nguyễn Tiến Khiêm và Trần Văn Liên [29] sử dụng phương

pháp ma trận truyền để thiết lập phương trình tần số của dầm có n vết nứt ở dạng

định thức cấp 4×4. Điều này giảm đáng kể khối lượng tính toán khi phân tích tần

số riêng của dầm có nhiều vết nứt. Cademi và Calio [12] đã xây dựng được biểu

thức nghiệm tổng quát chính xác cho bài toán dao dộng riêng của dầm có nhiều

vết nứt. Tuy nhiên biểu thức nghiệm tổng quát này vẫn chứa hàm suy rộng Delta

Dirac nên khó sử dụng để tính toán số. Gần đây, Nguyễn Tiến Khiêm và cộng sự

[1, 32] đã xây dựng được biểu thức nghiệm tổng quát cho bài toán dao động

riêng của dầm đàn hồi có nhiều vết nứt, đơn giản và thuận tiện hơn nhiều lời giải

của Cademi và Calio. Đặc biệt là có thể sử dụng như hàm dạng để áp dụng

phương pháp ma trận truyền hay phương pháp phần tử liên tục.

1.3.2. Dầm FGM có vết nứt

Cơ sở khoa học cho việc mô phỏng, tính toán kết cấu FGM đã được trình

bày trong [11, 24]. Các phương pháp phân tích động lực học kết cấu FGM đã

được phát triển trong các công bố [13, 14, 19, 36, 37, 56, 57, 58, 59, 69]. Gần

đây, do nhu cầu của thực tế, các vấn đề về vết nứt trong kết cấu composite nói

chung và kết cấu FGM nói riêng đã được quan tâm nghiên cứu. Cơ sở khoa học

cho các nghiên cứu này đã được trình bày trong các tài liệu [20, 22, 27]. Những

kết quả nghiên cứu này đã chỉ ra rằng vết nứt cạnh, mở trong phần tử dầm FGM

có thể được mô tả bằng các lò xo tương đương với các độ cứng được tính theo lý

thuyết phá hủy của FGM tại mặt cắt chứa vết nứt. Dựa trên cơ sở này, các

phương pháp truyền thống trong nghiên cứu dao động, ổn định của dầm FGM có

vết nứt đã được phát triển và đã đạt được những kết quả cơ bản như sau. Yang và

Chen [63] đã tính được các tần số riêng của dầm Euler-Bernoulli làm từ vật liệu

dạng E-FGM bằng phương pháp giải tích truyền thống và chỉ ra rằng tần số của

dầm FGM sẽ nhạy cảm với vết nứt hơn khi mô đun đàn hồi của vật liệu ở mặt

đáy nhỏ hơn mô đun đàn hồi của vật liệu ở mặt trên. Các tác giả của công bố

[28] đã nghiên cứu dầm Timoshenko có vết nứt và đã cho thấy rằng tần số riêng

của dầm FGM sẽ nhạy cảm hơn với vết nứt khi độ mảnh (L/h) của dầm giảm.

Aydin [8] đã nhận được phương trình tần số của dầm FGM có số lượng vết nứt

bất kỳ ở dạng định thức cấp 3 và đã chứng tỏ rằng tồn tại trên dầm FGM những

vị trí mà vết nứt xuất hiện tại đó không làm thay đổi một tần số nào đó. Các điểm

này, tương tự như trong dầm đồng nhất được gọi là các điểm nút tần số. Matbuly

và cộng sự [44] đã phát triển phương pháp cầu phương vi phân (differential

quadrature method) để nghiên cứu dao động của dầm FGM Timoshenko và đã

phát hiện ra sự thay đổi đột ngột của dạng dao động riêng tại vị trí vết nứt, một

dấu hiệu quan trọng để chẩn đoán vết nứt bằng dao động. Sherafatnia và cộng sự

[54] đã nghiên cứu dầm FGM có vết nứt sử dụng các lý thuyết dầm khác nhau và

đã chỉ ra rằng lý thuyết dầm Timoshenko cho kết quả phù hợp với thực nghiệm

hơn các lý thuyết dầm khác. Nếu các kết quả nghiên cứu trên nhận được bằng

phương pháp giải tích, thì Gan và các cộng sự [21, 35] đã áp dụng phương pháp

phần tử hữu hạn để nghiên cứu dao động của dầm FGM liên tục nhiều nhịp chịu

tải trọng di động. Akbas [7] đã phát triển phương pháp phần tử hữu hạn để

nghiên cứu dao động của dầm FGM Euler-Bernoulli và Banerjee và cộng sự [10]

cho dầm FGM Timoshenko có vết nứt.

1.4. Đặt vấn đề nghiên cứu

Yu và Chu [66] đã cho thấy việc sử dụng các hàm dạng bậc cao, gọi là

phiên bản p (p-version) của phương pháp phần tử hữu hạn, có thể nâng cao độ

chính xác trong việc tính toán tần số riêng của dầm FGM có vết nứt. Tuy nhiên,

dù có thể cải thiện đến mức độ nào thì việc sử dụng các đa thức làm hàm dạng

như trong phương pháp phần tử hữu hạn vẫn không thể đạt được kết quả giống

như giải tích. Điều này chỉ có thể đạt được bằng phương pháp độ cứng động

(DSM), ở đó các hàm dạng là nghiệm đúng của bài toán dao động riêng, phụ

thuộc vào tần số dao động riêng của kết cấu. Phương pháp độ cứng động đã được

phát triển cho dầm FGM bởi Azizi và cộng sự [9]; Su và Banerjee [59] và gần

đây đã được phát triển bởi Trần Văn Liên và cộng sự [40-41] để nghiên cứu dầm

FGM có vết nứt. Mặc dù đã cải thiện được độ chính xác và số lượng các tần số

có thể tính được với số lượng bậc tự do tối thiểu so với phương pháp phần tử

hữu hạn, kích thước của ma trận độ cứng động vẫn lớn khi áp dụng cho dầm liên

tục có nhiều gối trung gian. Trong trường hợp này, phương pháp ma trận truyền

lại tỏ ra rất hữu hiệu, bởi vì nó cho phép ta bỏ qua các bậc tự do ở các nút trung

gian bằng việc tính ma trận truyền từ nút đầu đến nút cuối. Như vậy, ta chỉ cần

đến các bậc tự do ở nút đầu và nút cuối và do đó ma trận tính toán chỉ có kích

thước tối thiểu (thường là 2x2). Ý tưởng này đã được phát triển trong [29] để

tính tần số riêng của dầm đồng nhất có số lượng vết nứt bất kỳ. Phương pháp ma

trận truyền cổ điển đã được phát triển cho dầm FGM không nứt (nguyên vẹn)

bởi Lee và Lee [36] và cho dầm FGM có vết nứt trong [54, 61]. Các tác giả cuối

đã khẳng định rằng độ mảnh của dầm và mô đun đàn hồi ảnh hưởng nhiều hơn

đến dao động riêng của dầm FGM so với sự xuất hiện vết nứt.

Dựa trên những phân tích nêu trên, phương pháp ma trận truyền đã

được phát triển trong luận án này để nghiên cứu dầm liên tục đồng nhất và

FGM có vết nứt.

Nội dung chính của luận án được trình bày trong 4 Chương:

Chương một tổng quan về vật liệu FGM, dao động của dầm đồng nhất và

dầm FGM có vết nứt và đặt vấn đề nghiên cứu.

Chương hai trình bày về cơ sở phương pháp ma trận truyền. Phương pháp

ma trận truyền cổ điển và cải biên. Ảnh hưởng của gối trung gian đến tần số dao

động riêng của dầm liên tục đồng nhất.

Chương ba nghiên cứu dao động của dầm liên tục đồng nhất có vết nứt.

Ảnh hưởng của gối trung gian và vị trí vết nứt đến tần số dao động riêng của

dầm liên tục đồng nhất.

Chương bốn nghiên cứu dao động của dầm liên tục FGM có vết nứt sử

dụng phương pháp ma trận truyền cải biên.

Những điểm mới về phương pháp và nội dung nghiên cứu trong luận án

này so với các công trình nghiên cứu đã công bố như sau:

(1) Thứ nhất, đã phát triển phương pháp ma trận truyền để nghiên cứu dao động

của dầm đồng nhất và dầm FGM liên tục có vết nứt, tránh được việc tính toán

phản lực chưa biết tại các gối cứng.

(2) Thứ hai, đã áp dụng hàm dạng dao động tổng quát của dầm FGM có vết nứt,

dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko, sử dụng mô hình hai lò xo (dọc trục và

quay) và có tính đến vị trí thực của trục trung hòa của dầm FGM để phát triển

phương pháp ma trận truyền cải biên cho dầm FGM liên tục có nhiều vết nứt.

(3) Thứ ba, đã nghiên cứu chi tiết ảnh hưởng của vị trí gối trung gian, các tham

số vết nứt và các đặc trưng vật liệu FGM đến tần số riêng của dầm hai và ba

nhịp. Đặc biệt là phát hiện ra các tần số giống nhau cho các trường hợp điều kiện

biên khác nhau, đặc trưng cho sự có mặt của các gối trung gian, do đó các tần số

này được gọi là các tần số gối.

Kết luận chương 1

Trong Chương này đã trình bày tổng quan và những kiến thức cơ bản về:

Vật liệu FGM và dao động của dầm FGM; những nghiên cứu cổ điển về dao

động của dầm đồng nhất liên tục; mô hình và dao động của dầm có vết nứt làm

cơ sở để đặt vấn đề nghiên cứu dao động của dầm FGM liên tục có vết nứt.

Ngoài ra, ở đây cũng chỉ ra rằng để tính toán tần số riêng của dầm liên tục đồng

nhất hay FGM, phương pháp ma trận truyền là công cụ tốt nhất, kể cả so với

phương pháp độ cứng động lực. Bởi vì, thứ nhất, phương pháp ma trận truyền là

một phương pháp chính xác và thứ hai, phương pháp ma trận truyền cho phép ta

nhận được phương trình tần số ở dạng định thức cấp 2, tính được bằng giải tích.

Tuy nhiên, phương pháp ma trận truyền cổ điển áp dụng cho dầm liên tục vẫn bị

hạn chế bởi sự cần thiết phải tính phản lực gối. Do đó, vấn đề đặt ra cho luận án

là phát triển phương pháp ma trận truyền để tính toán dao động của dầm liên tục

có vết nứt, không cần phải tính phản lực tại các gối trung gian.

CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN TRUYỀN

Trong Chương này tác giả trình bày nội dung chính của phương pháp ma

trận truyền cổ điển áp dụng để tính toán tần số riêng của dầm liên tục đồng nhất

với một hạn chế là cần đến một thuật toán xác định phản lực gối trung gian trước

khi tính toán tần số dao động riêng. Từ đó đề xuất một cải tiến phương pháp ma

trận truyền để tránh việc tính toán phản lực gối. Ý tưởng của sự cải tiến này là sử

dụng điều kiện độ võng bằng 0 tại các gối để khử hai trong bốn hằng số chưa

biết của hàm dạng dao động. Do đó chỉ cần sử dụng hai điều kiện liên tục của

góc xoay và mô men uốn tại gối để thiết lập mối liên hệ giữa góc xoay và mô

men uốn của hai nhịp liền kề phục vụ việc xây dựng ma trận truyền tổng thể cho

dầm liên tục. Áp dụng phương pháp ma trận truyền cải biên này bao gồm các

bước chính như sau: một là xác định hàm dạng dao động tổng quát của một đoạn

dầm giữa hai gối liền nhau; hai là sử dụng điều kiện đã biết tại gối khử hai hằng

số chưa biết để nhận được hàm dạng dao động chỉ chứa hai hằng số chưa biết và

ba là sử dụng hàm dạng dao động rút gọn để thiết lập ma trận truyền giữa các

nhịp của dầm liên tục.

2.1. Cơ sở phương pháp ma trận truyền

Phương pháp ma trận truyền [4-5] là một công cụ được sáng chế ra lúc đầu

để nghiên cứu sự lan truyền ánh sáng, sóng điện từ hay sóng âm. Tuy nhiên sau

này nó được áp dụng rộng rãi trong phân tích các hệ thống động lực học nói

chung và kết cấu công trình nói riêng. Đây là một phương pháp chính xác để tính

toán các đặc trưng động lực học kết cấu công trình. Cơ sở khoa học của phương

pháp như sau:

+ Trước tiên ta đưa vào một véc tơ trạng thái {𝑺} mô tả trạng thái làm việc của

một đối tượng tại một vị trí trong kết cấu hoặc một thời điểm cụ thể.

+ Sau đó bằng các lý thuyết đã có về đối tượng, xây dựng mối liên hệ giữa hai

trạng thái bất kỳ khác nhau {𝑺(𝒏)}, {𝑺(𝒏 + 𝟏)} của đối tượng, nói chung được

mô tả bằng một phương trình đại số tuyến tính

{𝑺(𝒏 + 𝟏)} = [𝐓(𝒏)]{𝑺(𝒏)} (2.1)

trong đó [𝐓] là một ma trận.

+ Sử dụng mối quan hệ này và các trạng thái đầu và cuối, ví dụ {𝑺(𝟎)}, {𝑺(𝑵)},

thiết lập mối liên hệ

{𝑺(𝑵)} = [𝐓(𝑵) … . 𝐓(𝟏)]{𝑺(𝟎)} = [𝐓]{𝑺(𝟎)} (2.2)

+ Cùng với điều kiện biên hoặc điều kiện đầu, từ mối liên hệ (2.2) ta nhận được

các phương trình để giải bài toán đặt ra.

Dễ dàng nhận thấy, để thiết lập được hệ phương trình cơ bản (2.2) nêu trên

chúng ta cần: (a) một lưới chia đối tượng thành các điểm nút và xác định véc tơ

trạng thái tại các điểm nút; (b) sự lan truyền trạng thái từ nút này sang nút kia

phải đủ đơn giản để có thể thiết lập được mối quan hệ tuyến tính (2.1). Ý tưởng

đơn giản này của phương pháp ma trận truyền cũng là những ý tưởng chủ đạo

của các phương pháp hiện đại khác trong phân tích kết cấu, ví dụ phương pháp

phần tử hữu hạn.

2.2. Phương pháp ma trận truyền cổ điển

Xét một dầm Euler-Bernoulli có các tham số vật liệu và hình học như sau: E,

G, ρ lần lượt là mô đun đàn hồi Young, mô đun trượt, mật độ khối và L, A, I là

chiều dài, diện tích mặt cắt ngang và mô men quán tích của mặt cắt ngang. Dao

𝜕2𝑤(𝑥,𝑡)

𝜕4𝑤(𝑥,𝑡)

động uốn của dầm được mô tả bằng phương trình

𝜕𝑡2 + 𝐸𝐼

𝜕𝑥4 = 0. (2.3) Tìm nghiệm phương trình (2.3) ở dạng 𝑤(𝑥, 𝑡) = 𝑊(𝑥)𝑒𝑖𝜔𝑡, khi đó ta nhận

𝜌𝐴

𝑑4𝑊(𝑥) 𝑑𝑥4 − 𝜆4𝑊(𝑥) = 0, 𝜆4 = (𝜔/𝑎)2, 𝑎 = √𝐸𝐼/𝜌𝐴 (2.4)

được phương trình

Dễ dàng nhận thấy nghiệm tổng quát của phương trình (2.4) có dạng

𝑊(𝑥) = 𝐶1cosh𝜆𝑥 + 𝐶2sinh𝜆𝑥 + 𝐶3cos𝜆𝑥 + 𝐶4sin𝜆𝑥 (2.5)

với các hằng số 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4. Trong trường hợp này véc tơ trạng thái tại mặt cắt

x được xác định bằng (độ võng, góc xoay, mô men uốn và lực cắt)

{𝐒(𝑥)} = {𝑊(𝑥), 𝑊′(𝑥), 𝐸𝐼𝑊′′(𝑥), 𝐸𝐼𝑊′′′(𝑥)}𝑇

Do đó, ta có

{𝐒(𝑥)} = [𝚽(𝑥)]{𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4}𝑇, (2.6)

trong đó ma trận

cos𝜆𝑥

[𝚽(𝑥)] = [ ] (2.7)

sin𝜆𝑥 −𝜆sin𝜆𝑥 𝜆cos𝜆𝑥 −𝜆2cos𝜆𝑥 −𝜆2sin𝜆𝑥 𝜆3sin𝜆𝑥 −𝜆3cos𝜆𝑥

sinh𝜆𝑥 cosh𝜆𝑥 𝜆sinh𝜆𝑥 𝜆cosh𝜆𝑥 𝜆2sinh𝜆𝑥 𝜆2cosh𝜆𝑥 𝜆3cosh𝜆𝑥 𝜆3sinh𝜆𝑥 Đưa vào ký hiệu trạng thái tại mặt cắt 𝑥1 là:

{𝐒𝟏} = {𝐒(𝑥1)} = {𝑊(𝑥1), 𝑊′(𝑥1), 𝐸𝐼𝑊′′(𝑥1), 𝐸𝐼𝑊′′′(𝑥1)}𝑇

Khi đó ta có

{𝐒𝟏} = [𝚽(𝑥1)]{𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4}𝑇

hay

{𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4}𝑇 = [𝚽(𝑥1)]−1{𝐒𝟏} Thay biểu thức cuối này vào (2.6) ta được

{𝐒(𝑥)} = [𝚽(𝑥)] ∙ [𝚽(𝑥1)]−1{𝐒𝟏} (2.8)

Do vậy, véc tơ trạng thái ở mặt cắt 𝑥2

{𝐒𝟐} = {𝐒(𝑥2)} = {𝑊(𝑥2), 𝑊′(𝑥2), 𝐸𝐼𝑊′′(𝑥2), 𝐸𝐼𝑊′′′(𝑥2)}𝑇

sẽ tính được bằng

{𝐒𝟐} = [𝚽(𝑥2)][𝚽(𝑥1)]−1{𝐒𝟏} = [𝐓]{𝐒𝟏} (2.9)

Như vậy, trong trường hợp dao động uốn ma trận truyền được xác định bằng

[𝐓] = [𝚽(𝑥2)][𝚽(𝑥1)]−1, (2.10)

trong đó ma trận [𝚽(𝑥)] được xác định bằng công thức (2.7).

Đối với dầm liên tục nhiều nhịp, hay còn gọi là dầm liên tục có gối trung

gian, do sự gián đoạn của lực cắt tại các gối, không có điều kiện liên tục của véc

tơ trạng thái tại gối, nên không thể thiết lập được mối liên hệ (2.10). Khi đó

chúng ta phải tiến hành như sau: Giả sử dầm có gối trung gian tại vị trí 𝑥1và chia

dầm thành hai đoạn (𝑥0, 𝑥1), (𝑥1, 𝑥2). Lúc này ta phải phân biệt véc tơ trạng thái −) với véc tơ trạng thái ở đầu đoạn dầm thứ hai

ở cuối đoạn dầm thứ nhất (𝑥1 +), được ký hiệu lần lượt là: (𝑥1

−)}𝑇; +)}𝑇

− = {𝑊(𝑥1 𝑆1 + = {𝑊(𝑥1 𝑆1

−), 𝑊′(𝑥1 +), 𝑊′(𝑥1

−), 𝐸𝐼𝑊′′(𝑥1 +), 𝐸𝐼𝑊′′(𝑥1

−), 𝐸𝐼𝑊′′′(𝑥1 +), 𝐸𝐼𝑊′′′(𝑥1

+) = 𝑊′(𝑥1),

−) = 𝑊(𝑥1

+) = 𝑊(𝑥1), 𝑊′(𝑥1

−) = 𝑊′(𝑥1

+),

với điều kiện

−) = 𝐸𝐼𝑊′′(𝑥1

+) = 𝐸𝐼𝑊′′(𝑥1), 𝐸𝐼𝑊′′′(𝑥1

−) + ∆𝑄1 = 𝐸𝐼𝑊′′′(𝑥1

𝑊(𝑥1 𝐸𝐼𝑊′′(𝑥1

+} = {𝑆1 −} = [𝐓1]{𝑆0

−} + ∆𝑄1{𝐼4}; {𝐼4} = {0,0,0,1}𝑇; −} = [𝐓2]{𝑆1

+}; {𝑆2

trong đó ∆𝑄1 là phản lực tại gối chưa biết. Như vậy, ta có

{𝑆1 {𝑆1 và do đó

+} + ∆𝑄1{𝐸4(2)}

−} = [𝐓2][𝐓1]{𝑆0

+} + ∆𝑄1[𝐓2]{𝐼4} = [𝐓]{𝑆0

(2.11) {𝑆2

với

{𝐸4(2)} = {𝑇14(2), 𝑇24(2), 𝑇34(2), 𝑇44(2)}𝑇

là một véc tơ bao gồm các thành phần 𝑇𝑗𝑘(2) là phần tử của ma trận đã biết [𝐓2].

Rõ ràng là bốn hằng số 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4 của đoạn dầm sau được biểu diễn qua các hằng số này của đoạn trước và tại mỗi gối trung gian xuất hiện thêm một ẩn số là

phản lực tại gối. Do vậy, nếu dầm có n gối trung gian thì tổng cộng ta có 𝑛 + 4

ẩn 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4, ∆𝑄1, … , ∆𝑄𝑛, chúng được xác định từ 4 điều kiện biên cùng với n điều kiện chuyển vị bằng 0 tại các gối

(2.12) 𝑊(𝑥𝑗) = 0, 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑛.

Như vậy, khi áp dụng phương pháp ma trận truyền cho dầm liên tục số

chiều của bài toán tăng lên đúng bằng số lượng gối trung gian. Để giảm số chiều

của bài toán về 4 ẩn, người ta phải xây dựng thêm thuật toán xác định các phản

lực gối từ các điều kiện chuyển vị bằng 0 tại các gối. Dưới đây trình bày một

phương pháp xác định phản lực gối từ điều kiện chuyển vị tại các gối bằng 0.

Giải phóng các gối và thay bằng một lực tác dụng để chuyển vị tại các gối

bằng 0. Phương trình dao động của dầm liên tục chịu tác dụng các lực tập trung

Δ𝑄𝑗 tại gối 𝑥𝑗, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 có dạng

𝑛 𝑗=1

𝑑4𝑊(𝑥) 𝑑𝑥4 − 𝜆4𝑊(𝑥) = − ∑ trong đó 𝛿(𝑥) là hàm Đi-rắc thỏa mãn

(2.13) Δ𝑄𝑗𝛿(𝑥 − 𝑥𝑗),

+∞ −∞

𝑓(𝑥)𝛿(𝑥 − 𝑠)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑠). 𝛿(𝑥) = { ; ∫ ∞: 𝑥 = 0 0: 𝑥 ≠ 0

𝑑4𝑊0(𝑥)

Ký hiệu 𝑊0(𝑥) là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất

𝑑𝑥4 − 𝜆4𝑊0(𝑥) = 0,

(2.14)

khi đó nghiệm của phương trình không thuần nhất (2.13) có dạng

𝑛 ∑ 𝑗=1

𝑥 0

(2.15) 𝑊(𝑥) = 𝑊0(𝑥) − ∫ ℎ(𝑥 − 𝜏) Δ𝑄𝑗𝛿(𝜏 − 𝑥𝑗)𝑑𝜏

với hàm số

ℎ(𝑥) = (sinh 𝜆𝑥 − sin 𝜆𝑥)/𝜆2

là nghiệm của phương trình (2.14) và có tính chất

ℎ(0) = ℎ′(0) = ℎ′′(0) = 0, ℎ′′′(0) = 1

Tính các tích phân trong (2.15) sử dụng tính chất của hàm Đi-rắc ta được

𝑛 𝑊(𝑥) = 𝑊0(𝑥) − ∑ 𝑗=1

(2.16) Δ𝑄𝑗𝐻(𝑥 − 𝑥𝑗)

với hàm

𝐻(𝑥) = { ℎ(𝑥): 𝑥 ≥ 0; 0: 𝑥 < 0.

Áp biểu thức (2.16) vào điều kiện độ võng tại gối bằng 0 ta được

𝑊0(𝑥1) = 0;

𝑊0(𝑥2) − Δ𝑄1ℎ(𝑥2 − 𝑥1) = 0;

𝑊0(𝑥3) − Δ𝑄1ℎ(𝑥3 − 𝑥1) − Δ𝑄2ℎ(𝑥3 − 𝑥2) = 0;

…………………………………… …………………….

𝑊0(𝑥𝑛) − Δ𝑄1ℎ(𝑥𝑛 − 𝑥1) − Δ𝑄2ℎ(𝑥𝑛 − 𝑥2) − ⋯ − Δ𝑄𝑛−1ℎ(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1) = 0;

Từ 𝑛 − 1 phương trình cuối ta có thể lần lượt biểu diễn 𝑛 − 1 tham số

Δ𝑄1, … , Δ𝑄𝑛−1 một cách tuyến tính qua các giá trị 𝑊0(𝑥2), … , 𝑊0(𝑥𝑛)

𝑗 Δ𝑄𝑗 = ∑ 𝑘=1

(2.17) 𝛼𝑗𝑘𝑊0 (𝑥𝑘+1), 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑛 − 1,

trong đó 𝛼𝑗𝑘 là các phần tử của ma trận [𝐀]−1 với

[𝐀] =

ℎ(𝑥3 − 𝑥2) ⋮ ℎ(𝑥𝑛−1 − 𝑥2) ℎ(𝑥𝑛 − 𝑥2) ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋯ ℎ(𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛−2) ⋯ ℎ(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2) ℎ(𝑥2 − 𝑥1) ℎ(𝑥3 − 𝑥1) ⋮ ℎ(𝑥𝑛−1 − 𝑥1) ℎ(𝑥𝑛 − 𝑥1) [ 0 0 . ⋮ 0 ℎ(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1)]

Vì

𝑊0(𝑥) = 𝐶1 cosh 𝜆𝑥 + 𝐶2 sinh 𝜆𝑥 + 𝐶3 cos 𝜆𝑥 + 𝐶4 sin 𝜆𝑥

𝑊(ℓ) = 𝑊0(ℓ) − ∑ Δ𝑄𝑗ℎ(ℓ − 𝑥𝑗) − Δ𝑄𝑛ℎ(ℓ − 𝑥𝑛) chứa 4 hằng số chưa biết 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4 và hàm số 𝑛−1 𝑗=1

có thể viết lại thành

𝑛−1 𝑘=1

(2.18) 𝛽𝑘𝑊0 (𝑥𝑘+1) − Δ𝑄𝑛ℎ(ℓ − 𝑥𝑛);

𝛽𝑘 = ∑ 𝛼𝑗𝑘ℎ(ℓ − 𝑥𝑗) 𝑊(ℓ) = 𝑊0(ℓ) − ∑ 𝑛−1 𝑗=1

chứa thêm một ẩn số Δ𝑄𝑛, nên tổng cộng ta có 5 ẩn số cần tìm từ 4 điều kiện biên và phương trình 𝑊0(𝑥1) = 0. Ví dụ, cho dầm gối tựa hai đầu ta có

𝑊(0) = 𝑊′′(0) = 𝑊(ℓ) = 𝑊′′(ℓ) = 0.

Khi đó từ sử dụng biểu thức (2.18) cùng với điều kiên biên tại ℓ ta được

𝑛−1 𝑘=1

𝑊0(ℓ) − ∑ 𝛽𝑘𝑊0 (𝑥𝑘+1) − Δ𝑄𝑛ℎ(ℓ − 𝑥𝑛) = 0

hay

𝑛 Δ𝑄𝑛 = ∑ 𝑘=1

𝛼𝑛𝑘𝑊0 (𝑥𝑘+1)

với

𝛽𝑘 ℎ(ℓ−𝑥𝑛)

1 ℎ(ℓ−𝑥𝑛)

. 𝛼𝑛𝑘 = − , 𝑘 = 1, … , 𝑛 − 1; 𝛼𝑛𝑛 =

Như vậy, để xác định 4 hằng số 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4 ta có 4 phương trình

𝑊(0) = 𝐶1 + 𝐶3 = 0; 𝑊′′(0) = 𝐶2 + 𝐶4 = 0.

Do đó

𝑊0(𝑥) = 𝐶1 𝐿1( 𝜆𝑥) + 𝐶2 𝐿2(𝜆𝑥) 𝐿1( 𝜆𝑥) = (cosh 𝜆𝑥 − cos 𝜆𝑥); 𝐿2(𝜆𝑥) = (sinh 𝜆𝑥 − sin 𝜆𝑥)

và

𝑊0(𝑥1) = 𝐶1 𝐿1( 𝜆𝑥1) + 𝐶2 𝐿2(𝜆𝑥1) = 0.

Mặt khác, từ điều kiện biên

𝑛 ′′(ℓ) + ∑ 𝑗=1

= 0; Δ𝑄𝑗ℎ′′(ℓ − 𝑥𝑗) 𝛿𝑗𝑊0(𝑥𝑗+1) = 𝑊0

𝑛 ′′(ℓ) + ∑ 𝑗=1 𝛼𝑘𝑗ℎ′′(ℓ − 𝑥𝑘)

, 𝑊′′(ℓ) = 𝑊0 𝑛 𝛿𝑗 = ∑ 𝑘=1

ta được

𝑊′′(ℓ) = 𝐶1 𝐿̂1( 𝜆, 𝑥1, … , , 𝑥𝑛, ℓ) + 𝐶2 𝐿̂2( 𝜆, 𝑥1, … , , 𝑥𝑛, ℓ) = 0,

trong đó

𝑛 ′′( 𝜆ℓ) + ∑ 𝑗=1

; 𝛿𝑗𝐿1(𝑥𝑗+1)

𝑛 ′′( 𝜆ℓ) + ∑ 𝑗=1

. 𝛿𝑗𝐿2(𝑥𝑗+1) 𝐿̂1( 𝜆, 𝑥1, … , , 𝑥𝑛, ℓ) = 𝐿1 𝐿̂2( 𝜆, 𝑥1, … , , 𝑥𝑛, ℓ) = 𝐿2

Như vậy, phương trình tần số cho dầm liên tục nhiều nhịp tựa đơn hai đầu là

𝐿1( 𝜆𝑥1) 𝐿̂2( 𝜆, 𝑥1, … , , 𝑥𝑛, ℓ) − 𝐿2(𝜆𝑥1) 𝐿̂1( 𝜆, 𝑥1, … , , 𝑥𝑛, ℓ) = 0. (2.19) Trong công trình [43] một ý tưởng mới đã được đề xuất và phát triển cho

dầm liên tục có vết nứt tránh được việc tính phản lực gối. Tuy nhiên, ý tưởng

này chỉ được phát triển đầy đủ và chi tiết trong các công bố của Nguyễn Tiến

Khiêm và cộng sự.

2.3. Phương pháp ma trận truyền cải biên

Xét một dầm liên tục có các gối cứng tại các vị trí 𝑥1, . . . , 𝑥𝑛, khi đó dễ

dàng nhận thấy độ võng của dầm tại tất cả các gối bằng 0, do đó ta có các

phương trình

(2.20) 𝑊(𝑥1) =. . . = 𝑊(𝑥𝑛) = 0.

a) Trường hợp gối cứng hai đầu

Xét một nhịp dầm bất kỳ nằm giữa hai gối liên tiếp (𝑥𝑗−1, 𝑥𝑗), 𝑗 = 1, . . . , 𝑛,

độ võng của nó thỏa mãn phương trình

𝑑4𝑊(𝑥) 𝑑𝑥4 − 𝜆4𝑊(𝑥) = 0, 𝜆4 = 𝜔2𝜌𝐴/𝐸𝐼

(2.21)

và điều kiện

(2.22) 𝑊(𝑥𝑗−1) = 𝑊(𝑥𝑗) = 0.

Theo lý thuyết dao động của dầm đàn hồi, nghiệm tổng quát của phương trình

(2.21) có thể biểu diễn ở dạng

(2.23) 𝑊(𝑥) = 𝐶1𝐿1(𝑥, 𝜆) + 𝐶2𝐿2(𝑥, 𝜆) + 𝐶3𝐿3(𝑥, 𝜆) + 𝐶4𝐿4(𝑥, 𝜆),

trong đó

𝐿1(𝑥, 𝜆) = (cosh λ 𝑥 + cos λ 𝑥)/2; 𝐿2(𝑥, 𝜆) = (sinh λ 𝑥 − sin λ 𝑥)/2;

𝐿3(𝑥, 𝜆) = (cosh 𝜆 𝑥 − cos 𝜆 𝑥)/2; 𝐿4(𝑥, 𝜆) = (sinh 𝜆 𝑥 + sin 𝜆 𝑥)/2.

Áp điều kiện (2.22) cho hàm (2.23) ta được hai phương trình

𝐶1𝐿1(𝑥𝑗−1, 𝜆) + 𝐶2𝐿2(𝑥𝑗−1, 𝜆) + 𝐶3𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝜆) + 𝐶4𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝜆) = 0;

𝐶1𝐿1(𝑥𝑗, 𝜆) + 𝐶2𝐿2(𝑥𝑗, 𝜆) + 𝐶3𝐿3(𝑥𝑗, 𝜆) + 𝐶4𝐿4(𝑥𝑗, 𝜆) = 0;

Giải hai phương trình này đối với hai hằng số 𝐶3, 𝐶4 ta được

(2.24) 𝐶3 = 𝛼31𝐶1 + 𝛼32𝐶2; 𝐶4 = 𝛼41𝐶1 + 𝛼42𝐶2,

trong đó

; 𝛼31(𝑗) = 𝐿1(𝑥𝑗, 𝜆)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝜆) − 𝐿1(𝑥𝑗−1, 𝜆)𝐿4(𝑥𝑗, 𝜆) 𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝜆)𝐿4(𝑥𝑗, 𝜆) − 𝐿3(𝑥𝑗, 𝜆)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝜆)

; 𝛼32(𝑗) = 𝐿2(𝑥𝑗, 𝜆)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝜆) − 𝐿2(𝑥𝑗−1, 𝜆)𝐿4(𝑥𝑗, 𝜆) 𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝜆)𝐿4(𝑥𝑗, 𝜆) − 𝐿3(𝑥𝑗, 𝜆)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝜆)

; 𝛼41(𝑗) = 𝐿1(𝑥𝑗−1, 𝜆)𝐿3(𝑥𝑗, 𝜆) − 𝐿1(𝑥𝑗, 𝜆)𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝜆) 𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝜆)𝐿4(𝑥𝑗, 𝜆) − 𝐿3(𝑥𝑗, 𝜆)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝜆)

. 𝛼42(𝑗) = 𝐿2(𝑥𝑗−1, 𝜆)𝐿3(𝑥𝑗, 𝜆) − 𝐿2(𝑥𝑗, 𝜆)𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝜆) 𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝜆)𝐿4(𝑥𝑗, 𝜆) − 𝐿3(𝑥𝑗, 𝜆)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝜆)

(2.25) Khi đó biểu thức (2.19) có thể viết lại thành 𝑊(𝑥) = 𝐶1𝐿̂1𝑗(𝑥, 𝜆) + 𝐶2𝐿̂2𝑗(𝑥, 𝜆),

với

𝐿̂1𝑗(𝑥, 𝜆) = 𝐿1(𝑥𝑗−1, 𝜆) + 𝛼31(𝑗)𝐿3(𝑥, 𝜆) + 𝛼41(𝑗)𝐿4(𝑥, 𝜆); 𝐿̂2𝑗(𝑥, 𝜆) = 𝐿2(𝑥𝑗−1, 𝜆) + 𝛼32(𝑗)𝐿3(𝑥, 𝜆) + 𝛼42(𝑗)𝐿4(𝑥, 𝜆).

b) Trường hợp dầm có một đầu tự do

Xét một phần tử dầm có một đầu tự do một đầu gối cứng, khi đó điều kiện

(2.22) được thay bằng

(2.26) 𝑊(𝑥𝑗−1) = 𝑊′′′(𝑥𝑗) = 0.

Bây giờ áp điều kiện (2.26) cho hàm (2.23) ta được

′′′(𝑥𝑗, 𝜆) = 0.

𝐶1𝐿1(𝑥𝑗−1, 𝜆) + 𝐶2𝐿2(𝑥𝑗−1, 𝜆) + 𝐶3𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝜆) + 𝐶4𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝜆) = 0;

′′′(𝑥𝑗, 𝜆) + 𝐶2𝐿2

′′′(𝑥𝑗, 𝜆) + 𝐶3𝐿3

′′′(𝑥𝑗, 𝜆) + 𝐶4𝐿4

𝐶1𝐿1

Từ đó ta có thể tính được biểu diễn của hai hằng số 𝐶3, 𝐶4 ở dạng (2.24) nhưng

các hệ số 𝛼31, 𝛼32, 𝛼41, 𝛼42 sẽ bằng

′′′(𝑥𝑗, 𝜆) ′′′(𝑥𝑗, 𝜆)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝜆)

; 𝛼31(𝑗) =

′′′(𝑥𝑗, 𝜆) ′′′(𝑥𝑗, 𝜆)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝜆)

; 𝛼32(𝑗) =

′′′(𝑥𝑗, 𝜆)𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝜆) ′′′(𝑥𝑗, 𝜆)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝜆)

; 𝛼41(𝑗) = 𝐿1(𝑥𝑗−1, 𝜆)𝐿3 𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝜆)𝐿4

′′′(𝑥𝑗, 𝜆)𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝜆) ′′′(𝑥𝑗, 𝜆)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝜆)

′′′(𝑥𝑗, 𝜆)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝜆) − 𝐿1(𝑥𝑗−1, 𝜆)𝐿4 𝐿1 ′′′(𝑥𝑗, 𝜆) − 𝐿3 𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝜆)𝐿4 ′′′(𝑥𝑗, 𝜆)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝜆) − 𝐿2(𝑥𝑗−1, 𝜆)𝐿4 𝐿2 ′′′(𝑥𝑗, 𝜆) − 𝐿3 𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝜆)𝐿4 ′′′(𝑥𝑗, 𝜆) − 𝐿1 ′′′(𝑥𝑗, 𝜆) − 𝐿3 ′′′(𝑥𝑗, 𝜆) − 𝐿2 ′′′(𝑥𝑗, 𝜆) − 𝐿3

. 𝛼42(𝑗) = 𝐿2(𝑥𝑗−1, 𝜆)𝐿3 𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝜆)𝐿4

Lúc này hàm chuyển vị vẫn có dạng (2.25) nhưng với các hằng số

𝛼31, 𝛼32, 𝛼41, 𝛼42 nêu trên. Các công thức này sẽ được áp dụng để tính ma trận

truyền của phần tử cuối cùng trong dầm một đầu ngàm và một đầu tự do với các

gối cứng trung gian.

Để xây dựng ma trận truyền cho dầm liên tục nhiều nhịp, ta sử dụng điều

kiện liên tục của góc xoay và mô men uốn tại các gối

′′ (𝑥𝑗).

′(𝑥𝑗) = 𝑊𝑗+1

′ (𝑥𝑗); 𝑊𝑗

′′(𝑥𝑗) = 𝑊𝑗+1

′ (𝑥𝑗, 𝜆) = 𝐶1(𝑗 + 1)𝐿̂ 2𝑗

′ (𝑥𝑗, 𝜆); 2𝑗

(2.27) 𝑊𝑗

′ (𝑥𝑗, 𝜆) + 𝐶2(𝑗)𝐿̂ 1𝑗 ′′ (𝑥𝑗, 𝜆) + 𝐶2𝐿̂ 1𝑗

′′ (𝑥𝑗, 𝜆) = 𝐶1(𝑗 + 1)𝐿̂ 2𝑗

′ (𝑥𝑗, 𝜆) + 𝐶2𝐿̂ 1𝑗 ′′ (𝑥𝑗, 𝜆) + 𝐶2(𝑗 + 1)𝐿̂ 1𝑗

′′ (𝑥𝑗, 𝜆). 2𝑗

Hay 𝐶1(𝑗)𝐿̂ 𝐶1(𝑗)𝐿̂

Từ đó ta nhận được biểu diễn

(2.28) { } = [ ] { } = [𝐓(𝑗)] { }, 𝐶1(𝑗 + 1) 𝐶2(𝑗 + 1) 𝑇11(𝑗) 𝑇12(𝑗) 𝑇21(𝑗) 𝑇22(𝑗) 𝐶1(𝑗) 𝐶2(𝑗) 𝐶1(𝑗) 𝐶2(𝑗)

trong đó ma trận [𝐓(𝑗)] bằng

−1

′ (𝑥𝑗, 𝜆) 𝐿̂ 𝐿̂ 1𝑗 ] = [ ′′ (𝑥𝑗, 𝜆) 𝐿̂ 𝐿̂ 1𝑗

′ (𝑥𝑗, 𝜆) 2𝑗 ′′ (𝑥𝑗, 𝜆) 2𝑗

′ (𝑥𝑗, 𝜆) 𝐿̂ 𝐿̂ 1𝑗 [ ′′ (𝑥𝑗, 𝜆) 𝐿̂ 𝐿̂ 1𝑗

′ (𝑥𝑗, 𝜆) 2𝑗 ′′ (𝑥𝑗, 𝜆) 2𝑗

[ ] ]. 𝑇11(𝑗) 𝑇12(𝑗) 𝑇21(𝑗) 𝑇22(𝑗)

Sử dụng biểu thức (2.28) ta có

{ } = [𝐓(𝑗)𝐓(𝑗 − 1) … 𝐓(1)] { } (2.29) 𝐶1(𝑗 + 1) 𝐶2(𝑗 + 1) 𝐶1(1) 𝐶2(1)

và

(2.30) { } = [𝐓(𝑛 + 1)𝐓(𝑛) … 𝐓(1)] { } = [𝐓] { } 𝐶1(𝑛 + 1) 𝐶2(𝑛 + 1) 𝐶1(1) 𝐶2(1) 𝐶1(1) 𝐶2(1)

Cuối cùng ta được

𝑊1(𝑥) = 𝐶1(1)𝐿̂11(𝑥, 𝜆) + 𝐶2(1)𝐿̂21(𝑥, 𝜆), (2.31a) 𝑊𝑛+1(𝑥) = 𝐶1(1)𝐿̂1,𝑛+1(𝑥, λ) + 𝐶2(1)𝐿̂2,𝑛+1(𝑥, λ), (2.31b)

với

𝐿̂1,𝑛+1(𝑥, 𝜆) = 𝑇11𝐿̂1,𝑗+1(𝑥, 𝜆) + 𝑇21𝐿2,𝑗+1(𝑥, 𝜆); 𝐿̂2,𝑛+1(𝑥, 𝜆) = 𝑇12𝐿̂1,𝑗+1(𝑥, 𝜆) + 𝑇22𝐿̂2,𝑗+1(𝑥, 𝜆).

(𝑏0)(0, 𝜆) = 0;

Áp điều kiện biên tổng quát vào các hàm (2.31) ta được

(𝑏0)(0, 𝜆) + 𝐶12𝐿21 (𝑏1) (ℓ, 𝜆) + 𝐶12𝐿̂

1,𝑛+1

(𝑏1) (ℓ, λ) = 0. 2,𝑛+1

(2.32) 𝐶11𝐿11 𝐶11𝐿̂

Từ đây ta nhận được phương trình tần số

(𝑏0)(0, 𝜆)𝐿̂ 11

(𝑏1) (ℓ, 𝜆) − 𝐿̂ 2,𝑛+1

(𝑏0)(0, 𝜆)𝐿̂ 21

(𝑏1) (ℓ, 𝜆) = 0. 1,𝑛+1

(2.33) 𝑑(𝜆) ≡ 𝐿̂

Dưới đây sẽ sử dụng các điều kiện biên này để xây dựng phương trình tần số

cho hai loại dầm tựa đơn và ngàm hai đầu.

Trong hợp dầm tựa đơn hai đầu ta có điều kiện biên là

𝑊′′(0) = 𝑊′′(ℓ) = 0.

′′

Do đó phương trình (2.32) có dạng

′′ (0, 𝜆) + 𝐶12𝐿21

′′ (0, 𝜆) = 0; 𝐶11𝐿̂1,𝑛+1

′′

(ℓ, 𝜆) = 0 (2.34) 𝐶11𝐿11 (ℓ, 𝜆) + 𝐶12𝐿̂2,𝑛+1

′′ (0, 𝜆)𝐿̂1,𝑛+1

(ℓ, 𝜆) = 0. (2.35) và phương trình tần số là ′′ (0, 𝜆)𝐿̂2,𝑛+1 𝑑𝑠𝑠(𝜆) ≡ 𝐿11 (ℓ, 𝜆) − 𝐿21

′ (0, 𝜆) = 0;

′

Đối với dầm ngàm hai đầu, khi đó điều kiện biên là 𝑊′(0) = 𝑊′(ℓ) = 0, ta có

′ (0, 𝜆) + 𝐶12𝐿21 𝐶11𝐿11 𝐶11𝐿̂1,𝑛+1 ′

′

(𝐿, 𝜆) = 0;

′ (0, 𝜆)𝐿̂1,𝑛+1

(ℓ, 𝜆) = 0. (2.36) (𝐿, 𝜆) + 𝐶12𝐿̂2,𝑛+1 ′ (0, 𝜆)𝐿̂2,𝑛+1 𝑑𝑐𝑐(𝜆) ≡ 𝐿11 (ℓ, 𝜆) − 𝐿21

Trong trường hợp dầm có đầu trái ngàm và đầu phải tự do (dầm công xôn) với

′′

điều kiện biên 𝑊′(0) = 𝑊′′(ℓ) = 0 thì phương trình tần số là

′ (0, 𝜆)𝐿̂2,𝑛+1

′ (0, 𝜆)𝐿̂1,𝑛+1

(ℓ, 𝜆) = 0. (2.37) 𝑑𝑐𝑥(𝜆) ≡ 𝐿11 (ℓ, 𝜆) − 𝐿21

Nghiệm các phương trình đại số siêu việt (2.35), (2.36) và (2.37) cho ta các

trị riêng (hay còn gọi là tham số tần số) 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, …, biểu thị các tần số riêng của

dầm liên tục có vết nứt. Mỗi nghiệm tìm được 𝜆𝑘 cho phép ta tìm được nghiệm

𝑘 , 𝐶12

chuẩn hóa tương ứng của các phương trình (3.15) và (3.17): {𝑎𝑘1, 𝑎𝑘2} và 𝑘 } = 𝜗𝑘{𝑎𝑘1, 𝑎𝑘2}. Khi đó các hằng số 𝐶𝑗1, 𝐶𝑗2, 𝑗 = 2,3, … , 𝑛 + 1 sẽ tìm {𝐶11

được bằng công thức (3.10) và do đó dạng dao động riêng tương ứng sẽ tính

được bằng công thức (3.7), trong đó chứa hằng số tùy ý 𝜗𝑘 được xác định từ điều

kiện chuẩn hóa dạng riêng thông thường.

2.4. Ảnh hưởng của gối trung gian đến tần số riêng của dầm liên tục

Kết quả tính toán tần số của dầm liên tục hai nhịp và ba nhịp phụ thuộc vào

vị trí gối trung gian được cho trong các Bảng 2.1 và Bảng 2.2 trong các trường

hợp điều kiện biên cổ điển khác nhau. Trường hợp dầm hai nhịp có gối trung

gian tại giữa dầm, các tần số tính được ở đây được so sánh với kết quả nhận

được bởi Ichikawa và cộng sự trong [26] và cho thấy chúng hoàn toàn trùng với

kết quả đã biết. Hơn nữa, chúng ta còn nhận thấy trong cả ba trường hợp điều

kiện biên khác nhau khi gối cứng ở giữa dầm đều xuất hiện các tần số giống

nhau: 3.9266; 7.0686; 10.2102, chúng được gọi là các tần số gối. Ngoài ra, trong

trường hợp dầm có biên đối xứng chúng ta thấy xuất hiện các tần số của dầm

đơn của từng nhịp, ví dụ 3.1416; 6.2832; 9.4248 cho dầm tựa đơn và các tần số

4.7300; 7.8532; 10.9956 cho dầm ngàm hai đầu. Nhưng tần số này được gọi là

các tần số cục bộ của từng nhịp. Đối với dầm ba nhịp, các tần số gối và các tần

số cục bộ chỉ xuất hiện khi điều kiện biên là đối xứng (Bảng 2.2).

Vị trí gối cứng

Tham số tần số, 𝜆 = (𝜔2𝜌𝐴 𝐸𝐼⁄ )1/4

(tỷ số độ dài hai nhịp)

𝜆1

𝜆2

𝜆3

𝜆4

𝜆5

𝜆6

L1/L2

Dầm tựa đơn hai đầu (ℓ =2)

2.4290

4.4199

6.2832

7.2565

8.7417

10.7049

Xs=0.5 (1/3)

2.8048

4.5586

5.5315

7.7393

8.9482

10.4292

Xs=0.75 (3/5)

3.1416

6.2832

9.4248

Xs=1.0 (ELS)

Bảng 2.1. Tần số của dầm hai nhịp (01 gối cứng trung gian) khi vị trí gối cứng thay đổi

3.9266

7.0686

10.2102

Ichikawa et al [6]

2π

3π

3.926602

7.068582

10.21017

2.8048

4.5586

5.5315

7.7393

8.9482

10.4292

Xs=1.25 (5/3)

2.4290 4.4199 6.2832 7.2565 8.7417 10.7049

Xs=1.5 (3/1)

Dầm ngàm hai đầu (ℓ =2)

2.9745 4.9772 6.9593 8.4652 9.4338 11.2874

Xs=0.5 (1/3)

3.4605 5.4632 6.2918 8.4209 9.9007 11.1101

Xs=0.75 (3/5)

Xs=1.0 (ELS)

3.9266 4.7300 7.0686 7.8532 10.2102 10.9956

3.4605 5.4632 6.2918 8.4209 9.9007 11.1101

Xs=1.25 (5/3)

2.9745 4.9772 6.9593 8.4652 9.4338 11.2874

Xs=1.5 (3/1)

Dầm công xôn (ℓ =2)

1.1627 2.9534 4.9780 6.9593 8.4652

9.4338

Xs=0.5 (1/3)

1.3320 3.4393 5.4627 6.2925 8.4208 9.9007

Xs=0.75 (3/5)

Xs=1.0 (ELS)

1.5708 3.9266 4.7124 7.0686 7.8540 10.2102

1.9232

3.5119

5.4514

6.2738

8.4198

9.9019

Xs=1.25 (5/3)

2.3198 3.3515 5.0297 6.9730 8.4360 9.4158

Xs=1.5 (3/1)

Vị trí gối

Tham số tần số, 𝜆 = (𝜔2𝜌𝐴 𝐸𝐼⁄ )1/4

𝜆1

𝜆2

𝜆3

𝜆4

𝜆5

𝜆6

Dầm tựa đơn hai đầu ( ℓ =3)

1.25

1.75

2.8220

2.9838

5.1738

5.4154

7.2104

7.8495

1.0

2.0

4.2975

7.4295

Bảng 2.2. Tần số của dầm ba nhịp khi vị trí gối cứng thay đổi

3.1416

3.5564

6.2832

6.7076

0.75

2.25

2.6177

4.1888

4.7124

5.2355

6.8068

8.3776

2.1079

3.5564

5.0021

6.9659

7.4295

0.5

2.5

6.2832

2.6029

3.5651

4.7111

6.8067

7.4297

0.5

2.0

6.2832

2.9206

3.6847

4.6569

5.7073

6.7198

8.0243

0.75

2.0

2.8194

3.4926

4.9118

5.6484

6.7504

7.8145

1.25

2.0

2.4376

3.5805

4.4556

6.2832

6.6398

7.8648

1.5

2.0

Dầm ngàm hai đầu ( ℓ =3)

1.25

1.75

3.4223

3.6011

5.7411

6.0193

7.5635

8.4584

1.0

2.0

4.2975

4.7300

7.4295

7.8532

3.5564

6.7076

0.75

2.25

2.7060

4.5243

5.5964

5.9511

6.9854

8.7272

2.1546

3.6195

5.1026

6.5608

7.8537

8.5558

0.5

2.5

2.7073

4.1808

4.8968

6.6237

7.5051

8.3885

0.5

2.0

3.1041

4.3305

5.3487

6.1078

7.3669

8.2585

0.75

2.0

3.4075

4.1887

5.2465

6.1296

7.4393

8.3779

1.25

2.0

2.9487

4.3250

4.9649

6.7682

7.2774

8.2037

1.5

2.0

Dầm công xôn ( ℓ =3)

1.25

1.75

1.7090

3.5148

5.8280

6.6665

8.0064

8.8420

1.0

2.0

1.5414

3.5685

4.2845

4.7185

6.7071

7.4301

0.75

2.25

2.3196

3.0799

4.6202

5.7452

6.5278

7.2035

1.9946

3.3385

4.1643

5.2258

6.6363

7.9767

0.5

2.5

1.6929

2.8227

4.5709

5.3023

6.7174

8.0679

0.5

2.0

1.5483

3.1686

4.8048

5.4529

6.1584

7.8796

0.75

2.0

1.6451

3.4169

4.5080

5.4031

6.1671

8.2517

1.25

2.0

1.9116

2.9577

4.9391

6.4516

7.0733

8.2689

1.5

2.0

Trên Hình 2.1 trình bày tỷ số (tần số chuẩn hóa) của 6 tần số đầu tiên của dầm

tựa đơn hai đầu và dầm công xôn trên tần số của dầm hai nhịp tương ứng có gối

trung gian tại giữa dầm phụ thuộc vào vị trí gối trung gian (thay đổi từ 0.5 đến 1.5,

chiều dài dầm bằng 2). Khảo sát các đồ thị ta thấy: Đối với dầm tựa đơn hai đầu ảnh

hưởng của vị trí gối trung gian đối xứng qua điểm giữa dầm, tức các tần số của dầm

có gối trung gian tại xs và ℓ-xs là như nhau. Hơn nữa, các tần số lẻ (chẵn) đạt cực

đại (cực tiểu) khi gối trung gian tại giữa dầm. Trong khi đó, các tần số lẻ (trừ tần số

thứ nhất) của dầm công xôn hai nhịp đạt cực tiểu khi gối trung gian ở giữa dầm, còn

các tần số chẵn đạt cực đại khi gối trung gian ở giữa dầm. Riêng tần số thứ nhất thì

tăng đều khi gối dịch chuyển từ đầu ngàm đến đầu tự do.

(a)

(b)

Hình 2.1. Ảnh hưởng của vị trí gối trung gian đến tần số riêng của dầm hai nhịp trong hai trường hợp điều kiện biên (a) SS-beam and (b) CF-beam.

Kết luận chương 2

Trong Chương này đã phát triển phương pháp ma trận truyền để nghiên cứu

dao động của dầm đồng nhất liên tục nhiều nhịp. Sự phát triển phương pháp ma

trận truyền là ở chỗ: các điều kiện chuyển vị uốn bằng 0 được sử dụng để loại bỏ

lực cắt (phản lực gối) ra khỏi các biến trạng thái. Khi đó, điều kiện liên tục tại

các gối chỉ còn lại góc xoay và mô men uốn, do vậy phương trình tần số được rút

gọn chỉ cần tính định thức cấp 2 và không cần phải tính phản lực tại các gối như

trong phương pháp ma trận truyền cổ điển.

Như ví dụ minh họa việc áp dụng phương pháp ma trận truyền cải biên cho

dầm đồng nhất liên tục hai nhịp, chúng ta đã khảo sát ảnh hưởng của vị trí gối

trung gian đến tần số riêng của dầm liên tục hai nhịp. Đặc biệt đã phát hiện ra rằng

trong phổ tần số riêng của dầm liên tục hai nhịp xuất hiện những tần số không phụ

thuộc vào điều kiện biên. Những tần số này được gọi là các tần số gối, vì nó xuất

hiện do có mặt gối trung gian, đây là một kết quả mới của luận án.

CHƯƠNG 3.

DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐỒNG NHẤT LIÊN TỤC CÓ VẾT NỨT

Chương này áp dụng phương pháp ma trận truyền cải biên đã được trình

bày trong Chương 2 để nghiên cứu ảnh hưởng của gối trung gian và vết nứt đến

tần số riêng của dầm liên tục đồng nhất. Ở đây, giới thiệu về mô hình vết nứt

trong dầm Euler-Bernoulli và ứng dụng để tìm hàm dạng dao động tổng quát của

một phân tố dầm chứa nhiều vết nứt. Sử dụng hàm dạng dao động này để phát

triển phương pháp ma trận truyền cho dầm liên tục có vết nứt. Cuối cùng là tính

toán tần số riêng của dầm liên tục hai nhịp và ba nhịp phụ thuộc vào vị trí gối

trung gian và các tham số vị trí, độ sâu vết nứt.

3.1. Mô hình dầm có vết nứt

Vết nứt trong vật rắn được hiểu là sự xuất hiện một mặt phân cách trong

lòng vật rắn, tại đó các tính chất cơ lý của vật liệu và trạng thái ứng suất biến

dạng bị gián đoạn (mất tính liên tục). Mặt phân cách đó gọi là mặt vết nứt; kích

thước của mặt vết nứt đồng thời cũng là kích thước vết nứt. Kích thước (size) vết

nứt có thể phát triển và khi đó người ta gọi là sự lan truyền (propogation) vết

nứt. Vết nứt có thể xuất phát từ mặt biên của vật rắn và phát triển sâu vào trong

lòng vật rắn. Khi đó người ta gọi đó là vết nứt mở (open) hoặc vết nứt cạnh

(edge) và khoảng cách lớn nhất từ biên đến điểm xa nhất (giới hạn) trên mặt vết

nứt gọi là độ sâu vết nứt. Điểm giới hạn của mặt vết nứt trong lòng vật rắn gọi là

mũi vết nứt. Lúc này vết nứt có thể hiểu là sự thay đổi mặt cắt ngang của dầm và

giả thiết độ sâu của vết nứt không thay đổi (vết nứt dừng – stationary). Tuy nhiên

nếu chỉ hiểu vết nứt chỉ là sự thay đổi hình học của mặt cắt ngang thì chưa đầy

đủ về mặt cơ học. Đặc tính cơ học quan trọng nhất của vết nứt là sự tập trung

ứng suất khi có tải trọng. Điều này buộc các nhà cơ học phải áp dụng lý thuyết

của cơ học phá hủy để nghiên cứu vết nứt.

Hình 3.1. Mô hình vết cưa

Hình 3.2. Mô hình vết nứt

Mô hình vết nứt chỉ dựa trên sự thay đổi hình học được nghiên cứu một

cách tỷ mỷ bởi Sato [53]. Mô hình được mô tả như một vết cưa (saw cut or

notch, Hình 3.1) có hai kích thước là độ sâu (h) và bề rộng (l). Sato đã dùng

phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp ma trận truyền để nghiên cứu tần số

riêng của dầm phụ thuộc vào hai tham số vết nứt nêu trên 𝜔 = 𝜔(𝑙, ℎ) và nhận

được kết quả như sau: -Tần số giảm khi h giảm (độ sâu tăng); -Tần số tăng khi l

giảm (khi 𝑙 → 0 ta được mô hình thực của vết nứt); - Kết quả tính toán được

kiểm chứng bằng thực nghiệm. Kết quả này đồng thời cho phép ta đánh giá khả

năng áp dụng của phương pháp PTHH và phương pháp ma trận truyền.

Christides và Bar [17] đã nghiên cứu mô hình vết nứt được mô tả trong

Hình 3.1. Mô hình này đã mô tả chính xác hơn hình học của một vết nứt mở. Tại

vết nứt tác giả đặt ra giả thiết có mối liên hệ giữa chuyển vị {𝑢, 𝑤, 𝜃} và trạng

thái ứng suất biến dạng như sau:

(3.1) 𝑢(𝑥, 𝑧, 𝑡) = −𝑧𝑤′(𝑥, 𝑡) 𝜀𝑥 = [−𝑧 + 𝑓(𝑥, 𝑧)]. 𝑆(𝑥, 𝑡) 𝜎𝑥 = 𝐸. 𝜀𝑥 = 𝐸[−𝑧 + 𝑓(𝑥, 𝑧)]. 𝑆(𝑥, 𝑡)

𝐼𝑜 𝐼

𝑓(𝑥, 𝑧) = [𝑧 − 𝑍. 𝐻(ℎ − |𝑧|)] 𝑒𝑥𝑝{−𝛼|𝑥 − 𝑥𝑐|/𝑑} {

I0 là mô men quán tính khi không nứt; 𝑥𝑐 là vị trí vết nứt; 𝛼 là hằng số thực nghiệm; 𝑆(𝑥, 𝑡) = 𝑤′′(𝑥, 𝑡) và 𝑓(𝑥, 𝑧) là hàm vết nứt. Mô hình này gọi là mô

hình liên tục của vết nứt. Khi đó họ đã thiết lập được phương trình dao động uốn

𝜕

của dầm ở dạng

𝜕2𝑤 𝜕𝑡2 +

𝜕𝑥2 (𝐸𝐼. 𝑄(𝑥) 𝜕2𝑤

𝜕𝑥2) = 0, (3.2)

𝜌𝐴

trong đó

1+(

𝐼0 𝐼

𝑄(𝑥) = −1)𝑒𝑥𝑝{−2𝛼|𝑥−𝑥𝑐|/𝑑}

Nếu không có vết nứt thì 𝑄(𝑥) = 1 hay 𝛼 = 0 và phương trình chuyển động

trở về phương trình chuyển động của dầm Euler-Becnulli thông thường. Như

vậy, đây là mô hình giải tích đầu tiên mô tả sự thay đổi độ cứng tại mặt cắt chứa

vết nứt.

Cademi và Callio đã sử dụng hàm Đi-rắc để mô tả sự thay đổi độ cứng do

vết nứt

𝐸𝐼(𝑥) = 𝐸𝐼0[1 − 𝜈𝛿(𝑥 − 𝑥𝑐)]

𝐼𝑜−𝐼 𝐼

𝜈 ≅ 𝐾(𝑎) mô tả độ sâu vết nứt.

Hình 3.3. Mô hình vết nứt cạnh

Mô hình trên giúp giải chính xác phương trình dao động của dầm, nhưng

phải sử dụng lý thuyết hàm suy rộng để nghiên cứu phương trình vi phân có hệ

số chứa hàm xung. Chondros, Dimagrogonas và Yao [15] đã sử dụng mô hình lò

xo tương đương có độ cứng được tính từ độ sâu trên cơ sở lý thuyết cơ học phá

hủy như sau:

Giả sử 𝑢∗, 𝑤∗, 𝜃∗ là các chuyển vị tăng thêm do vết nứt. Theo nguyên lý của cơ

𝜕𝑈𝑇 𝜕𝑀

𝑎 0

học, 𝜃∗ = , trong đó 𝑈𝑇 là năng lượng biến dạng được giải phóng do vết nứt:

𝑖

𝐸′ {(∑ 𝐾𝐼𝑖

{ )2} 𝐽𝑠 = 𝑈𝑇 = 𝑏 ∫ 𝐽𝑠𝑑𝑎 )2 + (∑ 𝐾𝐼𝐼𝑖 )2 + (∑ 𝐾𝐼𝐼𝐼𝑖

𝐸

𝑖

1−𝜈2, các thành phần (∑ 𝐾𝐼𝑖

)2: sinh ra 𝐽𝑠: hệ số tập trung ứng suất tổng thể; 𝐸′ =

𝑖

)2 sinh ra do xoắn. Xét trường hợp do uốn; (∑ 𝐾𝐼𝐼𝑖 )2: sinh ra do trượt và (∑ 𝐾𝐼𝐼𝐼𝑖

𝐾𝐼 𝐸′ , 𝐾𝐼 tính được theo lý thuyết cơ học phá hủy bằng

uốn thuần túy 𝐽𝑠 =

𝑎 𝐾𝐼 = 𝜎0√𝜋𝑎. 𝐹𝐼 ( ℎ

6𝑀

)

𝑏ℎ2

𝐹𝐼(𝛼) = 1.12 − 1.7𝛼 + 7,33𝛼2 − 13,1𝛼3 + 14𝛼4, 𝜎0 =

3𝜋(1−𝛾2)ℎ.𝑀2.𝜙𝐼(𝑎/ℎ) 𝐸𝐼

→ 𝑈𝑇 =

Từ đó ta tính được

6𝜋(1−𝛾2)ℎ.𝑀.𝜙𝐼(𝑎/ℎ) 𝐸𝐼

(đây là góc xoay thêm vào do vết nứt) 𝜃∗ =

) = 0,6272𝛼2 − 1,04533𝛼3 + 4,5948𝛼4 − 9,9736𝛼5 + 20,2928𝛼6 − 𝑎 𝜙𝐼 ( ℎ

−33,035𝛼7 + 47,1063𝛼8 − 40,7556𝛼9 + 19,6𝛼10. (3.3)

𝑀

Do đó ta có thể tính được độ cứng của lò xo tương đương

𝜃∗ =

𝐸𝐼 ℎ.𝜃(𝑎/ℎ)

𝐾 = ; 𝜃(𝑎/ℎ) = 6𝜋(1 − 𝛾2). 𝜙𝐼(𝑎/ℎ)

Như vậy, tại vết nứt bước nhảy góc xoay do vết nứt bằng

+) − 𝜙′(𝑥𝐶

−) = 𝜃∗= 𝑀 𝐾

𝐸𝐼.𝜙′′(𝑥𝐶) 𝐾

= 𝜙′(𝑥𝐶

−) =

hay

+) − 𝜙′(𝑥𝐶

𝐸𝐼.𝜙′′(𝑥𝐶) 𝐾

= 𝛾. 𝜙′′(𝑥𝐶) 𝜙′(𝑥𝐶

𝐸𝐼

với

𝐾

𝛾 = = 6𝜋(1 − 𝛾2)ℎ. 𝜙𝐼(𝑎/ℎ)

là độ mềm tăng thêm do vết nứt. Đây là mô hình suy giảm độ cứng cục bộ của

dầm, không làm thay đổi phương trình chuyển động của dầm có vết nứt. Vết nứt

được mô tả bằng điều kiện tương thích của góc xoay tại vết nứt, giống như tại

vết nứt có một lò xo xoắn. Chính vì vậy, vết nứt có thể được thay bằng một lò xo

tại vị trí vết nứt, có độ cứng tính được từ độ sâu thông qua công thức (3.3).

3.2. Hàm dạng dao động tổng quát của dầm đồng nhất có vết nứt

Xét một dầm Euler-Bernoulli chiều dài ℓ chứa 𝑛 vết nứt tại các vị trí 𝑒𝑗, 𝑗 =

1, … , 𝑛 được mô tả bằng các lò xo xoắn tương đương có độ cứng là 𝐾𝑗. Trong

mỗi đoạn dầm (𝑒𝑗, 𝑒𝑗+1), 𝑗 = 0, … , 𝑛, 𝑒0 = 0, 𝑒𝑛+1 = ℓ dao động của dầm được

mô tả bằng phương trình

𝜌𝐴𝜕2𝑤𝑗(𝑥,𝑡) 𝜕𝑥2

′′(𝑒𝑗, 𝑡)

′(𝑒𝑗, 𝑡) − 𝛾𝑗𝑤𝑗 ′′′(𝑒𝑗, 𝑡); với 𝛾𝑗 = 𝐸𝐼/𝐾𝑗 (3.4)

= 0 , 𝑗 = 0, … , 𝑛 𝐸𝐼𝜕4𝑤𝑗(𝑥, 𝑡)/𝜕𝑥4 +

′′ (𝑒𝑗, 𝑡) = 𝑤𝑗

cùng với các điều kiện tương thích tại các vị trí vết nứt 𝑒𝑗, 𝑗 = 1, … , 𝑛 [32] ′ (𝑒𝑗, 𝑡) = 𝑤𝑗 ′′′ (𝑒𝑗, 𝑡) = 𝑤𝑗 𝑤𝑗−1(𝑒𝑗, 𝑡) = 𝑤𝑗(𝑒𝑗, 𝑡); 𝑤𝑗−1 ′′(𝑒𝑗, 𝑡); 𝑤𝑗−1 𝑤𝑗−1

Hình 3.4. Mô hình dầm có nhiều vết nứt

𝑑4𝑊𝑗(𝑥) 𝑑𝑥4 − 𝜆4𝑊𝑗(𝑥) = 0, j = 0,…,n, λ = (𝜌𝐴𝜔2/𝐸𝐼)1 4⁄ (3.5)

Trong miền tần số ta có phương trình [5]

′′(𝑒𝑗)

′(𝑒𝑗) − 𝛾𝑗𝑊𝑗 ′′′(𝑒𝑗); j = 1,…,n. (3.6)

và

′′ (𝑒𝑗) = 𝑊𝑗

′ (𝑒𝑗) = 𝑊𝑗 ′′′ (𝑒𝑗) = 𝑊𝑗

𝑊𝑗−1(𝑒𝑗) = 𝑊𝑗(𝑒𝑗, 𝑡); 𝑊𝑗−1 ′′(𝑒𝑗); 𝑊𝑗−1 𝑊𝑗−1

Giả sử 𝑊𝑗(𝑥), 𝑊𝑗−1(𝑥) là nghiệm phương trình (3.5) trong hai đoạn liên kề qua

′′ (𝑒𝑗)𝑆(𝑥 − 𝑒𝑗) (3.7)

vị trí vết nứt 𝑒𝑗, dễ dàng có thể chứng minh được mối quan hệ truy hồi

𝑊𝑗(𝑥) = 𝑊𝑗−1(𝑥) + 𝛾𝑗𝑊𝑗−1

trong đó hàm 𝑆(𝑥) = (1/2𝜆)(sinh 𝜆𝑥 + sin 𝜆𝑥). Công thức (3.7) thực chất là sự

mở rộng liên tục nghiệm của phương trình dao động trong đoạn dầm trước sang

đoạn dầm kế tiếp thỏa mãn điều kiện (3.6) tại vị trí vết nứt, có thể viết cụ thể như

sau [1]

″(𝑒1)𝑆(𝑥 − 𝑒1); ″(𝑒2)𝑆(𝑥 − 𝑒2),

𝑊1(𝑥) = 𝑊0(𝑥) + 𝛾1𝑊0

″

𝑊2(𝑥) = 𝑊1(𝑥) + 𝛾2𝑊1 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

(𝑒𝑛)𝑆(𝑥 − 𝑒𝑛). 𝑊𝑛(𝑥) = 𝑊𝑛−1(𝑥) + 𝛾𝑛𝑊𝑛−1

Đưa vào hàm số K(x) cùng các đạo hàm của nó được xác định như sau

(𝑝)(𝑥) = {

; 𝑝 = 0,1,2,3, . .. ; 𝐾𝑤 0: 𝑥 < 0; 𝑆(𝑝)(𝑥): 𝑥 ≥ 0;

″(𝑒𝑗) + ∑

và ký hiệu

𝑗−1 𝑘=1

𝜇𝑘𝑆′′ (𝑒𝑗 − 𝑒𝑘)], 𝑗 = 1, … 𝑛 (3.8) 𝜇𝑗 = 𝛾𝑗[𝑊0

ta có thể biểu diễn dạng dao động tổng quát của cả dầm ở dạng

𝑛 𝑊(𝑥) = 𝑊0(𝑥) + ∑ 𝑘=1

(3.9) 𝜇𝑘𝐾𝑤(𝑥 − 𝑒𝑘)

Lưu ý rằng trong công thức trên 𝑊0(𝑥, 𝜔) là dạng dao dộng của dầm không có vết nứt nên có dạng

𝑊0(𝑥) = 𝐶1𝐿01(𝑥, 𝜆) + 𝐶2𝐿02(𝑥, 𝜆) + 𝐶3𝐿03(𝑥, 𝜆) + 𝐶4𝐿04(𝑥, 𝜆), (3.10)

𝐿01(𝑥, 𝜆) = (cosh λ 𝑥 + cos λ 𝑥)/2; 𝐿02(𝑥, 𝜆) = (sinh λ 𝑥 − sin λ 𝑥)/2;

𝐿03(𝑥, 𝜆) = (cosh 𝜆 𝑥 − cos 𝜆 𝑥)/2; 𝐿04(𝑥, 𝜆) = (sinh 𝜆 𝑥 + sin 𝜆 𝑥)/2.

Nếu ta biểu diễn

𝜇𝑘 = 𝜇𝑘1𝐶1 + 𝜇𝑘2𝐶2 + 𝜇𝑘3𝐶3 + 𝜇𝑘4𝐶4

với

″ (𝑒𝑗, 𝜆) + ∑

𝑗−1 𝑘=1

], 𝑗 = 1, . . . , 𝑛; 𝑝 = 1,2,3,4. 𝜇𝑘𝑝𝑆″(𝑒𝑗 − 𝑒𝑘) 𝜇𝑗𝑝 = 𝛾𝑗[𝐿0𝑝

và sử dụng (3.10) thì biểu thức (3.9) có thể viết lại thành

𝑊(𝑥) = 𝐶1𝐿1(𝑥, 𝜆) + 𝐶2𝐿2(𝑥, 𝜆) + 𝐶3𝐿3(𝑥, 𝜆) + 𝐶4𝐿4(𝑥, 𝜆), (3.11)

𝑛

trong đó các hàm

𝑘=1

, 𝐿1(𝑥, 𝜆) = 𝐿01(𝑥, 𝜆) + ∑ 𝜇𝑘1𝐾𝑤(𝑥 − 𝑒𝑘)

𝑛

𝑘=1

𝑛

, 𝐿2(𝑥, 𝜆) = 𝐿02(𝑥, 𝜆) + ∑ 𝜇𝑘2𝐾𝑤(𝑥 − 𝑒𝑘)

𝑘=1

, 𝐿3(𝑥, 𝜆) = 𝐿03(𝑥, 𝜆) + ∑ 𝜇𝑘3𝐾𝑤(𝑥 − 𝑒𝑘)

𝑛 𝐿4(𝑥, 𝜆) = 𝐿04(𝑥, 𝜆) + ∑ 𝑘=1

. (3.12) 𝜇𝑘4𝐾𝑤(𝑥 − 𝑒𝑘)

Dễ dàng chứng minh được hàm (3.11) thỏa mãn phương trình

𝑑4𝑊(𝑥) 𝑑𝑥4 − 𝜆4𝑊(𝑥) = 0 và các điều kiện tương thích tại vết nứt

𝑊(𝑒𝑗 − 0) = 𝑊(𝑒𝑗 + 0); 𝑊′(𝑒𝑗 − 0) = 𝑊′(𝑒𝑗 + 0) − 𝛾𝑗𝑊″(𝑒𝑗 − 0);

𝑊″(𝑒𝑗 − 0) = 𝑊″(𝑒𝑗 + 0); 𝑊‴(𝑒𝑗 − 0) = 𝑊‴(𝑒𝑗 + 0); 𝑗 = 1, . . . , 𝑛.

Bây giờ áp biểu thức (3.11) vào điều kiện biên

𝑊𝑝0(0) = 0; 𝑊𝑞0(0) = 0; 𝑊𝑝1(ℓ) = 0; 𝑊𝑞1(ℓ) = 0,

trong đó 𝑝0, 𝑝1, 𝑞0, 𝑞1 là cấp đạo hàm theo biến x và có thể nhận các giá trị

⋅ { } = 0. (3.13)

Để phương trình cuối có nghiệm không tầm thường thì phải thỏa mãn điều kiện

𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 0,1,2,3 phụ thuộc vào điều kiện biên cụ thể, ta được (𝑝0)(0, 𝜆) 𝐿2 (𝑝0)(0, 𝜆) (𝑝0)(0, 𝜆) 𝐿4 (𝑝0)(0, 𝜆) 𝐿3 𝐿1 (𝑞0)(0, 𝜆) (𝑞0)(0, 𝜆) 𝐿4 (𝑞0)(0, 𝜆) 𝐿3 (𝑞0)(0, 𝜆) 𝐿2 𝐿1 (𝑝1)(ℓ, 𝜆) (𝑝1)(ℓ, 𝜆) (𝑝1)(ℓ, 𝜆) (𝑝1)(ℓ, 𝜆) 𝐿4 𝐿3 𝐿2 𝐿1 (𝑞1)(ℓ, 𝜆)] (𝑞1)(ℓ, 𝜆) (𝑞1)(ℓ, 𝜆) (𝑞1)(ℓ, 𝜆) 𝐿4 𝐿3 𝐿2 𝐿1 [

(𝑝0)(0, 𝜆) 𝐿2 (𝑝0)(0, 𝜆) (𝑝0)(0, 𝜆) 𝐿4 (𝑝0)(0, 𝜆) 𝐿3 𝐿1 (𝑞0)(0, 𝜆) (𝑞0)(0, 𝜆) 𝐿4 (𝑞0)(0, 𝜆) 𝐿3 (𝑞0)(0, 𝜆) 𝐿2 𝐿1 (𝑝1)(ℓ, 𝜆) (𝑝1)(ℓ, 𝜆) (𝑝1)(ℓ, 𝜆) (𝑝1)(ℓ, 𝜆) 𝐿4 𝐿3 𝐿2 𝐿1 (𝑞1)(ℓ, 𝜆)] (𝑞1)(ℓ, 𝜆) (𝑞1)(ℓ, 𝜆) (𝑞1)(ℓ, 𝜆) 𝐿4 𝐿3 𝐿2 𝐿1 [ Đây là phương trình tần số của có số lượng vết nứt bất kỳ, được xác định bằng

𝐹(𝜆) ≝ 𝑑𝑒𝑡 = 0. (3.14)

cách tính định thức của một ma trận cấp 4, đơn giản hơn rất nhiều cách thông

thường đã được áp dụng trong các nghiên cứu trước đây. Sau khi giải phương

trình tần số (3.14) chúng ta được các nghiệm 𝜆𝑘, 𝑘 = 1,2,3, … và từ đó có thể

tính được các tần số riêng

2√𝐸𝐼 𝜌𝐴⁄

, 𝑘 = 1,2,3, … (3.15) 𝜔𝑘 = 𝜆𝑘

Đối với mỗi tần số riêng, phương trình đại số thuần nhất (3.13) cho ta một

𝑘}

nghiệm phụ thuộc vào một hằng số tùy ý

𝑘, 𝛼2

𝑘, 𝛼3

𝑘, 𝛼4

{𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4} = 𝐶𝑘{𝛼1

𝑘𝐿4(𝑥, 𝜆𝑘)],

𝑘𝐿2(𝑥, 𝜆𝑘) + 𝛼3

𝑘𝐿3(𝑥, 𝜆𝑘) + 𝛼4

𝑘𝐿1(𝑥, 𝜆𝑘) + 𝛼2 Φ𝑘(𝑥) = 𝐶𝑘[𝛼1

Thay các hằng số này vào biểu thức (3.11) ta được dạng dao động riêng tương ứng

(3.16) 𝑣ớ𝑖 𝑘 = 1,2, ..

Ví dụ 1. Dầm có một vết nứt

Trong trường hợp này, các hàm (3.12) bằng

𝐿1(𝑥, 𝜆) = 𝐿01(𝑥, 𝜆) + 𝛾1𝐿01

𝐿2(𝑥, 𝜆) = 𝐿02(𝑥, 𝜆) + 𝛾1𝐿02

″ (𝑒1, 𝜆)𝐾𝑤(𝑥 − 𝑒1); ″ (𝑒1, 𝜆)𝐾𝑤(𝑥 − 𝑒1); ″ (𝑒1, 𝜆)𝐾𝑤(𝑥 − 𝑒1); ″ (𝑒1, 𝜆)𝐾𝑤(𝑥 − 𝑒1).

𝐿3(𝑥, 𝜆) = 𝐿03(𝑥, 𝜆) + 𝛾1𝐿03

𝐿4(𝑥, 𝜆) = 𝐿04(𝑥, 𝜆) + 𝛾1𝐿04 Khi đó phương trình tần số có dạng

″ (𝑒1, 𝜆)𝑆(𝑝)(ℓ − 𝑒1);

″ (𝑒1, 𝜆)𝑆(𝑝)(ℓ − 𝑒1); (3.18)

″ (𝑒1, 𝜆)𝑆(𝑝)(ℓ − 𝑒1);

″ (𝑒1, 𝜆)𝑆(𝑝)(ℓ − 𝑒1).

(𝑝0)(0, 𝜆) (𝑝0)(0, 𝜆) 𝐿04 (𝑝0)(0, 𝜆) 𝐿03 (𝑝0)(0, 𝜆) 𝐿02 𝐿01 (𝑞0)(0, 𝜆) (𝑞0)(0, 𝜆) 𝐿04 (𝑞0)(0, 𝜆) 𝐿03 (𝑞0)(0, 𝜆) 𝐿02 𝐿01 (𝑝1)(ℓ, 𝜆) (𝑝1)(ℓ, 𝜆) (𝑝1)(ℓ, 𝜆) (𝑝1)(ℓ, 𝜆) 𝐿4 𝐿3 𝐿2 𝐿1 (𝑞1)(ℓ, 𝜆)] (𝑞1)(ℓ, 𝜆) (𝑞1)(ℓ, 𝜆) (𝑞1)(ℓ, 𝜆) 𝐿4 𝐿3 𝐿2 𝐿1 [ (𝑝)(ℓ, 𝜆) + 𝛾1𝐿01 (𝑝)(ℓ, 𝜆) = 𝐿01 𝐿1 (𝑝)(ℓ, 𝜆) + 𝛾1𝐿02 (𝑝)(ℓ, 𝜆) = 𝐿02 𝐿2 (𝑝)(ℓ, 𝜆) + 𝛾1𝐿03 (𝑝)(ℓ, 𝜆) = 𝐿03 𝐿3 (𝑝)(ℓ, 𝜆) + 𝛾1𝐿04 (𝑝)(ℓ, 𝜆) = 𝐿04 𝐿4

𝐹(𝜆) ≝ 𝑑𝑒𝑡 = 0, (3.17)

Dễ dàng nhận thấy, định thức bên trái phương trình (3.17) có dạng

𝐹(𝜆) = 𝐹0(𝜆) + 𝛾1𝐹1(𝜆, 𝑒1), (3.19)

trong đó

(3.20) 𝐹0(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡

𝐹11(𝜆, , 𝑒1) = 𝑑𝑒𝑡

(𝑝0)(0, 𝜆) 𝐿04 (𝑝0)(0, 𝜆) 𝐿03 (𝑝0)(0, 𝜆) 𝐿02 (𝑝0)(0, 𝜆) 𝐿01 (𝑞0)(0, 𝜆) 𝐿04 (𝑞0)(0, 𝜆) 𝐿03 (𝑞0)(0, 𝜆) 𝐿02 (𝑞0)(0, 𝜆) 𝐿01 ; (𝑝1)(ℓ, 𝜆) (𝑝1)(ℓ, 𝜆) (𝑝1)(ℓ, 𝜆) (𝑝1)(ℓ, 𝜆) 𝐿04 𝐿03 𝐿02 𝐿01 (𝑞1)(ℓ, 𝜆)] (𝑞1)(ℓ, 𝜆) (𝑞1)(ℓ, 𝜆) (𝑞1)(ℓ, 𝜆) 𝐿04 𝐿03 𝐿02 𝐿01 [ 𝐹1(𝜆, 𝑒1) = 𝑆(𝑝1)(ℓ − 𝑒1)𝐹11(𝜆, 𝑒1) + 𝑆(𝑞1)(ℓ − 𝑒1)𝐹12(𝜆, , 𝑒1). (3.21) (𝑝0)(0, 𝜆) (𝑝0)(0, 𝜆) 𝐿04 (𝑝0)(0, 𝜆) 𝐿03 (𝑝0)(0, 𝜆) 𝐿02 𝐿01 (𝑞0)(0, 𝜆) (𝑞0)(0, 𝜆) 𝐿04 (𝑞0)(0, 𝜆) 𝐿03 (𝑞0)(0, 𝜆) 𝐿02 𝐿01 ; (3.22) ′′ (𝑒1, 𝜆) ′′ (𝑒1, 𝜆) ′′ (𝑒1, 𝜆) ′′ (𝑒1, 𝜆) 𝐿04 𝐿03 𝐿02 𝐿01 (𝑞1)(ℓ, 𝜆)] (𝑞1)(ℓ, 𝜆) (𝑞1)(ℓ, 𝜆) (𝑞1)(ℓ, 𝜆) 𝐿04 𝐿03 𝐿02 𝐿01 [ (𝑝0)(0, 𝜆) (𝑝0)(0, 𝜆) 𝐿04 (𝑝0)(0, 𝜆) 𝐿03 (𝑝0)(0, 𝜆) 𝐿02 𝐿01 (𝑞0)(0, 𝜆) (𝑞0)(0, 𝜆) 𝐿04 (𝑞0)(0, 𝜆) 𝐿03 (𝑞0)(0, 𝜆) 𝐿02 𝐿01 (𝑝1)(ℓ, 𝜆) (𝑝1)(ℓ, 𝜆) (𝑝1)(ℓ, 𝜆) (𝑝1)(ℓ, 𝜆) 𝐿04 𝐿03 𝐿02 𝐿01 ′′ (𝑒1, 𝜆)] ′′ (𝑒1, 𝜆) ′′ (𝑒1, 𝜆) ′′ (𝑒1, 𝜆) 𝐿03 𝐿03 𝐿02 𝐿01 [

. (3.23) 𝐹12(𝜆, , 𝑒1) = 𝑑𝑒𝑡

Phương trình (3.17) với hàm (3.19) đã nhận được trong [26] và một biểu

thức hiển của phương trình tần số đã nhận được gần đây trong các công bố của

Nguyễn Tiến Khiêm và cộng sự.

𝑥𝑛+1 = ℓ

x0=0

xj-1

3.3. Áp dụng phương pháp ma trận truyền cải biên cho dầm liên tục có vết nứt

Hình 3.5. Mô hình dầm liên tục có vết nứt

Xét một dầm liên tục có n gối cứng tại các vị trí 𝑥1, . . . , 𝑥𝑛, khi đó các gối

1; 𝑥0 = 0, 𝑥𝑛+1 = ℓ. Giả sử trong mỗi đoạn dầm chứa một vết nứt có độ sâu 𝑎𝑗

này sẽ chia dầm thành 𝑛 + 1 đoạn dầm được ký hiệu là (𝑥𝑗−1, 𝑥𝑗), 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 +

tại vị trí 𝑒𝑗 ∈ (𝑥𝑗−1, 𝑥𝑗). Khi đó như chúng ta đã chứng minh được ở phần trên,

nghiệm tổng quát của phương trình (3.5) thỏa mãn điều kiện tại vết nứt

𝑊(𝑒𝑗 − 0) = 𝑊(𝑒 + 0); 𝑊′′(𝑒𝑗 − 0) = 𝑊′′(𝑒𝑗 + 0) = 𝑊′′(𝑒𝑗);

𝑊′′′(𝑒𝑗 − 0) = 𝑊′′′(𝑒𝑗 + 0); 𝑊′(𝑒𝑗 − 0) = 𝑊′(𝑒𝑗 + 0) − 𝛾𝑗𝑊′′(𝑒𝑗),

có thể biểu diễn ở dạng

𝑊𝑗(𝑥) = 𝐶𝑗1𝐿1(𝑥, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗2𝐿2(𝑥, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗3𝐿3(𝑥, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗4𝐿4(𝑥, 𝑒𝑗), (3.24)

″ (𝑒𝑗, 𝜆)𝐾(𝑥 − 𝑒𝑗), 𝑘 = 1,2,3,4,

trong đó

𝐿𝑘(𝑥, 𝑒𝑗) = 𝐿0𝑘(𝑥, 𝜆) + 𝛾𝑗𝐿0𝑘

𝐿01(𝑥, 𝜆) = (cosh λ 𝑥 + cos λ 𝑥)/2; 𝐿02(𝑥, 𝜆) = (sinh λ 𝑥 − sin λ 𝑥)/2;

𝐿03(𝑥, 𝜆) = (cosh 𝜆 𝑥 − cos 𝜆 𝑥)/2; 𝐿04(𝑥, 𝜆) = (sinh 𝜆 𝑥 + sin 𝜆 𝑥)/2.

Áp điều kiện độ võng tại các gối bằng 0 cho hàm (3.24) ta được hai phương trình

𝐶𝑗1𝐿1(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗2𝐿2(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗3𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗4𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗) = 0;

𝐶𝑗1𝐿1(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗2𝐿2(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗3𝐿3(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗4𝐿4(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) = 0;

Giải hai phương trình này đối với hai hằng số 𝐶𝑗3, 𝐶𝑗4 ta được

𝐶𝑗3 = 𝛼31(𝑗)𝐶𝑗1 + 𝛼32(𝑗)𝐶𝑗2; 𝐶𝑗4 = 𝛼41(𝑗)𝐶𝑗1 + 𝛼42(𝑗)𝐶𝑗2, (3.25)

trong đó

; 𝛼31(𝑗) = 𝐿1(𝑥𝑗, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗) − 𝐿1(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) 𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) − 𝐿3(𝑥𝑗, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗)

; 𝛼32(𝑗) = 𝐿2(𝑥𝑗, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗) − 𝐿2(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) 𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) − 𝐿3(𝑥𝑗, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗)

; 𝛼41(𝑗) = 𝐿1(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗)𝐿3(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) − 𝐿1(𝑥𝑗, 𝑒𝑗)𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗) 𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) − 𝐿3(𝑥𝑗, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗)

. 𝛼42(𝑗) = 𝐿2(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗)𝐿3(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) − 𝐿2(𝑥𝑗, 𝑒𝑗)𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗) 𝐿3(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗, 𝑒𝑗) − 𝐿3(𝑥𝑗, 𝑒𝑗)𝐿4(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗)

Khi đó biểu thức (3.5) có thể viết lại thành

𝑊𝑗(𝑥) = 𝐶𝑗1𝐿̂1𝑗(𝑥, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗2𝐿̂2𝑗(𝑥, 𝑒𝑗), (3.26)

với

𝐿̂1𝑗(𝑥, 𝑒𝑗) = 𝐿1(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗) + 𝛼31(𝑗)𝐿3(𝑥, 𝑒𝑗) + 𝛼41(𝑗)𝐿4(𝑥, 𝑒𝑗); 𝐿̂2𝑗(𝑥, 𝑒𝑗) = 𝐿2(𝑥𝑗−1, 𝑒𝑗) + 𝛼32(𝑗)𝐿3(𝑥, 𝑒𝑗) + 𝛼42(𝑗)𝐿4(𝑥, 𝑒𝑗).

Bây giờ ta xét điều kiện liên tục của góc xoay và mô men uốn tại các gối

′′ (𝑥𝑗). (3.27)

′(𝑥𝑗) = 𝑊𝑗+1

′ (𝑥𝑗); 𝑊𝑗

′′(𝑥𝑗) = 𝑊𝑗+1

𝑊𝑗

′

′ (𝑥𝑗, 𝑒𝑗+1);

hay

′ (𝑥𝑗, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗2𝐿2𝑗

′ (𝑥𝑗, 𝑒𝑗) = 𝐶𝑗+1,1𝐿1,𝑗+1

′′

(𝑥𝑗, 𝑒𝑗+1) + 𝐶𝑗+1,2𝐿2 𝐶𝑗1𝐿1𝑗

′′ (𝑥𝑗, 𝑒𝑗) = 𝐶𝑗+1,1𝐿1,𝑗+1

′′ (𝑥𝑗, 𝑒𝑗) + 𝐶𝑗2𝐿2𝑗 Từ đó ta nhận được biểu diễn

(𝑥𝑗, 𝑒𝑗+1). (𝑥𝑗, 𝑒𝑗+1) + 𝐶𝑗+1,2𝐿2,𝑗+1 𝐶𝑗1𝐿1𝑗

{ } = [ ] { }, (3.28) } = [𝐓(𝑒𝑗+1, 𝑒𝑗)] { 𝐶𝑗+1,1 𝐶𝑗+1,2 𝐶𝑗1 𝐶𝑗2 𝐶𝑗1 𝐶𝑗2 𝑇11(𝑗) 𝑇12(𝑗) 𝑇21(𝑗) 𝑇22(𝑗)

−1

[

]

] = [

′ (𝑥𝑗, 𝑒𝑗+1) 𝐿2 ′′

𝑇11(𝑗) 𝑇12(𝑗) 𝑇21(𝑗) 𝑇22(𝑗)

(𝑥𝑗, 𝑒𝑗+1)

′ (𝑥𝑗, 𝑒𝑗) ′′ (𝑥𝑗, 𝑒𝑗)

′ 𝐿1,𝑗+1 ′′ 𝐿1,𝑗+1

(𝑥𝑗, 𝑒𝑗+1) (𝑥𝑗, 𝑒𝑗+1) 𝐿2,𝑗+1

′ (𝑥𝑗, 𝑒𝑗) 𝐿2𝑗 𝐿1𝑗 [ ′′ (𝑥𝑗, 𝑒𝑗) 𝐿2𝑗 𝐿1𝑗

trong đó ma trận [𝐓(𝑗)] bằng

Sử dụng biểu thức (3.28) ta có

(3.29) { } } = [𝐓(𝑒𝑗+1, 𝑒𝑗)𝐓(𝑒𝑗, 𝑒𝑗−1) … 𝐓(𝑒2, 𝑒1)] { 𝐶𝑗+1,1 𝐶𝑗+1,2 𝐶11 𝐶12

và

{ } = [𝐓(𝐞)] { } (3.30) } = [𝐓(𝑒𝑛+1, 𝑒𝑛)𝐓(𝑒𝑛, 𝑒𝑛−1) … 𝐓(𝑒2, 𝑒1)] { 𝐶𝑛+1,1 𝐶𝑛+1,2 𝐶11 𝐶12 𝐶11 𝐶12

Cuối cùng ta được

𝑊1(𝑥) = 𝐶11𝐿11(𝑥, 𝑒1) + 𝐶12𝐿21(𝑥, 𝑒1), (3.31a) 𝑊𝑛+1(𝑥) = 𝐶11𝐿̂1,𝑛+1(𝑥, 𝐞) + 𝐶12𝐿̂2,𝑛+1(𝑥, 𝐞), (3.31b)

với 𝐞 = {𝑒1, … , 𝑒𝑛+1} và

𝐿̂1,𝑗+1(𝑥, 𝐞) = 𝑇11(𝐞)𝐿1,𝑗+1(𝑥, 𝑒𝑗+1) + 𝑇21(𝐞)𝐿2,𝑗+1(𝑥, 𝑒𝑗+1); 𝐿̂2,𝑗+1(𝑥, 𝐞) = 𝑇12(𝐞)𝐿1,𝑗+1(𝑥, 𝑒𝑗+1) + 𝑇22(𝐞)𝐿2,𝑗+1(𝑥, 𝑒𝑗+1).

Áp điều kiện biên tổng quát vào các hàm (3.31) ta được

(𝑏0)(0, 𝑒1) + 𝐶12𝐿̂ (𝑏1) (ℓ, 𝐞) + 𝐶12𝐿̂

1,𝑛+1

(𝑏0)(0, 𝑒1) = 0; 21 (𝑏1) (ℓ, 𝐞) = 0. (3.32) 2,𝑛+1

𝐶11𝐿̂ 𝐶11𝐿̂

(𝑏0)(0, 𝑒1)𝐿̂

(𝑏1) (ℓ, 𝒆) = 0. (3.33) 1,𝑛+1

(𝑏1) (ℓ, 𝒆) − 𝐿21

2,𝑛+1

Từ đây ta nhận được phương trình tần số

𝑑(𝜆, 𝒆) ≡ 𝐿11 Dưới đây sẽ sử dụng các điều kiện biên này để xây dựng phương trình tần số

cho hai loại dầm tựa đơn và ngàm hai đầu.

Trong hợp dầm tựa đơn hai đầu ta có điều kiện biên là

𝑊′′(0) = 𝑊′′(ℓ) = 0.

′′

Do đó phương trình (3.32) có dạng

′′ (0, 𝑒1) + 𝐶12𝐿21

′′ (0, 𝑒1) = 0; 𝐶11𝐿̂1,𝑛+1

(ℓ, 𝒆) = 0 (3.34) 𝐶11𝐿11 (ℓ, 𝒆) + 𝐶12𝐿̂2,𝑛+1

′′

và phương trình tần số là

′′ (0, 𝑒1)𝐿̂2,𝑛+1

′′ (0, 𝑒1)𝐿̂1,𝑛+1

(ℓ, 𝒆) = 0. (3.35) (ℓ, 𝒆) − 𝐿21

′ (0, 𝑒1) = 0;

𝑑𝑠𝑠(𝜆, 𝒆) ≡ 𝐿11 Đối với dầm ngàm hai đầu, khi đó điều kiện biên là 𝑊′(0) = 𝑊′(ℓ) = 0, ta có

′ (0, 𝑒1) + 𝐶12𝐿21 𝐶11𝐿11 𝐶11𝐿̂1,𝑛+1 ′ ′

(ℓ, 𝒆) = 0, (3.36) (ℓ, 𝒆) + 𝐶12𝐿̂2,𝑛+1

′

Từ đó ta nhận được phương trình tần số

′ (0, 𝑒1)𝐿̂2,𝑛+1

′ (0, 𝑒1)𝐿̂1,𝑛+1

(ℓ, 𝒆) = 0. (3.37) 𝑑𝑐𝑐(𝜆, 𝒆) ≡ 𝐿11 (ℓ, 𝒆) − 𝐿21

Trong trường hợp dầm có đầu trái ngàm và đầu phải tự do (dầm công xôn) với

′′

điều kiện biên 𝑊′(0) = 𝑊′′(ℓ) = 0 thì phương trình tần số là

′ (0, 𝑒1)𝐿̂2,𝑛+1

′ (0, 𝑒1)𝐿̂1,𝑛+1

(ℓ, 𝒆) = 0. (3.38) 𝑑𝑐𝑐(𝜆, 𝒆) ≡ 𝐿11 (ℓ, 𝒆) − 𝐿21

Nghiệm các phương trình đại số siêu việt (3.35), (3.36) và (3.37) cho ta các trị

riêng (hay còn gọi là tham số tần số) 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, …, biểu thị các tần số riêng của

dầm liên tục nhiều nhịp có vết nứt. Mỗi nghiệm tìm được 𝜆𝑘 cho phép ta tìm

𝑘 } = 𝜗𝑘{𝑎𝑘1, 𝑎𝑘2}. Khi đó các hằng số 𝐶𝑗1, 𝐶𝑗2, 𝑗 =

được nghiệm chuẩn hóa tương ứng của các phương trình (3.32), (3.34) và (3.36):

𝑘 , 𝐶12

{𝑎𝑘1, 𝑎𝑘2} và {𝐶11

2,3, … , 𝑛 + 1 sẽ tìm được bằng công thức (3.10) và do đó dạng dao động riêng

tương ứng sẽ tính được bằng công thức (3.26), trong đó chứa hằng số tùy ý 𝜗𝑘

được xác định từ điều kiện chuẩn hóa dạng riêng thông thường.

3.4. Ảnh hưởng vết nứt đến tần số riêng của dầm liên tục

Ở đây trình bày kết quả tính toán tần số riêng của dầm đồng nhất có vết nứt

áp dụng các phương pháp ma trận truyền đã trình bày ở trên. Nội dung nghiên

cứu bao gồm việc khảo sát ảnh hưởng của vị trí và độ sâu nứt đến các tần số

riêng của dầm liên tục nhiều nhịp.

3.4.1. Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng của dầm liên tục hai nhịp

Trên các Hình 3.6 – 3.8 trình bày sự phụ thuộc của ba tần số đầu tiên của

dầm hai nhịp (gối trung gian ở giữa dầm) có vết nứt đã chuẩn hóa bởi tần số của

dầm không nứt phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt trong ba trường hợp điều

kiện biên cổ điển.

Hình 3.6. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số đầu tiên

của dầm đồng nhất hai nhịp tựa đơn hai đầu

Hình 3.7. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số đầu tiên của dầm đồng nhất hai nhịp ngàm hai đầu

Hình 3.8. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số đầu tiên của dầm công xôn đồng nhất hai nhịp

Khảo sát các đồ thị trên các Hình 3.6 – 3.8 ta thấy: vết nứt xuất hiện tại gối ở

giữa dầm không làm thay đổi các tần số lẻ của dầm có điều kiện biên đối xứng

và làm cho các tần số chẵn thay đổi lớn nhất. Riêng dầm công xôn thì ngược lại:

vết nứt xuất hiện tại gối làm thay đổi cực đại các tần số lẻ và không làm thay đổi

các tần số chẵn. Ngoài ra, ta còn nhận thấy tất cả các tần số của dầm hai nhịp đều

có các điểm nút, khi mà vết nứt xuất hiện tại đó không làm thay đổi chính tần số

ấy. Ví dụ, tần số thứ nhất của dầm hai nhịp tựa đơn có một điểm nút tại gối, tần

số thứ hai có hai điểm nút nằm ở hai bên gối, …

Nói chung so với dầm đơn, các tần số đều có thêm một điểm nút vết nứt,

nguyên nhân có lẽ là do sự xuất hiện của gối trung gian. Như vậy, gối trung gian

không làm thay đổi sự tồn tại các điểm nút vết nứt chỉ làm tăng số lượng các

điểm nút của các tần số. Giống như trường hợp dầm đơn, độ sâu vết nứt càng

tăng thì tần số thay đổi giảm càng nhiều.

3.4.2. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt và gối trung gian trong dầm liên tục hai nhịp

Trên các Hình 3.9 – 3.11 trình bày đồ thị của các tần số chuẩn hóa của dầm

hai nhịp phụ thuộc vào vị trí vết nứt ứng với các vị trí gối trung gian khác nhau:

0.5-0.75-1.0-1.25-1.5-1.75 khi chiều dài dầm bằng 2. Trong mỗi hình là đồ thị

của ba tần số đầu tiên của các dầm hai nhịp tựa đơn (Hình 3.9), ngàm hai đầu

(Hình 3.10) và dầm công xôn (Hình 3.11).

Hình 3.9. Ảnh hưởng của vị trí gối trung gian và vết nứt đến ba tần số đầu tiên của dầm hai nhịp tựa đơn hai đầu

Hình 3.10. Ảnh hưởng của vết nứt và vị trí gối trung gian của dầm hai nhịp ngàm hai đầu

Hình 3.11. Ảnh hưởng của vết nứt và vị trí gối trung gian của dầm công xôn hai nhịp

Khảo sát các đồ thị trên các Hình 3.9 – 3.11, ở đó hiển thị ảnh hưởng đồng

thời của vết nứt và gối trung gian, ta thấy có sự tương tác giữa vị trí vết nứt và vị

trí gối trung gian như sau: (a) Ảnh hưởng của vết nứt lên tần số của dầm hai nhịp

có điều kiện biên đối xứng chỉ đối xứng khi gối trung gian ở giữa dầm; các đồ thị

biểu diễn sự thay đổi tần số theo vị trí vết nứt tương ứng với các vị trí gối trung

gian đối xứng cũng không còn đối xứng qua điểm giữa dầm (vì tại điều kiện tại

gối không còn giống như điều kiện tại biên ngay cả khi hai biên là gối tựa đơn).

Tuy nhiên sự mất đối xứng này ở dầm tựa đơn hai đầu ít hơn dầm ngàm hai đầu vì

điều kiện ngàm khác xa điều kiện tại gối; (b) Đối với dầm công xôn, ảnh hưởng

của vết nứt đến tần số riêng thứ nhất giảm dần khi gối trung gian dịch chuyển từ

đầu ngàm sang đầu tự do; nhưng sự thay đổi của các tần số sau lại tăng lên khi gối

trung gian tiến về đầu tự do. Tóm lại do sự có mặt của gối trung gian ảnh hưởng

của vết nứt lên các tần số riêng có sự thay đổi so với dầm đơn (một nhịp).

Đồ thị trên các Hình 3.12 – 3.14 biểu diễn sự thay đổi của các tần số riêng của

dầm ba nhịp với độ dài các nhịp bằng nhau và bằng 1m trong ba trường hợp điều

kiện biên cổ điển: dầm tựa đơn (Hình 3.12), dầm ngàm hai đầu (Hình 3.13) và dầm

công xôn (Hình 3.14).

3.4.3. Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng của dầm liên tục ba nhịp

Đối với dầm ba nhịp, các gối trung gian cách đều biên vẫn là các điểm nút

chỉ của tần số riêng thứ nhất của các dầm tựa đơn hai đầu, chúng không còn là

điểm nút của các tần số lẻ tiếp theo, mà thậm chí vết nứt xuất hiện tại các gối

làm cho tần số thứ ba của dầm ba nhịp tựa đơn thay đổi cực đại. Đối với dầm ba

nhịp công xôn và dầm có hai đầu ngàm các gối không phải là điểm nút của tất cả

các tần số, chúng có thể làm cho tần số thứ ba của dầm ngàm hai đầu và tần số

thứ nhất của dầm công xôn có sự thay đổi lớn nhất. Tuy vậy, sự thay đổi của các

tần số do vết nứt của dầm có biên đối xứng vẫn đối xứng qua điểm giữa dầm và

sự thay đổi các tần số do vết tại các gối là không trơn (non-smooth).

Hình 3.12. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số riêng đầu tiên của dầm ba nhịp tựa đơn hai đầu

Hình 3.13. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số riêng đầu tiên của dầm ba nhịp ngàm hai đầu

Hình 3.14. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số riêng đầu tiên của dầm công xôn ba nhịp

Kết luận chương 3

Trong Chương này, đã xây dựng hàm dạng tổng quát cho một phần tử dầm

chứa nhiều vết nứt làm cơ sở để ứng dụng phương pháp ma trận truyền cải biên

cho việc tính toán tần số riêng của dầm đồng nhất liên tục có vết nứt.

Đã khảo sát chi tiết ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng của dầm liên tục

hai và ba nhịp. Ở đây đã phát hiện ra rằng trong từng nhịp tồn tại một số vị trí

mà vết nứt xuất hiện tại đó không làm thay đổi tần số của dầm liên tục. Các vị trí

này gọi là các điểm nút tần số của dầm liên tục.

Đồng thời khảo sát ảnh hưởng của gối trung gian đến độ nhạy cảm của các

tần số riêng với vết nứt. Cụ thể như: vết nứt xuất hiện tại gối có thể không ảnh

hưởng đến một số tần số riêng nào đó, nhưng cũng có thể làm cho các tần số

riêng khác thay đổi nhiều nhất.

CHƯƠNG 4. DAO ĐỘNG CỦA DẦM TIMOSHENKO FGM LIÊN TỤC

CÓ VẾT NỨT

Trong Chương này trình bày trước tiên mô hình dầm FGM có vết nứt và các

đặc tính cơ bản của dầm FGM đơn có vết nứt. Đây là các kết quả đã nhận được

trong các công trình đã công bố của Nguyễn Tiến Khiêm và các công sự. Tiếp

theo, trình bày phương pháp ma trận truyền cải biên cho dầm FGM liên tục có

vết nứt và các kết quả số về ảnh hưởng của vết nứt, gối trung gian và các tham số

vật liệu đến tần số của dầm FGM liên tục.

4.1. Mô hình dầm FGM có vết nứt

4.1.1. Phương trình dao động của dầm FGM

Xét một dầm FGM chiều dài L, tiết diện ngang hình chữ nhật có diện tích

A=b×h (Hình 4.1) và giả thiết vật liệu dầm biến thiên theo quy luật hàm lũy thừa

ℜ(𝑧) = ℜ𝑏 + (ℜ𝑡 − ℜ𝑏)𝑉(𝑧), −ℎ/2 ≤ 𝑧 ≤ ℎ/2, (4.1) trong đó ℜ(𝑧) đại điện cho các tham số vật liệu E, G,– ρ (mô đun đàn hồi, mô

đun trượt và mật độ khối lượng), z là tọa độ theo chiều dầy của dầm kể từ mặt

giữa dầm với

Trục trung hòa

Et Gt t t

Eb Gb b b

𝑉(𝑧) = (𝑧 + ℎ/2)𝑛, ℜ𝑏 = ℜ(−ℎ/2), ℜ𝑡 = ℜ(ℎ/2). (4.2)

Hình 4.1. Mô hình của dầm FGM liên tục nhiều nhịp có vết nứt

Sử dụng lý thuyết dầm biến dạng trượt bậc nhất, trường chuyển vị của dầm

tại mặt cắt x được biểu diễn như sau

𝑢0(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 𝑡) − (𝑧 − ℎ0)𝜃(𝑥, 𝑡); 𝑤0(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑤(𝑥, 𝑡) (4.3) với 𝑢(𝑥, 𝑡), 𝑤(𝑥, 𝑡) là chuyển vị dọc trục và độ võng của điểm trên mặt trung hòa

nằm ở độ cao là h0 so với mặt giữa dầm; 𝜃 là góc xoay của mặt cắt đang xét. Do

đó, phương trình cơ bản của dầm có thể viết ở dạng

𝜀𝑥 = 𝜕𝑢/𝜕𝑥 − (𝑧 − ℎ0)𝜕𝜃/𝜕𝑥; 𝛾𝑥𝑧 = 𝜕𝑤/𝜕𝑥 − 𝜃 (4.4)

và

𝜎𝑥 = 𝐸(𝑧)𝜀𝑥; 𝜏𝑥𝑧 = Ψ𝐺(𝑧)𝛾𝑥𝑧 (4.5)

Áp dụng nguyên lý Haminton cho đoạn dầm trên ta có thể thiết lập phương

trình chuyển động tổng quát của dầm FGM ở dạng (𝐼11𝑢̈ − 𝐴11𝑢″) − (𝐼12𝜃̈ − 𝐴12𝜃″) = 0; (𝐼12𝑢̈ − 𝐴12𝑢″) − (𝐼22𝜃̈ − 𝐴22𝜃″) + 𝐴33(𝑤′ − 𝜃) = 0; (4.6) 𝐼11𝑤̈ − 𝐴33(𝑤″ − 𝜃′) = 0, trong đó các hằng số được tính bằng

(𝐴11, 𝐴12, 𝐴22) = ∫ 𝐸(𝑧)(1, 𝑧 − ℎ0, (𝑧 − ℎ0)2)𝑑𝐴;

𝐴 𝐴33 = 𝜓 ∫ 𝐺(𝑧)𝑑𝐴 𝐴

;

𝐴

(𝐼11, 𝐼12, 𝐼22) = ∫ 𝜌(𝑧)(1, 𝑧 − ℎ0, (𝑧 − ℎ0)2)𝑑𝐴

hay

𝐴11 = 𝑏ℎ

2𝐸𝑡+𝑛𝐸𝑏 (2+𝑛)

𝐸𝑡+𝑛𝐸𝑏 (1+𝑛)

− 𝛼 + 𝛼2]; 𝐴22 = 𝑏ℎ3 [ (𝐸𝑡 + 𝑛𝐸𝑏) 1 + 𝑛 3𝐸𝑡+𝑛𝐸𝑏 3(3+𝑛)

(𝐺𝑡+𝑛𝐺𝑏) 1+𝑛

(𝜌𝑡+𝑛𝜌𝑏) 1+𝑛

𝐴33 = 𝑏ℎ ;𝐼11 = 𝑏ℎ ; 𝛼 = 1/2 + ℎ0/ℎ;

2𝜌𝑡+𝑛𝜌𝑏 2(2+𝑛)

𝜌𝑡+𝑛𝜌𝑏 (1+𝑛)

− 𝛼]; 𝐼12 = 𝑏ℎ2 [

3𝜌𝑡+𝑛𝜌𝑏 3(3+𝑛)

2𝜌𝑡+𝑛𝜌𝑏 (2+𝑛)

𝜌𝑡+𝑛𝜌𝑏 (1+𝑛)

− 𝛼 + 𝛼2]. 𝐼22 = 𝑏ℎ3 [

Theo định nghĩa của trục trung hòa được xác định từ điều kiện

∯(𝑧 − ℎ0)𝜎𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴 = 0,

ta có thể tính được [19] vị trí trục trung hòa bằng

ℎ0 = 𝑛(𝑅𝐸 − 1)ℎ/2(𝑛 + 2)(𝑛 + 𝑅𝐸), 𝑅𝐸 = 𝐸𝑡/𝐸𝑏. (4.7)

Trong trường hợp này, rõ ràng rằng 𝐴12 = 0 và phương trình dao động riêng

(4.6) được rút gọn thành

𝐼11𝑢̈ − 𝐴11𝑢″ − 𝐼12𝜃̈ = 0; 𝐼12𝑢̈ − 𝐼22𝜃̈ + 𝐴22𝜃″ + 𝐴33(𝑤′ − 𝜃) = 0; 𝐼11𝑤̈ − 𝐴33(𝑤″ − 𝜃′) = 0. (4.8)

Thực hiện phép biến đổi Fourier, phương trình (4.8) được chuyển về miền tần số

có dạng:

[𝐀]{𝒛″} + [𝚷]{𝒛′} + [𝐊]{𝒛} = {0}, (4.9)

trong đó ký hiệu {𝒛} = {𝑈, 𝛩, 𝑊}𝑇 là véc tơ biên độ phức của các chuyển vị dọc

trục, góc xoay và độ võng, tức

∞ −∞

, {𝒛} = {𝑈(𝑥, 𝜔), 𝛩(𝑥, 𝜔), 𝑊(𝑥, 𝜔)}𝑇 = ∫ {𝑢(𝑥, 𝑡), 𝜃(𝑥, 𝑡), 𝑤(𝑥, 𝑡)}𝑇𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡

⁄ 𝒛′ = 𝑑𝒛 𝑑𝑥⁄ ; 𝒛′′ = 𝑑2𝒛 𝑑𝑥2 và các ma trận [𝐀], [𝚷], [𝐊] bằng

0 0 [𝐀] = [ ] ; [𝚷] = [ ] ;

0 𝐴33 0 0 𝐴22 0 0 0 0 −𝐴33

0 0 𝐴33 −𝜔2𝐼12

[𝐊] = [ ]. (4.10) 𝐴11 0 0 𝜔2𝐼11 −𝜔2𝐼12 𝜔2𝐼22 − 𝐴33

0 0 0 0 𝜔2𝐼11

Tìm nghiệm phương trình (4.9) ở dạng 𝒛0 = 𝐝𝑒𝝀𝒙, ta sẽ nhận được phương

trình đặc trưng để xác định 𝜆 ở dạng:

2 = 0. (4.12)

det(𝜆2[𝐀] + 𝜆[𝚷] + [𝐊]) = 0, (4.11)

Hay ở dạng hiển sau khi tính định thức cấp 3 trong phương trình (4.11) (𝜆2𝐴11 + 𝜔2𝐼11)[(𝜆2𝐴33 + 𝜔2𝐼11)(𝜆2𝐴22 + 𝜔2𝐼22) − 𝜔2𝐼11𝐴33)] − −(𝜆2𝐴33 + 𝜔2𝐼11)𝜔4𝐼12 Dễ dàng nhìn thấy phương trình (4.12) là phương trình đại số bậc ba đối với 𝜂 = 𝜆2, cho ba nghiệm 𝜂1, 𝜂2, 𝜂3. Do vậy, ta có

𝜆1,4 = ±𝑘1; 𝜆2,5 = ±𝑘2; 𝜆3,6 = ±𝑘3; 𝑘𝑟 = √𝜂𝑟, 𝑟 = 1,2,3. (4.13)

Với sáu nghiệm của phương trình đặc trưng (4.12) tính được trong (4.13) ta

có thể viết nghiệm tổng quát của phương trình (4.9) ở dạng:

{𝒛0(𝑥, 𝜔)} = [𝐆0(𝑥, 𝜔)]{𝑪} (4.14)

] (4.15)

𝛼3𝑒−𝑘3𝑥 𝑒−𝑘3𝑥

𝛼2𝑒−𝑘2𝑥 𝑒−𝑘2𝑥

𝛼1𝑒−𝑘1𝑥 𝑒−𝑘1𝑥

[𝐆0(𝑥, 𝜔)] = [

𝛼1𝑒𝑘1𝑥 𝛼2𝑒𝑘2𝑥 𝛼3𝑒𝑘3𝑥 𝑒𝑘1𝑥 𝑒𝑘3𝑥 𝑒𝑘2𝑥 𝛽1𝑒𝑘1𝑥 𝛽2𝑒𝑘2𝑥 𝛽3𝑒𝑘3𝑥 −𝛽1𝑒−𝑘1𝑥 −𝛽2𝑒−𝑘2𝑥 −𝛽3𝑒−𝑘3𝑥

trong đó 𝑪 = (𝐶1, . . . , 𝐶6)𝑇 là véc tơ hằng số và ma trận [𝐆(𝑥, 𝜔)] bằng

với

2𝐴11

2𝐴33)

𝜔2𝐼12 𝜔2𝐼11+𝜆𝑗

𝜆𝑗𝐴33 (𝜔2𝐼11+𝜆𝑗

(4.16) ; 𝑗 = 1,2, . . . ,6. 𝛼𝑗 = ; 𝛽𝑗 =

4.1.2. Mô hình vết nứt trong dầm FGM

Giả sử trong đoạn dầm FGM (𝑥𝑎, 𝑥𝑏) chứa một vết nứt hở có độ sâu a tại vị trí 𝑒 ∈ (𝑥𝑎, 𝑥𝑏), được mô tả bằng hai lò xo như trong Hình 4.2, trong đó độ cứng của các lò xo xoay và lò xo tịnh tiến được ký hiệu lần lượt là 𝐾𝑥, 𝐾𝑧.

Hình 4.2. Mô hình vết nứt trong dầm FGM

Với mô hình vết nứt này ta có thể nhận được điều kiện tương thích tại vị trí

vết nứt dạng

𝑁(𝑒) 𝐾𝑥

𝑀(𝑒) 𝐾𝑧

𝑈(𝑒 + 0) − 𝑈(𝑒 − 0) = ; 𝛩(𝑒 + 0) − 𝛩(𝑒 − 0) = ;

𝑊(𝑒 + 0) = 𝑊(𝑒 − 0); 𝑁(𝑒) = 𝑁(𝑒 + 0) = 𝑁(𝑒 − 0) ; (4.17)

𝑄(𝑒 + 0) = 𝑄(𝑒 − 0) ; 𝑀(𝑒 + 0) = 𝑀(𝑒 − 0) = 𝑀(𝑒),

trong đó N, Q và M lần lượt là lực dọc, lực cắt và mô men uốn được tính theo

′ − 𝛩). (4.18)

các công thức

′ ; 𝑀 = 𝐴22𝛩𝑥

′ ; 𝑄 = 𝐴33(𝑊𝑥

𝑁 = 𝐴11𝑈𝑥

′ (𝑒) ;

′ (𝑒) ; 𝛩(𝑒 + 0) = 𝛩(𝑒 − 0) + 𝛾2𝛩𝑥

′ (𝑒 − 0); (4.19)

′ (𝑒 + 0) = 𝑈𝑥

′ (𝑒),

Thay (4.18) vào (4.17), ta nhận được

′ (𝑒 + 0) = 𝛩𝑥

′(𝑒 + 0) = 𝑊𝑥

′(𝑒 − 0) + 𝛾2𝛩𝑥

𝑈(𝑒 + 0) = 𝑈(𝑒 − 0) + 𝛾1𝑈𝑥 𝑊(𝑒 + 0) = 𝑊(𝑒 − 0); 𝑈𝑥 ′ (𝑒 − 0) ; 𝑊𝑥

𝛩𝑥 trong đó

𝛾1 = 𝐴11/𝐾𝑥; 𝛾2 = 𝐴22/𝐾𝑧 (4.20)

được gọi là độ lớn vết nứt. Sử dụng các hệ số 𝐴11, 𝐴22, tính được ở trên theo quy

luật hàm lũy thừa của vật liệu FGM, ta có thể biểu diễn

𝛾1 = 𝛾𝑎𝜎1(𝑅𝐸, 𝑛) ; 𝛾2 = 𝛾𝑏𝜎2(𝑅𝐸, 𝑛), (4.21)

trong đó

𝐸0𝐴 𝑇

𝐸0𝐼 𝑅

𝑏ℎ3 12

(𝐸𝑡+𝐸𝑏) 2

; 𝐼 = ; (4.22) 𝛾𝑎 = ; 𝛾𝑏 = ; 𝐸0 =

3𝑅𝐸+𝑛 ( 3(3+𝑛)

2𝑅𝐸+𝑛 2+𝑛

𝑅𝐸+𝑛 1+𝑛

2(𝑅𝐸+𝑛) (𝑅𝐸+1)(1+𝑛)

24 𝑅𝐸+1

− 𝛼 + 𝛼2) ; 𝜎1(𝑅𝐸, 𝑛) = ; 𝜎2(𝑅𝐸, 𝑛) =

0 theo các công thức được xác định

𝑅𝐸 = 𝐸𝑡/𝐸𝑏; 𝛼 = ℎ0 + 1/2.

Rõ ràng, trong trường hợp vật liệu là đồng nhất, Et=Eb=E0 (RE=1), thì các 0, 𝛾2

𝑎

độ lớn vết nứt nêu trên được tính bằng 𝛾1 trong [15-16]:

0 =

ℎ

𝐸0𝐴 0 = 2𝜋(1 − 𝜈2)ℎ𝑓1(𝑧) ; 𝑧 = 𝐾𝑥

; (4.23) 𝛾1

𝑓1(𝑧) = 𝑧2(0.6272 − 0.17248𝑧 + 5.92134𝑧2 − 10.7054𝑧3 + +31.5685𝑧4 − 67.47𝑧5 + 139.123𝑧6 − 146.682𝑧7 + 92.3552𝑧8);

0 =

𝐸0𝐴 0 = 6𝜋(1 − 𝜈2)ℎ𝑓2(𝑧), 𝑧 = 𝑎/ℎ; 𝐾𝑧

(4.24) 𝛾2

𝑓2(𝑧) = 𝑧2(0.6272 − 1.04533𝑧 + 4.5948𝑧2 − 9.9736𝑧3 + +20.2948𝑧4 − 33.0351𝑧5 + 47.1063𝑧6 − 40.7556𝑧7 + 19.6𝑧8).

Do đó, các độ lớn vết nứt (2.21) có thể nội suy bằng các công thức

𝑎 𝛾1 = 𝐹1 ( ℎ

𝑎 ) = 2𝜋(1 − 𝜈2)ℎ𝜎1𝑓1 ( ℎ

) ;

𝛾2 = 𝐹2(𝑎/ℎ) = 6𝜋(1 − 𝜈2)ℎ𝜎2𝑓2(𝑎/ℎ). (4.25) Đây là các công thức tính độ lớn vết nứt đã được đề xuất và kiểm nghiệm

bởi Nguyễn Tiến Khiêm và các cộng sự trong các công bố [30-31].

4.2. Hàm dạng dao động tổng quát của dầm FGM có vết nứt

Trước hết ta tìm nghiệm riêng 𝒛𝑠(𝑥) của phương trình (4.9) thỏa mãn

điều kiện

′ (0) = (0,0, 𝑆3)𝑇 (4.26)

𝒛𝑠(0) = (𝑆1, 𝑆2, 0)𝑇; 𝒛𝑠

sẽ có dạng

𝒛𝑠(𝑥) = [𝑮(𝑥)]{𝑺}, (4.27)

[𝑮(𝑥)] = [

] ⋅ [

] ; (4.28)

𝛼1 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑘1 𝑥 𝛼2 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑘21 𝑥 𝛼3 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑘3 𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑘21 𝑥 𝛽2 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑘2 𝑥

𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑘3 𝑥 𝛽3 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑘3 𝑥

𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑘1 𝑥 𝛽1 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑘1 𝑥

𝛿11 𝛿21 𝛿31 𝛿12 𝛿22 𝛿32 𝛿13 𝛿23 𝛿33

trong đó {𝑺} = {𝑆1, 𝑆2, 𝑆3}𝑇và

′ (𝑒)

với

𝛿11 = 𝛼2𝑘3𝛽3 − 𝛼3𝑘2𝛽2; 𝛿12 = 𝛼3𝑘1𝛽1 − 𝛼1𝑘3𝛽3; 𝛿13 = 𝛼1𝑘2𝛽2 − 𝛼2𝑘1𝛽1; 𝛿21 = 𝑘2𝛽2 − 𝑘3𝛽3; 𝛿22 = 𝑘3𝛽3 − 𝑘1𝛽1; 𝛿23 = 𝑘1𝛽1 − 𝑘2𝛽2; 𝛿31 = (𝛼3 − 𝛼2); 𝛿32 = (𝛼1 − 𝛼3); 𝛿33 = (𝛼2 − 𝛼1). (4.29) Sử dụng biểu thức nghiệm riêng (4.27) với ′ (𝑒), 𝑆2 = 𝑆3 = 𝛾2𝛩𝑥 𝑆1 = 𝛾1𝑈𝑥

′ (𝑒)},

hay

𝑺 = [𝚺]{𝒛0

trong đó

𝚺 = [ ], (4.30)

𝛾1 0 0

0 0 𝛾2 0 𝛾2 0 ta có thể viết nghiệm đó ở dạng

′ (𝑒): 𝑥 ≥ 𝑒,

𝒛0(𝑥): 𝑥 < 𝑒; (4.31) 𝒛𝑐(𝑥) = { 𝒛0(𝑥) + 𝑮𝑐(𝑥 − 𝑒)𝒛0

với

𝐆c(𝑥) = 𝐆(𝑥) × 𝚺. (4.32) Mặt khác, có thể dễ dàng chứng minh được nghiệm (4.31) thỏa mãn điều

kiện tương thích tại vị trí vết nứt (4.19). Do vậy, nghiệm tổng quát của phương

trình (4.9) thỏa mãn điều kiện (4.19) có thể viết ở dạng

{𝒛𝑐(𝑥)} = [𝚽(𝑥, 𝜔)]{𝑪}, (4.33)

′ (𝑒, 𝜔); (4.34)

với

𝚽(𝑥, 𝜔) = 𝐆0(𝑥, 𝜔) + 𝐊(𝑥 − 𝑒)𝐆0

(4.35) 𝐊(𝑥) = { 𝐊′(𝑥) = { 0: 𝑥 ≤ 0; ′ (𝑥): 𝑥 > 0. 0: 𝑥 ≤ 0; 𝐆𝑐(𝑥): 𝑥 > 0; 𝐆𝐜

Đây chính là lời giải tổng quát của phương trình dao động của dầm FGM

có một vết nứt. Nếu trong dầm có nhiều vết nứt tại các vị trí 𝑒𝑘, 𝑘 = 1,2, . . , 𝑛 thì

tương tự ta có thể biểu diễn nghiệm tổng quát của dầm FGM có nhiều vết nứt ở

dạng (4.33) trong đó

𝑛 𝚽(𝑥, 𝜔) = 𝐆0(𝑥, 𝜔) + ∑ 𝑘=1

, (4.36) 𝐊(𝑥 − 𝑒𝑘)𝛀𝑘

và các ma trận 𝛀𝑘, 𝑘 = 1,2, . . , 𝑛 thì được tính theo các công thức truy hồi [34-35]

′ (𝑒𝑘, 𝜔)] + ∑ [𝐆𝑐

′ (𝑒𝑘 − 𝑒𝑗)] ⋅ [𝛀𝑗] ;

𝑘−1 𝑗=1

𝑘 = 1,2,3, . . . , 𝑛. (4.37) [𝛀𝑘] = [𝐆0

Như vậy, đã tìm được biểu thức hiển của nghiệm tổng quát của dầm FGM

chứa nhiều vết nứt, nó sẽ được sử dụng ở sau để xây dựng phương pháp ma trận

truyền để nghiên cứu dầm liên tục nhiều nhịp làm từ vật liệu FGM.

4.3. Phương pháp ma trận truyền mở cho dầm FGM liên tục có vết nứt

4.3.1. Ma trận truyền cho phần tử dầm FGM gối cứng hai đầu

Xét một nhịp dầm bất kỳ nằm giữa hai gối liên tiếp (𝑥𝑗−1, 𝑥𝑗), 𝑗 = 1, . . . , 𝑛 + 1,

nó thỏa mãn điều kiện

(4.38) 𝑊(𝑥𝑗−1) = 𝑊(𝑥𝑗) = 0.

Sử dụng biểu thức (4.33) cho nghiệm phương trình (4.9) ta có thể viết

{𝑈, 𝛩, 𝑊}𝑇 = [𝜱(𝑥, 𝜔)]{𝑪} = [𝜱4(𝑥, 𝜔)]{𝑪4} + [𝜱2(𝑥, 𝜔)]{𝑪2}, (4.39)

trong đó 𝑪4 = (𝐶1, … , 𝐶4)𝑇, 𝑪2 = (𝐶5, 𝐶6)𝑇 và

]; 𝚽4(𝑥, 𝜔) = [

∅14(𝑥) ∅24(𝑥) ∅34(𝑥) ∅11(𝑥) ∅12(𝑥) ∅13(𝑥) ∅21(𝑥) ∅22(𝑥) ∅23(𝑥) ∅31(𝑥) ∅32(𝑥) ∅33(𝑥)

] (4.40) 𝚽2(𝑥, 𝜔) = [

∅15(𝑥) ∅16(𝑥) ∅25(𝑥) ∅26(𝑥) ∅35(𝑥) ∅36(𝑥)

Áp điều kiện (4.38) cho hàm độ võng 𝑊(𝑥, 𝜔) trong công thức (4.39) ta được

phương trình

𝚪04(𝜔)𝑪𝟒 + 𝚪02(𝜔)𝑪2 = 0 (4.41)

trong đó

]; 𝚽04 = [ ∅31(𝑥𝑗−1) ∅32(𝑥𝑗−1) ∅32(𝑥𝑗) ∅31(𝑥𝑗) ∅33(𝑥𝑗−1) ∅34(𝑥𝑗−1) ∅34(𝑥𝑗) ∅33(𝑥𝑗)

] (4.42) 𝚽02 = [ ∅35(𝑥𝑗−1) ∅36(𝑥𝑗−1) ∅36(𝑥𝑗) ∅35(𝑥𝑗)

Phương trình cuối cho phép ta biểu diễn véc tơ 𝑪2 qua véc tơ 𝑪𝟒 như sau

−1(𝜔)𝜞04(𝜔). Do đó ta sẽ có

𝑪2 = 𝜞24(𝜔)𝑪4

với 𝜞24 = −𝜞02

(4.43)

𝒛𝑗(𝑥) = 𝑮̄ 𝑗(𝑥, 𝜔)𝑪𝑗 𝑮̄ 𝑗(𝑥, 𝜔) = [𝜱4(𝑥, 𝜔) + 𝜱2(𝑥, 𝜔)𝜞24(𝜔)].

Đây chính là nghiệm tổng quát của phương trình (4.9) trong nhịp (𝑥𝑗−1, 𝑥𝑗) chỉ

chứa 4 hằng số 𝐶1, … , 𝐶4 thay vì 6 hằng số ban đầu. Điều này sẽ đơn giản hóa các tính toán tiếp theo trong phần xây dựng ma trận truyền của dầm liên tục

nhiều nhịp qua các gối, được trình bày trong mục tiếp theo.

4.3.2. Áp dụng phương pháp ma trận truyền cải biên cho dầm FGM liên tục

liên Xét dầm FGM tục, có các gối cứng tại các vị

trí 𝑥0 = 0, 𝑥1, . . . , 𝑥𝑛, 𝑥𝑛+1 = ℓ. Dễ dàng nhận thấy chuyển vị ngang (độ võng) của dầm tại tất cả các gối bằng 0, do đó ta có các phương trình:

𝑊(0) = 𝑊(𝑥1) = … = 𝑊(𝑥𝑛) = 𝑊(ℓ) = 0 (4.44)

Sử dụng biểu diễn (4.43) ta có

𝑗 (𝑥)𝐶𝑗4; 𝑗 (𝑥)𝐶𝑗4; (4.45)

U𝑗(𝑥, 𝜔) = 𝑔11

𝑗 (𝑥)𝐶𝑗1 + 𝑔12 𝑗 (𝑥)𝐶𝑗1 + 𝑔22

𝑗 (𝑥)𝐶𝑗2 + 𝑔13 𝑗 (𝑥)𝐶𝑗2 + 𝑔23

𝑗 (𝑥)𝐶𝑗3 + 𝑔14 𝑗 (𝑥)𝐶𝑗3 + 𝑔24

𝛩𝑗(𝑥, 𝜔) = 𝑔21

𝑗′ (𝑥)𝐶𝑗4]; 𝑗′ (𝑥)𝐶𝑗4];

𝑗′ (𝑥)𝐶𝑗1 + 𝑔12 𝑗′ (𝑥)𝐶𝑗1 + 𝑔22

𝑗′ (𝑥)𝐶𝑗3 + 𝑔14 𝑗′ (𝑥)𝐶𝑗3 + 𝑔24

𝑗′ (𝑥)𝐶𝑗2 + 𝑔13 𝑗′ (𝑥)𝐶𝑗2 + 𝑔23 𝑗′, 𝑖, 𝑘 = 1, 2, 3, 4 là các phần tử của ma trận 𝑮̅𝑗(𝑥, 𝜔), 𝑮̅

′(𝑥, 𝑗) 𝑗

𝑁𝑗(𝑥, 𝜔) = 𝐴11[𝑔11

𝑀𝑗(𝑥, 𝜔) = 𝐴22[𝑔21 𝑗 , 𝑔𝑖𝑘

𝑇

trong đó 𝑔𝑖𝑘 xác định trong (4.43). Thiết lập véc tơ trạng thái của dầm bao gồm

{𝑽𝑗(𝑥)} = {𝑈𝑗(𝑥), 𝛩𝑗(𝑥), 𝑁𝑗(𝑥), 𝑀𝑗(𝑥)}

𝑇

4} (4.46)

và sử dụng (4.45) ta có thể biểu diễn

𝑗 (𝑥)𝐶𝑗3 𝑔14 𝑗 (𝑥)𝐶𝑗3 𝑔24

{𝑽𝑗(𝑥)} = {𝑈𝑗(𝑥), 𝛩𝑗(𝑥), 𝑁𝑗(𝑥), 𝑀𝑗(𝑥)} = [𝑯𝑗(𝑥)]. {𝑪𝑗 với

𝑯𝑗(𝑥) =

(𝑥)𝐶𝑗4 𝑗′ (𝑥)𝐶𝑗4 ]

𝑗 (𝑥)𝐶𝑗2 𝑔13 𝑗 (𝑥)𝐶𝑗1 𝑔12 𝑔11 𝑗 (𝑥)𝐶𝑗1 𝑔22 𝑗 (𝑥)𝐶𝑗2 𝑔23 𝑔21 𝑗′ 𝑗′ 𝑗′ (𝑥)𝐶𝑗2 𝐴11𝑔13 (𝑥)𝐶𝑗1 𝐴11𝑔12 𝐴11𝑔11 𝑗′ 𝑗′ 𝑗′ (𝑥)𝐶𝑗2 𝐴22𝑔23 (𝑥)𝐶𝑗1 𝐴22𝑔22 𝐴22𝑔21 [

𝑗 (𝑥)𝐶𝑗4 𝑗 (𝑥)𝐶𝑗4 𝑗′ (𝑥)𝐶𝑗3 𝐴11𝑔14 (𝑥)𝐶𝑗3 𝐴22𝑔24

(4.47)

Mặt khác, các véc tơ trạng thái nêu trên của các nhịp cần thỏa mãn điều

kiện liên tục tại các gối trung gian

𝑈𝑗(𝑥𝑗) = 𝑈𝑗+1(𝑥𝑗); 𝛩𝑗(𝑥𝑗) = 𝛩𝑗+1(𝑥𝑗);

𝑁𝑗(𝑥𝑗) = 𝑁𝑗+1(𝑥𝑗); 𝑀𝑗(𝑥𝑗) = 𝑀𝑗+1(𝑥𝑗). (4.48)

Do đó, ta có

4 = [𝑯𝑗+1(𝑥𝑗)]𝑪𝑗+1

[𝑯𝑗(𝑥𝑗)]𝑪𝑗

4 (4.49)

4 = [𝑯𝑗+1 𝑪𝑗+1

−1 (𝑥𝑗)𝑯𝑗(𝑥𝑗)]𝑪𝑗

4 = [𝑺𝑗]𝑪𝑗

hay

Công thức truy hồi nêu trên cho phép ta tính các véc tơ hằng số của nhịp

bất kỳ qua véc tơ hằng số của nhịp thứ nhất

4} = [𝑻𝑗]{𝑪1

4 = [𝑺𝑗𝑺𝑗−1 … 𝑺1]{𝑪1 𝑪𝑗+1

(4.50)

4} (4.51)

4 {𝐂n+1

Cuối cùng, ta được

4} = [𝑻𝑛]{𝐂1

} = [𝑺𝑛𝑺n−1 … 𝑺1]{𝐂1

4}. (4.52)

và

4}; {𝑽𝑛+1(𝑥)} = [𝑯𝑛+1(𝑥)𝑻𝑛] ⋅ {𝑪1

{𝑽1(𝑥)} = [𝑯1(𝑥)] ⋅ {𝑪1

Theo (4.44), ngoài điều kiện biên 𝑊(0) = 𝑊(ℓ) = 0 đã được tính đến trong khi

xây dựng ma trận truyền, ta có các điều kiện biên khác cho dầm tựa đơn hai đầu

(a) và ngàm hai đầu (b) như sau

(a) 𝑈(0) = 𝛩′(0) = 𝑈(ℓ) = 𝛩′(ℓ);

(b) 𝑈(0) = 𝛩(0) = 𝑈(ℓ) = 𝛩(ℓ) = 0. (4.53)

Dưới đây sẽ sử dụng các điều kiện biên này để xây dựng phương trình tần số cho

hai loại dầm tựa đơn và ngàm hai đầu.

1 = 0;

1 (0)𝐶3 1 + 𝑔13 1 + 𝑔23 1 ′(0)𝐶3 1 + h13(𝐿)𝐶3 ′ (𝐿)𝐶3 1 + ℎ23

1 (0)𝐶4 1 + 𝑔14 1 + 𝑔24 1 ′(0)𝐶4 1 + h14(𝐿)𝐶4 ′ (𝐿)𝐶4 1 + ℎ24

′

(x)𝐓n]

1 (0)𝐶2 1 + 𝑔12 1 + 𝑔22 1 ′(0)𝐶2 1 + h12(𝐿)𝐶2 1 + ℎ22 ′ (𝐿)𝐶2 ′ là các phần tử của các ma trận tương ứng [𝑯n+1(x)𝐓n], [𝐇𝑛+1

1 (0)𝐶1 𝑔11 1 ′(0)𝐶1 𝑔21 h11(𝐿)𝐶1 ′ (𝐿)𝐶1 ℎ21 trong đó ℎ𝑗𝑘, ℎ𝑗𝑘

Đối với dầm tựa đơn hai đầu, điều kiện (4.53a) cùng với các biểu thức (4.45) cho ta

Như vậy, các phương trình cuối có thể viết lại ở dạng ma trận

1} và

(4.54)

4} = 0 1, C3

1, C4

1 (0) 𝑔14 1 ′(0) 𝑔24

[𝐃(𝜔)]. {𝐂1 1, C2 4 = {C1 Với 𝐂1

′ (𝐿) ℎ24

1 (0) 1 (0) 𝑔13 1 (0) 𝑔12 𝑔11 1 ′(0) 1 ′(0) 𝑔23 1 ′(0) 𝑔22 𝑔21 (4.55) h11(𝐿) h12(𝐿) h13(𝐿) h14(𝐿) ′ (𝐿) ] ′ (𝐿) ℎ23 ′ (𝐿) ℎ22 ℎ21 [ Trong trường hợp dầm ngàm hai đầu, ta cũng có thể thiết lập được phương

𝐃(𝜔) = 𝐃𝑠𝑠(𝜔) =

1 (0) 𝑔14 1 (0) 𝑔24

trình (4.54) nhưng với ma trận 𝐃(𝜔) bằng

𝐃(𝜔) = 𝐃𝑐𝑐(𝜔) =

1 (0) 1 (0) 𝑔13 1 (0) 𝑔12 𝑔11 1 (0) 1 (0) 𝑔23 1 (0) 𝑔22 𝑔21 (4.56) h11(𝐿) h12(𝐿) h13(𝐿) h14(𝐿) h21(𝐿) h22(𝐿) h23(𝐿) h24(𝐿)]

[

Đối với các dầm có các điều kiện biên nêu trên phương trình tần số sẽ có dạng

(4.57) 𝐹(𝜔) ≡ det[𝐃(𝜔)] = 0

trong đó, ma trận 𝐃(𝜔) có dạng (4.55) cho dầm tựa đơn hai đầu và (4.56) cho

dầm ngàm hai đầu. Các nghiệm thực dương {𝜔1, 𝜔2, … , 𝜔𝑘, … } của phương trình

(4.57) sẽ cho ta tần số riêng của dầm FGM liên tục, nhiều nhịp có nhiều vết nứt.

Ứng với mỗi tần số riêng 𝜔𝑘 tìm được nêu trên ta có một nghiệm riêng của

4 = 𝜗𝑘𝑪̅1 4 𝐂1

phương trình (4.54) chứa một hằng số tùy ý 𝜗𝑘

4 nghiệm đã được chuẩn hóa của phương trình (4.17). Khi đó dạng

4}, 𝑥 ∈ (𝑥𝑗−1, 𝑥𝑗), 𝑗 = 1, . . 𝑛 + 1} (4.58)

trong đó 𝑪̅1 dao động riêng tương ứng với tần số 𝜔𝑘 sẽ được tính bằng công thức {𝐙𝑘(𝑥)} = {𝒛(𝑥, 𝜔𝑘)} = 𝜗𝑘{[𝚽𝑗(𝑥, 𝜔𝑘)𝐓𝑗]{𝐂̅1 Hằng số tùy ý 𝜗𝑘 được xác định bằng một tiêu chuẩn chuẩn hóa dạng riêng bất kỳ mà ta có thể chọn, ví dụ,

‖𝐙𝑘(𝑥)‖ = 1 (4.59) max 𝑥

Như vậy, bài toán dao động riêng của dầm FGM liên tục, nhiều nhịp chứa

nhiều vết nứt đã được giải quyết bằng phương pháp ma trận truyền. Điều khác

biệt quan trọng của phương pháp ma trận truyền được phát triển trong chương

này là đã loại trừ được việc tính phản lực tại các gối trung gian của phương pháp

ma trận truyền cổ điển [1-5]. Đặc biệt, phương pháp ma trận truyền cải tiến đó,

lần đầu tiên, đã được phát triển cho dầm FGM liên tục nhiều nhịp có vết nứt

chứa dầm đồng nhất như một trường hợp riêng. Mục tiếp theo sẽ trình bày các

kết quả số tính toán phân tích tần số riêng của dầm FGM nhiều nhịp phụ thuộc

vào vị trí các gối trung gian cùng các tham số của vật liệu cũng như vị trí, độ sâu

và số lượng vết nứt trong dầm. Sơ đồ tính toán tần số riêng của dầm FGM liên

Tính toán ma trận truyền cho từng nhịp và cho cả dầm

Xây dựng hàm dạng dao động cho phần tử dầm FGM có vết nứt

Thiết lập phương trình tần số cho dầm liên tục sử dụng điều kiện biên

Giải pơhuwow ng trình tần số để tính toán tần số riêng của dầm

Số liệu đầu vào: Hình học, Vật liệu, Vị trí gối, Vết nứt (vị trí, độ sâu)

tục có vết nứt được trình bày trong sơ đồ sau

Sơ đồ tính tần số riêng của dầm FGM liên tục có vết nứt

4.4. Kết quả tính toán số

4.4.1. Kiểm chứng phương pháp, thuật toán và chương trình

a) Dầm FGM nguyên vẹn: Xét một dầm FGM với các hằng số vật liệu 𝐸𝑡 = 390𝐺𝑃𝑎, 𝜌𝑡 = 3960𝑘𝑔/𝑚3, 𝜇𝑡 = 0.25; 𝐸𝑏 = 210𝐺𝑃𝑎,𝜌𝑏 = 7800𝑘𝑔/𝑚3, 𝜇𝑏 = 0.31.

Sự biến đổi của vật liệu theo quy luật hàm lũy thừa với chỉ số phân bố thể

tích n = 0.1;0.2;0.5;1.0;2.0;5.0;10. Các tham số hình học của dầm là ℓ =1.0m,

b=0.1m, h=0.1; [15].

Kết quả tính toán so sánh trong Bảng 4.1 cho thấy sự tương đồng tốt giữa

hai phương pháp ma trận độ cứng động đã được phát triển bởi Su và Banerjee

[59] và phương pháp ma trận truyền được phát triển ở trên cho dầm FGM. Có

một số khác biệt trong kết quả tính toán nêu trên là do phương pháp độ cứng

động được phát triển dựa trên giả thiết mặt trung hòa của dầm trùng với trục giữa

dầm, trong khi đó phương pháp ma trận truyền nêu trên tính đến vị trí thực của

mặt trung hòa khác với mặt giữa dầm. Xét về khía cạnh lý thuyết, việc tính đến

vị trí thực của trục trung hòa đã làm chính xác hơn lý thuyết về dầm FGM so với

giả thiết gần đúng trục trung hòa trùng với trục giữa dầm (điều này chỉ xảy ra đối

với dầm đồng nhất hoặc gần đúng khi hai vật liệu thành phần có mô đun đàn hồi

xấp xỉ nhau).

Mode 1

Mode 2

Mode 3

ℓ/h

DSM [55] TMM DSM [55]

TMM

DSM [55]

TMM

0.1 0.2 9.5 1.0 2.0 5.0 10 0.1 0.2 9.5 1.0 2.0 5.0 10

4.784 4.5296 4.0590 3.6890 3.3906 3.1088 2.9513 5.001 4.7348 4.2432 3.8586 3.5510 3.2608 3.0959

28.189 26.780 24.002 21.621 19.479 17.526 16.686 40.385 38.240 34.261 31.110 28.544 26.112 24.799

Bảng 4.1. So sánh tần số tính bằng phương pháp ma trận truyền (TMM) và phương pháp độ cứng động (DSM) [59] trong các trường hợp ℓ/h =5;10 và các giá trị khác nhau của chỉ số n

4.7834 4.5219 4.0279 3.6355 3.3328 3.0772 2.9387 4.9977 4.7267 4.2086 3.8004 3.4878 3.2251 3.0805

16.6660 15.7565 14.0318 12.6470 11.5589 10.6300 10.1467 19.1228 18.0863 16.1021 14.5331 13.3229 12.3013 11.7476

28.3189 26.8944 24.0579 21.6145 19.4718 17.5625 16.7487 40.3570 38.1718 33.9801 30.6491 28.0555 25.8533 24.6834

0.1 0.2 9.5

9.3380 8.8467 7.9241

Dầm tựa đơn hai đầu 16.652 15.770 14.128 12.818 11.740 10.721 10.176 19.135 18.118 16.235 14.755 13.561 12.434 11.805 Dầm ngàm hai đầu 21.455 20.331 18.206

28.189 26.780 24.022

9.3334 8.8320 7.8762

21.4415 20.2909 18.0842

28.1787 26.8887 23.9547

1.0 2.0 5.0 10 0.1 0.2 9.5 1.0 2.0 5.0 10

7.1772 6.5543 5.9699 5.6680 10.827 10.253 9.1864 8.3437 7.6610 7.0184 6.6638

16.459 14.974 13.585 12.896 27.809 26.337 23.594 21.404 19.608 17.909 17.014

21.621 19.479 17.526 16.686 50.364 47.704 42.727 38.721 35.398 32.297 30.647

7.0980 6.4707 5.9244 5.6484 10.8205 10.2371 9.1182 8.2292 7.5376 6.9493 6.6339

16.2684 14.7812 13.4826 12.8530 27.7924 26.2986 23.4254 21.1256 19.3119 17.7560 16.9432

21.5294 19.3954 17.4850 16.6691 50.3343 47.6357 42.4315 38.2389 34.8940 32.0050 30.5295

b) Dầm FGM có vết nứt: Xét dầm FGM có vết nứt đã được nghiên cứu trong tài liệu

[31] với các tham số hình học và vật liệu sau đây: ℓ =1.0m, b=0.1m, h=0.05m,

Et=70GPa,t=2780kg/m3, t=0.33, Eb/Et=0.2, b=7800kg/m3, b=0.33, n=2.0.

(a)

(b) Hình 4.3. So sánh tần số cơ bản của dầm FGM có vết nứt tính được bằng các phương pháp TMM, DSM và p-FEM; a – dầm tựa đơn hai đầu; b – dầm ngàm hai đầu

Sử dụng phương pháp ma trận truyền nêu trên, chúng ta tính tỷ số tần số cơ

bản của dầm có vết nứt trên tần số cơ bản của dầm nguyên vẹn và kết quả được

trình bày trên Hình 4.3. Trên Hình 4.3 trình bày cả kết quả tính toán tỷ số tần số

nêu trên bằng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng [66] và phương pháp độ

cứng động [39] với mục đích so sánh và kiểm chứng. Các đồ thị trên hình vẽ cho

thấy phương pháp ma trận truyền cho kết quả hầu như trùng với phương pháp

phần tử hữu hạn (PTHH) mở rộng và có độ lệch rất nhỏ so với phương pháp độ

cứng động. Cần phải nhấn mạnh ở đây rằng kết quả tính toán bằng phương pháp

PTHH trong [66] dựa trên quy luật biến đổi vật liệu theo hàm số mũ (không phải

hàm lũy thừa như trong nghiên cứu này). Vì vậy, kết quả so sánh trên đồng thời

khẳng định quy luật hàm số mũ tương đương với quy luật hàm lũy thừa với n =

2.0, nghĩa là quy luật hàm số mũ chỉ là trường hợp riêng của quy luật hàm lũy

thừa. Như vậy, kết quả so sánh trên còn góp phần khẳng định mô hình vết nứt

trong dầm FGM nêu trên là tin cậy và có thể sử dụng trong phân tích của dầm

FGM có vết nứt.

4.4.2. Một số đặc tính dao động của dầm đơn FGM

a) Trục trung hòa trong dầm FGM

Một đặc tính quan trọng của dầm FGM là sự xê dịch vị trí trục trung hòa

khỏi trục trung tâm do sự phân bố không đều của vật liệu theo chiều dầy dầm. Vị

trí trục trung hòa tính theo trục z kể từ trục giữa được xác định bằng công thức

(2.7), hay vị trí tương đối so với chiều dầy bằng

0 =

ℎ0 ℎ

𝑛(𝑅1−1) 2(𝑛+2)(𝑛+𝑅1)

(4.60) ℎ̄ =

Từ đó có thể chứng minh được rằng

(4.61) ℎ0/ℎ ≤ 𝑛/2(𝑛 + 2) = 1/2 − 1/(𝑛 + 2).

Dễ dàng nhận thấy khi 𝑛 = 0 hay 𝑅1 = 1, tức dầm là đồng nhất thì trục trung

hòa trùng với trục giữa.

Trên Hình 4.4 – 4.5 trình bày vị trí thực của trục trung hòa tính từ trục giữa,

phụ thuộc vào chỉ số tỷ lệ thể tích n và tỷ số mô đun đàn hồi 𝑅𝑒 (top-to-bottom).

Hình 4.4 cho thấy vị trí trục trung hòa lúc đầu tăng cùng với n đến một giá trị

cực đại (khi 𝑛 = √2𝑅𝑒) rồi giảm dần khi n tiếp tục tăng. Hình 4.5 cho thấy vị trí

trục trung hòa xê dịch lệch về phía vật liệu có độ cứng lớn hơn.

Hình 4.4. Vị trí trục trung hoà phụ thuộc vào số mũ n với các giá trị tỷ số mô đun đàn hồi khác nhau.

Hình 4.5 Vị trí trục trung hòa (tính từ trục giữa dầm) phụ thuộc vào tỷ số đàn hồi với các giá trị khác nhau của chỉ số n. a) Re<1; b) Re>1.

b) Tương tác giữa dao động dọc trục và dao động uốn trong dầm FGM

Ngoài sự thay đổi trục trung hòa, chúng ta còn nhận thấy khác với dầm

đồng chất, dao động dọc trục và dao động uốn trong dầm FGM không độc lập

nhau. Sự tương tác giữa các dạng dao động này được biểu thị bằng hệ số (xem

phương trình đầu trong (4.8))

𝐼12 =

𝐴ℎ𝜌𝑏(𝑅2−𝑅1)𝑛 2(2+𝑛)(𝑅1+𝑛)

hay

. (4.62)

=

𝐼̄12 =

𝐼12 𝑏ℎ2𝜌𝑏

(𝑅2−𝑅1)𝑛 2(2+𝑛)(𝑅1+𝑛)

Công thức (4.62) cho thấy dao động dọc trục tách rời với dao động uốn

của dầm FGM trong hai trường hợp: một là dầm đồng nhất (𝑛 = 0) hoặc thỏa

mãn điều kiện

𝑅1 = 𝑅2

hay

𝐸𝑡/𝐸𝑏 = 𝜌𝑡 𝜌𝑏⁄ ,

tức cả mô đun đàn hồi và mật độ khối có cùng một tỷ lệ. Các tác giả công bố

[31] đã gọi đây là vật liệu FGM tỷ lệ (proportional FGM).

Trong Hình 4.6 biểu diễn sự phụ thuộc của hệ số tương tác dao động 𝐼12

của dầm FGM phụ thuộc vào các tham số vật liệu. Đồ thị trên hình vẽ cho

thấy nếu tỷ số mô đun đàn hồi nhỏ hơn 1 (tức mô đun đàn hồi vật liệu mặt

trên nhỏ hơn mô đun đàn hồi của vật liệu mặt đáy dầm) thì hệ số tương tác sẽ

dương và giảm dần khi mô đun đàn hồi vật liệu mặt trên tăng dần đến mô đun

đàn hồi vật liệu mặt đáy. Hệ số tương tác sẽ âm khi mô đun đàn hồi mặt trên

lớn hơn mô đun đàn hồi mặt dưới và giá trị tuyệt đối của hệ số này tăng khi

mô đun đàn hồi mặt dưới tăng. Chỉ số phân bố thể tích n làm giảm giá trị

tuyệt đối của hệ số tương tác khi 𝑅𝑒 < 1 và tăng khi 𝑅𝑒 > 1.

Hình 4.6. Hệ số tương tác giữa dao động dọc trục và dao động uốn, 𝐼12, phụ thuộc vào tỷ số mô đun đàn hồi và hệ số tỷ lệ thể tích n, Ro=1, a) Re<1; b) Re >1

c) Ảnh hưởng các tham số vật liệu đến tần số của dầm FGM

Trên các hình 4.7 và 4.8 trình bày sự phụ thuộc của tần số cơ bản vào vị

trí trục trung hòa và hệ số tương tác dao động. Các đồ thị cho thấy tần số tăng

khi trục trung hòa xê dịch từ dưới lên và tần số sẽ giảm khi hệ số tương tác

dao động tăng. Tốc độ tăng và giảm tần số rất lớn khi chỉ số phân bố vật liệu

n nhỏ, nhưng khi n đặt đến giá trị n = 5 thì tốc độ tăng và giảm do vị trí trục

trung hòa và hệ số tương tác dao động không thay đổi.

Hình 4.7. Ảnh hưởng của trục trung hòa đến tần số riêng của dầm FGM

Hình 4.8. Ảnh hưởng của hệ số tương tác dao động đến tần số riêng của dầm FGM

Hình 4.9. Ảnh hưởng của tỷ số mô đun đàn hồi đến tần số riêng của dầm FGM

Hình 4.10. Ảnh hưởng của tỷ số mật độ khối đến tần số riêng của dầm FGM

L/h=5

L/h=10

L/h=20

L/h=30 Hình 4.11. Ảnh hưởng của độ mảnh đến trật tự sắp xếp các dạng dao động

Hình 4.9 và 4.10 hiển thị sự thay đổi tần số theo tỷ số mô đun đàn hồi và

tỷ số mật độ khối. Các đồ thị cho thấy tần số cơ bản tăng khi tỷ số mô đun

đàn hồi tăng và chỉ số phân bố vật liệu n giảm. Ngược lại tần số cơ bản giảm

khi tỷ số mật độ khối tăng và chỉ số phân bố vật liệu giảm. Hình 4.11 biểu thị

các dạng riêng ứng với các độ mảnh khác nhau của dầm. Các dạng riêng cho

phép ta phân biệt dạng dao động dọc trục và dạng dao động uốn. Cụ thể, khi

dầm có độ mảnh nhỏ (tức là dầm ngắn hoặc dầy) thì dạng dao động dọc trục

xuất hiện với tần số thấp (tần số thứ 2). Nhưng khi độ mảnh tăng lên (dầm dài

hoặc mảnh) thì dao động dọc trục xuất hiện ở những tần số cao (tần số thứ 5).

d) Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số của dầm FGM đơn

Các hình vẽ 4.12 – 4.14 trình bày sự thay đổi của ba tần số đầu tiên (tỷ

số giữa tần số của dầm bị nứt trên tần số của dầm nguyên vẹn) của dầm FGM

tựa đơn hai đầu theo vị trí vết nứt trong các trường hợp khác nhau của độ sâu

vết nứt (a); chỉ số phân bố vật liệu n (b) và tỷ số mô đun đàn hồi r (c). các đồ

thị cho thấy: (1) Tất cả các tần số đều giảm khi độ sâu vết nứt tăng; (2) Sự

thay đổi các tần số càng nhiều khi chỉ số phân bố vật liệu n và tỷ số mô đun

đàn hồi r giảm; (3) Các tham số vật liệu không làm thay đổi vị trí các điểm kỳ

dị của dầm FGM, vết nứt xuất hiện tại đó không làm thay đổi tần số của dầm.

Đây là bức tranh cơ bản về sự thay đổi tần số riêng của dầm FGM do vết nứt

đã được nghiên cứu trong các tài liệu [3, 8, 30, 39, 49] được trình bày ở đây

làm cơ sở để phân tích tần số riêng của dầm FGM liên tục nhiều nhịp.

Hình 4.12. Ảnh hưởng độ sâu vết nứt a/h (a), chỉ số phân bố vật liệu n (b) và tỷ số mô đun đàn hồi r (c) đến tần số thứ nhất của dầm FGM tựa đơn hai đầu

Hình 4.13. Ảnh hưởng độ sâu vết nứt a/h (a), chỉ số phân bố vật liệu n (b) và tỷ số mô đun đàn hồi r (c) đến tần số thứ hai của dầm FGM tựa đơn hai đầu

Hình 4.14. Ảnh hưởng độ sâu vết nứt a/h (a), chỉ số phân bố vật liệu n (b) và tỷ số mô đun đàn hồi r (c) đến tần số thứ ba của dầm FGM tựa đơn hai đầu.

4.4.3. Ảnh hưởng của gối trung gian đến tần số riêng của dầm FGM liên tục

Bây giờ ta chuyển sang nghiên cứu tần số riêng của dầm FGM nguyên vẹn

phụ thuộc vào vị trí gối trung gian. Tham số tần số 𝜆 = (𝜔𝐿2 ℎ⁄ )√𝜌𝑏 𝐸𝑏⁄ được

tính toán cho dầm có 1, 2 và 3 nhịp với các điều kiện biên khác nhau và được

trình bày ở Bảng 4.2.

Chỉ số phân bố thể tích vật liệu, n

Số nhịp

0.01

0.1

0.2

0.5

1.0

2.0

5.0

100

Dầm ngàm hai đầu

Bảng 4.2. Tần số riêng của dầm FGM một, hai và ba nhịp phụ thuộc vào chỉ số phân bố vật liệu, n

7.5376 19.3119 34.8940 38.9091 52.9791 19.3119 25.8829 38.9091 52.9791 59.1247

11.5145 29.5673 53.5374 81.4231 111.9562 29.5673 53.8214 59.6626 81.4231 111.9510 47.8421 59.6656 69.8397 102.3087 119.3964

10.8205 27.7924 50.3343 76.5667 105.2785 27.7924 37.3334 56.3731 76.5667 110.0951 47.8913 56.3649 62.5498 93.6781 116.6928

10.2319 26.2854 47.6118 72.4358 99.5801 26.2854 35.3282 53.5455 72.4358 102.7235 45.2966 53.5222 59.2241 66.7551 77.2032

9.1182 23.4254 42.4315 48.0050 64.5588 23.4254 31.5046 48.0050 64.5588 72.3369 40.3632 47.9435 52.8711 59.5739 105.6788

6.6339 16.9432 30.5295 46.2376 63.3190 16.9432 22.5935 33.3620 46.2376 51.4120 29.0819 33.3498 37.6230 42.1763 71.5469

8.2292 21.1256 38.2389 43.1884 58.1469 21.1256 28.3919 43.1884 58.1469 65.0735 36.3784 43.1067 47.6401 53.6201 85.9819

33.2108 38.8406 43.3252 48.6735 77.4631

6.9493 17.7560 32.0050 35.0282 48.4886 17.7560 23.6975 35.0282 48.4886 53.9305 30.4827 34.9980 39.5027 44.2877 69.8852

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

6.1346 15.7049 28.3581 43.0257 59.0426 15.7049 21.0038 28.4799 31.6260 43.0257 27.0007 31.6319 36.7929 53.8746 63.3897

Dầm tựa đơn hai đầu

5.3204 20.3566 42.9562 70.8363 102.1854

4.9977 19.1228 40.3570 66.5611 96.0345

4.7243 18.0772 38.1525 62.9317 90.8045

4.2086 16.1021 33.9801 48.0050 56.0479

3.8004 14.5331 30.6491 43.1884 50.5213

3.4878 13.3229 28.0555 38.9090 46.1729

3.2251 12.3013 25.8533 35.0281 42.4555

3.0805 11.7476 24.6834 40.5218 58.2010

2.8424 10.8549 22.8502 37.5854 54.0890

1 2 3 4 5

19.1228 27.7926 56.3731 66.5611 96.8673 40.3570 47.8894 56.3766 62.5400 67.1257

18.0772 26.2861 53.5455 62.9317 72.4246 38.1525 45.2915 53.5548 59.1967 112.0550

16.1021 23.4271 48.0050 56.0479 64.5306 33.9801 40.3509 48.0280 52.7990 103.2356

11.7476 16.9437 33.3619 40.5218 46.2303 24.6834 29.0777 33.3686 37.6084 69.8669

10.8549 15.7049 31.6260 37.5854 54.1172 22.8502 27.0007 28.2362 31.0315 45.6449

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

20.3566 29.5673 34.0693 42.9560 59.6626 42.9561 58.6664 59.6465 86.1579 119.3565

14.5331 21.1279 43.1884 50.5213 58.1088 30.6491 36.3617 43.2196 47.5441 85.9819

13.3229 19.3141 38.9090 46.1729 52.9434 28.0555 33.1935 38.9392 43.2438 77.4629

12.3013 17.7571 35.0281 42.4555 48.4705 25.8533 30.4724 35.0446 39.4663 69.8848

Et=390GPa, t=3960kg/m3, t=0.25; Eb=210GPa, b=7800kg/m3, b=0.31; L=1, b = 0.1, h = 0.1

Các tham số tần số cho trong Bảng 4.2 phụ thuộc vào chỉ số phân bố vật

liệu n từ 0.01 đến 100 và với số lượng nhịp thay đổi từ 1 đến 3. Lưu ý các trường

hợp giá trị rất nhỏ (0.01) và rất lớn (100) được xem xét với mục đích xem xét sự

tiệm cận của các tần số dầm FGM đến các tần số của dầm đồng nhất.

Nghiên cứu phân tích các số liệu cho trong Bảng 4.2 ta có thể rút ra các

nhận xét và bình luận như sau:

(1) Tần số thứ nhất của dầm FGM hai nhịp có độ dài bằng nhau chính là

tần số thứ hai của dầm một nhịp đơn có cùng độ dài và cùng điều kiện biên. Tần

số thứ tư của dầm đơn nhịp cũng tìm thấy trong phổ tần số của dầm hai nhịp,

nhưng số hiệu của nó không nhất định ở tần số thứ hai (như trong dầm đồng

nhất) mà có thể là thứ ba hay thứ tư. Điều này còn phụ thuộc vào giá trị của chỉ

số phân bố vật liệu n, nó gây nên sự xuất hiện của tần số dọc trục sớm hay muộn;

(2) Dầm FGM hai nhịp và ba nhịp trong cả hai trường hợp điều kiện biên

nêu trên có các tần số giống nhau (59.6656 for n =0.01, 56.3731 – n = 0.1,

53.5435 – n = 0.2, 48.005 – n = 0.5, 43.1881 – n = 1.0, 38.9091 – n = 2.0,

35.0282 – n = 5.0, 33.3620 – n = 10, 31.6260 – n = 100), chúng xuất hiện cũng

do các gối trung gian. Vì vậy, các tần số này cũng có thể gọi là các tần số gối,

giống như dầm đồng nhất ở trên [18];

(3) Nói chung, tần số riêng của dầm FGM tăng khi số lượng nhịp tăng và

giảm khi chỉ số phân bố vật liệu n tăng. Nhưng chỉ số n làm thay đổi đáng kể trật

tự của các dạng dao động do sự xuất hiện của dạng dao động dọc trục sớm hay

muộn trong phổ tần số riêng của dầm FGM liên tục nhiều nhịp;

(4) Ảnh hưởng của gối trung gian đến tần số dao động dọc trục và tần số

dao động uốn rất khác nhau. Điều này có thể lý giải như sau: các gối trung gian

đều là gối trượt, chúng hạn chế hoàn toàn chuyển vị uốn nhưng không cản trở

chuyển vị dọc trục. Vì vậy, như sẽ thấy ở sau, tần số dao động dọc trục ít bị ảnh

hưởng của gối trung gian trong dầm FGM.

4.4.4. Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng của dầm FGM liên tục

Trong phần này chúng ta nghiên cứu sự thay đổi tần số riêng của dầm FGM

đa nhịp do vết nứt, đối với dầm đơn nhịp các tần số của dầm phụ thuộc vào vết

nứt và tính chất vật liệu đã được nghiên cứu chi tiết trong các tài liệu [30-31]. Cụ

thể là tính tỷ số tần số riêng của dầm hai và ba nhịp có vết nứt trên tần số riêng

của dầm khi không bị nứt (nguyên vẹn) phụ thuộc vào vị trí, độ sâu vết nứt và

tham số vật liệu n (chỉ số phân bố vật liệu FGM). Mỗi đồ thị biểu diễn tỷ số tần

số nêu trên là hàm số của vị trí vết nứt (hoành độ) và tương ứng với một độ sâu

vết nứt hoặc một giá trị của chỉ số phân bố vật liệu n. Trong mỗi hình trình bày

tần số cơ bản (uốn) của dầm đa nhịp FGM với hai điều kiện biên khớp (SSB) và

ngàm (CCB). Các Hình 4.15 – 4.18 trình bày đồ thị của tần số riêng đã được

chuẩn hóa bởi tần số của dầm không bị nứt phụ thuộc vào vị trí vết nứt với các

giá trị khác nhau của độ sâu vết nứt và chỉ số phân bố vật liệu n. Các đồ thị này

cho thấy không chỉ ảnh hưởng của vị trí, độ sâu vết nứt mà còn cho phép nghiên

cứu ảnh hưởng tham số vật liệu đến tần số uốn đầu tiên của dầm hai và ba nhịp.

Riêng Hình 4.19 biểu thị sự thay đổi tần số dọc trục, giống nhau cho cả dầm hai

nhịp và ba nhịp do vết nứt và chỉ số vật liệu. Nghiên cứu các đồ thị này, chúng ta

có thể đưa ra những nhận xét sau đây cho từng loại dầm hai nhịp và ba nhịp.

a. Dầm FGM liên tục hai nhịp

Nói chung, độ sâu vết nứt càng tăng thì tần số của dầm FGM đa nhịp sẽ

giảm, trừ một số điểm nút đã được xác định ở trên cho dầm đồng chất đa nhịp

(Hình 4.15). Một số đặc điểm của các điểm nút tần số của dầm đồng chất vẫn

còn được duy trì cho dầm FGM như: khi gối tựa trung gian của dầm hai nhịp

nằm ở giữa dầm (tức hai nhịp có độ dài bằng nhau) thì chính gối trung gian này

là điểm nút tần số của cả dầm ngàm hai đầu và khớp hai đầu. Tuy nhiên dầm

khớp hai đầu chỉ có duy nhất một điểm nút tần số, trong khi đó dầm ngàm hai

đầu có các điểm nút khác không phải là gối trung gian. Độ nhạy của tần số với

vết nứt càng tăng khi chỉ số phân bố vật liệu n giảm, nhưng vị trí các điểm nút

tần số không phụ thuộc vào chỉ số vật liệu này (Hình 4.16). Điều này đúng cho

cả hai dạng điều kiện biên nêu trên.

(a)

(b)

Hình 4.15. Tần số cơ bản (uốn) của dầm FGM hai nhịp (a – SSB, b – CCB) phụ thuộc vào vị trí vết nứt và tương ứng với các giá trị khác nhau của độ sâu vết nứt (a/h)

(a)

(b) Hình 4.16. Tần số cơ bản (uốn) của dầm FGM hai nhịp (a – SSB, b – CCB) phụ thuộc vào vị trí vết nứt và tương ứng với các giá trị khác nhau về chỉ số phân bố vật liệu (n).

b. Dầm FGM liên tục ba nhịp

Đối với dầm FGM ba nhịp, tỷ số tần số riêng cơ bản được trình bày trong

các Hình 4.17 (ảnh hưởng của độ sâu vết nứt) và Hình 4.18 (ảnh hưởng của chỉ

số phân bố vật liệu). Nghiên cứu các đồ thị trên các hình vẽ này chúng ta thấy:

hai gối tựa trung gian vẫn là các điểm nút tần số của dầm khớp hai đầu, nhưng

đối với dầm ngàm hai đầu cả 4 điểm nút tần số đều không trùng với các gối

trung gian. Nhưng tốc độ thay đổi tần số qua các gối của dầm ngàm hai đầu có

bước nhảy (đạo hàm không liên tục). Điều này có thể lý giải bằng việc điều kiện

biên của hai nhịp ở hai bên gối là khác nhau nên sự thay đổi tần số cũng khác

nhau. Đây là một biểu hiện của sự ảnh hưởng của điều kiện biên đến sự thay đổi

tần số của dầm đa nhịp có vết nứt. Ngoài ra còn có thể nhận thấy rằng điểm giữa

của hai nhịp biên của dầm khớp hai đầu nhạy cảm nhất với vết nứt, trong khi đó

điểm nhạy cảm nhất với vết nứt chính là điểm giữa dầm hay điểm giữa của nhịp

trung gian trong dầm ba nhịp. Sự ảnh hưởng của tham số vật liệu đến tần số dao

động của dầm FGM ba nhịp có vết nứt cũng tương tự như dầm hai nhịp đã phân

(a)

tích ở trên.

(b) Hình 4.17. Tần số cơ bản (uốn) của dầm FGM ba nhịp (a – SSB, b – CCB) phụ thuộc vào vị trí vết nứt và tương ứng với các giá trị khác nhau của độ sâu vết nứt (a/h)

(a)

(b) Hình 4.18. Tần số cơ bản (uốn) của dầm FGM ba nhịp (a – SSB, b – CCB) phụ thuộc vào vị trí vết nứt và tương ứng với các giá trị khác nhau của chỉ số phân bố vật liệu (n).

Tính toán tần số uốn của dầm FGM hai và ba nhịp có vết nứt cho thấy: gối

trung gian không ảnh hưởng đến tần số dao động dọc trục. Điều này dễ hiểu bởi

các gối trung gian đều là gối trượt, không ngăn cản chuyển vị dọc trục của dầm

FGM. Hơn nữa, trong cả hai trường hợp điều kiện biên khớp và ngàm chuyển

vị dọc trục của dầm đều bị hạn chế như nhau. Vì vậy trên Hình 4.19 trình bày

tỷ số tần số dọc trục của dầm FGM đa nhịp nói chung phụ thuộc vào các tham

số vết nứt và vật liệu (n). Các đồ thị trên Hình 4.19 cho thấy tần số dao động

dọc trục của dầm FGM đa nhịp chỉ có duy nhất một điểm nút tại giữa dầm và

việc tăng chỉ số phân bố vật liệu n làm giảm độ nhạy cảm của tần số dọc trục

với vết nứt. Và như mọi trường hợp, độ sâu vết nứt tăng làm giảm mạnh tần số

dao động dọc trục.

(a)

(b) Hình 4.19. Tần số dao động dọc trục của dầm FGM liên tục ba nhịp phụ thuộc vào độ sâu vết nứt (a) và chỉ số phân bố vật liệu n (b).

Ảnh hưởng của số lượng vết nứt đến tần số của dầm FGM đa nhịp cũng đã

được nghiên cứu và kết quả tính toán tần số riêng cơ bản của dầm ba nhịp theo

các kịch bản khác nhau của vết nứt được trình bày trong bảng 4.3. Các kịch bản

vết nứt bao gồm từng nhịp bị nứt, các cặp nhịp cùng bị nứt và cả ba nhịp đều bị

nứt. Tất cả các vết nứt đều xảy ra ở giữa nhịp và có độ sâu là 30%, tham số vật

liệu n = 2.

Số lượng vết nứt (a/h=30%)

Stt

Hai

Không

Một

1/2

Vị trí vết nứt

1/6

5/6

1/6 -1/2

1/2 -5/6

1/6-5/6

1/6-1/2-5/6

Dầm tựa đơn hai đầu

1 2 3 4 5

3.1173 3.6882 4.3266 4.8049 8.6070

2.8933 3.5327 4.1894 4.7589 8.5196

2.9376 3.6882 4.3266 4.5923 8.2420

2.7486 3.5104 4.1888 4.5317 8.1492

2.7794 3.2741 4.0554 4.7058 8.4273

2.6336 3.2741 4.0554 4.4553 8.0509

3.6901 4.3156 4.8139 5.4082 8.6070

3.6042 4.1779 4.6265 5.3252 8.5196

3.3995 4.3156 4.8139 5.3095 8.2421

2.8933 3.5327 4.1894 4.7589 8.5196 Dầm ngàm hai đầu 3.3331 3.6042 4.1771 4.1779 4.6123 4.6265 5.2209 5.3252 8.1495 8.5196

3.3331 4.1771 4.6123 5.2209 8.1495

3.5354 4.0427 4.4668 5.1982 8.4274

1 2 3 4 5

3.2754 4.0427 4.4668 5.0673 8.0512

Et=390GPa, t=3960kg/m3, t=0.25; Eb=210GPa, b=7800kg/m3, b=0.31; L=1, b = 0.1, h = 0.1;

Bảng 4.3. Ảnh hưởng của số lượng và phân bố vết nứt đến tần số riêng của dầm ba nhịp

Nghiên cứu số liệu cho trong Bảng 4.3 ta thấy: Trong dầm đa nhịp các vết

nứt đối xứng nhau qua điểm giữa dầm ảnh hưởng như nhau đến tần số; Điểm

giữa dầm ba nhịp, đồng thời là điểm giữa của nhịp giữa là điểm nút của các tần

số thứ hai và thứ ba (tần số uốn thứ hai và tần số dọc trục đầu tiên); Vết nứt xuất

hiện trong nhịp giữa dầm ngàm hai đầu nguy hiểm hơn vết nứt xuất hiện ở các

nhịp hai bên, đối với dầm khớp hai đầu thì ngược lại. Điều này có thể lý giải

bằng việc hai biên đều là điểm nút tần số của dầm khớp hai đầu. Cũng tương tự

như dầm đồng chất, số lượng vết nứt càng tăng thì tần số càng giảm (tất nhiên

trừ trường hợp vết nứt xuất hiện tại các điểm nút tần số).

Kết luận chương 4

Trong Chương này, phương pháp ma trận truyền đã được phát triển để áp

dụng tính toán tần số riêng của dầm FGM liên tục đa nhịp có vết nứt. Khác với

dầm đồng chất, ở đó dao động uốn và dao động dọc trục tách rời nhau, trong

dầm Timoshenko FGM dao động uốn có sự tương tác với dao động dọc trục

(uncoupled). Vì vậy, phương pháp ma trận truyền áp dụng cho dầm FGM phức

tạp hơn, đặc biệt là khi dầm FGM liên tục đa nhịp có vết nứt. Sự phát triển

phương pháp ma trận truyền cho dầm FGM đã được kiểm chứng bằng cách so

sánh với phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (p-version FEM) và phương

pháp độ cứng động lực.

Sử dụng phương pháp ma trận truyền đã nghiên cứu chi tiết ảnh hưởng của

gối trung gian, vết nứt và chỉ số phân bố vật liệu đến tần số riêng cơ bản của dầm

FGM liên tục hai và ba nhịp. Kết quả chính của việc nghiên cứu này là: trong

dầm FGM vẫn tồn tại các tần số gối như trong dầm đa nhịp đồng chất, nhưng các

tần số gối này phụ thuộc nhiều vào chỉ số phân bố vật liệu n; Gối trung gian chỉ

ảnh hưởng đến các tần số dao động uốn mà không ảnh hưởng đến tần số dao

động dọc trục; Chỉ số phân bố vật liệu không ảnh hưởng đến các điểm nút tần số

(các điểm không nhạy cảm với vết nứt).

KẾT LUẬN CHUNG

Tổng kết lại, những kết quả chính đạt được có thể tóm lược như sau:

1. Đã phát triển phương pháp ma trận truyền cho dầm liên tục có nhiều vết

nứt, cho phép đơn giản hóa việc tính toán tần số riêng của dầm đa nhịp (không

cần tính phản lực tại các gối trung gian của dầm đa nhịp).

2. Đã áp dụng phương pháp ma trận truyền cải biên để nghiên cứu chi tiết

dao động riêng của dầm Euler-Bernoulli liên tục đồng nhất có vết nứt. Ở đây đã

phân tích chi tiết ảnh hưởng của gối trung gian lên tần số của dầm và cho thấy

gối trung gian ảnh hưởng nhiều đến phân bố tần số riêng của dầm. Đặc biệt là

gối trung gian làm xuất hiện những tần số giống nhau cho các điều kiện biên

khác nhau, được gọi là các tần số gối.

3. Đã phát triển phương pháp ma trận truyền để nghiên cứu tần số riêng của

dầm FGM liên tục có vết nứt sử dụng nghiệm tổng quát về dao động của dầm

Timoshenko FGM có nhiều vết nứt. Ở đây sử dụng mô hình vết nứt được biểu

diễn bằng hai lò xo dọc trục và lò xoắn; lý thuyết dầm Timosshenko và quy luật

biến đổi vật liệu theo hàm lũy thừa. Đặc biệt có kể đến vị trí thực của trục trung

hòa trong dầm FGM.

4. Đã nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt và các tham số vật liệu có cơ lý

tính biến thiên liên tục đến tần số riêng của dầm FGM liên tục. Đặc biệt là đã chỉ

ra trong dầm FGM liên tục cũng tồn tại những vị trí mà vết nứt xuất hiện tại đó

không làm thay đổi một tần số nào đó, gọi là các điểm nút tần số. Đã chỉ ra rằng

vết nứt xuất hiện tại các gối có thể không ảnh hưởng đến tần số này, nhưng lại

làm thay đổi đáng kể tần số khác. Tất cả những nhận xét này là những thông tin

rất quan trọng để chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM bằng các tần số riêng.

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ

CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN

(1) (2016) Vibration of continuous multispan Timoshenko beam made of

functionally graded material. Proceedings of 4th International Conference on

Engineering Mechanics and Automation (ICEMA 4), Hanoi, August 25-26,

2016.

(2) (2018). Free vibration of cracked multispan continuous beam. Proceedings of

Xth National Conference on Mechanics, Hanoi, December 8-9, 2017, pp.303-

311.

(3) (2018) Effect of intermediate support location on natural frequencies of multiple

cracked continuous beams. Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol. 40, No.

2 (2018), pp. 181 – 198.

(4) (2019) An application of the dynamic stiffness approach to free vibration of

continuous multispan beam with cracks. Tuyển tập báo cáo Hội nghị Cơ học kỹ

thuật toàn quốc kỷ niệm 40 năm Viện Cơ học, 9-4-2019.

(5) (2020) Modal analysis of cracked continuous Timoshenko beam made of

functionally graded material. Mechanics Based Design of Structures and

Machines 48(4) 459-479. DOI: 10.1080/15397734.2019.1639518.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tài liệu tiếng Việt

[1] Trần Thanh Hải, Nguyễn Tiến Khiêm, “Lời giải chính xác của bài toán dao

động của dầm đàn hồi có nhiều vết nứt và ứng dụng”. Hội nghị khoa học kỷ

niệm 35 năm Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam 1975-2010. ISBN: 978-

604-913-009-0, Hà Nội, 2010.

[2] Trần Thanh Hải (2012), “Chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi bằng phương

pháp dao động”. Luận án Tiến sĩ, Viện Cơ học, Viện HLKH&CNVN, Hà Nội,

2012.

[3] Nguyễn Ngọc Huyên (2017), “Dao động của dầm FGM có vết nứt”. Luận án

tiến sĩ, Học viện KH&CN, Viện HLKHCNVN, Hà Nội, 2017.

[4] Nguyễn Văn Khang (2001), Dao động kỹ thuật. NXB KHKT, Hà Nội 2001.

[5] Nguyễn Tiến Khiêm (2016), Cơ sở động lực học công trình. NXB ĐHQGHN.

Tài liệu tiếng Anh

[6] Adams, R. D., Cawley. P., Pye. C. J and Stone. B. J. “A vibration technique

for non-destructively assessing the integrity of structures”. Journal of

Mechanical Engineering Science, Vol 20(2), 1978, pp. 93-101.

[7] Akbas, S.D. Free Vibration Characteristics of Edge Cracked Functionally

Graded Beams by Using Finite Element Method, Int. J. Eng. Trends

Technol. 4(10) (2013) 4590-4597.

[8] Aydin, K. Free vibration of functional graded beams with arbitrary number of

cracks, Euro. J. Mech., A/Solid 42 (2013) 112-124.

[9] Azizi N., Saadatpour M.M. and Mahzoon M. Using spectral element method

for analyzing continuous beams and bridges subjected to a moving load.

Applied Mathematical Modelling, 36(8) (2012) 3580-3592.

[10] Banerjee, A., Panigrahi, B., Pohit, G. Crack modelling and detection in

Timoshenko FGM beam under transverse vibration using frequency contour and

response surface model with GA, Nondestr. Test. Eval. 31(2) (2015) 142-164.

[11] Birman, V., Byrd, L.W. Modeling and analysis of functional graded materials

and structures. Appl. Mech. Rev. 60 (2007) 195–215.

[12] Caddemi, S. and Caliò. I. “Exact closed-form solution for the vibration modes

of the Euler-Bernoulli beam with multiple open cracks”. Journal of Sound and

Vibration, Vol 327(3-5), 2009, pp. 73-489.

[13] Chakraborty, A., Gopalakrishnan, S. A spectrally formulated finite element for

wave propagation analysis in functionally graded beams. Int. J. Solids Struct.

40 (2003) 2421–2448.

[14] Chakraborty, A., Gopalakrishnan, S., Reddy, J.N. A new beam finite element

for the analysis of functional graded materials. Int. J. Mech. Sci. 45 (2003)

519–539.

[15] Chondros, T. G., Dimarogonas, A. D. and Yao, J. A continuous cracked beam

vibration theory”. Journal of Sound and Vibration, 215 (1), 1998, 17-34.

[16] Chondros, T.G., Dimarogonas, A.D., Yao, J. Longitudinal vibration of a

continuous cracked bar, Eng. Fract. Mech. 61 (1988) 593-606.

[17] Christides S. and Barr, S. One-dimensional theory of cracked Bernoulli-Euler

beams. International Journal of Mechanical Sciences 26 (11-12), 1984, 639-648.

[18] Do Nam et al., Effect of intermediate supports location on natural frequencies

of multiple cracked continuous beam. Vietnam J. Mech. 40 (2) (2018) 181-

198.

[19] Eltaher, M., Alshorbagy, V. and Mahmoud, F. Determination of neutral axis

position and its effect on natural frequencies of functionally graded

macro/nanobeams, Compos. Struct. 99 (2013) 193-201.

[20] Erdogan, F., Wu, B.H. “The surface crack problem for a plate with

functionally graded properties”, J. App. Mech. 64 (1997) 448-456.

[21] Gan, B.S., Kien, N.D. Effect of Intermediate Elastic Support on Vibration of

Functionally Graded Euler Bernoulli Beams Excited by a Moving Point.

Journal of Asian Architecture and Building Engineering. May 2017

[22] Gu, P., Asaro, R.J. Cracks in functionally graded materials, Int. J. Solids

Struct. 34(1) (1997) 1-17.

[23] Guojin Tan · Zhiqing Zhu · Wensheng Wang · Yongchun Cheng. Free

Vibration Analysis of a Uniform Continuous Beam with an Arbitrary Number

of Cracks and Spring-Mass Systems. Arab J Sci Eng.

[24] Gupta, A., Talha, M. Recent development in modeling and analysis of

functionally graded material and structures, Progress in Aerospace Sciences

79 (2015) 1-14.

[25] Henchi K., Fafard M., Dhatt G. and Talbot M. Dynamic behavior of multi-

span beams under moving loads. Journal of Sound and Vibration 199(1)

(1997) 33-50.

[26] Ichikawa M, Miyakawa Y. and Matsuda A. Vibration analysis of the

continuous beam subjected to a moving mass. Journal of Sound and Vibration

230(3) (2000) 493-506.

[27] Jin, Z.H., Batra, R.C. Some basic fracture mechanics concepts in functionally

graded materials, J. Mech. Phys. Solids. 44(8) (1996) 1221–1235.

[28] Ke, L.L., Yang, J., Kitipornchai, S., Xiang, Y. Flexural vibration and elastic

buckling of a cracked Timoshenko beam made of functionally graded

materials, Mech. Advanc. Mater. Struct. 16 (2009) 488–502.

[29] Khiem, N. T. and Lien, T. V. A simplified method for natural frequency

analysis of a multiple cracked beam. Journal of Sound and Vibration, Vol

245(4), 2001, pp. 737-751.

[30] Khiem, N.T. and Huyen, N.N. A method for crack identification in

functionally graded Timoshenko beam”, Nondestr. Test. Eval. 32(3) (2017)

319-341.

[31] Khiem, N.T. and Huyen, N.N. Uncoupled vibrations in functionally graded

Timoshenko beam, Vietnam J. Sci. Technol. 54(6) (2016) 785-796.

[32] Khiem, N.T., Tran T. H. A procedure for multiple crack Identification in

beam-like structures from natural vibration mode. Journal of Vibration

and Control, Vol. 20 (9), 1417-1427 (2014).

[33] Khiem, N.T., Lien, T.V., Ninh, V.T.A. Natural frequencies of multistep

functionally graded beam with cracks. Iran J Sci Technol Trans Mech Eng

(2019) 43 (Suppl 1): S881–S916.

[34] Kitipornchai, S., Ke, L.L., Yang, J., Xiang, Y. Nonlinear vibration of edge

cracked functionally graded Timoshenko beams, J. Sound Vib. 324 (2009)

962-982.

[35] LE, Thi Ha, GAN, Buntara Sthenly, TRINH, Thanh Huong and NGUYEN,

Dinh Kien (2014) Finite element analysis of multi-span functionally graded

beams under a moving harmonic load. Bulletin of JSME: Mechanical

Engineering Journal, Vol.1, No.3, 2014. Paper No.13-00226.

[36] Lee, J.W., Lee, J.Y. Free vibration analysis of functionally graded Bernoulli-

Euler beams using an exact transfer matrix expression, Int. J. Mech. Sci.

122(2017) 1-17.

[37] Li, X.F. A unified approach for analyzing static and dynamic behaviors of

functionally graded Timoshenko and Euler-Bernoulli beams, J. Sound Vib.

318 (2008) 1210–1229.

[38] Liang, R. R. Y., Hu, J. and Choy, F. “Quantitative NDE technique for

assessing damages in beam structures”. Journal of Engineering Mechanics,

Vol 118(7), 1992, pp. 1468 -1487.

[39] Lien, T.V., Đuc, N.T., Khiem, N.T. Free Vibration Analysis of Multiple

Cracked Functionally Graded Timoshenko Beams, Latin Amer. J. Solids

Struct. 14(9) (2017) 1752-1766.

[40] Lien, T.V., Đuc, N.T., Khiem, N.T. Mode Shape Analysis of Multiple Cracked

Functionally Graded Timoshenko Beams, Latin Amer. J. Solids Struct. 14(7)

(2017) 1327-1344.

[41] Lin H.P., Chang S.C. Free Vibration Analysis of Multispan Beams with

Intermediate Flexible Constrains. Journal of Sound and Vibration 281 (2005)

155-169.

[42] Lin Y.K. Free vibration of a continuous beam on elastic supports.

International Journal of Mechanical Systems 4 (1962) 409-423.

[43] Liu, H.B., Nguyen, H.H., Xiang, Y.M. Vibration analysis of a multi-span

continuous beam with cracks. Applied Mechanics and Materials Vols. 256-

259 (2013) 964-972

[44] Matbuly, M., Ragb, O. and Nassar, M. Natural frequencies of a functionally

graded cracked beam using the differential quadrature method, App. Math.

Comput. 215(6) (2009) 2307-2316.

[45] Morassi, A. “Crack-Induced Changes in Eigenparameters of Beam Structures”.

Journal of Engineering Mechanics, Vol 119(9), 1993, pp. 1798-1803.

[46] Narkis, Y. “Identification of crack location in vibrating simply supported

beams”. Journal of Sound and Vibration, Vol 172, 1994, pp. 549-558.

[47] Nguyen Tien Khiem and Dao Nhu Mai. “Natural Frequency Analysis of

Cracked Beam”. Vietnam Journal of Mechanics, Vol 19(2), 1997, pp. 28-38.

[48] Nguyen Tien Khiem, Hai Thanh Tran, Do Nam, Modal analysis of cracked

continuous Timosheko beam made of functionally graded material. Mechanics

Based Design of Structures and Machines, 2019, Online First 16 July 2019.

DOI. 10.1080/15397734.2019.1639518.

[49] Nguyen Tien Khiem, Nguyen Ngoc Huyen, Nguyen Tien Long, Vibration of

cracked Timoshenko beam made of functionally graded material, J.M. Harvie,

J. Baqersad (eds.), Shock & Vibration, Aircraft/Aerospace, Energy Harvesting,

Acoustics & Optics, Volume 9, Chapter 15, pp. 133-143.

[50] Ostachowicz, W. M. and Krawczuk, M. “Analysis of the effect of cracks on

the natural frequencies of a cantilever beam”. Journal of Sound and Vibration,

Vol 150, 1991, pp. 191-201.

[51] Panigrahi, B., Pohit, G. Study of nonlinear dynamic behavior of open-cracked

functionally graded Timoshenko beam under forced excitation using harmonic

balance method in conjunction with an iterative technique, App. Math. Model.

57(2018) 248-267.

[52] Saeedi K. and Bhat R.B. Clustered natural frequencies in multispan beams with

constrained characteristic functions. Shock and Vibration 18 (2011) 697-707.

[53] Sato H. Free vibration of beams with abruptr changes of cross-section. Journal

of Sound and Vibration 89(1), 1983, 59-64.

[54] Sherafatnia, K., Farrahi, G.H., Faghidian, S.A. Analytic approach to free

vibration and bucking analysis of functionally graded beams with edge cracks

using four engineering beam theories, Int. J. Eng. 27(6) (2014) 979-990.

[55] Shifrin, E. I. and Ruotolo, R. “Natural frequencies of a beam with an arbitray

number of cracks”. Journal of Sound and Vibration, Vol 222(3), 1999, pp.

409-423.

[56] Shvartsman, B., Majak, J. Numerical method for stability analysis of

functionally graded beams on elastic foundation, App. Math. Model. 37 (2018)

248-267.

[57] Simsek, M., Kocatuk, T. Free and forced vibration of a functionally graded

beam subjected a concentrated moving harmonic load, Compos. Struct. 90(4)

(2009) 465–473.

[58] Sina, S.A., Navazi, H.M., Haddadpour, H. An analytical method for free vibration

analysis of functionally graded beams, Mater. Des. 30 (2009) 741–747.

[59] Su, H., Banerjee, J.R. Development of dynamic stiffness method for free

vibration of functionally graded Timoshenko beam, Comput. Struct. 147

(2015) 107-116.

[60] Wang R.T. Vibration of multispan Timoshenko beams to a moving force.

Journal of Sound and Vibration 207(5) (1997) 731-742.

[61] Wei, D., Liu, Y.H., Xiang, Z.H. An analytical method for free vibration

analysis of functionally graded beams with edge cracks, J. Sound Vib. 331

(2012) 1685-1700.

[62] Yan, T., Kitipornchai, S., Yang, J., He, X.Q. Dynamic behavior of edge-

cracked shear deformable functionally graded beams on an elastic foundation

under a moving load”, Compos. Struct. 93 (2011) 2992-3001.

[63] Yang, J., Chen, Y. Free vibration and buckling analyses of functionally graded

beams with edge cracks, Compos. Struct. 83 (2008) 48-60.

100

[64] Yesilce Y. Free and forced vibrations of an axially-loaded Timoshenko multi-

span beam carrying a number of various concentrated elements. Shock and

Vibration 19(4) (2012) 735-752.

[65] Yesilce Y., Demirdag, O. Effect of axial force on free vibration of Timoshenko

multispan beam carrying multiple spring-mass systems. International Journal

of mechanical Science 50(2008) 995-1003.

[66] Yu, Z.G., Chu, F.L. Identification of crack in functionally graded material

beams using the p-version of finite element method, J. Sound Vib. 325 (2009)

69–84.

[67] Yuen, M. M. F. “A numerical study of the eigenparameters of a damaged

cantilever”. Journal of Sound and Vibration, Vol 103(3),1985, pp. 301-310.

[68] Zheng D.Y., Cheung Y.K. Au F.T.K and Cheng Y.S. Vibration of multi-span

non-uniform beams under moving loads by using modified beam vibration

functions. Journal of Sound and Vibration, 212(3) (1998) 455-467.

[69] Zhong, Z., Yu, T. Analytical solution of a cantilever functionally graded beam,

Comput. Sci. Technol. 67 (2007) 481–488

[70] Zhou D. Free vibration of multispan Timoshenko beam using static

Timoshenko beam functions. Journal of Sound and Vibration 241 (2001)

725-734.

101

Luận án Tiến sĩ Cơ kỹ thuật: Dao động của dầm FGM liên tục có vết nứt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

ĐỖ NAM

DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM LIÊN TỤC CÓ VẾT NỨT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội - 2021

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

ĐỖ NAM

DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM LIÊN TỤC CÓ VẾT NỨT

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

Mã số: 9520101.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

1. GS.TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm

2. PGS.TS. Phạm Mạnh Thắng:

1. GSSKH. Nguyễn Tiến Khiêm

Hà Nội - 2021

LỜI CAM ĐOAN

Hà Nội, ngày 09 tháng 12 năm 2021

Tác giả luận án

Đỗ NamGS.TSK

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

Ký hiệu

Nguyên nghĩa

Ký hiệu

Nguyên nghĩa

𝜆𝑗

DANH MỤC BẢNG

Bảng 2.1. Tần số của dầm hai nhịp (01 gối cứng trung gian) khi vị trí gối cứng

DANH MỤC HÌNH VẼ

MỞ ĐẦU

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VÀ ĐẶT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN TRUYỀN

3.9266

7.0686

10.2102

3.926602

7.068582

10.21017

3.9266 4.7300 7.0686 7.8532 10.2102 10.9956

3.1416

3.5564

6.2832

6.7076

6.2832

6.2832

3.5564

6.7076

CHƯƠNG 3.

DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐỒNG NHẤT LIÊN TỤC CÓ VẾT NỨT

𝐹(𝜆) = 𝐹0(𝜆) + 𝛾1𝐹1(𝜆, 𝑒1), (3.19)

CHƯƠNG 4. DAO ĐỘNG CỦA DẦM TIMOSHENKO FGM LIÊN TỤC

CÓ VẾT NỨT

4.7834 4.5219 4.0279 3.6355 3.3328 3.0772 2.9387 4.9977 4.7267 4.2086 3.8004 3.4878 3.2251 3.0805

16.6660 15.7565 14.0318 12.6470 11.5589 10.6300 10.1467 19.1228 18.0863 16.1021 14.5331 13.3229 12.3013 11.7476

28.3189 26.8944 24.0579 21.6145 19.4718 17.5625 16.7487 40.3570 38.1718 33.9801 30.6491 28.0555 25.8533 24.6834

9.3334 8.8320 7.8762

21.4415 20.2909 18.0842

28.1787 26.8887 23.9547

7.0980 6.4707 5.9244 5.6484 10.8205 10.2371 9.1182 8.2292 7.5376 6.9493 6.6339

16.2684 14.7812 13.4826 12.8530 27.7924 26.2986 23.4254 21.1256 19.3119 17.7560 16.9432

21.5294 19.3954 17.4850 16.6691 50.3343 47.6357 42.4315 38.2389 34.8940 32.0050 30.5295

b) Tương tác giữa dao động dọc trục và dao động uốn trong dầm FGM

Ngoài sự thay đổi trục trung hòa, chúng ta còn nhận thấy khác với dầm

đồng chất, dao động dọc trục và dao động uốn trong dầm FGM không độc lập

nhau. Sự tương tác giữa các dạng dao động này được biểu thị bằng hệ số (xem

phương trình đầu trong (4.8))

𝐼12 =

hay

=

𝐼̄12 =

Công thức (4.62) cho thấy dao động dọc trục tách rời với dao động uốn

của dầm FGM trong hai trường hợp: một là dầm đồng nhất (𝑛 = 0) hoặc thỏa

mãn điều kiện

𝑅1 = 𝑅2

𝐸𝑡/𝐸𝑏 = 𝜌𝑡 𝜌𝑏⁄ ,

tức cả mô đun đàn hồi và mật độ khối có cùng một tỷ lệ. Các tác giả công bố

[31] đã gọi đây là vật liệu FGM tỷ lệ (proportional FGM).

Trong Hình 4.6 biểu diễn sự phụ thuộc của hệ số tương tác dao động 𝐼12