Đạo hàm và vi phân
của hàm số
Đạo hàm và vi phân là các khái niệm cơ bản trong toán học giải
tích. Một phần của nó được giới thiệu trong chương trình trung
học phổ thông.
Ý nghĩa hình học của khái niệm đạo hàm là ở chỗ nó biểu diễn
tốc độ biến thiên của hàm số thông qua hệ số góc của tiếp tuyến
với đồ thị biểu diễn hàm số. Về vật lý, đạo hàm biểu diễn vận
tốc tức thời của một chất điểm chuyển động với vận tốc không
cố định.
đạo hàm
Cho hàm số biến số thực y = f(x) xác định trên khoảng (a;b)
(khoảng ). Xét giá trị và giá
trị .
Đặt Δx = x − x0 thì x = x0+Δx. Δx được gọi là số gia đối số.
Đặt Δy = f(x)-f(x0). Δy được gọi là số gia hàm số.
Xét tỷ số . Nếu khi Δx→0, tỷ số đó dần tới một giới hạn thì
giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0
kí hiệu là hay
Ví dụ, cho hàm số y=x2. Xét điểm x0 bất kỳ, và x≠x0. Xét giới
hạn của tỷ số
= 2 x0
Khi x0 thay đổi, ta ký hiệu tổng quát f'(x)= 2x.
Cho hàm số y=x. Xét điểm x0 bất kỳ, và x≠x0. Xét giới hạn của tỷ
số
= 1
Vậy f'(x0)=1.
Vi phân
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0. Gọi Δx là số gia của
biến số tại x0. Tích f'(x0).Δx được gọi là vi phân của hàm số f
tại x0 ứng với số gia Δx (vi phân của f tại x0). Ký hiệu : df(x0) =
f'(x0).Δx Nếu lấy f(x) = x thì df = dx = (x)'.Δx = Δx. Do đó ta
thay Δx = dx và có : df(x0) = f(x0)dx